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MATEMÁTICAS I CICLO COMÚN
Proverbio 9:10
El temo r
de Jeho vá
es el princip io
de la sab idur ía.
Choluteca
Honduras
UNIDAD DIDÁCTICA #6
INDICE
PÁGINA
Ampliación del conjunto de los números naturales ------------------------------------------------------2
Uso de los números enteros y su representación en la recta numérica -----------------------------3
Valor absoluto de un número ----------------------------------------------------------------------------------5
Relación de orden en Z ------------------------------------------------------------------------------------------6
Operaciones con números enteros ---------------------------------------------------------------------------8
Hoja de evaluación ----------------------------------------------------------------------------------------------13
Bibliografía --------------------------------------------------------------------------------------------------------14
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MATEMÁTICAS I CICLO COMÚN
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AMPLIACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS
NATURALES
La sustracción de números naturales es posible siempre que el minuendo sea
mayor que el sustraendo.
Ejemplo:
Minuendo
Sustraendo
20 – 3 = 17 porque 3 + 17 = 20
43 – 42 = 1 porque 42 + 1 = 43
¿Tiene solución en los naturales la sustracción 20 – 22?
NO
Cuando el minuendo es menor o igual que el sustraendo, la operación no es
posible en el conjunto de los números naturales.
Sin embargo, en la vida real son muchos los problemas que conducen a
operaciones de este tipo como:
 Una deuda de L. 30 000
 En cierta ciudad el termómetro marcó 5°C bajo cero.
CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO
El conjunto formado por los números enteros positivos, el numero (0) y los
números enteros negativos es el conjunto de los números entero, y se simboliza
con ℤ
ℤ = {…,-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4…}
ℤ = ℤ- ⋃ {0} ⋃ ℤ+
Entonces:
ℤ+ = {+1, +2, +3, +4…}
ℕ= {1, 2, 3, 4…}
Por tanto todo número distinto de cero que no tenga signo se considera
positivo.
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USO DE LOS NUMEROS ENTEROS Y SU REPRESENTACION EN LA
RECTA NUMERICA
Cuando se desea expresar cantidades positivas se utilizan los números naturales
con el signo +.
Si las cantidades que se quieren expresar son negativas, se utilizan los números
naturales con el signo –.
Para escribir los números enteros se utilizan los números naturales precedidos del
signo + ó del signo –.
… -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1 +2, +3, +4, +5…
El cero (0) es el numero entero que no es ni positivo ni negativo.
EJEMPLO:
SITUACION
NUMERO ENTERO
Temperatura 14 °C sobre 0.
+14
Jorge no perdió ni ganó.
0
Debo L. 12 500.
-12 500
Cristina perdió L. 12 000.
-12000
EJEMPLO:
Tenía un saldo de – 53 lempiras en el banco. Deposité L. 158.00 y luego retiré
L110.00. ¿Qué saldo me quedó?
- 53
+158
-110
¿Cuánto tengo que retirar o depositar para tener saldo cero?
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LA RECTA NUMÉRICA
1.-Trazamos una línea recta y situamos en ella el 0.
El 0 divide a la recta en dos semirrectas.
2.-Dividimos cada una de las semirrectas en partes iguales:
3.- Situamos los números enteros: los enteros positivos a la derecha del cero y los
enteros negativos a la izquierda del cero:
CURIOSIDADES
MATEMÁTICAS
NÚMEROS ENTEROS OPUESTOS
Sean los conjuntos:
ℤ+ = {+1, +2, +3, +4…} y
ℤ- = {-1,-2,-3,-4,-5…}
Los números negativos que correspondan a los números positivos se
llaman opuestos de dichos números y viceversa.
Ejemplo:
-1 es opuesto de 1
-2 es opuesto de 2
-3 es opuesto de 3
.
.
.
.
-a es opuesto de +a
¿SABIAS QUE
LOS SIGNOS
MAS (+) Y
MENOS (-)
APARECIERON
POR PRIMERA
VEZ EN EL
AÑO 1489 Y
SE
EMPEZARON
A EMPLEAR
CON
REGULARIDAD
EN EL AÑO
1544?
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En la recta numérica números enteros opuestos:
Números opuestos
El único número entero que es igual a su opuesto es 0 (cero).
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
El concepto de valor absoluto tiene aplicación en situaciones que representan
distancias o que no requieran consideraciones de signo.
En la recta numérica el valor absoluto de un número entero es la distancia del 0
(cero) a ese número.
Distancia del 0 al -4.
Para iniciar el valor absoluto de un número entero b se escribe |b|.



Si b pertenece a los enteros positivos entonces |b|= b.
Si b pertenece a los enteros negativos entonces |-b|= b
Si b pertenece a cero entonces |0|= 0
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se
indica poniendo el número entero entre barras.
/23/ = 23
/-3) = 3
/100/ =
/-43/ =
|+20 |=
|+10 | =
|-5 | =
5
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RELACIÓN DE ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS
Mayor que (>). Menor que (<).
ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS
Un número entero es mayor que otro (lo que se indica con el símbolo >) si está
situado más a la derecha sobre la recta numérica.
Por ejemplo, 5 > 3; 5 > -1; -1 > -3:
Representación en la recta numérica:
Si los escribimos de menor a mayor, resulta:
–5 < -3 < -1 < 0 < 1 < 3 < 4 < 5
Relación “Mayor que” (>)
Si a, b (dos números cualquiera) pertenecen a los enteros positivos, entonces
a > b si |a| > |b|
Ejemplo:
a
b
a
b
+5 > +2 ya que |+5| >|+2|
a
b
a
b
+100 > +20 ya que |+100| > |+20|
De dos números positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Si a, b pertenecen a los enteros negativos;
a > b si el valor absoluto de |a| < |b|
-5 > -7 ya que |-5| < |-7|
-10 > -100 ya que a > b si |-10| > |-100|
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De dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Si a pertenecen a los enteros positivos, b pertenece a los enteros negativos,
entonces a >b ;
Ejemplo: +3 > -5;
+25 > -1000
Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Si a pertenece a los enteros positivos, entonces
a>0
Ejemplo:
+5 > 0, +1 > 0, +37 > 0
Todo numero positivo es mayor que cero y todo numero negativo es menor que
cero.
RELACIÓN “MENOR QUE”
De la misma forma, un número entero es menor que otro (símbolo <) si está
situado a la izquierda sobre la recta numérica.
Por ejemplo, 2 < 4; -7 < -1; -3 < 0:
Si a, b (dos números cualquiera) pertenecen a los enteros positivos, entonces
a < b si |a| < |b|
Ejemplo:
+2 < +7 ya que |+2| >|+7|
Entre dos números positivos es menor el de menor valor absoluto.
Si a, b pertenecen a los enteros negativos;
a < b si |a| < |b|
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-10 < -7 ya que |-10| > |-7|
Entre dos números negativos es menor el de mayor valor absoluto.
Si a pertenecen a los enteros negativos, b pertenece a los enteros positivos,
a < b;
Ejemplo: -20 < +2,
-30 < +3,
-7<+1
Todo número negativo es menor que cualquier numero positivo.
Si a pertenece a los enteros negativos, entonces a < 0
Ejemplo:
-5 < 0,
-10 < 0, -200 < 0
Todo numero negativo es menor que cero.
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Suma de enteros con igual signo
Positivo + Positivo: Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo
signo.
Ejemplos:
a) 8 + 7 = 15;
b) 5 + 11 = 16
Negativo + Negativo: Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo
signo.
Ejemplos:
a) -12 + -4 = - (12 + 4) = -16
b) -9 + - 6 = - (9 + 6) = - 15
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Importante
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Positivo + Negativo o Negativo + Positivo: Se halla
la diferencia de los valores absolutos de los números. El
resultado es positivo, si el número positivo tiene el valor
absoluto mayor. El resultado es negativo, si el número
negativo tiene el valor absoluto mayor.
En la suma de entero no es
necesario escribir el signo de
suma.
Ejemplo: -5+ (-3)+ (+7) = -5 3+7
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
13 + -6 = 7
19 + - 11 = 8
-14 + 6 = -8;
-12 + 7 = -5
3 + (-3) = 0
PROPIEDADES DE LA SUMA DE ENTEROS
El conjunto Z con la operación adición cumple las
propiedades clausurativa o de cierre, asociativa,
conmutativa, elemento neutro y elemento simétrico u
opuesto.
Definición de
enunciadas:
cada
una
de
las
Ley de los signos para la
multiplicación
propiedades
+ x + =+
+ x - = -
Propiedad clausurativa o de cierre: la suma de dos
números enteros es siempre otro número entero.
Ejemplo: +3 pertenece Z y -8 pertenece a Z entonces
(+3) + (-8) = -5 pertenece a Z.
En general:
si a,b pertenecen a Z entonces (a +b)
pertenece a Z.
- x + =- x - = +
Ley de los signos para la
División
+ ÷ + =+
Propiedad Asociativa
+ ÷ - = -
Los sumandos se pueden asociar de diferentes maneras y
el resultado de la operación no varía.
- ÷ + =-
Ejemplo:
- ÷ - = +
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[(-7) + (+3)] + (+9) = (-7) + [(+3) + (+9)]
(-4) + (+9) = (-7) + (+12)
(+5)
=
(+5)
En general: si a,b,c pertenecen a Z entonces (a +b) +c = a + (b +c)
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo:
(+3) + (-7) = (-7) + (+3)
(-4)
=
(-4)
En general si a, b pertenecen a Z entonces a+b = b+a
Elemento Neutro
La suma de cualquier número entero con el cero es el mismo numero entero.
Ejemplo:
(-8) +0 = 0 + (-8) = - 8
En general, el cero es el único entero que tiene la propiedad para todo entero
a + 0 = 0 +a = a
Elemento Simétrico u opuesto
La suma de dos números enteros opuestos es cero.
Ejemplo:
(+5) es opuesto de (-5)
y si se suma
(+5) + (-5)= (-5) + (+5) = 0
En general, todo numero entero a tiene un único opuesto, denotado por –a tal que
a + (-a) = (-a) +a = 0
Completa la siguiente tabla.
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PROPIEDAD ILUSTRADA
(-4) + (-5) = (-5) + (-4)
Conmutativa
(-3) + 0 = -3
(-9) + (+9)
(-4) + (-6) + (-3) = {(-4) + (-6)} + ( -3)
-8 +8 =0
-7 + 3 = -7 + (+3)
56 + 0 = +56
(-8) + (+4) = (+4) + (-8)
RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Cuando se resta números enteros, se cambia el ejercicio de resta a la suma de su
opuesto. El número que está siendo restado se llama sustraendo. El sustraendo
es el número que está después del signo de resta.
Esto es, si a y b son enteros, entonces, a – b = a + (- b).
Ejemplos:
a) 8 – 12 = 8 + (-12) = -4
b) 8 – (-12) = 8 + 12 = 20
c) -2 – (-10) = -2 + 10 = 8
d) -2 – 10 = -2 + (-10) = -12
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Multiplicación y división de enteros
La regla de los signos para ambas operaciones es la misma: signos iguales =
resultado positivo; signos diferentes = resultado negativo.
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
3 x 5 = 15:
3 x (-5) = -15;
-3 x 5 = -15;
-3 x (-5) = 15
Ejemplos de división de enteros:
a)
b)
c)
d)
28 ÷ 4 = 7;
28 ÷ (-4) = -7;
-28 ÷ 4 = -7;
-28 ÷ (-4) = 7
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HOJA DE EVALUACIÓN
1- Escriba el número que represente cada una de las siguientes
expresiones.
a) El avión vuela a 2700 m de altura. _______
b) Estamos a 8°C bajo cero. __________
c) El año 500 después de Cristo. ________
d) Los números positivos se sitúan en la recta numérica a la __________
del cero.
e) Los números negativos se sitúan en la recta numérica a la __________
del cero.
2- Represente en la Recta Numérica los siguientes números
a) -5, -3 , 0, 2, 6
b) -20, -10, 0, 30
c) -200, -100, 0, 100 , 200, 300
3- Escribir el opuesto de cada número.
a. -100 = +100
b. 0 ________
c. -8 ________
d. -40 _______
e. 34 _______
4- Escribe los símbolos >, = ó < según corresponda
a) +6 _____ -6
b) -4 _____ -4
c) 9 _____+12
d) -4 _____ 0
e) +10 _____0
f) -40 _____-20
5- Responde con una V ó F según sean verdaderas o falsas las
siguientes proposiciones.
a) Todo número positivo es mayor que cero. --------------( )
b) Todo numero negativo es mayor que los positivos.--- ( )
c) Entre -10 y 0 hay nueve números enteros. -------------( )
d) -7 es menor que -10. -----------------------------------------( )
e) Cero es mayor que cualquier número negativo. -------( )
6- Realiza las siguientes operaciones de números enteros.
a) +7 + (+8) = ___________________
b) (-5) + (-2) = ___________________
c) (+2)+(+2)+(+4) = ______________________________
d) (-24) + (+30) = ________________________________
e) (-50) + (+50) = ________________________________
f) (+30)+(+20)+(+10)+(+5) = ______________________
g) (+200) + (-150)+(100)+(-50)+(-30)= ________________
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BIBLIOGRAFÍA
Santillana/ Tercer ciclo/Matemáticas estrategias Honduras
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