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Saul Kripke (1940 m.j. García-Encinas (2012-13)
Semántica Filosófica
(Consideraciones semánticas en
torno a la lógica modal, 1963)
De qué hablaremos esta semana
Texto complementario: García-Suárez (1989) “Lógica
modal” en Garrido, M. (ed.) Lógica y Lenguaje
Intro a la lógica modal:
• Algo de historia y
paradojas
• Distintos sistemas
• La crítica de Quine
• Algo de semántica
• La fórmula Barcan
Algo de historia
(i)
Proposiciones asertóricas;
proposiciones cum modo; según el modo en que una
proposición puede ser o no verdadera: posiblemente,
necesariamente, imposiblemente
 Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f.
Algo de historia
(i)
Proposiciones asertóricas;
proposiciones cum modo; según el modo en que una
proposición puede ser o no verdadera: posiblemente,
necesariamente, imposiblemente
 Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f.
(ii) Aristóteles: Mp y Mp son conjuntamente posibles
Luego, la negación de Mp es Mp (no: Mp)
Y la negación de Lp es Lp
Igualmente: (1) Lp  Mp
Y también: (2) Mp  Mp
Luego:
(3) Lp  Mp !!
Algo de historia
(i)
Proposiciones asertóricas;
proposiciones cum modo; según el modo en que una
proposición puede ser o no verdadera: posiblemente,
necesariamente, imposiblemente
 Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f.
(ii) Aristóteles: Mp y Mp son conjuntamente posibles
Luego, la negación de Mp es Mp (no: Mp)
Y la negación de Lp es Lp
Igualmente: (1) Lp  Mp
Y también: (2) Mp  Mp 
Luego:
(3) Lp  Mp !!
Algo de historia
(i)
Proposiciones asertóricas;
proposiciones cum modo; según el modo en que una
proposición puede ser o no verdadera: posiblemente,
necesariamente, imposiblemente
 Si A es una f.b.f., entonces MA y LA son f.b.f.
(ii) Aristóteles: Mp y Mp son conjuntamente posibles
Luego, la negación de Mp es Mp (no: Mp)
Y la negación de Lp es Lp
Igualmente: (1) Lp  Mp
Y también: (2) Mp  Mp  Qp  Qp
Luego:
(3) Lp  Mp !!
Algo de historia y “paradojas”
(iii) Medievales
Lp  ¬M¬p
[xPx  ¬x¬Px]
Mp  ¬L¬p
[xPx  ¬x¬Px]
Lp  p [xPx  Pa]
p  Mp
[Pa  xPx]
Algo de historia y “paradojas”
(iii) Medievales
Lp  ¬M¬p
[xPx  ¬x¬Px]
Mp  ¬L¬p
[xPx  ¬x¬Px]
Lp  p [xPx  Pa]
p  Mp
[Pa  xPx]
(iv) “Paradojas” de la implicación material
pq 
¬(p  ¬q)
VV V
VF F
FV V
q  (p  q)
FF V
¬p  (p  q)
Algo de historia y “paradojas”
(iii) Medievales
Lp  ¬M¬p
[xPx  ¬x¬Px]
Mp  ¬L¬p
[xPx  ¬x¬Px]
Lp  p [xPx  Pa]
p  Mp
[Pa  xPx]
(iv) “Paradojas” de la implicación material
pq 
¬(p  ¬q)
 L¬(p  ¬q)
VV V
VF F
FV V
q  (p  q)
FF V
¬p  (p  q)
Algo de historia y “paradojas”
(iii) Medievales
Lp  ¬M¬p
[xPx  ¬x¬Px]
Mp  ¬L¬p
[xPx  ¬x¬Px]
Lp  p [xPx  Pa]
p  Mp
[Pa  xPx]
(iv) “Paradojas” de la implicación material
pq 
¬(p  ¬q)
 L¬(p  ¬q)
VV V
VF F
FV V
q  (p  q)
FF V
¬p  (p  q)  (L¬p  L(p  q))
Sistemas de lógica modal
(S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”
Sistemas de lógica modal
(S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”
(K) L(A  B) entonces (LA  LB)
Sistemas de lógica modal
(S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”
(K) L(A  B) entonces (LA  LB)
(D) LA  MA
Sistemas de lógica modal
(S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”
(K) L(A  B) entonces (LA  LB)
(D) LA  MA
(T) LA  A
Sistemas de lógica modal
(S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”
(K) L(A  B) entonces (LA  LB)
(D) LA  MA
(T) LA  A
(S4) LA  LLA
Sistemas de lógica modal
(S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”
(K) L(A  B) entonces (LA  LB)
(D) LA  MA
(T) LA  A
(S4) LA  LLA
(S5) MA  LMA
Sistemas de lógica modal
(S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”
(K) L(A  B) entonces (LA  LB)
(D) LA  MA
(T) LA  A
(S4) LA  LLA
(S5) MA  LMA
(B) A  LMA
(No: LMA  A)
Sistemas de lógica modal
(S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”
(K) L(A  B) entonces (LA  LB)
(D) LA  MA
(T) LA  A
(S4) LA  LLA
(S5) MA  LMA
(B) A  LMA
(No: LMA  A)
A  ¬¬A
(No: ¬¬A  A)
Sistemas de lógica modal
(S0.5)  A entonces  LA “Regla de necesitación”
(K) L(A  B) entonces (LA  LB)
(D) LA  MA
(T) LA  A (Kripke lo llama M)
(S4) LA  LLA
(S5) MA  LMA
(B) A  LMA
(No válida: LMA  A)
A  ¬¬A
A  ¬M¬MA
A  LMA
(No válida: ¬¬A  A)
(No válida: ¬M¬MA  A)
(No válida: LMA  A)
La crítica de Quine
• Los contextos modales (entre otros) son
referencialmente opacos, i.e., no podemos
sustituir sin afectar el valor de verdad de las
fórmulas.
• Los contextos modales no son extensionales,
sino intensionales, i.e., el valor de verdad
de una expresión compuesta (Mp) no
queda totalmente determinado por el valor
de verdad de su proposiciones (Mp
compatible con p = V y con p = F; Lp puede
ser F aunque p = V)
La crítica de Quine: Opacidad
• 9 = el número de planetas
Necesariamente, 9 es mayor que 7
(C) Necesariamente, el número de planetas es
mayor que 7
• Hesperus = la estrella del atardecer
Es imposible que una estrella sea un planeta
(C) Es imposible que Hesperus sea un planeta
Respuesta: No opacidad si las descripciones no
son términos singulares y distinguimos alcances
9 = el número de planetas
(i) x ((Px  y (Py  y = x)  x = 9)
Necesariamente, 9 es mayor que 7
(ii) L (9 > 7)
Necesariamente, el número de planetas es mayor
que 7
(iii) x ((Px  y (Py  y = x)  L (x > 7)
No: L x ((Px  y (Py  y = x)  (x > 7)
Respuesta de Quine: Esencialismo?!!
(iii) x ((Px  y (Py  y = x)  L (x > 7)
x L (x > 7) 
(ii) L (9 > 7)
Quine: esto es ininteligible! ¿Cuál es el número que es
necesariamente mayor que 7?
La respuesta a esta pregunta sólo puede depender del modo
en que se describa 9, no del modo de ser de 9.
Si no, hemos de aceptar que 9 mismo tiene propiedades
necesarias (ser mayor que 7) y propiedades contingentes
(ser el número de planetas).
Por tanto, no podemos cuantificar desde fuera en contextos
modales. En LM falla generalización existencial.
Si los contextos modales no son
extensionales, tenemos problemas para
hacer semántica
• Los contextos modales no son extensionales,
sino intensionales, i.e., el valor de verdad de
una expresión compuesta (Mp) no queda
totalmente determinado por el valor de
verdad de su proposiciones (Mp compatible
con p = V y con p = F; Lp puede ser F
aunque p = V)
Solución: semántica de mundos posibles
Semántica de mundos posibles
Necesario = verdadero en todo mundo posible
Posible = verdadero en algún mundo posible
(Contingente = verdadero en el mundo actual y falso en
algún mundo posible)
Definimos un modelo:  K, R, m0,  
K: conjunto de mundos posibles
R: relación de acceso entre mundos
m0: mundo actual
: función que va asignando valores {V, F} a cada
fórmula en cada mundo.
Semántica de mundos posibles
Modelo:  K, R, m,  
Así, por recursión:
1. Si  (A, mi) = V y  (B, mi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en
otro caso,  (A  B, mi) = F
Semántica de mundos posibles
Modelo:  K, R, m,  
Así, por recursión:
1. Si  (A, mi) = V y  (B, mi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en
otro caso,  (A  B, mi) = F
2. Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario
Semántica de mundos posibles
Modelo:  K, R, m,  
Así, por recursión:
1. Si  (A, mi) = V y  (B, mi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en
otro caso,  (A  B, mi) = F
2. Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario
3. Si  (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces  (LA,
mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F
Semántica de mundos posibles
Modelo:  K, R, m,  
Así, por recursión:
1. Si  (A, mi) = V y  (B, mi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en
otro caso,  (A  B, mi) = F
2. Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario
3. Si  (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces  (LA,
mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F
4. Si  (A, mj) = V en algún mj tal que miRmj, entonces 
(MA, mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F
Semántica de mundos posibles
Modelo:  K, R, m,  
Así, por recursión:
1. Si  (A, mi) = V y  (B, hi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en otro
caso,  (A  B, mi) = F
2. Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario
3. Si  (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces  (LA,
mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F
4. Si  (A, mj) = V en algún mj tal que miRmj, entonces 
(MA, mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F
Validez: una fórmula es válida en un sistema modal cuando es
verdadera en todo modelo de ese sistema.
Semántica de mundos posibles
Modelo:  K, R, m,  
Así, por recursión:
1. Si  (A, mi) = V y  (B, hi) = V, ent.  (A  B, mi) =V; en otro
caso,  (A  B, mi) = F
2. Si  (A, mi) = V, ent.,  (A, mi) = F; y al contrario
3. Si  (A, mj) = V en todo mj tal que miRmj, entonces  (LA,
mi) = V; en otro caso,  (LA, mi) = F
4. Si  (A, mj) = V en algún mj tal que miRmj, entonces 
(MA, mi) = V; en otro caso,  (MA, mi) = F
Validez: una fórmula es válida en un sistema modal cuando es
verdadera en todo modelo de ese sistema.
Si R es reflexiva, nos movemos en T (LA  A)
Si R es reflexiva y transitiva, en S4 (LA  LLA)
Si R es reflexiva, transitiva y simétrica, en S5 (MA  LMA)
Demostración de que Lp  LLp no es
válida en T
Demostración de que Lp  LLp no es
válida en T
Buscamos un modelo en T en el que Lp sea V,
y LLp sea F:



m0  m1  m2
p=1
p=1
Lp=1
Demostración de que Lp  LLp no es
válida en T
Buscamos un modelo en T en el que Lp sea V,
y LLp sea F:



m0  m1  m2
p=1
p=1
p=0
Lp=1 Lp=0
Demostración de que Lp  LLp no es
válida en T
Buscamos un modelo en T en el que Lp sea V,
y LLp sea F:



m0  m1  m2
p=1
p=1
p=0
Lp=1 Lp=0
LLp=0
Lp  LLp =0
La fórmula Barcan
• Su inversa es teorema en T:
LxPx  xLPx
Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es
necesariamente P
La fórmula Barcan
• Su inversa es teorema en T:
LxPx  xLPx
Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es
necesariamente P
• FB es teorema en S5
xLPx  LxPx
 (FB)
La fórmula Barcan
• Su inversa es teorema en T:
LxPx  xLPx
Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es
necesariamente P
• FB es teorema en S5
xLPx  LxPx
 (FB)
¬LxPx  ¬xLPx
La fórmula Barcan
• Su inversa es teorema en T:
LxPx  xLPx
Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es
necesariamente P
• FB es teorema en S5
xLPx  LxPx
 (FB)
¬LxPx  ¬xLPx
M¬xPx  x¬LPx
La fórmula Barcan
• Su inversa es teorema en T:
LxPx  xLPx
Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es
necesariamente P
• FB es teorema en S5
xLPx  LxPx
 (FB)
¬LxPx  ¬xLPx
M¬xPx  x¬LPx
Mx¬Px  xM¬Px
La fórmula Barcan
• Su inversa es teorema en T:
LxPx  xLPx
Si, necesariamente, todo es P, entonces todo es
necesariamente P
• FB es teorema en S5
xLPx  LxPx
 (FB)
¬LxPx  ¬xLPx
M¬xPx  x¬LPx
Mx¬Px  xM¬Px
MxPx  xMPx
 (FB)
Si es posible que algo es P, entonces algo es
posiblemente P
Propuesta de Kripke: permitimos que los
dominios de los mundos varíen
FB no es válida si el dominio crece
xLPx  LxPx
 (m0) = {a}
 (m1) = {a, b}
 (Pa, m0) = 1
 (Pa, m1) = 1
 (Pb, m1) = 0


m0  m1
Pa=1
Pa=1
Pb=0
Propuesta de Kripke: permitimos que los
dominios de los mundos varíen
FB no es válida si el dominio crece
xLPx  LxPx
 (m0) = {a}
 (m1) = {a, b}
 (Pa, m0) = 1
 (Pa, m1) = 1
 (Pb, m1) = 0


m0  m1
Pa=1
Pa=1
Pb=0
xLPx=1
Propuesta de Kripke: permitimos que los
dominios de los mundos varíen
FB no es válida si el dominio crece
xLPx  LxPx
 (m0) = {a}
 (m1) = {a, b}
 (Pa, m0) = 1
 (Pa, m1) = 1
 (Pb, m1) = 0


m0  m1
Pa=1
Pa=1
Pb=0
xLPx=1 xPx=0
Propuesta de Kripke: permitimos que los
dominios de los mundos varíen
FB no es válida si el dominio crece
xLPx  LxPx
 (m0) = {a}
 (m1) = {a, b}
 (Pa, m0) = 1
 (Pa, m1) = 1
 (Pb, m1) = 0


m0  m1
Pa=1
Pa=1
Pb=0
xLPx=1 xPx=0
LxPx=0
Propuesta de Kripke: permitimos que los
dominios de los mundos varíen
FB no es válida si el dominio crece
xLPx  LxPx
 (m0) = {a}
 (m1) = {a, b}
 (Pa, m0) = 1
 (Pa, m1) = 1
 (Pb, m1) = 0 (?)


m0  m1
Pa=1
Pa=1
Pb=0 (?)
xLPx=1 xPx=0
LxPx=0
Propuesta de Kripke: permitimos que los
dominios de los mundos varíen
Inversa no es válida si el dominio decrece
LxPx  xLPx
 (m0) = {a,b}
 (m1) = {a}
 (Pa, m0) = 1
 (Pb, m0) = 1
 (Pa, m1) = 1


m0  m1
Pa=1
Pa=1
Pb=1
Propuesta de Kripke: permitimos que los
dominios de los mundos varíen
Inversa no es válida si el dominio decrece
LxPx  xLPx
 (m0) = {a,b}
 (m1) = {a}
 (Pa, m0) = 1
 (Pb, m0) = 1
 (Pa, m1) = 1


m0  m1
Pa=1
Pa=1
Pb=1
xPx=1 xPx=1
Propuesta de Kripke: permitimos que los
dominios de los mundos varíen
Inversa no es válida si el dominio decrece
LxPx  xLPx
 (m0) = {a,b}
 (m1) = {a}
 (Pa, m0) = 1
 (Pb, m0) = 1
 (Pa, m1) = 1


m0  m1
Pa=1
Pa=1
Pb=1
xPx=1 xPx=1
LxPx=1
Propuesta de Kripke: permitimos que los
dominios de los mundos varíen
Inversa no es válida si el dominio decrece
LxPx  xLPx
 (m0) = {a,b}
 (m1) = {a}
 (Pa, m0) = 1
 (Pb, m0) = 1
 (Pa, m1) = 1


m0  m1
Pa=1
Pa=1
Pb=1
xPx=1 xPx=1
LxPx=1
xLPx=0