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GEOMETRÍA.
Paulina Salcedo.
Para resolver los problemas de este taller, recordemos los siguientes hechos geométricos, vistos en la sesión con el Dr.
Arturo Ramírez:
* Los triángulos isósceles son aquellos con dos lados iguales. A partir de esta definición, se demuestra que tienen dos
ángulos iguales. (Visto en la clase del Dr. Arturo Ramírez).
* Criterios de CONGRUENCIA de triángulos: LLL, ALA, LAL.
Mencionamos que el criterio AAL también funciona, porque conociendo dos ángulos de un triángulo, podemos calcular
el 3ro; así, este criterio es equivalente a ALA.
Les platiqué que podemos encontrar un contraejemplo, mostrando que LLA NO es un criterio de congruencia, aquí les
va.
Por demostrar:
LLA no es un criterio de congruencia.
Basta construir un contraejemplo, pero ¿cómo?
* Los ángulos internos (o interiores) de un triángulo cualquiera suman 180°.
* Los ángulos exteriores de un triángulo son aquellos comprendidos entre un lado y la prolongación de alguno de otro
lado; en otras palabras, son los ángulos suplementarios a los ángulos interiores.
(Recordar que los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180°)
La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores adyacentes, como se muestra en la figura:
* En una circunferencia, un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco (esto viene
ilustrado y demostrado en las notas de Geometría del Dr. Arturo).
De esto se concluye el siguiente hecho
IMPORTANTE: Cualesquiera dos ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden el mismo arco, miden lo
mismo. Esto se ilustra en la siguiente figura:
El taller también tiene el objetivo de recalcar la importancia de interpretar y redactar correctamente los problemas
geométricos; además, algunas sugerencias y convenciones para facilitar la resolución de un problema.
Sugerencias y convenciones:
- Hacer dibujos grandes, si es posible con regla y compás.
- Los puntos se nombran con letras MAYÚSCULAS ( por ejemplo, vértices de triángulos o cuadrados, intersecciones
de líneas con líneas o circunferencias, intersecciones de circunferencias con circunferencias).
- Los segmentos se nombran con letras minúsculas ( por ejemplo, los lados de un triángulo, cuadrado u otro polígono)
- Los ángulos se nombran con letras del alfabeto griego.
- El orden de nomenclatura de vértices, lados o ángulos en polígonos, es en el sentido contrario a las manecillas del
reloj.
TALLER 2 - GEOMETRÍA
PROBLEMA 1.
Elija el inciso con la solución y justifique. Solamente 1 inciso es correcto.
En la siguiente figura, ¿ cuánto vale la suma de los ángulos a, b, c, d y e ?
(a )240°
(b )180°
(c )270°
(d ) No se puede saber
¡Aguas! no podemos suponer que es una figura regular, ni que los ángulos tienen cierta medida, ni que hay triángulos
isósceles, ni algún otro dato que la figura pueda aparentar darnos; el enunciado del problema no nos da NINGÚN dato
sobre la estrella. La idea es trabajar con lo que tenemos y lo que ya sabemos.
Sugerencia (dada en clase): lo único que se necesita para resolver este problema es usar el teorema de la medida de los
ángulos exteriores, es decir, busque triángulos dentro de la figura que le puedan ayudar; no es necesario trazar líneas
auxiliares.
PROBLEMA 2.
Los triángulos ABC y BCD son isósceles, con AB = CA y DB = BC; además, CD pasa por el centro de la
circunferencia, O y el ángulo BAC mide 30. ¿Cuánto mide el ángulo AEC?
Sugerencia: Utilizar el teorema de la medida de un ángulo exterior y ángulos en la circunferencia.
PROBLEMA 3.
En la siguiente figura, ABC es un triángulo con AB = AC y D un punto sobre CA con BC = BD = DA. Calcule el valor
del ángulo ABD.
Sugerencia: usar lo que sabemos sobre la suma de ángulos en un triángulo y que en un triángulo isósceles siempre hay
dos ángulos iguales.
PROBLEMA 4.
Sea ABCD un cuadrado. Se dibuja un punto P sobre la diagonal AC, tal que se cumple: ángulo ABP = 30. Llamemos Q
al punto de intersección del lado AD con la recta BP. ¿Cuánto mide el ángulo QPD?
Este problema es de congruencias de triángulos.
PROBLEMA 5.
Sea ABC un triángulo cualquiera. Se dibujan triángulos equiláteros ABD y ACE, como en la figura. Demuestra que (sin
importar el triángulo inicial ABC) se cumple que DC = EB.
Recuerda que no tenemos información sobre el triángulo ABC, es decir, bien podría ser escaleno (todos sus lados y
ángulos son diferentes). Dentro de la figura, busca el par de triángulos congruentes adecuados para concluir que DC =
EB. No se necesitan trazos adicionales.
PROBLEMA 6.
Un par de circunferencias, C1 y C2, se cortan en A y B. Una recta arbitraria pasa por ellas, como se muestra en la figura,
intersectando en los puntos C, E, F y D. ¿cuánto suman los ángulos EAF y CBD?
No necesariamente la circunferencia C2 pasa por el centro de C1, esa fue una hipótesis equívoca que anoté a la hora de
la clase. No podemos suponer nada sobre las circunferencias, ni la medida de sus radios. Tampoco sabemos si la recta
pasa por el centro de las circunferencias; es completamente arbitraria.
El trazo del segmento AB es muy útil para llegar a la solución del problema.