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Godel y la Crisis de los Fundamentos
Andres Abeliuk
Hay un concepto que es el corruptor y el
desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo
limitado imperio es la ética: hablo del infinito.
Jorge Luis Borges
El concepto de infinito
La noción de infinito como idea de algo ilimitado, ha
sido una fuente de confusión a través de la historia.
Los antiguos griegos, trataron de comprenderlo
sometiendo el infinito a la intuición del sentido
común, el cual, estaba inspirada en un mundo
finito.
Los condujo a conclusiones contradictorias y
paradójicas.
Aristóteles y el infinito
Infinito potencial:
“Se centra en la operación reiterativa e ilimitada,
por muy grande que sea un número natural,
siempre podemos concebir uno mayor, y uno
mayor que este y así sucesivamente donde esta
última expresión “así sucesivamente” encierra la
misma idea de reiteración ilimitada, al infinito”.
(Ortiz,1994)
Infinito actual:
Se refiere al infinito existente como un todo o
unidad y no como un proceso.
Kant aceptaba la posición de Aristoteles y
rechazaba el infinito actual por ser imposible de
ser alcanzado por la experiencia.
Paradoja de Zenón
Este tipo de contradicción es la que llevó a los
griegos a negar la existencia del infinito.
Pensaban que el infinito no podía existir pues dicha
existencia producía la aniquilación de los números
al ser sumados al infinito, esto es:
a
+
∞
=
∞
De esto se deriva que la lógica empleada para
explicar los fenómenos finitos puede no ser
aplicable a situaciones en las que medie el
concepto del infinito.
El Paraiso Transfinito
de Cantor
Cantor desarrolla una teoría formal sobre el
infinito actual.
Antes que él, el infinito, era más un objeto de
reflexión filosófica que matemática.
Mostro que existen diferentes tipos de infinito y que
es posible clasificarlos mediante nuevos números.
“La existencia de un infinito potencial
presupone la existencia de un infinito actual.”
(Ortiz,1994)
Intuicionismo
Las ideas de Kant dan origen a la tendencia intuicionista puesto que
se admite en ella la subjetividad de los fundamentos de la
Matemática.
Los intuicionistas afirman que en los comienzos de nuestra ciencia
existen ciertas nociones y proposiciones provenientes de la intuición
(intelectual), e irreductibles a la Lógica.
Para los intuicionistas la Matemática es una libre creación del
hombre, el cual no descubre sino crea la Matemática.
●
Paradoja de Russell
Un barbero de cierto pueblo afeita a todos los hombres que no
se afeitan a sí mismos.
¿Debe el barbero afeitarse a sí mismo?
Formalmente:
El conjunto S de los conjuntos que no son elementos de sí mismos.
S = {X tal que X no pertenece a X}.
Ahora bien: ¿S pertenece a S?
Si S pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad entre
llaves, por lo tanto, S no pertenece a S.
Si S no pertenece a S, es uno de los X que verifica la propiedad
entre llaves, por lo tanto S pertenece a S.
Crisis de Los Fundamentos
Los matemáticos se percataron de la excesiva confianza concedida a
la intuición hasta ahora.
Las evidencias sobre las que se habían descansado, no debían ser
consideradas más criterios inobjetables de verdad
Esta crisis lleva a revisar el sistema aceptado de intuiciones
consideradas como elementales.
Se ven afectado pilares tan esenciales de la ciencia como son los
conceptos de verdad y de demostración
Definiciones:
Un sistema lógico está constituido por
proposiciones a las cuales se les asigna dos valores
posibles, verdadero o falso.
Axioma:
Premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin
requerir una demostración previa
Consistencia:
Si está libre de contradicciones,
es decir, ninguna proposición P tal que tanto P como su
negación sean demostrables verdaderos a partir de los
axiomas.
Completitud:
Toda proposición P o su negación son demostrables
●
Escuela Formalista
Se plantea reemplazar los razonamientos intuitivos
por formulas y reglas (axiomas), las cuales deben
ser traducidas a formalismos.
Demostraciones, razonamientos y las
construcciones conceptuales, queden integrados en
el edificio de la matemática como constituyentes
formales, según el
modelo del cálculo lógico.
Establece como requisitos y problemas
fundamentales de un sistema formal matemático la
consistencia y la completitud.
Programa Formalista de Hilbert
Formalismo:
Todas las afirmaciones matemáticas deberían ser escritas en un
lenguaje preciso y formal, y manipuladas de acuerdo a reglas bien
definidas.
Integridad:
Todas las afirmaciones matemáticas pueden ser probadas en el
formalismo.
Consistencia:
Ninguna contradicción puede ser obtenida del razonamiento
finitista en el formalismo de las matemáticas.
Decidibilidad:
Debería haber un algoritmo finito para decidir la verdad o falsedad
de cualquier afirmación matemática.
●
Lo Verdadero y lo Demostrable
En muchos campos del conocimiento están representados estos dos
mundos (ej. justicia)
Demostración:
Cadena de afirmaciones afirmativas dadas por reglas lógicas
bien determinadas.
Verificar una demostración es un procedimiento mecánico
●
Ejemplo: Demostración de que 1 + 1 = 2.
(Recordar que la letra S significa “sucesor” de un número. Por ejemplo,
S(0) = 1, S(1) = 2, S(2) = 3, etc.)
Demostración:
Axioma: Cualquiera sea el número x, vale que x + 0 = x
En particular, si x = 1, vale que 1 + 0 = 1
Axioma: Cualesquiera sean los números x e y, vale que
x + S(y) = S(x + y)
En particular, si x = 1 e y = 0, vale que 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1)
Entonces 1 + S(0) = S(1)
Pero S(0) = 1 y S(1) = 2
Por lo tanto, 1 + 1 = 2
q.e.d
●
Teorema de Gödel
Paradoja de Epimenides:
“Esta afirmación mía es falsa”
Gödel, de manera análoga construye la
afirmación:
“Yo no soy demostrable”
●
Teorema de incompletitud de Gödel (1931)
”Cualquier sistema axiomático que se proponga
para la aritmética, si es consistente, tendrá
enunciados indecidibles (es decir, enunciados que
no pueden ser demostrados ni refutados por el
sistema). Más aún, se puede encontrar un
enunciado que es verdadero pero no es
demostrable (para ese sistema).”
Segundo teorema de Gödel:
La consistencia del sistema es uno de los enunciados que no
puede demostrarse dentro del sistema.
●
Gödel fuera de la Matemática
La mente humana supera el poder de cualquier máquina finita.
Argumento:
Para cualquier sistema formalizado o maquina finita, existe un
enunciado de Gödel que es indemostrable, pero la mente humana
puede ver que es verdadero.
●
objeción
“Si el sistema para la aritmética es consistente, entonces habrá un
enunciado indecidible.”
Consistencia → Incomplitud
Si el sistema no es consistente, todo es demostrable y todo es
refutable.
Por lo tanto requiere que la mente humana sea capaz de ver si la
teoría formalizada es consistente.
●
Gödel en el psicoanálisis
La analogía de Lacan
(Definición de lo real)
La experiencia del análisis instaura un discurso que podría
articularse con una estructura lógica.
Tal como sucede en la aritmética, la textura lógica de ese discurso
tiene “fallas” o “aberturas”.
Dentro de la analogía, en esas aberturas está “lo que puede salir
del lenguaje” y se corresponderían con los enunciados indecidibles
de la aritmética.
Esas “fallas” o “aberturas” lógicas deben ser privilegiadas por los
analistas. Allí estaría el “modelo de lo que debe interesar a los
analistas”, “lo que entrega la exploración del inconsciente”.
●
objeciones
¿tendrá algo que ver con la lógica binaria y estricta de la matemática
la estructura del inconciente?
¿Por qué se parecería el discurso del inconsciente a la aritmética con
la suma y la multiplicación?
●
Gödel en la politica
Una sociedad no puede quedar "cerrada" con sus elementos internos,
necesita algo de fuera , que el gobierno del pueblo para el pueblo es
imposible porque todo queda dentro, y que todo conjunto necesita
una causa externa que lo engendre.
(¿la Causa Primera?; Debray rechaza la existencia de Dios).
●
De vuelta en la matematica
El teorema de Gödel inspiro a Turing a encontrar problemas
indecidibles,
Es decir que no existe una maquina que pueda resolverlos.