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UNIDAD
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Parámetros estadísticos
Los parámetros estadísticos sirven para sintetizar la información dada por una
tabla o por una gráfica. Los hay de dos tipos: de centralización y de dispersión.
Los parámetros de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se
distribuyen los datos.
La media no es suficiente
Las gráficas de la derecha corresponden a las notas de dos clases. En ambas, la nota media es, aproximadamente, 6. La media es un parámetro
que nos informa sobre el centro alrededor del cual se distribuyen los valores. Pero observa que, aun teniendo
la misma media, estas distribuciones
son muy distintas. Necesitamos otros
parámetros que señalen esas diferencias.
Los parámetros de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los
valores de la distribución.
3.º A
3.º B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Medidas de centralización
■Media
Si llamamos x1, x2, …, xn a los valores que toma una distribución estadística,
la media, o promedio, se designa por x– y se calcula así:
x– =
Notación
El signo ∑ se utiliza
para indicar sumas de
varios sumandos.
∑xi se lee:
“suma de los xi ”
x1 + x2 + … + xn
n
Abreviadamente, x– =
∑xi
n
■Mediana
Si ordenamos los datos de menor a mayor, la mediana, Me, es el valor que
está en medio; es decir, tiene tantos individuos por debajo como por encima.
Si el número de datos fuera par, a la mediana se le asigna el valor medio de los
dos términos centrales.
■Moda
La moda, Mo, es el valor con mayor frecuencia.
Los parámetros media, mediana y moda se llaman medidas de centralización,
porque alrededor de ellos se distribuyen los valores de la distribución.
Actividades
1Nos dan la distribución de notas siguiente:
2, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 9, 10
a)Comprueba, calculándola, que la nota media es x– = 6.
b)Comprueba que la mediana es Me = 5.
c)¿Cuál es la mediana si suprimimos el 10?
d)¿Cuál es la moda?
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Medidas de dispersión
Vamos a estudiar ahora parámetros que sirven para medir cómo de dispersos
están los datos. En todos ellos, la idea clave es medir el grado de separación de
los datos a la media.
■Recorrido o rango
RECORRIDO
VALOR
MÍNIMO
VALOR
MÁXIMO
Es la diferencia entre el dato mayor y el menor. Es decir, es la longitud del
tramo dentro del cual están los datos.
■Desviación media
–
§xi – x §
xi
–
Es el promedio de las distancias de los datos a la media:
§xj – x §
–
x
xj
DM =
–
–
–
–
§x1 – x§ + §x2 – x§ + … + §xn – x§ ∑§xi – x§
=
n
n
■Varianza
Es el promedio de los cuadrados de las distancias de los datos a la media:
¿Por qué la desviación típica?
La varianza tiene un grave inconveniente. Imagina que estamos tratando con una distribución de estaturas
dadas en cm. La media vendría dada
en cm, pero la varianza vendría en
cm2 (es decir, una superficie en lugar
de una longitud). Por eso, extraemos
su raíz cuadrada, obteniendo la desviación típica que, en nuestro ejemplo, sí sería una longitud dada en cm.
Varianza =
–
(x1 – x– )2 + (x2 – x– )2 + … + (xn – x– )2 ∑(xi – x )2
=
n
n
Esta fórmula es equivalente a la siguiente:
Varianza =
x12 + x22 + … + xn2 – 2 ∑xi2 – 2
–x
–x =
n
n
■Desviación típica, q
Es la raíz cuadrada de la varianza: q = √varianza
A partir de ahora prestaremos especial atención a los parámetros media ( x– ) y
desviación típica (q). La información que da cada uno de ellos complementa
a la del otro.
Ejercicio resuelto
Obtener las medidas de dispersión de la siguiente distribución
de notas:
2, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 9, 10
recorrido: 10 – 2 = 8
media: x– = 6
2 – 6§ + §4 – 6§ + §4 – 6§ + … 22
= 2,44
desviación media: DM = §
=
9
9
2
2
2
varianza: Var = (2 – 6) + (4 – 6) + (4 – 6) + … = 64 = 7,11
9
9
2
2
2
2
2
o bien:
Var = 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + … – 62 = 388 – 36 = 7,11
9
9
desviación típica: q = √varianza = √7,11 = 2,67
Actividades
2Halla las medidas de dispersión de esta distribución
de pesos:
126
83, 65, 75, 72, 70, 80, 75, 90, 68, 72
3Halla la varianza de la distribución siguiente:
8, 7, 11, 15, 9, 7, 13, 15
Calcúlala utilizando las dos fórmulas de la varianza.
Comprueba que es mucho más cómoda la segunda.