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Lógica y Computación
Lógicas No-Clásicas
LÓGICAS NO-CLASICAS
Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia
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Lógica y Computación
Lógicas No-Clásicas
Motivación de las Lógicas No-Clásicas
- La Lógica (Clásica) de Primer Orden sólo es un
modelo adecuado para el razonamiento matemático
- Es necesario ajustar ese modelo a nuestras
intuiciones acerca del razonamiento “natural”
- Objetivos:
- Resolución de las “paradojas de la implicación”
- Ampliación de la potencia expresiva del lenguaje
lógico:
- Razonamiento hipotético
- Razonamiento temporal
- Razonamiento epistémico
- Razonamiento no-monótono
- Superación de la semántica bivalente:
- Razonamiento impreciso
- Razonamiento sometido a incertidumbre
- Las lógicas no-clásicas tienen más relevancia
para la modelización cognitiva que la clásica
- La Lógica Clásica se toma siempre como referencia
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Lógicas No-Clásicas
CLASIFICACIÓN DE LAS LÓGICAS NO-CLÁSICAS
- Extensiones de la Lógica Clásica:
- Lógica Modal
- Interpretaciones de la Lógica Modal:
- Lógica Temporal Modal
- Lógica Epistémica
- Lógica Deóntica
- Alternativas a la Lógica Clásica
- Lógicas Trivalentes
- Lógica Intuicionista
- Lógicas Multivalentes
- Lógicas de la Probabilidad
- Lógicas Borrosas.
- Lógicas Nomonotónicas
• No Bivalentes
Lógica noClásica
•
•
•
•
•
• Más Recursos
•
Expresivos
•
•
•
Lógica Trivalente
Lógicas Polivalentes
Lógicas Probabilísticas
Lógicas Difusas
Lógica Modal
Lógica Temporal
Lógica Epistémica
Lógica Deóntica
Lógica Nomonotónica
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- La Lógica trivalente: contempla tres valores de verdad,
lo verdadero, lo falso y lo que no es verdadero ni falso,
por desconocido o incierto.
- Las lógicas multivalentes son fundamentalmente
lógicas probabilísticas en las que los valores de verdad
se corresponden con el intervalo [0,1].
- La lógica modal incorpora como operadores los
modificadores lo necesario y lo posible.
- La Lógica temporal incorpora parámetros temporales.
Para muchas oraciones su verdad depende del momento
en que se produce.
- La lógica epistémica es una lógica intensional que
pretende formalizar enunciados de creencia, opinión, etc.
- La Lógica Deóntica investiga la obligación y el deber
moral.
- La Lógica intuicionista: Parte de presupuestos
constructivistas no admitiendo ninguna entidad de la que
no se aporte un método para su construcción. El
programa
intuicionista
pretende
investigar
las
construcciones mentales matemáticas como tales y no
tanto la naturaleza de los objetos construidos.
- La
pretende
formalizar
lógica
nomonotónica
situaciones reales en las que decidimos sin una total
información y que posteriormente admite, conforme se
prueben o refuten creencias, revisar el sistema total de
creencia.
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LOGICA MODAL
LAS “PARADOJAS DEL CONDICIONAL”
- En la definición “clásica” del condicional hay tesis
lógicas que no responden en absoluto a nuestra
intuición natural acerca del funcionamiento de la
conectiva “si..., entonces...”
- Anormalidad de la definición semántica básica del
condicional (implicación “material”):
(A→
→B)σ = Τ sii Aσ = ⊥ o Bσ = T.
En otro caso, (A→
→B)σ = ⊥
- Tesis “aberrantes”:
→(B→
→A)
A→
→(A→
→B)
¬A→
→B) ∨ (B→
→A)
(A→
...
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POSIBLES REMEDIOS
1. Exigir una conexión significativa entre antecedente y
consecuente
- Que el significado del antecedente sea
“relevante” para la obtención del consecuente
- Relación - intensional- de “entrañamiento”
(entailment)
- Lógica de la relevancia o del entrañamiento
(Anderson, Belnap)
2. Redefinición del “si..., entonces...” como una
implicación “estricta” o “condicional formal”
- Esta nueva definición requiere la introducción de
nuevos operadores
- En la teoría resultante seguirán siendo válidos
todos los teoremas de la Lógica Clásica
- Sistemas:
- Lógica de la implicación estricta (Lewis)
- Lógicas Modales
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OPERADORES MODALES
- Reformulación de la implicación estricta:
- A ⇒B ↔ “No es posible que A y ¬B”
- A ⇒ B ↔ “ Es necesario que ¬(A ∧ ¬ B)”
- Operadores modales:
◊“
- posibilidad: “◊
- necesidad: “□“
- Operadores derivados:
- “es imposible que” : ¬ ◊
- “es contingente que”: ¬ □
- Formato general de las expresiones modales:
Operador modal (modo) + Aserción (dictum)
Equivalencias modales básicas
- Demostrables como teoremas
- □A ↔ ¬ ◊ ¬ A
- ◊A ↔¬□¬A
- ¬□ A ↔ ◊ ¬ A
- ¬◊A↔□¬A
- Se comportarán recíprocamente
particularizador y el generalizador
igual
que
el
El lenguaje modal (LEM)
- Añadimos al lenguaje clásico de enunciados los dos
operadores modales
- Estos operadores forman fórmulas igual que el
operador monádico de negación
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SEMANTICA PARA LME
- El universo de discurso está formado por un conjunto
M, no vacío, de mundos posibles m1, ..., mn (Leibniz,
Kripke)
- Estos mundos mi, mj están unidos entre sí por una
relación de accesibilidad Rmimj, que puede tener
diversas
características
formales
(reflexividad,
transitividad, ...)
- σ: Función de valoración que asigna a cada fórmula
uno de los dos valores de verdad T o ⊥ en un mundo
determinado mi (Aσ,mi)
- Se llama marco a la estructura <M,R, σ>
- Definiciones semánticas de los operadores modales:
- (□A)σ = T en mi sii Aσ = T en todo mundo mj
accesible desde mi. En otro caso, Aσ = ⊥.
◊A)σ = T en mi sii Aσ = T en al menos un mundo
- (◊
mj accesible desde mi . En otro caso, Aσ = ⊥.
- Las definiciones correspondientes para las fórmulas
asertivas son iguales que las clásicas, salvo la mención
del mundo del que se habla
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Definiciones adicionales
- A es modalmente satisfacible en un marco dado si
existe al menos un mundo mi de ese marco en el que A
es satisfacible. En otro caso, es modalmente
insatisfacible.
- A es modalmente válida si A es válida para todos los
mundos de un marco modal
Sistemas modales
- Existe una multiplicidad de sistemas modales, que se
diferencian entre sí :
- Por el tipo de relación de accesibilidad en su
marco modal
- Por las fórmulas que son válidas en cada uno
de ellos
- Por sus propiedades específicas
- Los principales sistemas son:
-K
- T (Gödel/Feys, von Wright)
- S4 (KT4)
- B (Sistema de Brouwer)
- S5
- ...
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LOGICA CUANTIFICACIONAL MODAL
- El uso de los operadores modales en el contexto
cuantificacional suscita algunos problemas semánticos
- Fórmulas de Barcan:
∀xPx ↔∀x □Px
a) □∀
Parece ser cierto, al menos en la medida en que todos
los mundos accesibles desde el actual contienen
exactamente el mismo conjunto de individuos
b) ∃x □Px ↔ □ ∃x Px
Sólo es verdadero si los términos son designadores
rígidos, es decir, si, en cualquier mundo, un objeto
dado tiene siempre el mismo nombre.
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LOGICA TEMPORAL MODAL
- La Lógica clásica de Primer Orden no permite
expresar que un enunciado es verdadero en un
momento determinado y falso en otro, ni por tanto
razonar sobre ello
- Una adecuada interpretación de la Lógica Modal nos
permite utilizarla como lenguaje de modelización del
razonamiento acerca del tiempo
- Prior (1956), Rescher y Urquart (1971), McArthur(1976)
- En vez de considerar m0, m1, m2, ...,mn mundos
posibles, consideraremos t0, t1, t2, ...,tn instantes de
tiempo
- Suponemos inicialmente un tiempo discreto
- Sustituímos la relación de accesibilidad Amimj por la
relación de sucesión temporal Stitj
- Stitj afirma que a ti le sucede tj. En el razonamiento
temporal esta relación también se expresa en términos
de su relación inversa: ti precede a tj (Ptjti = S-1titj)
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Operadores Temporales Modales
- Bajo esta interpretación, los operadores modales se
convierten en operadores temporales
- Si consideramos la relación de sucesión temporal
(razonamiento hacia el futuro):
- □ → A : A será verdadero a partir de ahora
- ◊→ A : A será verdadero en algún instante futuro
- Si consideramos la relación de precedencia temporal
(razonamiento hacia el pasado):
- □ ← A: A ha sido verdadero hasta ahora.
←
- ◊ A: A ha sido verdadero en algún instante
pasado.
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LOGICA EPISTÉMICA
- Afirmar que “A es verdadero” es distinto que afirmar
que “yo sé que A es verdadero”
- Mientras que lo primero es un enunciado, lo segundo
es una creencia.
- En general, los enunciados en los que intervienen
expresiones epistémicas tales como:
- “yo sé que ...”
- “x sabe que ...”
- “a cree que ...”
epistémicos,
son
enunciados
que
expresan
conocimientos o creencias.
- Las expresiones epistémicas están formadas por:
- una constante o variable que refiere al agente que
conoce (“yo”, “x”, “a”)
- un operador epistémico: “saber”, “creer”
- El comportamiento de cualquier sistema, natural o
artificial, está determinado por el conjunto de las
creencias que dicho sistema asume como verdaderas
- acerca de sí mismo
- acerca de su entorno
- Cualquier modelización del comportamiento de un
sistema debe representar sus creencias
- Una característica fundamental de la manipulación
cognitiva de un conjunto de creencias es la
no-monotonicidad
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Lógicas No-Clásicas
Lógica Epistémica (2)
- Si interpretamos el operador modal de necesidad
como “se sabe que”, la lógica modal se convierte en
una “lógica epistémica” o lógica de las creencias
- Existen muchas lógicas epistémicas:
- von Wright (1951)
- Hintikka (1962)
- Moore (1983, 1984)
- Konolige (1986)
- Halpern, Moses (1985): “A guide to modal logics of
knowledge and belief”, Procs IJCAI, 480-490.
- Lógica autoepistémica (Moore, Konolige): creencias
de un agente idealmente racional que reflexiona sobre
sus propias creencias
- Sea S nuestro operador epistémico
- Leeremos SA como “yo se que A” o “se sabe que A”
- El comportamiento formal de SA es idéntico al de □A
El
operador
de
posibilidad
se
traduce
epistémicamente por “se cree que” o “es consistente
creer que”, de forma que:
“saber que A” equivale a “no se cree que no A”
- Si deseamos utilizar explícitamente el operador
epistémico de posibilidad, utilizaremos C
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Lógica Autoepistémica
- Intuitivamente, en la manipulación de un conjunto de
creencias Γ parece que deberían ser válidas los
siguientes condiciones:
→B, y también sabe que A,
1. Si se sabe que A→
entonces también debería saber que B
S (A →B) →(S A → S B)
(K)
2. Sólo se sabe lo que es verdadero
SA→A
(T)
3. Todo el que sabe algo, sabe que lo sabe
SA→S SA
(S4)
4. Todos saben los tres enunciados anteriores.
(Consecuencia de la regla de necesariedad).
S4 es un buen candidato como sistema para
modelizar conjuntos de creencias, y su manipulación
cognitiva
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Lógicas No-Clásicas
No-monotonicidad de la Lógica Autoepistémica
- Si además se cumple:
5. Si A no pertenece al conjunto de creencias Γ,
entonces ¬S A pertenece a Γ, entonces diremos
que ese conjunto de creencias es un conjunto de
creencias estable (Stalnaker, 1980)
- Una extensión estable de un conjunto de creencias es
el conjunto de las consecuencias de ese conjunto de
creencias.
- Cuando se produce el fenómeno de la nomonotonicidad, se sustituye una extensión estable de
un conjunto de creencias por otra.
- Ejemplo:
1. Creencia inicial: todos los pájaros vuelan
2. Información inicial: Truz es un pájaro
3. Podemos deducir que: Truz vuela
4. Información adicional: Truz es un avestruz
5. Creencia previa: Ningún avestruz vuela
6. Nueva deducción: “Truz vuela” era falso
Observaciones:
- La creencia inicial era inexacta, pero útil en las
mayoría de los casos, los casos “normales”
- La primera deducción era una deducción “por
defecto”,
en
ausencia
de
información
complementaria
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Lógicas No-Clásicas
No-Monotonicidad de la Lógica Autoepistémica (2)
- La Lógica Autoepistémica permite la modelización del
razonamiento no-monótono:
- Esquema de razonamiento:
Si no sé que A, entonces sé que no sé que A
Si A, entonces sabría que A
Pero no sé que A
Luego no A
- Ejemplo:
Sé que el Papa vive todavía.
No tengo ninguna prueba reciente de ello.
Pero sé que si el Papa hubiese muerto, yo lo
sabría.
Pero no sé que (no tengo ninguna información de
que) el Papa haya muerto
Luego sé que el Papa está vivo
- Formalización:
1. A → S A
2. ¬ S A
3. ¬ A (Mtollens, 1,2)
- Si sustituímos ¬ S A por A, eliminamos la posibilidad
de derivar ¬ A, manteniendo consistente el conjunto de
creencias
- El razonamiento autoepistémico es no-monótono
porque las reglas modales admiten el “supuesto del
mundo cerrado”: lo que no está afirmado
explícitamente en el conjunto de creencias es falso.
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