Download PROBLEMA 01 – XIV

Secretaría Regional de OMA
Provincia de Formosa
TERCER NIVEL
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XII CERTAMEN 1995
1. Hallar el resto de dividir 11... 1995 veces ... 11 por 1001.
2. Ubicar en cada casillero vacío de la tabla un número natural, de modo que en cada fila y en cada columna se forme
una progresión aritmética.
ACLARACION: La razón de una progresión aritmética puede ser positiva o negativa. Por ejemplo: 15, 17, 19, 21, ...
tiene razón positiva y 57, 54, 51, 48 tiene razón negativa.
3. En el triángulo ABC, las medianas trazadas desde B y desde C son perpendiculares entre sí. Si AC mide 15 y AB mide
10, calcular cuanto mide BC.
XIII CERTAMEN 1996
1. Colocar números naturales distintos y mayores que 1 en las casillas de manera que siempre el número de una casilla
sea múltiplo del que esta en la casilla anterior y que la suma de los cinco números sea 517.
2. Una hormiga parte del hormiguero y recorre en línea recta un tramo de d cm, luego gira 90o y recorre en línea recta
otro tramo de d/2 cm, luego vuelve a girar 90 o y recorre un tramo de d/(22) cm, y así sucesivamente. El sentido en que
gira lo decide en cada vértice.
¿Cuál es la menor distancia al hormiguero a la que puede estar la hormiga después de haber recorrido 100 tramos?
3. Encontrar TODAS las ternas de números reales (x,y,z) que verifican simultáneamente:
x2 + y + z = 1
x + y2 + z = 1
x + y + z2 = 1
XIV CERTAMEN 1997
1. Sean a y b números reales distintos tales que 2a2 + 2b2 = 5ab. Hallar todos los posibles valores de (a+b)/(a-b).
2. ¿Cuántos números entre 1 y 1000 inclusive pueden descomponerse en suma de un múltiplo positivo de 7 más un
múltiplo positivo de 4?
3. Sean A, B, C, D puntos de una circunferencia tales que AB es perpendicular a CD y sea P el punto de intersección de
AB y CD. Si AP=8, DP=6, CP=15, calcular el diámetro de la circunferencia.
XV CERTAMEN 1998
1. En el triángulo ABC, sean D y E en los lados AB y AC respectivamente. Si ^ABC=^AED, AD=3, AE=2, DB=2, hallar EC.
(^ABC es "ángulo ABC")
2. ¿Cuántas fracciones mayores que 97/99 y menores que 98/99 tienen denominador mayor o igual que 2 y menor o
igual que 98?
3. En cada casilla de un tablero cuadriculado de 9x8 hay escrito un número real de modo que tal que los números de
cada fila forman una progresión aritmética y los números de cada columna forman una progresión aritmética. La suma
de los números de las cuatro casillas de las esquinas es 98. Hallar la suma de todos los números del tablero.
XVII CERTAMEN 2000
1. Hallar todas las ternas x, y, z de números reales que satisfacen el sistema
x (x + y + z) = 26
y (x + y + z) = 27
z (x + y + z) = 28
Profesor Carlos Dellagnolo y Profesor Rey Zarza
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2. Diremos que un entero mayor que 1 es admisible si cada uno d elos resultados de multplicar dos divisores del
número (postivios y distintos) es mayor que 1/5 del número. Por ejemplo, 6 es admisible porque sus divisores son 1, 2,
3 y 6, y los productos 1 . 2 = 2, 1 . 3 = 3, 1 . 6 = 6 y 3 . 6 = 18 son todos mayores que 6 / 5. Determinar todos los enteros
positivos admisibles.
3. Sean ABCD un trapecio de bases AB = 40 y CD = 30 tal que el lado BC es perpendicular a AB y BC = 35. Denotamos P
al punto medio de DA, y trazamos por P la perpendicular a DA que corta al lado BC en Q. Calcular el área del
cuadrilátero BAPQ.
XVIII CERTAMEN 2001
1. Si se escribe hoy la edad de Alejandro y a continuación la edad d eCarlos, se obtiene un número de cuatro cifras que
es un cuadrado perfecto. Si se hiciera lo mismo dentro de 11 años, se tendría de nuevo un cuadrado perfecto de
cuatro cifras. Hallar las edades acutales de Alejandro y Carlos.
ACLARACIÓN: Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen al elevar al cuadrado los números naturales.
2.Sea ABCD un cuadrado de lados AB = BC = CD = DA = 2. Se considera el punto F de la diagonal AC tal que ABF = 60°.
Hallar el área del triángulo BCF.
ACLARCIÓN: No vale medir.
3,Pedro debía sumar todos los números capicuas de cuatro cifras, pero se olvidó de sumar uno de ellos. Si obtuvo
como resultado 490776, hallar el número capicúa que se olvidó de sumar.
ACLARACIÓN: Los números capicúas son los que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. La
primera cifra de la izquierda no puede ser 0.
XIX CERTAMEN 2002
1. Hallar todos los números enteros x tales que (11x + 1) / (2x - 1) es un número entero.
2. En el pizarrón hay escritos cuatro números positivos: 7, a, b, 21. Si los tres números 7, a, b están en progresión
geométrica, y los tres números a, b, 21 están en progresión aritmética, hallar a y b.
3. Sea ABC un triángulo equilátero de lado 2. Se consideran el punto P en la prolongación del lado AB, el punto Q en la
prolongación del lado BC y el el punto R en la prolongación del lado CA tales que Pp / AB = CQ / BC = AR / CA = x.
Determinar x si se sabe que área(PQR) = 19 . área(ABC).
XX CERTAMEN 2003
1. Lucas lee un cuento que tiene sus páginas numeradas del 22 al 45 y advierte que la suma de los números de las
páginas que ya leyó es igual a la suma de los números de las páginas que le falta leer.
Calcular
cuál
es
el
número
de
la
página
que
está
leyendo.
ACLARACIÓN: La página que está leyendo no se cuenta entre las que ya leyó ni entre las que le falta leer.
2. Del conjunto de 24 números:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24}
se debe tachar la menor cantidad posible de números de modo tal que al multiplicar todos los que queden sin tachar
se obtenga un cubo perfecto. Determinar cuáles son los números que se debe tachar.
ACLARACIÓN: Se denominan cubos perfectos a los enteros que se obtienen al elevar un entero al cubo.
3. En el cuadrado ABCD de lados AB = BC = CD = DA = 10 sean M y N los puntos medios de AB y BC respectivamente.
Si AN y DM se cortan en Q, calcular:
área(AQM) + área(DQN).
XXI CERTAMEN 2004
1. Sea n = x54y102z un número entero de 8 cifras, donde x, y, z son dígitos.
Se sabe que n es divisible por 8 y que n + 1 es divisible por 3 y por 11. Hallar todos los valores posibles de n.
2. Lucas rindió una serie de exámenes y después de cada examen calculó el promedio de los puntos que obtuvo en los
exámenes ya rendidos. En el penúltimo obtuvo 84 puntos y su promedio aumentó 1/2 punto. En el último examen
obtuvo
64
puntos
y
su
promedio
disminuyó
1
punto.
Hallar la cantidad de exámenes que rindió Lucas y el promedio final.
3. Sea ABCD un cuadrilátero tal que ^ABC = ^CDA = 90º y AB = BC = 5. El punto E del lado AD es tal que el triángulo BCE
es equilátero.
Calcular la medida del lado CD.
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XXII CERTAMEN 2005
1. Gabriel escribe una lista de 200 números de acuerdo con la siguiente regla: el primer número es 2005, el segundo es
1, y a partir de allí, en cada paso escribe la resta del último número ya escrito menos el penúltimo número escrito más
5.
Por
ejemplo,
el
tercer
número
es
-1999,
pues
1-2005+5=-1999.
Calcular la suma de los 200 números de la lista de Gabriel.
2. Hallar todos los enteros positivos a y b tales que
y
3. Al plegar una hoja rectangular se obtuvo un rectángulo de 9´12, como muestra la figura.
Calcular las dimensiones de la hoja antes de plegarse.
XXIII CERTAMEN 2006
1. Nacho escribió una progresión aritmética de primer término 101 y diferencia 2: 101, 103, 105, ...
Nico escribió una progresión aritmética de primer término 5 y diferencia 10: 5, 15, 25, ...
Las dos progresiones tienen la misma cantidad de términos y las dos progresiones tienen la misma suma. Determinar
cuántos términos tiene cada progresión y cuánto vale la suma.
2. Si a, b son números tales que
calcular el producto ab.
3. Sea ABC un triángulo rectángulo con AB = 20, AC = 21 y BC = 29, y. Sean D y E puntos del lado BC tales que BD = 8 y
EC = 9 . Calcular la medida del ángulo DAE
XXIV CERTAMEN 2007
1. Sean ABC un triángulo isósceles con AB = AC y D el punto medio del lado BC . La perpendicular a AC , trazada por D
corta al lado AC en E . Sea F en AB tal que EF es paralela a BC . Si BC =12 y CE = 4, calcular la medida del segmento EF .
2. Una librería ofrece cuadernos a $5 y realiza los siguientes descuentos: en una compra de hasta 35 cuadernos
inclusive hace un descuento del 5%; si se compran entre 36 y 55 cuadernos inclusive el descuento es del 12% y si se
compran 56 o más cuadernos, el descuento es del 20%. Pablo compró con un descuento del 5% y al día siguiente
compró nuevamente, esta vez con un descuento del 12%.
Si Pablo hubiese comprado los cuadernos todos juntos en una sola compra, le hubiese correspondido un descuento
del
20%
y
habría
gastado
$39
menos
de
lo
que
gastó.
Determinar cuántos cuadernos compró cada día.
3. Sea N = 8 + 98 + 998 + 9998 + … + 99…98
el resultado de la suma de 101 números que tienen el último dígito 8 y los demás dígitos 9, desde el 8, que tiene cero
nueves, hasta el que tiene 100 dígitos nueve.
Calcular la suma de los dígitos de N .
XXV CERTAMEN 2008
1. Si se agregan a la derecha de 2008 tres dígitos, a , b , c , el número de siete dígitos 2008 abc es divisible por 231.
Hallar todos los posibles valores de los tres dígitos a , b , c .
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2. Mauro y Nico se reparten una bolsa de caramelos con el siguiente procedimiento: Mauro saca uno, Nico saca dos,
Mauro saca tres, Nico saca cuatro, y así siguiendo, cada uno en su turno saca uno más que los que acaba de sacar el
otro. Cuando uno de los dos se encuentra con que no quedan suficientes caramelos para sacar uno más que los que
sacó el otro, se lleva todo lo que queda, y concluye el reparto. Si Mauro sacó en total 2000 caramelos, ¿Cuántos
caramelos había inicialmente en la bolsa?
3. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD , y lados no paralelos BC y DA , con
. La perpendicular
a la diagonal AC trazada desde B corta a AC en E . Si AB = 125, AE = 35 y CE = 50, calcular el área del trapecio ABCD .
XXVI CERTAMEN 2009
1. Germán escribe una lista de números naturales. El primer número es el 1; luego escribe los múltiplos de 2, desde 2
hasta 22; a continuación escribe los múltiplos de 3, desde 3 hasta 32; luego los múltiplos de 4, desde 4 hasta 42, y así
siguiendo hasta escribir, por primera vez, el 2009. La lista empieza de la siguiente manera:
1, 2, 4, 3, 6, 9, 4, 8, 12, 16, 5, 10 …
Determinar cuántos números tiene la lista de Germán.
2. Los participantes de una olimpíada compartieron un almuerzo de camaradería, con precio fijo. Al terminar, el mozo
llevó la cuenta, que era de $1680. Dividieron entre el número de participantes, pero el dinero no alcanzó porque 4
personas ya se habían retirado. Así que cada uno de los presentes debió agregar $1. Calcular cuántos participantes
hubo en el almuerzo.
3. Se tienen dos figuras superpuestas: el cuadrado ABCD de lados AB = BC = CD = DA = 6 y el triángulo isósceles ABE de
base AB, con AE = BE. Se sabe que el área de la superposición es igual a 3/4 del área del cuadrado. Calcular el área de
la porción del triángulo que no se superpone con el cuadrado.
XXVII CERTAMEN 2010
1. Hallar un número entero positivo A de 8 dígitos distintos tal que alguno de los números B que se obtiene
escribiendo los 8 dígitos de A en otro orden satisfaga que
A + B = 100 000 000.
2. Se escribe la siguiente sucesión de números naturales:
1, 2, 4,3,5,7,9,6,8,10,12,14,16,18, 20,11,13,..., 41,...
1
2
4
8
16
(Los grupos son alternadamente de números impares y de números pares; comenzando con un grupo de un solo
número; en cada grupo los números están ordenados de menor a mayor, y la cantidad de números que contiene cada
grupo es el doble que la del grupo anterior.)
Determinar en qué posición se encuentra el número 2010.
3. Sea AB un segmento y M su punto medio. Se traza por M la perpendicular a AB y sea C un punto de esta
perpendicular tal que AB = BC.
La perpendicular a AC trazada por su punto medio corta a la perpendicular a AB trazada por A en el punto D. Calcular
el perímetro del cuadrilátero ABCD.
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