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OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD DE CIENCIAS PEDAGÓGICAS CURSO 2009 – 2010 TEMARIO MEDIA SUPERIOR NOMBRE _________________________________________ AÑO____________ UCP _________________________________ PROV ____________________ NIVEL 1 (1ro. y 2do. años) Preguntas 1, 2, 3, 5 y 7. NIVEL 2 (3ro. 4to.y 5to. años) Preguntas 1, 2, 4, 6 y 7 Problema 1 (3 puntos). En una lista están escritos los números del 1 al 16. ¿Es posible tachar 4 de ellos de manera que al multiplicar cualesquiera 2 de los 12 que queden el resultado no sea el cuadrado de un número entero? Problema 2 (5 puntos). Se escriben 9 números naturales en orden ascendente, se sabe que el número del medio es la media de los números dados. El promedio de los 5 números mayores es 68 y el de los cinco números menores es 44. Determina la suma de los números escritos. Problema 3 (6 puntos). Determina todos los números de cinco cifras múltiplos de 11 que se pueden formar con los números 1, 2, 4, 7 y 9. Problema 4 (6 puntos). Determina la cantidad de valores enteros que tiene el número N = 100
. 2 n - 1 Problema 5 (7 puntos). Sea ABCD un cuadrado y E el punto medio de BC, AF ^ DE. Demuestra que ÐCDE = ÐEFB. Problema 6 (7 puntos). ABCD es un trapecio isósceles con AD = BC = 5, AB = 4 y DC = 10. Se prolonga DB hasta E siendo B el punto medio de DE, en la recta DC se toma el punto F de manera tal que ÐDFE = 90º. Calcula la longitud del segmento CF. Problema 7 (9 puntos). Alicia tiene 6 tarjetas y en cada una de ellas está escrito un número entero positivo (algunos de los números pueden ser iguales entre sí). Toma 3 tarjetas y suma los números correspondientes. Al hacer esto con las 20 posibles combinaciones de 3 tarjetas, obtiene 10 veces el resultado 18, y 10 veces el resultado 16. ¿Cuáles son los números de las tarjetas?
SOLUCIONES 1. Como los números 1, 4, 9 y 16 son cuadrados de un número entero, al multiplicar dos de ellos se obtiene otro número cuadrado, así que hay que tachar de la lista al menos a 3 de ellos. Como 2(8) = 16 es un cuadrado hay que tachar también al 2 o al 8. De la misma manera, como 3(12) = 36 hay que tachar al 3 o al 12. Por lo anterior, para no tener cuadrados como producto de dos números habría que tachar al menos 5 números de la lista. 2. Sea S la suma de los números dados, entonces S = 5∙68 + 5∙44 – S , entonces 9 10 S = 560 y S = 504. 9 3. La suma de los números dados es 23, luego la única posibilidad es que la diferencia entre los números de orden impar y los de orden par sea 11 es 17 – 6 y tenemos los números: 12749 72149 92147 14729 74129 94127 12947 72947 92741 14927 74927 94721 4. Se tiene que para que N sea un número entero debe cumplirse que 2n – 1 sea un divisor de 100 y los divisores de 100 son: ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20; ±25; ±50; ±100, pero como 2n – 1 es un número impar, los único valores que puede tomar son ±1, ±5; ±25 que son en total 6 valores para n = 0; 1; –2; 3; –12; 13. 5. Si se traza el segmento AE entonces
DABE = DCDE y por consiguiente
ÐEAB = ÐCDE. Por otra parte, el cuadrilátero ABEF es cíclico (la suma de sus ángulos opuestos es 180° por lo que ÐEAB = ÐEFB por corresponderle la misma cuerda, luego por transitividad se cumple lo pedido. 6. Sea P el pie de la perpendicular al segmento CD, Q el punto de intersección de la paralela por B al lado AD, entonces ADQB es un paralelogramo luego DQ = 4, por consiguiente QC PQ =
= 3 ya que DBCQ es isósceles. Por otra 2 parte DDEF es isósceles ya que B es punto medio de la hipotenusa del DDEF, luego DP = PF y DP = 10 – PC = 7 y CF = PF – PC = 7 – 3 = 4. 7. Claramente los 6 números no son iguales. A lo más hay 2 números distintos, digamos a y b, pues si hubiera 3 distintos podríamos encontrar 3 ternas con sumas diferentes. De alguno de ellos (digamos a) debe haber al menos 3 números iguales, así que 3a = 18 (pues 16 no es múltiplo de 3). Se sigue que 2a + b = 16 y b = 4. Para que las sumas sean las indicadas, 6 debe aparecer cinco veces y 4 solo una vez.