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TRIGONOMETRÍA PLANA
 Recuerda que una unidad de medida de ángulos muy utilizada es el radián: ángulo
central que abarca un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. Por tanto:
1 circunferencia = 2 radianes
 Recuerda también las razones trigonométricas:
cateto opuesto AB

hipotenusa
OB
cateto contiguo
OA
cos  =

hipotenusa
OB
cateto opuesto
AB
tg  =

cateto contiguo
OA
1
OB

cosec  =
sen  AB
1
OB

sec  =
cos  OA
1
OA

cotg  =
tg  AB
 No olvides tampoco que, en función del cuadrante en que se encuentre un ángulo, sus
sen  =
razones trigonométricas tienen los siguientes signos:
Cuadrante 1º
2º
3º
4º
Seno
+
+
–
–
Coseno
+
–
–
+
Tangente
+
–
+
–
 Las tres principales fórmulas que permiten relacionar las razones trigonométricas son:
sen 2   cos 2   1
tg  
sen 
cos 
sec 2   1  tg 2 
 Otras fórmulas a tener en cuenta, especialmente para reducir al primer cuadrante, son:
sen (90º – ) = cos 
sen (90º + ) = cos 
cos (90º – ) = sen 
cos (90º + ) = –sen 
sen (180º – ) = sen 
sen (180º + ) = –sen 
cos (180º – ) = –cos 
cos (180º + ) = –cos 
sen (360º – ) = –sen 
cos (360º – ) = cos 
1) Expresa en radianes la medida de los siguientes ángulos sexagesimales:
a)  = 30º
 = 410º
ß = 215º
2) Pasa a sexagesimal los siguientes ángulos dados en radianes:
=
7
3
ß=
4
5
=
5
2
3) Sea  = 50º 54' 14''. Calcula el valor de:
a) 180º – 
b) 180º + 
4) Dados los ángulos  = 35º 23' y ß =
c) 360º – 
5
rad, halla:
4
a)  + ß
b) 4 + 3ß
5) El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 25º 18'. Halla los otros dos ángulos.
6) Averigua la longitud del arco que abarca un ángulo de 112º en una circunferencia de
doce metros de radio.
7) Calcula el área de un sector circular sabiendo que el radio mide 3 cm y el ángulo que
abarca es de
3
radianes.
4
8) Un ciclista recorre una pista circular a una velocidad de 0,12 rad/seg. Si la pista tiene un
radio de 60 m, ¿qué velocidad lineal lleva?
9) Demuestra que, dado un ángulo de vértice O, si se levanta en A una perpendicular a uno
cualquiera de sus lados y ésta corta al otro en B, son constantes los cocientes:
AB
OB
y
OA
OB
10) Completa la siguiente tabla y comprueba que el cociente
cuando  se acerca a cero.
sen 

1
0,1
0,001
0,00001
11) Indica en qué cuadrante se encuentra un ángulo:
sen 

sen 

se aproxima a 1
a) de coseno positivo y cosecante negativa,
b) de seno negativo y tangente positiva,
c) de secante y cotangente negativas.
Completa los siguientes cuadros:
12)
sen 
Cuadrante
2º
cos 
tg 
sec 
cosec 
cotg 
cos 
tg 
sec 
cosec 
cotg 
0,2
13)
sen 
Cuadrante
3º
-2
Demuestra las siguientes igualdades:
14) (sec  – tg )2 =
15)
1  sen 
1  sen 
sen 
 1  cos 
cosec   cotg 
16) Simplifica la expresión
tg   cos   tg 3   cos 
sec 2 
17) Expresa las siguientes razones trigonométricas en función de otras razones de
ángulos inferiores a 45º:
a) sen 335º
b) cos 219º
c) tg 133º
d) cosec 197º
e) sec 145º
f) cotg 328º
Simplifica las siguientes expresiones:
18) sen (90 – ) · cotg (90 – ) · cos (180 – ) · tg (180 + )
cotg(
19)

2
+  )  tg(    )
2
cotg (

2
)
20) Busca los ángulos, entre 0º y 360º, que satisfacen:
a) sen  = 0,2472
b) sec  = –3,46
21) Resuelve, únicamente en el intervalo [0º, 360º], la ecuación:
sen  + tg  = 3 cos  sen 
22) En un triángulo isósceles la base mide 5 cm y un ángulo 128º. Calcula su área.
23) Halla el área de un triángulo equilátero de 43 cm de lado.
24) ¿Qué ángulo forman las dos diagonales de un rectángulo de base 242 mm y altura
134 mm?
25) En un trapecio isósceles las bases miden 14 y 30 metros y la altura 19. Encuentra
sus ángulos.
26) La distancia entre los centros de dos circunferencias, cuyos radios miden 5 y 18 cm,
es de 20 cm. Halla el ángulo que forma, con la recta que une los centros, una tangente
común exterior.
27) Desde dos puntos, distantes 20 metros y situados en la misma orilla de un río, se
observa un punto de la orilla opuesta bajo ángulos de 27º y 38º, respectivamente.
Calcula la anchura del río.
28) Sobre una casa hay una antena de televisión de 2 metros. Desde la calle se divisa el
pie de la antena bajo un ángulo de 32º y su extremo superior bajo un ángulo de 36º.
¿Cuál es la altura de la casa?
29) Un barco se dirige hacia un faro, situado a 85 metros sobre el nivel del mar. Desde
el faro se ve el barco bajo un ángulo de 23º con la vertical y, un minuto después, el
ángulo de visión se reduce a 12º. ¿Qué velocidad lleva el barco?
TEOREMAS DE ADICIÓN
 Las fórmulas que relacionan las razones trigonométricas de una suma o resta de
ángulos con las de dichos ángulos son las siguientes:
sen( a  b)  sen a cos b  cos a sen b
cos( a  b)  cos a cos b  sen a sen b
sen( a  b)  sen a cos b  cos a sen b
cos( a  b)  cos a cos b  sen a sen b
tg( a  b) 
tg a  tg b
1  tg a tg b
tg( a  b) 
tg a  tg b
1  tg a tg b
 Las razones trigonométricas del ángulo doble son:
sen 2a  2 sen a cos a
cos 2a  cos 2 a  sen 2 a
tg 2a 
2 tg a
1  tg 2 a
 Las razones trigonométricas del ángulo mitad son:
sen
a
1  cos a

2
2
cos
a
1  cos a

2
2
tg
a
1  cos a

2
1  cos a
 Las fórmulas para pasar a productos la suma y diferencia de senos y cosenos (lo que
era muy útil cuando los cálculos se hacían mediante logaritmos), y viceversa, son:
sen A  sen B  2 sen
A B
A B
cos
2
2
sen A  sen B  2 cos
A B
A B
sen
2
2
cos A  cos B  2 cos
A B
A B
cos
2
2
cos A  cos B  2 sen
A B
A B
sen
2
2
1) Como sabes el valor de sen 30º y cos 60º , comprueba que:
a) sen 30º sen 30º  sen 60º
b) sen 30º sen 60º  sen 90º
2) Si sen 15º  0,26 y sen 25º  0,42 calcula manualmente, y después comprueba tus
resultados con la calculadora:
a) sen 40º
b) cos10º
c) sen 105º
d) tg 50º
3) Demuestra, utilizando fórmulas de adición, que:


cos x  sen  x  
2



sen x  cos  x 
2

tg x   tg  x
tg x  tg  x
4) Calcula sen 2x sabiendo que sen x 
1
y que el ángulo x está en el primer cuadrante.
3
5) Calcula sen 3x sabiendo que sen x 
1
y que x está en el 2º cuadrante. Expresa
3
sen 3x en función de sen x
6) Sabiendo que sen a 
11
4
y cos b  , siendo a y b ángulos que pertenecen al 2º y 4º
13
5
cuadrante, respectivamente, halla:
a) sen( a  b)
b) cos( a  b)
c) cos( 2a  b)
d) sen( a  2b)
7) Si tg a  2 y tg b  3 , calcula (verificando los resultados con la calculadora):
a) tg( a  b)
b) tg( 2a  b)
c) tg( a  2b)
8) Si A  B  C 

2
demuestra que tg A  tg B  tg B  tg C  tg C  tg A  1
9) Si A  B  C   demuestra que tg A  tg B  tg C  tg A  tg B  tg C
10) Si cos 40º  0,77 , utilizando las fórmulas del ángulo doble calcula manualmente
(después comprueba tus resultados con la calculadora):
a) sen 80º
b) tg 80º
11) Si cos 40º  0,77 calcula con las fórmulas del ángulo mitad las razones
trigonométricas de 20º, de 10º y de 5º (después verifica los resultados con la
calculadora).
12) Transforma en producto las siguientes expresiones:
a) sen 30º  sen 70º
b) cos 40º  cos 10º
c) sen 25º  cos 55º
d) cos 75º  sen 40º
13) Descompón en productos las siguientes expresiones:
a) 1 sen a
b) cos a  0,5
c)
2
 cos a
2
14) Descompón en productos las expresiones:
a) sen 3a  sen a  sen 2a
b) sen a  sen 3a  sen 7a  sen 9a
15) Transforma en suma las siguientes expresiones:
a) sen 75º  cos 40º
b) cos 50º  cos 65º
16) Transforma en suma las siguientes expresiones:
a) sen 5a  cos 3a
b) sen 2a  sen a
Demuestra las siguientes igualdades:
17)
1
1
1


2
2
2
cos a sen a sen a  cos 2 a
18) cos 4 a  sen 4 a  cos 2a
19)
tg a
 cos 2a
tg 2a  tg a
20) cos(a  b)  cos(a  b)  cos 2 a  sen 2 b
21) sen( a  b)  sen( a  b)  sen 2 a  sen 2 b
22)
sen a
a
 tg
1  cos a
2
23) cos( a  b)  sen( a  b)  sen a  cos a  sen b  cos b
24)
2 sen a
sen 2 a
 cos a 
tg 2a
cos a
25)
1  tg a 1  sen 2a

1  tg a
cos 2a
26)
sen 5a  sen a
 3 cos 2 a  sen 2 a
sen 3a  sen a
Simplifica las siguientes expresiones
27)
sen 2a
1  cos 2a
28)
1  tg a 1  sen 2a

1  tg a
cos 2a
29)
sen 2a 1  cos a

1  cos a cos a
30)
2 sen a sen 2 a

tg 2a
cos a
31)
cos( a  b)  cos( a  b)
sen( a  b)  sen( a  b)
32)
2 sen 2 a
sen a  cos a  sen 2 a  tg a
33)
sen a  cos a sen 2a

sen a  cos a 1  sen 2a
34)
sen 5a  sen a
 2 cos 2a
sen 3a  sen a
Resuelve (sin calculadora) las siguientes ecuaciones trigonométricas:
35) sen 4 x  1
36) sen 5 x  0,5
37) tg 3 x  1
38) sen 3x  sen 36º
39) cos 4x  sen 48º
40) cos 2x  sen x  0
41) sen 2 x  cos 2 x  1
42) sen x  cos x  2
43) 2 cos x  4 sen
x
3
2
44) sen 2x  sen x
45) 2 sen 2 x  3 tg x
46) 3 cos x  1  tg 2
x
0
2
47) cos 8 x  cos 6 x  2 cos 210º  cos x
48) cos 2x  cos x  sen 2x  sen x
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
49)
sen x  sen y  1


x  y  90º
50)
2 sen x  1  cos y 

2 cos x  1  cos y 
1
sen x  sen y  
2
51)

2

x y 

3
3
sen x  cos y  
4
52)

1
cos x  sen y  
4
53)
cos x  cos y  sen x  sen y 



x  y  30º

3
sen x  sen y  
2
54)

x y
3 
cos

2
2 
1
cos x  cos y  
2
55)
tg x  tg y  2 
56) Determina los valores de x que verifican simultáneamente las igualdades:
13 
3x  6 

3x  1 
cos a 

13
cosec a 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
 Cuando se pretende resolver triángulos cualesquiera ABC, el proceso no es tan
sencillo como en el caso de los triángulos rectángulos y es preciso trabajar con los dos
importantes teoremas que se indican seguidamente:
Teorema de los senos:
a
b
c


sen A sen B sen C
Teorema del coseno:
a2 = b2 + c2 – 2b · c · cos A
b2 = a2 + c2 – 2a · c · cos B
c2 = a2 + b2 – 2a · b · cos C
 En la resolución de triángulos cualesquiera pueden presentarse hasta cuatro casos
distintos, en función de los datos que se conozcan:
– Un lado y dos ángulos. Solución única.
– Dos lados y el ángulo comprendido. Solución única.
– Tres lados. Solución única o ninguna, puesto que un lado nunca puede ser
mayor que la suma de los otros dos.
– Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Puede haber 0,1 o 2 soluciones, ya
que al aplicar el teorema del seno puedes obtener que el seno de un ángulo es
mayor que 1 (imposible) o que al hallar los ángulos (recuerda que la calculadora
únicamente te indica un valor, pero también puede ser válido su suplementario)
sea válido sólo uno o los dos.
 Cuando debas hallar el área de un triángulo, puedes aplicar la siguiente expresión (o
sus análogas cambiado las letras):
S
1
b  c  sen A
2
Sin embargo, si conoces los tres lados es más cómodo y rápido aplicar la llamada
fórmula de Herón:
S
p  (p-a)  (p-b)  (p-c)
donde p es el semiperímetro del triángulo; es decir:
p
abc
2
Resuelve los triángulos que se indican a continuación, calculando además su área:
1) b = 50
A = 47º 20'
B = 73º 42'
2) a = 28
A = 35º 28'
B = 127º 47'
3) a = 7
c = 20
A = 36º 5'
4) a = 14
b = 28
A = 30º
5) b = 10
c=5
B = 107º 12'
6) a = 5
c=7
A = 12º 22'
7) a = 4
b=9
C = 29º 35'
8) a = 7
b=8
c=9
9) a = 10
b=4
c=5
11) Desde un punto A se observa un puente sobre un río. Si B y C son los extremos del
puente sobre las orillas opuestas (B es el más cercano a A), averigua la longitud del
puente sabiendo que la distancia AB es 80 m y los ángulos BAC y ABC miden 20º y
113º, respectivamente.
12) Los pueblos A y B están en la misma margen de un río y C en la opuesta. Se conoce
la distancia de A a B, 2 km, y los ángulos ABC y CAB, 73º y 62º respectivamente.
Calcula la distancia que hay entre A y C.
13) Aplicando el teorema de los senos, demuestra que en un triángulo la razón del lado
al seno del ángulo opuesto es el diámetro de la circunferencia circunscrita.
14) Un jugador de fútbol está situado a 5 y 8 metros de los postes de una portería, a la
que ve bajo un ángulo de 60º. ¿Cuál es la anchura de la portería?
15) Las dos diagonales de un paralelogramo miden 8 y 14 cm y forman un ángulo de
42º 27'. Halla los lados.
Resuelve los siguientes triángulos:
16) a = 2b
c=5
B = 27º 39'
17) a = 50
b = 38
sen A = tg B
18) ¿Qué ángulo forman dos diagonales de un cubo?
19) Sara está de pie y desde sus ojos al suelo hay una distancia de 1,6 m. Divisa los
extremos de un poste, situado a cuatro metros de distancia, bajo un ángulo de 43º. ¿Cuál
es la altura de dicho poste?
20) Para calcular la altura a la que se encuentra la cima C de una montaña, vista desde el
llano, una persona sigue los siguientes pasos:
i) marca dos puntos A, B del llano y mide su distancia,
ii) mide los ángulos CAB, ABC y el que forma la visual AC con la horizontal.
Suponiendo que las medidas son las indicadas en la figura, averigua la altura h de la
montaña
21) Un radar R que cubre 5 kilómetros está situado a 20 kilómetros de un puerto A. De
este puerto sale un barco a 25 km/h, con una dirección que forma un ángulo de 10º con
AR. ¿Cuánto tiempo estará el barco en el visor del radar?
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Como todo número real puede considerarse la medida en radianes de un ángulo, es
posible definir una serie de funciones que a cada número real x le haga corresponder
una de sus seis razones trigonométricas. Se obtienen así las llamadas funciones
trigonométricas o circulares, cuyas principales características se muestran en la
siguiente tabla:
Función
Dominio
Recorrido
sen x

[–1,1]
2
Impar
cos x

[–1,1]
2
Par
tg x
  n   / 2 | n  


Impar
  n | n  
 ,1  1,
2
Impar
sec x
  n   / 2 | n  
 ,1  1,
2
Par
cotg x
  n | n  


Impar
cosec x
Periodo Paridad
 Recuerda que el periodo P de una función y = f(x) es el menor valor no nulo que, para
todo valor del dominio, verifica:
f(x + P) = f(x)
 Ninguna de las funciones trigonométricas es biyectiva y, por consiguiente, carecen de
función inversa. No obstante, si restringimos su estudio a un determinado intervalo es
posible que existan sus inversas. Las tres funciones trigonométricas inversas más
usuales son:
Función
Notación
arco seno
y = arc sen x
sen y = x
[–/2, /2]
arco coseno
y = arc cos x
cos y = x
[0, ]
Equivale a: Recorrido habitual
arco tangente
y = arc tg x
[–/2, /2]
tg y = x
Representa en unos mismos ejes las siguientes parejas de funciones:
1) y = sen x
y = cos x
2) y = tg x
y = cotg x
3) y = sec x
y = cosec x
4) Tomando como base la gráfica de f(x) = cos x, obtén la de cos (

– x) y comprueba
2
que coincide con la gráfica de la función f(x) = sen x.
5) A partir de la gráfica de la función f(x) = sen x, representa en unos mismos ejes, sin
hallar puntos y con diferentes colores, las de:
a) y = 2 + sen x
b) y = sen (x+2)
c) y = 2sen x
d) y = sen 2x
e) y = 1 + 3sen 2x
6) Halla el dominio de las siguientes funciones:
a) y =
1
1  cos x
b) y = cos
1
x 1
c) y = cos x – tg x
d) y = cosec 2 x  1
e) y =
1
sen x  cos x
f) y = cosec x  sec x
7) Encuentra el recorrido de las siguientes funciones:
a) y = sen
x
2
b) y = 2sen x
c) y = 2 + sen x
8) Indica el período de las siguientes funciones:
a) y = sen
x
2
b) y = tg 3x
c) y = 3sen
9) Señala la paridad de las funciones:
a) y = 2tg x
b) y = sen x · tg x
x
3
c) y = sen (x + 2)
d) y = sen x2
10) Resuelve gráficamente, en el intervalo [0,2], las inecuaciones:
a) sen x + cos x > 0
b) sen x – tg x  0
c) sen x + tg x > 0
11) Representa, en unos mismos ejes, las funciones:
a) y = arc cos x
b) y = arc tg x
12) Despeja x en las siguientes igualdades:
a) y = 3 arc cos (x + 5)
x
2
b) y = 4 arctg
c) y = –2 + arc tg x
d) y =
1
arc tg (2 + bx)
a
13) Encuentra, sin calculadora ni tablas, los siguientes valores en los recorridos
habituales de las funciones:
a) arc sen
1
2
b) arc cos
1
2
c) arc cos 
1
2
d) arc tg 0
e) arc sen –1
14) Halla, sin tablas ni calculadora, el valor de las expresiones:
a) arc sen (tg )
b) arc sen (sen
c) tg (arc cos

)
7
5
)
13
15) ¿Por qué la función arc cos x se estudia en [0,] en lugar de [ 
16) Halla el dominio y recorrido de la función y = sen (arc sen x)
 
, ]?
2 2
17) ¿Es cierta la igualdad arc tg x =
arc sen x
?
arc cos x
18) Resuelve la ecuación: arc cos x + 2 arc sen 1 = 
19) Calcula el valor de arc sen x + arc cos x
SOLUCIONES
TRIGONOMETRÍA PLANA
1) a)  = /6 b)  = 43/36 c)  = 41/18
2)  =240º  = 144º  = 450º
3) a) 129º 5’ 46’’ b) 230º 54’ 14’’ c) 309º 5’ 46’’
4) a) 260º 23’ b) 96º 32’
5) 77º21’
6) 23,457 m
7) 10,602 cm2
8) 72 m/s
10)

sen 
sen 

1
0.8414709848079
0.8414709848079
0,1
0.09983341664683
0.9983341664683
0,001
9.999998333333e-4 0.9999998333333
0,00001
9.999999999833e-6 0.9999999999833
11) a) 4º b) 3º c) 2º
12)
Cuadrante
sen 
cos 
tg 
sec 
cosec 
cotg 
2º
0,2
-0,9797
-0,204
-1,0206
5
-4,90
13)
Cuadrante
sen 
cos 
tg 
sec 
cosec 
ctg 
3º
-0,447
-0,894
0,5
-1,118
-2,236
2
16) sen 
17) a) –sen 25º b) –cos 39º c) –ctg 43º d) –cosec 17º e) –sec 35º f) –ctg 32º
18) sen2 
19) 1
20) a)  = 14º 33’ 16’’ ó 165º 47’ 56’’ b)  = 106º 47’ 56’’ ó 253º 12’ 3’’
21)  = 39º 51’43’’ , -39º 51’ 43’’ , 115º 44’ 17’’ , 244º 15’ 56’’
22) 3,05 cm2
23) 800,6404 cm2
24) 57º 56’ 54’’ o 122º 3’ 6’’
25) 67º 10’ , 112º 50’
26) 40º 32’ 30’’
27) 6,167981 m
28) 12,29 m
29) 18,01303 m/minuto
TEOREMAS DE ADICIÓN
4) 0,6285393
5) 23/27 sen 3x = 3 senx – 4 sen3x
6) a) 0,9966862 b) 0,9340432 c) –0,8866998 d) –0,274698
7) a) –1/7 b) 13/9 c) ½
12) a) 2 sen 50º cos 20º b) –2 sen 25º sen 15º
c) –2 cos 30º sen 5º d) –2 sen (125/2)º sen (25/2)º
13)
a)
 2 sen
2 cos
90  a
90  a
 sen
2
2
b)
 2 sen
45  a
45  a
 sen
2
2
14) a) 4  cos a  sen
3a
a
 cos b) 5  cos a  sen 5a  cos 3a
2
2
15) a)
1
1
 (sen 115º  sen 35º ) b)  (cos 115º  cos 15º )
2
2
16) a)
1
1
 (sen 8a  sen 2a ) b)   (cos 3a  cos a)
2
2
27) tg a
28) 0
a  60
a  60
 sen
2
2
c)
29)
2  (1  cos 2 a  2 cos a)
sen a
30) cos a
31) tg b
32) tg 2a
33) – tg 2a
34) 1
35) 22º 30’ + 2k
36) 6º ó 30º + 2k
37) 45º ó 105º + 2k
38) 12º ó 48º + 2k
39) 10º 30’ ó 79º 30’ + 2k
40) 90º + 2k/3
41) k
42) 45º + 2k
43) 2k  60º
44) k 2k  60º
45) k 30º , 150º , 210º ó 330º + 2k
46) 90º + k 109º 28’ 16’’ + 2k
47) 90º + k 30º ó 21º 25’ + 2k
48) 180º , 270º , 150º , 30º + 2k
49) x = k ó 90º + 2k y = 90º +2k ó k
50) x = 90º + 2k y = 180º + 2k
51) x = 90º y = 30º + 2k ó x = 210º y = -90º + 2k
52) x = 60º y = 30º + 2k ó x = 120º y = -30º + 2k
53) x = 60º y = 30º + 2k x = 150º y = 120º + 2k
54) x = 90º y = 30º ó x = 30º y = 90º ó x = 150º y = 90º ó x = 90º y = 150º + 2k
55) x = y = 45º + 2k
56) 2 , -11/3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
1) C = 58º 58’ a = 38,305 c = 44,63 S = 820,56 unid2
2) C = 16º 45’ b= 38,1389 c = 13,9074 S = 153,8808 unid2
3) No hay solución
4) B = 90º C = 60º c = 24,2487 S = 169,7409 unid2
5) A = 44º 17’ C = 28º 31’ a = 7,3132 S = 17,4655 unid2
6) C = 17º 26’ B = 150º 12’ b = 11,6024 S = 8,6969 unid2 ó
C = 162º 34’ B = 5º 5’ b = 2,0685 S = 1,5505
7) A = 19º 40’ B = 130º 45’ c = 5,8639 S = 8,8864 unid2
8) A = 48º 11’ B = 58º 24’ C = 73º 25’ S = 23,0017 unid2
9) No hay solución
11) 37,412251 m
12) 2,7048381 km
14) 7 m
15) 4,866 10,311
16) A = 68º 8’ 47’’ C = 84º 12’ 13’’ b = 2,332 a = 4,664 S = 5,411 unid2
17) A = 58º 46’ 40’’ B = 40º 32’ 8’’ C = 80º 41’ 12’’ S = 937,477 unid2
18) 35º 15’ 52’’ o 70º 31’ 43’’ o 109º 28’ 16’’
19) 3,151 m
20) 290,897 m
21) 17 m 16 s
Funciones trigonométricas
1)
2)
3)
5) a)
b)
c)
d)
e)
6) a) Dom =  – {0º + 2k}
d) Dom =  – {k}
7) a) Im = [–1 , 1]
b) Dom =  – {1}
e) Dom =  – {/4 + k}
b) Im = [–2 , 2]
9) a) Impar b) Par c) Ni par ni impar d) Par
b)
f) Dom =  – {k/2}
c) Im = [1 , 3]
8) a) 4 b) /3 c) 6
10) a)
c) Dom =  – {k + /2}
c)
11)
12) a) x = -5 + cos
y
3
b) x = 2 tg
y
tg( ay )  2
c) x = tg (y+2) d) x =
b
4
13) a) 30º b) 60º c) 120º d) 0º e) 270º
14) a) 0º b) /7 c) 2,4
15) Para que sea función
16) Dom = Im = [–1 ,1]
17) No
18) 90º + k
19) /2