Download funciones cuadráticas

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL NAUCALPAN
ÁREA DE MATEMÁTICAS
TURNO MATUTINO
GUIA DE ESTUDIO
PARA MATEMÁTICAS II
PROGRAMA MODIFICADO
y = - x2 + 2
60
90
a
b
; cos  
c
c
a
tan  
b
sen  
130
c
a 2  b2  c2
a
b
ELABORARON: CARRILLO CASTREJÓN ALBERTO
LÓPEZ ESPINOSA MARIA INÉS LUZ
JIMÉNEZ FLORES JUAN CRISTINO
TERRAZAS CASTRO JUAN MANUEL
ZARAGOZA RAMÍREZ JOSÉ GUADALUPE
MARZO 2005
JEFE DE ÁREA: ALBERTO CARRILLO CASTREJÓN
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INTRODUCCIÓN
Esta guía de Matemáticas II, del programa modificado que entró en vigor a
partir de Agosto de 2003, fue realizada por un grupo de profesores del
Área de Matemáticas, para apoyar en la preparación a todos aquellos
alumnos que adeuden esta asignatura y pretendan presentarse a los
exámenes extraordinarios de dicha materia, así como también a los de
cursos ordinarios.
En la guía se inicia con un desglose de los contenidos temáticos de
cada unidad que aparece en el programa de estudios, posteriormente
una serie de referencias bibliográficas, en las cuales se pueden
consultar los temas de la asignatura para complementar los
conocimientos adquiridos en el curso y finalmente se proporciona para
cada una de las cinco unidades, un conjunto de ejercicios y problemas
(en algunos de ellos se da un desarrollo, que muestra como se
resuelven y se llega al resultado)para que el alumno tenga más
elementos que le permitan darle respuesta al ejercicios propuestos,
sea con el apoyo de sus profesores o de sus compañeros.
Vale la pena aclarar que esta guía, le da a los alumnos elementos
básicos para presentar su examen extraordinario cuando en verdad se
prepara adecuadamente para el mismo, ello implica trabajo y
compromiso por parte de los educandos y no solamente de los
profesores que participaron en ella o que dan asesorias para los
exámenes.
Es el presente material una primera versión, la cual se irá mejorando
con las diversas aportaciones y comentarios de los profesores del Área
y alumnos que la utilicen.
Marzo de 2005
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CONTENIDO TEMATICO
CONTENIDO TEMÁTICO
UNIDAD I
FUNCIONES CUADRÁTICAS
 Problemas que den origen a funciones cuadráticas.
 Estudio gráfico y analítico de la función cuadrática: y  ax 2  bx  c
Casos particulares
y  ax 2
y  ax 2  c
y  a  x  h
2
y  a  x  h  k
2
 Transformación de y  ax 2  bx  c , hacia y  a  x  h   k y viceversa.
2





Intersecciones de la gráfica de una función cuadrática con el eje " x ".
Intersección de la gráfica de una función cuadrática con el eje " y ".
Comparación de la función cuadrática con la función lineal.
Concavidad, máximo o mínimo.
Problemas de máximos y mínimos (resolución algebraica).
UNIDAD II
CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
CONTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS
 Segmentos congruentes.
 Ángulos congruentes.
 Mediatriz y determinación del punto medio de un segmento.
 Bisectriz de un ángulo dado.
 Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto:
- Que pertenece a la recta
- Fuera de ella
TRIÁNGULOS.
 Reproducción de un triángulo a partir de condiciones dadas
(LAL, LLL, ALA)
 Desigualdad del triángulo.
 Rectas notables en el triángulo: Mediatriz, Bisectriz, Mediana y Altura.
 Puntos notables de un triángulo:
Circuncentro, Incetro, Baricentro y Ortocentro.
 Reproducción de polígonos por triangulación.
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CONTENIDO TEMATICO
CIRCUNFERENCIA.
 Rectas y segmentos.
 Rectas tangentes a una circunferencia
- Desde un punto sobre ella
- Desde un punto fuera de ella
 Localización del centro de una circunferencia dada.
UNIDAD III: CONGRUENCIA Y SEMEJANZA.
 Congruencia de complementos y suplementos de ángulos congruentes.
 Congruencia de ángulos opuestos por el vértice. Justificación.
 Construcción de la recta paralela a otra por un punto dado.
Postulado de las rectas paralelas.
 Congruencia de ángulos entre recta paralelas cortadas por una secante.
 Ángulos internos y el ángulo externo de un triángulo.
Relación entre el ángulo externo y el ángulo interno. Justificación.
Suma de ángulos interiores de un triángulo. Justificación.
Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono regular.
 Congruencia de triángulos.
Criterios de congruencia de triángulos.
 Justificación de las construcciones de:
Bisectriz de un ángulo
Mediatriz de un segmento
Perpendicular a una recta
 Teorema del triángulo isósceles y su recíproco. Justificación.
 Relación entre el ángulo central e inscrito en una circunferencia.
Justificación.
SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS.
 División de un segmento en n partes iguales. Construcciones.
 Teorema de Tales y su recíproco.
 Criterios de semejanza de triángulos.
 Teorema de la altura de un triángulo rectángulo. Justificación.
 Teorema de Pitágoras y su recíproco. Justificación.
UNIDAD IV: PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES.
 Medida en geometría.
¿Qué es medir longitudes, áreas y volúmenes?
Perímetro de un polígono regular.
Medida aproximada de la longitud de la circunferencia. Obtención empírica
de la fórmula.
Área del rectángulo.
Volumen de un prisma recto.
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CONTENIDO TEMATICO
 Cálculo de áreas por descomposición y recomposición de figuras.
Obtención de la fórmula del área del: Triángulo, Trapecio, Rombo y
Paralelogramo.
Obtención de la fórmula del área de un polígono regular dado la apotema.
 Cálculo aproximado del área del círculo. Obtención empírica de la fórmula.
 Razón entre perímetros y entre áreas de triángulos semejantes.
 Problemas de longitudes y áreas que involucren semejanza, congruencia y
teorema de Pitágoras.
 Problemas que involucren áreas y volúmenes de prismas, cilindros rectos y
conos rectos, donde sea necesario aplicar conocimientos de congruencia:
semejanza y teorema de Pitágoras.
UNIDAD V: ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA.
 Razones Trigonométricas Seno, Coseno y Tangente, para ángulos agudos.
 Valores inversos de las razones seno, coseno y tangentes.
 Solución de triángulos rectángulos:
Conociendo un ángulo y un lado.
Conociendo dos lados.
 Razones seno, coseno y tangente de los ángulos de 30, 45 y 60.
 Las razones recíprocas del seno, coseno y tangente.
 Resolución de problemas.
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
Problemas de aplicación
 Identidades trigonométricas fundamentales
Las recíprocas
Las de división
Las pitagóricas.
 Resolución de triángulos oblicuángulos.
Ley de los senos y de los cósenos
Problemas donde intervienen triángulos oblicuángulos.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS.
FLEMING, Walter y VARBERG, Dale. Álgebra y trigonometría con
Geometría Analítica. Prentice Hall, México, 1991.
GOBRAN, Alfonse. Álgebra elemental. Iberoamericana, México, 1990.
LARSON, Ronald y HOSTETLER, Robert. Álgebra. Cultural, México. 1996
MILLER, Charles et. al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones.
Addison Wesley Logman, México, 1999.
SMITH, Stanley A., et. al. Álgebra trigonometría y Geometría Analítica.
Addison-Wesley Longman, México, l998.
GEOMETRÍA.
CLEMENS, Stanley A., et. al. Geometría con Aplicaciones y Solución de
Problemas. Adison Wesley, México, 1989.
FILLOY, Eugenio y ZUBIETA, Gonzalo. Geometría. Grupo Editorial
Iberoamericana, México, 2001.
Fleming, Walter y VARBERG, Dale. Álgebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. Prentice Hall, México, 1991.
GARCIA, Jesús y BERTRÁN, Celesti. Geometría y Experiencias. Recursos.
Didácticos Alambra. Addison-Wesley Longman, México, 1998.
GARCÍA Marco y LÓPEZ Gonzalo, Geometría y Trigonometría.
Editorial Esfinge, 2003.
MILLER, Charles et. al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Addison
Wesley Logman, México, 1999.
ORTIZ, CAMPOS. Geometría y Trigonometría. Publicaciones Cultural, 2003
TRIGONOMETRÍA.
FLEMING, Walter y VARBERG, Dale. Álgebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. Prentice Hall, México, 1991.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
FLORES, Homero y Victoria, Susana, Introducción a la Geometría con el
Geométra. Iberoamericana, México, 2001.
MILLER, Charles et. al. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Addison
Wesley Longman, México, 1999.
RIVAUD, Juan José. Trigonometría. Ed. Limusa, México, 1992.
SMITH, Stanley A., et. al. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica.
Addison-Wesley Longman, México, 1998.
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
EJERCICIOS DE LA UNIDAD I
FUNCIONES CUADRÁTICAS
En los siguientes cinco ejercicios, exprese lo que se pide mediante una función
cuadrática.
1.- La suma de dos números es igual a 87 , exprese su producto en función de
alguno de estos números.
2.- El producto de dos números es igual a 156 , exprese su suma en función de uno
de estos números.
3.- Se tienen 100 m de malla y se quiere cercar un terreno rectangular, exprese el
área del terreno en función de su ancho  y  o su largo  x  .
y
x
Respuesta: El perímetro del terreno será igual a
cercarlo, esto significa que, 2 x  2 y  100 .
100 , ya que se tiene esta cantidad de malla para
Además el área del terreno rectangular que expresada como: A  xy
Si despejamos a " y " de la primera ecuación
tenemos que
 y  50  x 
y sustituimos en la ecuación para el área
A  x  50  x   50x  x2 .
Por lo tanto, el área puede quedar expresada en términos de
" x " como: A   x 2  50 x
4.- La función para la demanda de un producto que fabrica una empresa esta dada
por y  1200  3 x , donde y es el precio (en dólares ) por unidad, cuando se tiene una
demanda semanal de " x " unidades. Escriba el ingreso semanal total, en términos de
" x".
5.- Para construir seis jaulas de un zoológico se necesitan 1000 m de enrejado. El
diseño se muestra en la figura.
Exprese el ancho " y " como función de la longitud " x " .
Exprese el área total " A " limitada por el enrejado como función de " x "
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
GRAFICACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
6.- Dibuje la gráfica de cada función cuadrática.
a) y  x 2
f) y   x 2
b) y  2 x 2
g) y  2 x 2
c) y  3 x 2
h) y  3 x 2
d) y  0.5 x 2
i) y  0.5 x 2
e) y  0.25 x 2
j) y  0.25 x 2
7.- Dibuje la gráfica de cada función cuadrática, escriba las coordenadas del vértice
e indique si es un máximo ó un mínimo.
a) y  x 2  3
b) y  x 2  2
c) y   x 2  1
d) y   x 2  2
e) y  2 x 2  1
Respuesta al inciso d): Vértice V ( 0 , – 2 ) ; es un máximo, su gráfica aparece en la figura.
Gráfica de y = -x2- 2
8.- Dibuje la gráfica de cada función cuadrática y escriba la ecuación del eje de
simetría.
2
a) y   x  3
b) y   x  3
2
c) y    x  3
2
d) y    x  3
Respuesta del inciso b): Ecuación del eje de simetría
9
2
x  3 ; su gráfica aparece en la figura.
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
9.- Obtenga las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y dibuje la
gráfica de cada función cuadrática.
a) y  ( x  3) 2  1
b) y  ( x  3) 2  2
c) y  ( x  3) 2  1
d) y  ( x  3) 2  2
e) y  ( x  3) 2  1
f) y  ( x  3) 2  2
g) y  ( x  3) 2  1
h) y  ( x  3) 2  2
Respuesta al inciso d): Vértice
V  3, 2 ; eje de simetría x  3 ; Su gráfica aparece en la figura.
10.- Para cada función cuadrática que se da a continuación, obtenga:
1) Su forma estándar.
2) Las coordenadas del vértice.
3) La ecuación del eje de simetría.
4) Las intersecciones con los ejes.
5) Su valor máximo ó mínimo.
6) Su gráfica.
a) y  x 2  6 x  5
b) y  x 2  8 x  7
c) y  x 2  8 x  12
d) y  x 2  6 x  7
e) y   x 2  6 x  5
f) y   x 2  8 x  7
g) y  2 x 2  12 x  10
h) y  2 x 2  4 x  6
i) y  3 x 2  24 x  42
j) y  x 2  6 x
k) y  2 x 2  4 x  3
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
Respuesta al Inciso c)
1)
y  x 2  8 x  12
y  1 x 2  8 x   12 ; factorizamos el número 1 de los términos cuadrático y lineal.
y  1 x 2  8 x  42  42   12 ; completamos un trinomio cuadrado perfecto (T. C. P. )
y  1 x  4   16  12 ; expresamos el T. C. P. como un binomio al cuadrado.
2
y  1 x  4   4 ; ésta es la forma estándar de la función cuadrática.
2
2) Vértice
V  h, k    4, 4
3) La ecuación del eje de simetría es
x4
4) Las intersecciones con los ejes coordenados se obtienen al darle el valor de cero a la variable
" x " , por un lado, y por el otro a la variable " y " . Como se muestra a continuación.
x  0 , tenemos que al sustituir en la función cuadrática, nos queda, y  12 .
 0,12 
Esto nos indica que el punto de intersección con el eje " y " es  0,12
Si
0  1 x  42  4,
2
Si y  0 , entonces al sustituir en la forma estándar tenemos 0  1 x  4   4 , resolviéndola
4   x  4 ;
2
4   x  4  ; sacamos
2  x  4, raíz cuadrada
2
 2  4  x. a " x "
2  x  4 ; despejamos
Los valores de " x " son: x  2 ; x  x6  2 ; x  6
Esto nos indica que los puntos de intersección con el eje " x " son  2,0  ,  6,0 
5) Su valor mínimo es -4 y su punto mínimo es
 4, 4
6) Su grafica aparece en la siguiente figura:
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
Respuesta al inciso g)
1)
y  2 x  12 x  10
2
y  2  x 2  6 x   10 ; factorizamos de los términos cuadrático y lineal el 2.
y  2  x 2  6 x  32  32   10 ; completamos un T. C. P.
y  2  x  3  18  10
2
y  2  x  3  8 Esta es la forma estándar de la función cuadrática.
2
2) Las coordenadas del vértice son: V
 3, 8 .
3) la ecuación del eje de simetría es x  3 .
4) Las intersecciones con los ejes coordenados.
x  0 , entonces, y  10 , es decir el punto de intersección con el eje " y " es  0,10
Si y  0 , entonces,
Si
0  2  x  3  8
2
8  2  x  3
4   x  3
2
2
2  x  3
Luego de aquí se tiene que
1,0 y 5,0 .
x  1 ; x  5 , es decir los puntos de intersección con el eje " x " son:
5) Su valor mínimo es 8 .
6) La gráfica aparece en la siguiente figura:
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
11.- A partir de la gráfica, obtenga la forma estándar de la función cuadrática.
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UNIDAD I
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
Respuesta al inciso 5)
La función cuadrática en su forma estándar es y  a  x  h   k , aquí el objetivo es hallar los
2
valores de los parámetros
Como el vértice es
" a " , " h " y " k " . Usando la información de la figura.
V 1,0  , entonces, al sustituir en la forma estándar se tiene y  a  x  1  0 .
2
Solo falta obtener el valor de
parábola, es decir,
" a " , para ello usamos el hecho de que el punto  0, 1 esta en la
x  0 ; y  1 . Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos 1  a  0  1 .
Despejando el parámetro
2
" a " : 1  a
Por lo tanto, la forma estándar queda como:
y  - 1 ( x - 1)2
Respuesta al inciso 15)
V  1, 3 , luego y  a  x  1  3 , usamos el punto  0, 1 para hallar el valor del
parámetro " a " . Sustituyendo x  0 , y  1 ;
El vértice es
2
1  a  0  1  3
2
1  a  3
1  3  a
2a
Por lo tanto, la forma estándar es
y  2 ( x  1) 2 - 3
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
(PLANTEE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA)
12.- Hallar el producto mínimo de dos números cuya diferencia sea igual a seis,
¿Cuáles son estos números?
13.- Hallar el producto máximo de dos números cuya suma sea igual a catorce,
¿Cuáles son estos números?
14.- Un granjero esta cercando una superficie rectangular con perímetro fijo de 76m
¿Cuáles son las dimensiones que le darían el área máxima?, ¿Cuál es el área
máxima que puede cercar?
15.- La función para la demanda de un artículo que fabrica una empresa esta dada
por y  1200  3x donde " y " es el precio (en pesos) por artículo, cuando se tiene una
demanda semanal de " x " artículos. Calcule el nivel de producción que maximiza el
ingreso semanal del fabricante y determine el ingreso máximo. (Recuerde que el
ingreso es el producto de la demanda con el número de artículos producidos).
RESOLVER CADA PROBLEMA
(PUEDE HACER USO DE LAS FÓRMULAS PARA h y k )
b
b 2 4ac  b 2
Las fórmulas son: h 
; k c

2a
4a
4a
16.- Una empresa comercializadora estima que en " x " meses después de la
introducción de un producto nuevo, " y " millares de hogares lo estarán utilizando, en
donde,
y  109 x 12  x 
Calcular el número máximo de casas en las que se empleará dicho producto.
17.- Algunos biólogos estudiaron los efectos nutricionales en ratas que se
alimentaron con una dieta que contenía 10% de proteínas. El grupo de
investigadores estimó que el aumento promedio en peso (gramos) de un animal
durante cierto período de tiempo " x " horas, fue " y " , en donde
y   501 x 2  2 x  20
Halle el aumento máximo de peso promedio y en el número de horas que deben
transcurrir.
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
Respuesta al inciso 17): Como piden el aumento máximo promedio solo debemos recurrir a la
fórmula para y  k , es decir
yk 
1
4  50
  20    2 
4
1
50

2

4
80
50
4
50

280
 70
4
Para obtener la cantidad de horas que deben transcurrir, usamos la fórmula para
h
2
2
1
50


100
 50
2
" h " , es decir,
Por lo tanto, el aumento máximo promedio es de 70 gramos, en 50 horas.
18.- La altura " y " de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo
está dada por la función cuadrática:
y  4.9 x 2  58.8x
en donde " y " está en metros, " x " es el tiempo transcurrido en segundos.
¿A los cuántos segundos alcanza la pelota la altura máxima? ¿Cuál es dicha altura?
19.- Un jugador de balompié realiza un despeje desde su área, la trayectoria del
balón se describe con la función cuadrática y   160 x  2 x
a) Obtenga la altura máxima que alcanza el balón.
b) Calcule la distancia que recorre el balón desde que se despeja hasta que toca
otra vez el campo.
3
2
3
20.- Un fabricante tiene un negocio de elaboración de pequeñas réplicas de la
estatua de la libertad. Determina que el costo diario en pesos, para producir " x "
estatuas está expresado por la función y  x 2  120 x  4200 ¿Cuántas estatuas debe
producir para tener costos mínimos diarios? ¿Cuál es el costo diario mínimo?
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FUNCIONES CUADRATICAS
UNIDAD I
21.- La ganancia diaria P ,de una empresa, está dada por medio de una función
cuadrática P  2 x 2  120 x  800 , siendo " x " el número de artículos cada día.
Encuentre el valor de " x " , para el cuál la ganancia diaria es máxima.
22.- El peso de un tramo de puente colgante está distribuido uniformemente entre
dos torres gemelas colocadas a una distancia de 120m. una de la otra y su altura de
cada una de ellas es de 27m. (ver figura). El cable que pende entre los extremos de
las dos torres tiene forma de parábola y su punto central más bajo está a una altura
de 3m. sobre el camino.
a) Obtenga la ecuación de la parábola.
b) Para soportar el puente se usan 9 cables verticales igualmente espaciados,
obtener la longitud total de estos cables.
120m
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CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
UNIDAD II
EJERCICIOS DE LA UNIDAD II
CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
Construcciones con regla y compás.
En las siguientes actividades realiza lo que se te pide y en la tabla adjunta escribe
paso a paso lo que vas efectuando. (Nota: pueden ser menos de diez pasos)
1)
Construye un segmento perpendicular al Pasos
segmento dado que pase por el punto 1
medio.
DESCRIPCIÓN
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2)
Construye un segmento perpendicular al Pasos DESCRIPCIÓN
segmento dado que no pase por el punto 1
medio.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
19
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CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
UNIDAD II
3)
Construye un segmento perpendicular al Pasos DESCRIPCIÓN
segmento dado que pase por uno de sus 1
extremos.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4)
Construye la bisectriz del ángulo dado.
Pasos
DESCRIPCIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5)
Construye una recta perpendicular al Pasos DESCRIPCIÓN
segmento dado que pase por el punto que 1
se indica.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
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CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
UNIDAD II
6)
Construye un triángulo congruente
triángulo bajo las condiciones dadas.
LAL
al
Pasos DESCRIPCIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7)
Construye un triángulo congruente
triángulo bajo las condiciones dadas.
ALA
al
Pasos DESCRIPCIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8)
Construye un triángulo congruente
triángulo bajo las condiciones dadas.
LLL
al
Pasos DESCRIPCIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
21
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CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
UNIDAD II
9)
Construye con regla y compás el Circuncentro Pasos DESCRIPCIÓN
del triángulo dado.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10)
Construye con regla y compás el Incentro del Pasos DESCRIPCIÓN
triángulo dado.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
22
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UNIDAD II
11)
Construye con regla y compás el Baricentro Pasos DESCRIPCIÓN
del triángulo dado.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12)
Construye con regla y compás el ortocentro
del triangulo dado
Pasos
DESCRIPCIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
23
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UNIDAD II
13) Escribe dentro del paréntesis la letra que corresponde
B
A
 
 
 
 
 
 
 
Radio
Porción de circunferencia comprendida
entre
Dos puntos.
D
F
Cuerda mayor de un círculo.
Superficie plana
circunferencia.
limitada
por
Ángulo
inscrito
una
Segmento
Circular
Circunferencia
H
Ángulo cuyo vértice es el centro del
círculo.
I
G
Ángulo cuyos lados son dos cuerdas y
cuyo vértice está en un punto de la
circunferencia.
Ángulo
circunscrito
Recta perpendicular al radio en el punto
de contacto con la circunferencia.
Circulo
KK
Tangente
L
Equivale a la mitad del diámetro.
Segmento de recta que une dos puntos de
la circunferencia.
Porción del radio comprendido entre una
cuerda a la que es perpendicular, y la
circunferencia.
 
Porción del plano comprendida entre dos
circunferencias concéntricas.
 
Porción del plano limitada por un arco y
por dos radios de una circunferencia.
 
Porción del plano limitada por un arco y
por una cuerda que subtiende dicho arco.
 
Es un ángulo cuyo vértice es un punto de
la circunferencia; además, uno de sus
lados es una cuerda, y el otro, tangente a
la misma.
 
Es un ángulo cuyos lados son secantes de
una circunferencia y cuyo vértice es
exterior a esta última.
 
Diámetro
Curva cerrada equidistante de un punto
Llamado centro.
 
 
Arco
E
J
 
 
C
Cuerda
Flecha
Sector Circular
M
N
Angulo
central
Circunferencias
secantes
O
Ñ
P
Angulo
semi-inscrito
Q
Corona
Circunferencias
concéntricas
R
Circunferencias
tangentes interiores
S
Es un ángulo cuyos lados y cuyo vértice
están dentro del círculo.
Es un ángulo cuyos lados son tangentes a
una circunferencia.
Circunferencias exteriores
Angulo exterior
T
U
Circunferencias
tangentes exteriores
24
V
Circunferencias
interiores excéntricas
Ángulo
interior
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UNIDAD II
14) En las siguientes ternas de números, decida justificando su respuesta cuales de
ellas representan las medidas de un triángulo.
Se debe utilizar la desigualdad de triángulo, en la cual se afirma que en todo
triángulo se cumple que la suma de las medidas de cualquier par de lados, es mayor
que el tercero.
ab  c
ac b
b
a
bc  a
c
a)2,3, 4 ; b)5,5,9 ; c)4,5,10 ; d )9, 4, 5 ;
f )3,3,3 ;
g )1, 2,3 ; h)7,9, 6 ;
e)3,4,5
i)25, 24, 23 ; j )5,8, 2
15)
Escribe la definición de
1) Ángulos adyacentes:____________________________________________
2) Ángulos complementarios:________________________________________
3) Ángulos suplementarios:_________________________________________
4) Ángulo llano:___________________________________________________
5) Ángulos opuesto por su vértice:____________________________________
16)
Plantea y resuelve cada uno de los siguientes ejercicios.
1) Obtener dos ángulos complementarios cuya diferencia sea igual a 15.
2) Hallar dos ángulos complementarios cuya diferencia sea igual a 23.
3) Encontrar tres ángulos suplementarios, de manera que el primero de ellos
sea el doble del segundo y el triple del tercero.
4) Las medidas de dos ángulos complementarios son 3x 10 y
2x  10 respectivamente, ¿Cuál es el valor de cada ángulo?.
5) Dos ángulos suplementarios miden 2x 15 y x  30 . Encontrar el valor de
cada ángulo.
6) Si dos ángulos son opuestos por su vértice y suplementarios, ¿Cuánto miden
los ángulos?
7) Tres ángulos suplementarios miden x  5 , 2 x  15 y 3x  20 , Obtenga la
medida de cada ángulo.
Respuesta al inciso 7)
Como los ángulos son suplementarios la suma de ellos es igual a
180 , es decir
x  5  2 x  15  3x  20  180
6 x  180
x  30
Por lo tanto, los ángulos miden 35º ; 75º y 70º.
25
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UNIDAD II
17)
De acuerdo a la figura Sabemos que, l ll m.
Obtenga lo que se pide en cada inciso.
1) 5  7 x  11 y
2  8x  4 Encontrar el valor de " x "
Respuesta al inciso 1)
Como los ángulos son alternos internos, se tiene que,
Resolviendo la ecuación:
2)
7  3x  5 y
7 x 11  8x  4
11  4  8 x  7 x
7  x
Por tanto: x  7
4  5x 15 ; Encontrar el valor de x
l
3)
3  3x  40 y
6  5x ; Encontrar el valor de x .
26
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4)
3  10x y
5)
2  3x  40 y
UNIDAD II
4  5x  30 ; encontrar el valor de x
6  7x ; Encontrar el valor de " x " .
6) Encontrar el valor de " x " y de " z " .
Respuesta al inciso 6)
Como se tienen dos ángulos correspondientes, se puede decir que, 2x  z  10
Además se tienen dos ángulos alternos internos, luego tenemos, 2x  3x  20
Ahora resolvemos este sistema de ecuaciones. De la segunda ecuación x  20 y al sustituir en la
primera ecuación tenemos que 40  z  10 , es decir, 30  z .
Por lo tanto, los valores pedidos son: x  20 ; z  30 .
7) Considerando que: AB ll CD y CF  AB, hallar el valor de " x " y " z " .
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CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
8) Dados
ángulos.
1  6n  2 ,
2  2n  7 y
UNIDAD II
3  5n  3 . Obtener las medidas de los
Respuesta al inciso 8)
Como la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a
ecuación: 6n  2  2n  7  5n  3  180
180 se desprende la siguiente
13n  180  2  7  3
13n  182
n  14
Por lo tanto las medidas de los ángulos son:
1  6 14  2  86 ;
2  2 14  7  21 ;
3  5 14  3  73
12) Hallar la medida de los ángulos que aparecen en cada figura
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
EJERCICIOS DE LA UNIDAD III
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
1) En las siguientes figuras aparecen dos triángulos que son congruentes,
escriba el criterio de congruencia que lo justifica.
2) Hallar el valor de " x " y " z " , en cada par de triángulos congruentes.
Respuesta: Como los triángulos son congruentes, los lados respectivos tienen medidas iguales,
es decir, x  12  14 , luego x  14 12  2 . Además z  8  10 , luego z  10  8  18 .
Por tanto, los valores pedidos son: x  2 y z  18
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
3) Hallar el valor de x y z , si el segmento AB es paralelo al segmento CD.
4) Realice lo que se pide.
Demuestre que c  d , si a  b
Demuestre que b  d  180 , si a  b .
Demostración: Supóngase que a  b . Se tiene que c  b  180 por suplementarios.
d  a  180 por suplementarios. De lo anterior se tiene que c  b  d  a  180 es decir,
c  a  d  a , ya que a  b . Luego c  d . Con lo cual queda demostrado.
5) En las figuras anteriores del ejercicio 4).
Considere que: a  2x 10 y c  x  20 .
Determine lo que miden los ángulos a y
c.
6)
Considere a  b y c  110 . Determine la
medida de todos los ángulos interiores
del triángulo.
Considere que: a=2x-10° y c  x  20 .
Determine lo que miden los ángulos a y
c.
Considere a  33 y c  133
Determine la medida de todos los
ángulos interiores del triángulo.
7) Obtener la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos regulares
de acuerdo al número de lados.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
n  5 lados
n  6 lados
n  7 lados
n  8 lados
n  9 lados
n  10 lados
n  37 lados
30
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
Respuesta al inciso c) La suma de los ángulos interiores de un polígono con
por la expresión
S   n  2180 .
Luego cuando se tiene un polígono de
n – lados está dada
n  7 lados, la suma de sus ángulos interiores es
S   7  2 180
S   5 180
S  90
Por lo tanto, la suma de los ángulos interiores de un polígono de
7 lados, es igual a 900º.
8) Calcular el número de lados de cada polígono regular cuyo ángulo interior mide:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
120º
135º
144º
150º
160º
178.2°
Respuesta al inciso c) La medida de un ángulo interior para polígonos regulares está dada por:
Medida del ángulo 
 n  2 180 ,donde
n
" n " es el número de lados del polígono
Luego como sabemos que el ángulo interior mide 144 entonces:
 n  2 180  144
n
180n  360  144n
despejamos a n:
180n  144n  360
36n  360
n
360
 10
36
Por los tanto, cuando el ángulo interior mide 144°, el polígono tiene 10 lados.
9) Obtenga para cada polígono regular la medida de su ángulo exterior.
10) En los siguientes polígonos regulares determine la medida del ángulo DHE
31
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
Respuesta a la primera figura, el triangulo DHE es isósceles y el ángulo DEH
 5  2 180   3180  540  108
mide 108°, ya que,
5
5
5
2 x  108  180
Luego entonces,
2 x  180  108
2 x  72
x  36
Por lo tanto, la medida del ángulo DHE es de 36°
11) Obtener la suma de los ángulos exteriores de cada polígono regular de:
a) n  10 lados
b) n  5 lados
c) n  7 lados
12) Demuestra que  ABC inscrito en una semicircunferencia es un triángulo
rectángulo.
13) Demuestre que la medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco
comprendido entre sus lados (ver figura).
Demostrar que AOB  12 ACB
14) Hacer las siguientes conversiones. De notación decimal a Grados Minutos
Segundos
a) (23.24°)
b) (98.125)°
c) (123.5015)°
d) (221.155)°
32
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
 23.24  = 2314'24" ; recuerde que 1  60' y que 1'  60" .
Ya que,  0.24    0.24 60'  14.4  '  14'  0.4  ' .
 0.4 '   0.4 60''  24''
Respuesta al inciso a)
De notación Grados Minutos Segundos a notación decimal.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
13° 15’ 30’’
46° 45’ 20’’
124° 40’ 35’’
156° 55’ 15’’
245° 34’ 05’’
67° 15’
Respuesta al inciso d)
156 55' 15"  156.92417   , ya que:
 55 
55'    '   0.92  
 60 
 15 
15"  
 "   0.00417   ; luego 55' 15"   0.92417  
 3600 
De grados a radianes y viceversa según el caso. (Recuerda que  radianes=180° y

que 1 
radianes)
180
Grados Radianes
45°
75°
2
3
150°
5
4
280°
7
3
10
3
500°
14) Encuentre el valor positivo de x en cada proporción dada.
i) x : 5  20 : x
ii) 2x : x  7  3:5
15) Los triángulos que aparecen en las figuras respectivas son semejantes, obtenga
el valor de x e y
33
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
Respuesta: Para el primer caso, como los triángulos son semejantes sus lados respectivos son
proporcionales.
Luego entonces,
y+3 y  3  1512
4
10
y3 6
y3
15
Por lo tanto, y  3 ;
x  2 10
 x-2
12
15
x28
4
10
x  10
x  10
16) Para calcular el ancho de un cerro se realizan una serie de mediciones como se
muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ancho del cerro?
17) Obtener la altura del árbol de acuerdo a la figura.
18) Para medir el ancho de una barranca se realizan las mediciones (metros) que se
muestran en la figura, determine el ancho en la posición señalada.
19) Aplique el teorema de Pitágoras para resolver los siguientes ejercicios.
34
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
En cada figura obtenga el valor que falta.
En cada figura encuentra el valor de x y determina la medida de los lados faltantes.
Respuesta a la primera figura: x 2  y 2  100 ; usando el teorema de Pitágoras.
2 x 2  100
x 2  50
x   50
El valor correcto es x  50
Por lo tanto, el valor correcto es x  50 ya que se están manejando longitudes y
no tiene sentido el valor negativo para estos casos.
20) Una torre se encuentra sujeta por 4 cables, si la torre mide 30m. de alto y la
distancia de la base de dicha torre a donde está sujeto cada cable mide 10m .
Encuentre la longitud total de los cables.
21) Obtenga la altura de cada triángulo Isósceles, el Perímetro, el Área y compare
los perímetros de los tres triángulos mediante cocientes. De igual manera sus Áreas.
Anote sus comentarios y observaciones.
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CONGRUENCIA Y SEMEJANZA
UNIDAD III
36
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
UNIDAD IV
PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
1)
Se tiene un triángulo equilátero cuya altura mide 8cm . Obtener su perímetro y
su área correspondiente.
Respuesta
Por el Teorema de Pitágoras.
x
x
8
x/2
x2
 64  x 2
4
x2
64  x 2 
4
3x 2
64 
4
256
 x2
3
; sacando raiz cuadrada;
Luego, el área del triángulo es
2)
A
 9.24 8  36.95cm2
x  9.24
2
Hallar el área del triángulo equilátero cuyos lados miden 10cm .
3)
En la figura las rectas “l” y “m” son paralelas, anote la afirmación que sea
verdadera.
D
a) El área del triángulo ABC es mayor que el área del triángulo ABD (
b) El área del triángulo ABC es igual que el áreal del triángulo ABD (
c) El área del triángulo ABC es menor que el área del triángulo ABD (
)
)
)
4)
Obtenga el área del triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 15cm . y su
lado desigual mide 6cm .
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
5)
UNIDAD IV
Determine el perímetro y el área del siguiente triángulo rectángulo.
6)
En cada una de las regiones sombreadas el cuadrado mide 12 cm. Obtenga
el área respectiva.
Respuesta al inciso 9)
Asombreada  Ac .grande  Ac .pequeño  2Acir .pequeño
Asom.  122  62  2 (3)2  144  36  18  108  18  51.45 cm2
Por lo tan to, Asom.  51.45 cm 2
7)
El símbolo internacional del acero se representa con tres “estrellas” como la
que se muestra en la figura. Obtenga el perímetro y el área de la estrella,
considerando que el cuadrado mide 20 cm.
38
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
8)
UNIDAD IV
Calcule en la pirámide de la siguiente figura:
a) El perímetro de la cara 1
b) El área de la cara 1
c) El perímetro de la cara 2
d) El área de la cara 2
e) El volumen de la pirámide
9)
Obtener el área total y el volumen de la siguiente pirámide sabiendo que las
cuatro aristas laterales miden 12 cm.
Respuesta: Se tienen que obtener las alturas de las caras laterales , para obtener el área total.
h1  122  52  144  25  119
h2  122  32  144  9  135
Así el área total es AT = AB + 2A L1 + 2AL2
AT  60 
2(10) 119 2(6) 135

 60  10 119  6 135  238.8 cm 2
2
2
Luego el área total es aprox. igual a 238.8 cm
2
Para el volumen se requiere la altura de la pirámide.
h

135

2
 52  135  25
h  110
Luego V  31 (60)( 110)  209.76 cm3
10) Una cisterna tiene forma de prisma recto de base cuadrada. Sus dimensiones
interiores son de 3 m x 3 m x 5 m.
a) ¿Cuál es la capacidad de esta cisterna?
b) Se desea pintar la base inferior y las caras laterales de la cisterna, ¿Cuántos
metros cuadrados se pintarán?
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
11) Un tanque en forma de cilindro circular recto está colocado sobre el piso
horizontal. Si la altura del cilindro es de 9 m y su diámetro de 3 m. ¿Cuántos m 3 de
liquido contendrá?, si el liquido solo tiene una profundidad de 1.5 m ¿cuántos m 3
tendrá el tanque?
12) Hallar el Área lateral y volumen del cono circular recto, si su radio mide 4 cm. y
su generatriz mide 15 cm.
13) Una bodega tiene forma de un Paralelepípedo ( Prisma rectangular recto ), con
dimensiones de 10 m de largo, 8 m de ancho y 5 m de altura.
¿Cuál es el volumen o capacidad de dicha bodega?
Si se quieren almacenar cajas de medio metro de largo, por medio metro de ancho y
un cuarto de metro ( 0. 25 m ) de alto, ¿Cuántas cajas cabrán en la bodega?
14) En el ejercicio anterior supóngase que las dimensiones de las cajas son de un
cuarto de metro de largo, por un cuarto de metro de ancho y por un cuarto de metro
de alto. ¿Cuántas cajas cabrán en la bodega?.
15) La base de un prisma recto es un hexágono, cuyos lados miden 2 cm. Si la
altura del prisma es de 10 cm.
a)
b)
c)
d)
Obtenga el área de la base
El área de una cara lateral
El área total del prisma
El volumen de dicho prisma.
40
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
Respuesta al ejercicio 15)
a) El área de la base es p x a donde a es la apotema del hexágono
2
El perímetro es 12 cm. La apotema se obtiene usando el teorema de Pitágoras, de
acuerdo a la figura
a  22  12  4  1  3
Luego, Abase 
12 3
 6 3  10.39 cm2
2
b) Área de una cara lateral; Al  2 10   20cm2
c) Área total AT  2Ab  6 Al  12 3  6  20   120  12 3  140.785 cm2


d) Volumen del prisma ; Vprisma  Ab  h  6 3 10   60 3  103.923 cm3
16) En la siguiente tabla aparecen algunos valores de un cilindro circular recto.
Complete la tabla justificando su respuesta.
Radio (m )
Altura ( m )
r=4
h = 10
Área de la
base ( m2 )
Área total
( m2 )
Volumen
( m3 )
80
r=5
900
h=9
h = 16
49
1200
r = 10
170
r=5
36
288
96
r = 12
41
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
Respuesta al tercer renglón:
Ya que:
Como el volumen de un cilindro circular recto esta dado por
Vcilindro   r 2h ;  r 2 (9)  900
luego r 2 
Asi
900
 100, de lo anterior se tiene que r  10 , es decir , el radio de la base es igual a 10 m.
9
Abase   r 2
;
Abase   (10)2  100
Atotal  2 r 2  Alateral
Atotal  2 (10)2  2 (10)(9)  200  180  380
17) En la siguiente tabla aparecen algunos valores de un cono circular recto.
Complete la tabla justificando su respuesta.
Radio ( m )
Altura ( m )
Generatriz (m )
r=3
h=4
h=8
h = 10
g = 10
Área de la
base ( m2 )
144
g = 15
r = 12
Área lateral(m2) Volumen ( m3 )
120
240
r = 15
675
Respuesta al primer renglón:
Ya que la generatriz es g  h2  r 2
; g  42  33  25  5
El área de la base es Ab   (3)2  9
El área lateral es Al   rg
;
Al   (3)(5)  15
El volumen del cono es Vcono   r 2h
1
3
; Vcono  31  (3)2 (4)  12
18) Calcular el volumen de cada uno de los siguientes cuerpos.
42
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PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES
UNIDAD IV
19) Se ha construido una pirámide de base cuadrada cuya altura es de 10 m y los
lados del cuadrado miden 5 m. Se quiere pintar sus caras laterales. Si pintar un
metro cuadrado cuesta $310, ¿Cuánto costará pintar toda la superficie lateral?
20) Un prisma de base cuadrada (Paralelepípedo) tiene medidas como las
mostradas en la figura.
a) Obtenga el valor adecuado de x.
b) Calcule el área total de las cuatro caras laterales.
c) Obtenga el área total.
d) Determine el volumen.
Respuesta al ejercicio 20)
a) Aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que:
x 2  ( x  2)2  ( x  4)2
resolviendo para " x "
x 2  x 2  4 x  4  x 2  8 x  16
x  4 x  12  0
2
( x  6)( x  2)  0 ; Luego
agrupando
factorizando
x  6  0, es decir , x  6
x  2  0, es decir , x  2
El valor correcto para x es 6, ya que, representa una longitud, es decir, x = 6.
b) El área de total de las cuatro caras es Al =4(6) (8)=192.
c) El área total es At = 2 (6)2 + 192 = 264.
d) El volumen total es Vt = 36 (8) = 288.
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
UNIDAD V
ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
1)
Escriba en forma simbólica las seis razones trigonométricas de acuerdo a la
siguiente figura.
2) Para cada inciso obtenga las razones trigonométricas que faltan.
3
5
i ) sen  
ii ) cos  
;
1
2
iii ) tan  
;
5
6
10
7
11
;
v) cot  
;
vi ) csc y 
7
2
3
3) Escriba las siguientes cuatro razones trigonométricas en términos de las razones
Seno y Coseno, según el caso.
iv) sec x 
tan x 
cot x 
;
;
sec x 
;
csc x 
4) Complete correctamente las tres identidades pitagóricas.
sen 2  ______  ______
tan 2   ______  sec 2 
cs c 2   1  ________
5) Utilice sólo identidades trigonométricas para obtener las razones que faltan en
cada inciso.
i) sen   0.3451
;
ii) cos   0.125
;
iii) tan   2.250
Respuesta al inciso i)
Como sen   0.3451, entonces (sen  )2  0.1191
Luego usamos la identidad (sen  )2  (cos  )2  1
(cos  )2  1  (sen  )2
; (cos  )2  1  0.1191  0.8809
luego cos   0.9386
Por lo tanto,
tan  
sen  0.3451
cos  0.9386

 0.3677 ; cot  

 2.7198
cos  0.9386
sen  0.3451
sec  
1
1
1
1

 1.0654 ; csc  

 2.8977
cos  0.9386
sen  0.3451
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
6) Sin el uso de calculadora o tablas construya las seis razones trigonométricas para
los ángulos de 30o, 60o y 45o. (apóyese en las siguientes figuras)
7) En un triángulo equilátero su altura mide 12 cm., ¿Cuánto mide su perímetro?,
¿Cuánto mide su área?
8) Si los lados congruentes de un triángulo isósceles miden 15 cm. y los ángulos
congruentes miden 30o, ¿Cuánto mide su área?
Respuesta al ejercicio 8)
9) Una diagonal de un cuadrado mide 20 cm., ¿Cuánto mide su perímetro?,¿cuánto
mide su área?
10) Un poste de 16 m de altura esta sujetado con tres cables y forman ángulos de
60o con respecto al suelo. (Ver figura)
Encuentre la longitud total de los cables.
11) El ángulo de elevación del sol, en un determinado momento, es de 42o y un
poste proyecta una sombra de 12 m sobre el suelo. Calcula la altura del poste.
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
12) Un avión inicia su aterrizaje con un ángulo de depresión de 8° a una velocidad
constante de 110 m / seg. Si se tarda en tocar la pista 45 seg. desde que inicio su
descenso. ¿Qué altura tenía?
Respuesta al inciso 12)
La distancia que recorre el avión durante ese tiempo es de 4950 m, ya que d = v t.
sin 8 
h
 h  4950sin 8  688.91
4950
Por lo tanto, su altura es de 688.91 m aprox.
13) Un avión despega con un ángulo de elevación de 9° a una velocidad constante
de 120 m/seg., ¿Qué altura tendrá después de 8 segundos?
14) Un cable esta sujetado en sus extremos por dos torres (ver figura), el ángulo de
elevación es de 25°. Si una torre mide 10 m y la otra mide 30 m, ¿Cuánto mide el
cable?
15) El ángulo de depresión desde un faro hacia una embarcación que se aproxima
al muelle es de 18°. Si la altura del faro es de 35 m, ¿A que distancia se encuentra la
embarcación del faro?
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
16) El ángulo de elevación de un globo cambia de 35° a 43°, como se muestra en la
figura. ¿Qué distancia avanza el globo en dicho cambio?.
17) Un parque de diversiones cuenta con un tobogán gigante como se muestra en la
figura. Calcule la longitud total del recorrido en el tobogán.
60 m
18) La escalera de un carro de bomberos tiene una longitud máxima de 20 m y su
ángulo máximo de elevación es de 70o, si la parte inferior de dicha escalera esta
sobre el carro a una altura de 2 m, ¿Cuál será la altura máxima que alcanza la
escalera desde el suelo?.
19) Una escalera de 10 m de longitud esta recargada sobre un edificio y alcanza
una altura de 8 m, hallar la medida del ángulo que se forma entre la escalera y el
piso.
20) Dos cables sujetan un globo, el cual alcanza una altura de 75 m, si uno de los
cables forma un ángulo de 70o y el otro cable forma un ángulo de 65o con respecto al
suelo, ¿Cuánto mide cada cable?
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
21) Un árbol proyecta una sombra a cierta hora del día de 15 m formando un ángulo
de 50o. ¿Cuál es la altura del árbol
22) Usando la calculadora complete la siguiente tabla y dibuje las gráficas en el
mismo plano para estos valores. (Modificar la escala de la variable x )
cos x
x ( grados ) sen x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0o
90o
180o
110
120
130
140
150
160
170
180
De acuerdo a la tabla (gráfica) decide cuales igualdades son verdaderas (v) ó cuales
son falsas (f).
a ) sen  180o  x   sen x ______  
b) cos  180o  x    cos x
c) sen 180o  x    sen x
d ) cos  180o  x   cos x
_____ 

______  
______  
23) Utilice la ley de los senos para obtener las medidas que faltan en triángulo.
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
La ley de los senos establece que:
a
b
c
 8

12
sen A sen 65°
B sen C
B
Respuesta a la primera figura: Usando la ley de Senos.
12
8

o
sen 65
sen B
 sen B 
8 sen 65o 7.25046

 0.604205
12
12
Aplicando la funcion inversa del seno se tiene que :
B  sen 1(0.604205)  37.17o
Luego la medida del angulo C es : C  1800  65o  37.17o  77.83 o
Finalmente
c
12

sen 77.83o sen 65o
 c
12 (sen 77.83o )
 12.94
sen 65o
Por lo tanto, B = 37.17º; C = 77.83º y c = 12.94
24) Aplique la ley de los cósenos para obtener las medidas que faltan en cada
triángulo.
Respuesta a la primer figura: La ley de los cósenos establece que.

a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
a 2  b 2  c 2 256  144  100

 0.05  A  cos 1  0.05   92.87
2bc
240
2
2
2
b a c
144  256  100
cos B 

 0.6625  B  cos 1  0.6625   48.51
2ac
320
c 2  a 2  b 2 100  256  144
cos C 

 0.7813  C  cos 1  0.7813  38.62
2ab
384
cos A 
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ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA
UNIDAD V
25) Dos personas que se encuentran separadas 1500 m observan un objeto volador
no identificado, si los ángulos de elevación son de 50 o y 65o. Hallar la altura del
objeto volador.
26) Un terreno tiene forma triangular, sus lados miden 12 m , 25 m y 20 m
respectivamente. Hallar las medidas de los tres ángulos interiores del terreno.
27) De acuerdo con los datos de la siguiente figura, ¿cuántos metros vale x?
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