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Fundamentos Físicos II
Convocatoria extraordinaria Julio 2011
P1.- Una antena emite ondas de radio frecuencia de 108 Hz con una potencia de 5W en un medio caracterizado por una constante dieléctrica 5 y permeabilidad magnética µo. Puede suponerse que está transmitiendo potencia uniformemente en todas las direcciones del espacio.
a) Determine la longitud de onda.
Si a partir de 200 m se puede considerar que las ondas ya son planas,
b) determine el módulo del campo eléctrico a 200 m de la antena,
c) exprese la función de onda del campo eléctrico si está polarizado linealmente según
el eje Y y se propaga a lo largo del eje X,
d) determine el vector de Poynting.
a.- La velocidad de una onda electromagnética es
onda asociada
y la longitud de
.
b.- La intensidad de la onda es
que en r = 200 da
.
La intensidad es el valor medio del vector de Poynting, que para una onda armónica viene dado por,
.
c.- El campo eléctrico viene dado, según condiciones del problema, por
.
d.- Para hallar el vector de Poynting, determinamos primero el campo magnético H. Para ello
usamos la ley de Faraday
, por tanto
.
P2.- Los valores de los elementos de un circuito serie R–L–C son: R  20  , C  2 F y
L  128  H . Si en el instante inicial el condensador tiene una carga Q0,
a) razone qué tipo de oscilación puede asociarse a la carga en el condensador.
b) ¿Qué resistencia habría que colocar en paralelo con la del circuito original para alcanzar el amortiguamiento crítico del circuito?
Si el sistema inicial se conecta a una fuente de tensión V  t   10cos 104  t  V , determine:
c) la carga máxima que puede adquirir el condensador
d) la frecuencia de resonancia en amplitud de carga
e) la potencia media absorbida por el circuito
Notación oscilador amortiguado
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Frecuencia de oscilación:
Notación oscilador forzado
Fuente de tensión aplicada
donde
y
Frecuencia de resonancia en amplitud:
Potencia media absorbida
Con esta notación los resultados que yo obtengo son:
a.- El tipo de oscilación que realiza depende del valor del radicando de
ser amortiguada, crítica o sobreamortiguada. El valor del radicando de
b.- Para lograr el amortiguamiento crítico se requiere que el radicando de
que se infiere
. La oscilación puede
es
sea nulo, de lo
. Para lograr este valor, colocando una resistencia
en paralelo RP con la del circuito, se debe cumplir
.
c.- La carga máxima (amplitud de oscilación) se obtiene por simple sustitución de valores
2
.
d.- Al ser un oscilador sobreamortiguado no va a existir frecuencia de resonancia en amplitud
de carga, es decir el radicando de la expresión de la frecuencia de resonancia será negativo. En
efecto
e.- De los valores calculados anteriormente se deduce que la potencia media absorbida por el
circuito es
200 m
P3.- Dos focos de iguales características, F1 y F2, emiten ondas de frecuencia 12 Hz con un desfase de /6 radianes y que se propagan a una velocidad de 600 m/s. Un detector se encuentra
situado en O según muestra la figura. Se sabe que la potencia con la que emite el foco F1 es 2
veces la que emite F2. La amplitud de la onda generada por F1 es de 15,0 unidades a 800 m.
Determine:
F1
800 m
O
F2
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a) la función de onda que representa a las ondas generadas por los focos F1 y F2 en la posición O, respectivamente
b) la amplitud de la onda que se detecta en O
c) ¿Cuál debería ser la diferencia de fase de emisión entre las fuentes para que el sensor en O
detectase un mínimo de señal? ¿Cuánto vale dicha amplitud mínima?
d) ¿Cuál debería ser la mínima distancia a la que deberían estar separados los focos para que
el detector, sin moverlo de donde está y con las condiciones de emisión iniciales, reciba la
máxima señal? ¿Cuánto vale la intensidad de la señal recibida?
a.- Las funciones de onda toman la forma
donde r es la distancia desde la fuente al punto de observación y A es la amplitud de la onda. En nuestro caso r1 =
800 m y
. La frecuencia angular es
el número de onda es
y
. Las amplitudes son A1 = 15 y A2 se
determina a partir de los datos del ejercicio. Así tenemos
De todo ello se deducen las funciones de onda; si asociamos a la onda del foco 2 la fase inicial
, entonces:
b.- La interferencia entre ellas nos da una amplitud resultante dada por
c.- Para detectar un mínimo debe cumplirse
, de
lo que se deduce haciendo n = 0,
es
por lo que la amplitud resultante
.
d.- Sea d la distancia mínima. La condición de máximo es
mínima distancia distinta de cero se halla con n = 1.
mínima es
. La intensidad total es
intensidad nueva en O debida a F2 es
dejar en función de I1 pues no tenemos datos para saber el valor exacto).
. La
. La distancia
. La
(sólo se puede
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C1.- El interior de un solenoide largo, cuyas espiras están recorridas por una corriente I, se
encuentra lleno de un material de susceptibilidad m = -7×10-6.
a) ¿De qué tipo de material magnético se trata y por qué?
b) Explique cuál es el fenómeno físico involucrado en la imanación en este tipo de materiales
c) Si se va extrayendo el material del solenoide mientras se mantiene constante la corriente I, el campo H en el interior del solenoide ¿aumenta o disminuye? Razone la respuesta.
a.- La susceptibilidad es negativa lo que implica que la permeabilidad relativa es < 1 por lo que
los vectores M y H son de sentidos contrarios y en consecuencia se trata de un material tipo
diamagnético.
b.- Son materiales que en ausencia de campos magnetizantes sus átomos no presentan momentos magnéticos, pero al aplicar un campo magnético los medios responden de modo que
los electrones modifican su trayectoria dando lugar a espiras elementales cuyas corrientes son
tales que se oponen al campo inicial (ley de Lenz) y por tanto generan otro campo magnético
inducido de sentido contrario al original.
c.- El campo H en el interior del solenoide sólo depende de la corriente real por la bobina (que
se deduce de la ley de Ampere) por lo que al extraer el material el campo H no se ve modificado; en consecuencia el campo H permanece invariable.
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C2.- Dos condensadores iguales de placas plano-paralelas circulares, de radio a, separadas una
distancia d, se hallan conectados en paralelo, mediante cables de resistencia despreciable, a
una batería. En uno de ellos, el espacio entre placas se encuentra completamente ocupado por
un dieléctrico de permitividad relativa 4, mientras que en el otro es el vacío. La batería proporciona una tensión que crece lentamente, a razón de 2 mV/s, desde un valor inicial nulo hasta
una tensión final de 10 V. Mientras la tensión suministrada está creciendo, indique, razonando
sus respuestas:
a) en cuál de los dos condensadores es mayor la corriente de desplazamiento
b) cuál es la dirección y sentido del vector de Poynting en los límites del espacio entre las
placas de cada condensador
c) en cuál de los dos condensadores es mayor el módulo del vector de Poynting
d) Responda de nuevo a las cuestiones anteriores para el caso en que ya haya sido alcanzada la tensión final de 10 V.
a.- Los dos condensadores son idénticos de geometría y tan sólo difieren en el dieléctrico y por
tanto en su capacidad. Si llamamos C1 al condensador con dieléctrico y C2 al de vacío se cumple que sus capacidades están relacionadas de la forma
. El campo eléctrico
en un condensador plano es uniforme y su valor es, en consecuencia, la diferencia de potencial
aplicada dividido por la separación entre placas, pero como la separación y la diferencia de
potencial de los dos condensadores son iguales, los campos eléctricos en ambos condensadores son los mismos
.
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La densidad de corriente de desplazamiento
es por tanto uniforme en cada
condensador y como el área de las placas son iguales en el condensador en el que la densidad
de corriente de desplazamiento sea mayor, mayor será la corriente de desplazamiento. Como
los campos eléctricos son iguales entonces a mayor permitividad relativa mayor densidad de
corriente de desplazamiento
.
b.- La variación temporal del vector de Poynting nos dice como varía la densidad de energía en
un volumen dado, en este caso en los volúmenes entre placas de los condensadores. Como a
medida que pasa el tiempo los campos eléctricos aumentan la energía en los condensadores
va aumentando por lo que en la superficie lateral cilíndrica el vector de Poynting debe estar
dirigido en cada punto hacia el eje del condensador (hacia dentro del volumen del espacio
entre placas de los condensadores) ya que su dirección indica donde se va acumulando la
energía.
c.- Como el H en el condensador es proporcional a la corriente de desplazamiento (según se
desprende de la ley de Ampere), el campo H1>H2 (ver el apartado a) y al ser los campos eléctricos iguales entonces del módulo del vector de Poynting
.
d.- Una vez alcanzado el estado estacionario, se anulan las corrientes de desplazamiento y por
tanto se anulan los campos H en los condensadores. Así las intensidades de desplazamiento en
ambos condensadores son iguales (de valor 0) y el vector de Poynting no existe por lo que se
responde a las cuestiones b y c.
C3.- En una cuerda de longitud L = 1m, fija por un extremo (x = 0) y el otro libre (x = L), se generan ondas estacionarias cuya función viene dada por
. La velocidad de propagación de ondas transversales en ella es de 100 m/s. Determine:
a) qué valores deben tomar a y b para que dicha función corresponda al tercer armónico
posible que puede generarse en la cuerda.
b) cuál es la frecuencia del primer armónico, o modo fundamental, de vibración de la
cuerda
c) con qué amplitud oscila un punto de la cuerda que dista /4 del origen de la misma
a.- En el extremo fijo siempre debe corresponder a un nodo de desplazamiento y en el libre un
antinodo; de lo que se deduce que la longitud debe corresponder con un múltiplo impar de
cuartos de longitud de onda
. El
tercer armónico corresponde a n = 2 por lo que la frecuencia de la onda estacionaria de la que
se cita en el problema es
y como el parámetro b que aparece en la ecuación corresponde a la frecuencia angular se tiene
. El parámetro a
es el nº de onda y vale
.
b.- La frecuencia del modo fundamental corresponde a n =0 y es
c.- Vibrando en el tercer armónico
corresponde a un antinodo por lo que la amplitud
de vibración la máxima posible que es A = 2. Esto se puede comprobar sustituyendo en la función de ondas estacionarias,
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C4.- Se tienen dos rendijas de anchuras a1 = 50 m y a2 = 100 m respectivamente. Se analizan,
separadamente, sus diagramas de difracción (de Fraunhofer) sobre una pantalla, midiendo la
intensidad en función del ángulo de observación, cuando se iluminan con una fuente de longitud de onda .
a) Sabiendo que el máximo de intensidad del patrón de difracción de una rendija (que corresponde a   0 , es decir, el centro de la pantalla) es proporcional al cuadrado de su
anchura, determine el cociente I1   / I 2   entre las intensidades de difracción de
ambas rendijas en función del parámetro 1 
2

a1sen  (desfase en el punto de ob-
servación entre el primer y el último punto de la rendija número 1).
b) Determine para qué valor de  1, correspondiente al máximo central más estrecho, dichas intensidades son iguales.
c) Cuando la pantalla está situada a 1m del plano de las rendijas se encuentra que, dentro del máximo central más estrecho, I 2   se hace igual a I1   a una distancia d =
4,22 mm del centro del diagrama de difracción (   0 ). Calcule la longitud de onda del
haz utilizado.
a.- La intensidad de difracción de una rendija es
;
en esta expresión a es la anchura de la rendija y λ es la longitud de onda de la radiación usada.
Sabemos que
y
de lo que se deduce
b.- Las intensidades serán iguales cuando se verifique
ecuación cuyo resultado es
,
.
c.- El ángulo θ para el que se cumple que las intensidades son iguales verifica
por lo que
anterior resulta
,
y de la condición de igualdad de intensidad
.
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