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2.4. Fórmulas de Reducción.
En lo que sigue interesa deducir los valores de las funciones trigonométricas para
otros ángulos. En algunos casos es posible obtenerlas mediante una reducción a funciones
trigonométricas de ángulos agudos positivos.
Y
B
1
sen (π − θ )
sen θ
θ
O
−θ
Fig. 5.
X
A
sen (π + θ )
sen ( −θ )
C
Se observa que, para 0 ≤ θ ≤
π
2
, se tiene:
sen (π – θ) = sen θ
sen (π + θ) = – sen θ
sen (– θ) = – sen θ (función impar)
Análogamente se puede verificar que:
cos (π – θ) = – cos θ
cos (π + θ) = – cos θ
cos (– θ) = cos θ (función par)
Algo similar ocurre con las restantes funciones trigonométricas.
Ejemplo 2.3.
Determinar los valores de las siguientes funciones:
a) tg
3π
4
b) sec
7π
6
c) sen (– 30º)
Solución.
a) Como
3π
π
=π–
entonces:
4
4
3π
π
π
= sen (π – ) = sen
4
4
4
3π
π
π
cos
= cos (π – ) = – cos
4
4
4
3π
π
sen
sen
3π
4 =
4 = – tg π = – 1
Luego: tg
=
3
π
π
4
4
cos
− cos
4
4
7π
π
b) Como
=π+
entonces:
6
6
7π
π
π
cos
= cos (π + ) = – cos
6
6
6
1
1
7π
π
−2 3
Luego: sec
=
=
= – sec
=
7π
π
6
6
3
cos
− cos
6
6
sen
c) sen (– 30º) = – sen 30º = –
1
2
Otro caso de reducción se obtiene a partir de la Fig. 6.
Y
B
D
1
1
Fig. 6.
X
C
O
A
(1,0)
Se puede verificar que los triángulos AOB y CDO son congruentes, por lo tanto:
DC = OA y CO = − AB . Así: sen (
cos (
π
π
2
+ θ ) = DC = OA = cos θ
+ θ ) = CO = – AB = – sen θ
2
Ejemplo 2.4.
Determinar los valores de las siguientes funciones:
a) cotg
5π
6
b) cosec
2π
3
Solución.
a) Como
5π
π
π
=
+
entonces:
6
2
3
5π
π
π
π
= sen ( + ) = cos
6
2
3
3
5π
π
π
π
cos
= cos ( + ) = – sen
6
2
3
3
5π
π
cos
− sen
5π
6 =
3 = – tg π = – 3
Luego: cosec
=
5π
π
6
3
sen
cos
6
3
2π
π
π
b) Como
=
+
entonces:
3
2
6
2π
π
π
π
sen
= sen ( + ) = cos
3
2
6
6
1
1
2π
π
2 3
=
Luego: cosec
=
= sec
=
2π
π
3
6
3
sen
cos
3
6
sen
Estas ideas se pueden generalizar en el siguiente Teorema que se presenta sin
demostración.
Teorema 2.1. (Fórmula general de reducción)
Sea f una de las seis funciones trigonométricas. Para cada n ∈ Ζ y θ un ángulo
positivo, entonces:
f (n ·
si n es par
 ± f (θ )
±θ)= 
2
± cof (θ ) si n es impar
π
En cada caso, el signo algebraico es igual al signo que tiene la función f en el
cuadrante al que pertenece el ángulo original (n
π
± θ)
2
Ejemplo 2.5.
Determinar los valores de las siguientes funciones:
a) sec
4π
3
b) sec ( −
15π
)
4
c) tg 165º
Solución.
a) Como sec
4π
π
π
=2· +
3
2
3
entonces:
4π
π
π
π
4π
= sec (2 · + ) = – sec
= – 2 (Ya que el ángulo
se encuentra en el III
3
2
3
3
3
cuadrante, en el cual la secante es negativa y además n = 2 es par).
sec
b) Como –
sen (–
15π
π π
= –7·
–
entonces:
4
2
4
15π
π π
π
2
) = sen ( – 7 ·
– ) = cos
=
4
2
4
4
2
.
c) Como 165º = 2 · 90º – 15º entonces:
tg 165º = tg (2 · 90º – 15º) = – tg 15º
En la parte c) del ejemplo anterior, el resultado ha quedado dependiente de tg 15º
cuyo valor no podemos determinar por el momento. Incluso en otros casos el camino de
reducción a un ángulo agudo se transforma demasiado laborioso, por no decir imposible.
Afortunada mente las actuales calculadoras científicas permiten resolver este tipo de
dificultad de un modo fácil y rápido.
Ejercicios Propuestos.
1.- Determinar los valores del resto de las funciones trigonométricas.
a) sen A =
4
5
b) cos B = –
3
4
c) tg C = 0,5
2.- Evaluar sin calculadora.
a) sen 2
d)
π
3
sen(−270º ) + cos 150º
tg 480º + cot g (−225º )
b) cos 7
e) sen 2
π
c) tg (– 765º)
6
π
3
+ cos 7
π
6
+ tg (–
5π
)
3
3.- a) Si tg A =
b) Si tg B =
1
y A III Cuadrante calcular:
2
−2
con B II Cuadrante calcular:
3
c) Si tg 25º = A encontrar en términos de “A”.
senA − 3 cos A
senA + 2 cos A
sen(90º − B) − cos(180º − B)
tg (270º + B) + cot g (360º − B)
tg 205º −tg115º
tg 245º +tg 335º
d) Dado tg α = – A, A > 0 y α ∈ II Cuadrante hallar sen α, sec α