Download José Alfredo Amor Montaño (UNAM / Fac. de Ciencias / Dpto. de

Aclaración de la Paradoja de Russell
y sus Variantes, con Verdades
Lógicas
José Alfredo Amor
Facultad de Ciencias UNAM
[email protected]
Si todos los maestros de lógica de
Huauchinango enseñan lógica a toda
la gente de aquí que no se enseña
lógica a sí misma y sólo a esa . . .
¡Entonces, no hay maestros de
lógica en Huauchinango!
TEMAS
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ACLARAR
PARADOJAS
VERDADES LÓGICAS
LA PARADOJA DE RUSSELL
ACLARACIÓN DE LA PARADOJA
(una verdad lógica muy especial)
VARIANTES DE LA PARADOJA
TEOREMA DE CANTOR
CONCLUSIONES
ACLARAR
VOLVER CLARO O
TRANSPARENTE ALGO.
PONER EN CLARO ALGO O
HACERLO MÁS PERCEPTIBLE
PARA COMPRENDERLO
MEJOR.
PARADOJA
COSA EXTRAÑA O CONTRADICTORIA
CON LA OPINIÓN COMÚN O AL
SENTIDO COMÚN DE LA GENTE
AFIRMACIÓN INVEROSÍMIL O
ABSURDA PARA LA INTUICIÓN
QUE SE PRESENTA CON APARIENCIA
DE VERDADERA
Las paradojas son resultados contrarios a la
opinión común. A primera vista parecían no
problemáticos pero con un razonamiento
adecuado nos llevan a una contradicción.
Son como los acertijos: parecen problemas
insolubles, pero siempre tienen solución,
sólo es necesario entenderlas y aclararlas.
Son argumentos que nos llevan a una
contradicción con alguna suposición que
inocentemente parecía correcta y clara a la
intuición.
La intuición como facultad humana
ayuda mucho en muchísimos casos,
pero obstaculiza en otros


Si un razonamiento impecable conduce a
contradecir una intuición particular que uno tiene
sobre algo, probablemente estará mal la intuición
particular.
En un principio las paradojas pueden parecer
inexplicables, pero analizadas, entendidas y
aclaradas, encontramos que son pruebas
fehacientes de que nuestro patrón de intuición era
erróneo y debe ser modificado.
Así pues, las paradojas son inferencias correctas
en una teoría, pero que chocan fuertemente con
nuestra intuición o sentido común.
No son afirmaciones erróneas, sólo contradicen
nuestras intuiciones pero serán estas últimas, las
intuiciones, las equivocadas y las que tendremos
que cambiar.
Esto puede ser difícil por dos razones: primero,
porque generalmente no está claro cuál de las
intuiciones supuestas nos llevó a la contradicción.
Segundo, porque generalmente no queremos
aceptar que nuestra clara intuición está
equivocada. Pero descubrir las intuiciones
equivocadas y eliminarlas . . . .
¡Mejorará nuestra intuición!
Muchas paradojas son germen de
nuevas ideas


Sólo necesitamos poder “ver más allá” para
aclararlas y mejorar nuestra intuición, logrando con
ello un proceso heurístico que nos llevará a nuevos
descubrimientos.
En general, convertir una aparente imposibilidad
paradójica en una nueva posibilidad creativa,
aclarando y desechando la concepción equivocada
y cambiando la intuición, puede llevarnos a un
descubrimiento
Algunos ejemplos históricos de este proceso heurístico
son los siguientes:



1. La existencia de los inconmensurables: a partir de la
paradoja, para los pitagóricos, de que el lado del cuadrado
fuera inconmensurable con su diagonal.
2. La aceptación de las geometrías no euclidianas: a partir
de las paradojas antieuclidianas en la geometría de las
superficies curvas; cambiando la intuición equivocada de
que la única geometría verdadera y posible era la euclidiana,
por el nuevo criterio de existencia como equivalente de no
contradicción.
3. El concepto de conjunto infinito de Dedekind: tomando
como definición, precisamente lo que se había considerado
una paradoja desde Galileo hasta Bolzano: que un conjunto
(infinito) fuera biyectable con un subconjunto propio.



4. El concepto de verdad respecto a una interpretación
que indica que un enunciado es verdadero si su
significado se refiere a un hecho en la interpretación.
Pero la verdad siempre se refiere al significado y debe
excluirse la intuición equivocada de que el significado
pudiera referirse a su propia verdad, en cuyo caso se tiene
la paradoja del mentiroso.
5. La prueba del teorema de Gödel de incompletud de la
aritmética formal, cambiando en la paradoja del
mentiroso, el concepto “falso” por el de “indemostrable”,
con lo cual es posible construir un enunciado verdadero
en el modelo estándar de la aritmética, pero
indemostrable en la aritmética formal.
6. El concepto iterativo de conjunto, base intuitiva de la
axiomática de Zermelo-Fraenkel, cambiando la errónea
concepción extensional de Russell, por la concepción
iterativa o constructiva de conjunto
VERDADES LÓGICAS
• SON ENUNCIADOS VERDADEROS CON
CUALQUIER SIGNIFICADO
• ES DECIR, SON VERDADES QUE NO
DEPENDEN DEL SIGNIFICADO
• SÓLO DEPENDEN DE SU FORMA LÓGICA
EJEMPLOS DE VERDADES LÓGICAS
• SI HAY UN PAYASO TODOS RÍEN O
SI TODOS RÍEN HAY UN PAYASO.
• TODOS LOS HOMBRES SON CASADOS O
NO SON CASADOS.
• CUALQUIER NIÑO ES IGUAL A SÍ MISMO.
• SI HAY ALGUIEN RELACIONADO CON
TODOS, ENTONCES PARA TODOS HAY
ALGUIEN RELACIONADO CON ÉL.
UNA PARADOJA EN
MATEMÁTICAS
EL CONCEPTO DE CONJUNTO:
 INTUITIVAMENTE,
UN CONJUNTO ES
UNA COLECCIÓN DE OBJETOS
 ESCRIBIMOS A  B Y LEEMOS “A ES
ELEMENTO DE B” SI A ES UNO DE LOS
OBJETOS QUE FORMAN EL CONJUNTO
B.
 EN CASO CONTRARIO SE DENOTA AB.
El concepto ingenuo de conjunto:
Cualquier propiedad determina un conjunto, el
conjunto de todos los objetos que la cumplen.
Así, si P es una propiedad cualquiera,
entonces la colección de los objetos X
tales que X cumple la propiedad P
{X / X cumple P } es un conjunto.
Ésta es una concepción intuitiva, clara y
útil, del concepto de conjunto
EJEMPLOS
{X / X es número par menor que 10}
= {2,4,6,8}
 Álvaro
Obregón{X / X fue presidente
de México}
 {a,
b} = { X / X = a o X = b }
DADO UN CONJUNTO DE OBJETOS B,
PUEDE OCURRIR QUE:
B
PERTENCE A B
(ES DECIR BB)
o bien que:
 B NO PERTENECE A B
(ES DECIR BB).
POR EJEMPLO:
SI EL CONJUNTO I DE TODAS LAS IDEAS
ES UNA IDEA ENTONCES PERTENECE A I,
ES DECIR I  I
 EL CONJUNTO S DE TODAS LAS SILLAS
NO ES UNA SILLA, ENTONCES NO
PERTENECE A S,
ES DECIR SS.
ASÍ,
 “NO PERTENECERSE A SÍ MISMO”, ES
UNA PROPIEDAD ACERCA DE CONJUNTOS

SI CUALQUIER COLECCIÓN DETERMINADA
POR UNA PROPIEDAD ES UN CONJUNTO
Y CONSIDERAMOS LA PROPIEDAD:
“SER UN CONJUNTO Y NO
PERTENECERSE A SÍ MISMO”
Entonces


B = {X / X es un conjunto y XX}
ES UN CONJUNTO
ASÍ, PARA CUALQUIER OBJETO X
XB SI Y SÓLO SI
X es un conjunto y XX.
Entonces para cualquier conjunto X:
 X  B
SI Y SÓLO SI X  X
Ahora, si B es realmente un conjunto, en
particular para B tenemos que:
 B  B
SI Y SÓLO SI B  B

¡Pero eso es absurdo !
Si suponemos que B = {x / x es un conjunto y xx}
es un conjunto, entonces tenemos una contradicción.




Tenemos que concluir entonces que B no es un
conjunto. Esto contradice la concepción ingenua, tan
intuitiva, tan clara y útil.
Pero entonces esa intuición está mal y tenemos
que desecharla.
Pero ¿por qué está mal?
¿Cuál es la razón de fondo para que esto sea así?
¿Hay alguna explicación, además del argumento
anterior?
Aclaración de la Paradoja
con una verdad lógica muy especial*

En cualquier universo de objetos y
para cualquier relación R entre
objetos de ese universo:
No hay ahí en ese universo objeto alguno
que tenga esa relación R exactamente
con todos aquellos objetos que no tengan
esa relación R consigo mismos, y
sólamente con esos.
* Se puede demostrar fácilmente que este enunciado es una verdad lógica
OCHO EJEMPLOS DE LA VERDAD
LÓGICA MUY ESPECIAL
• UNIVERSO: LOS HOMBRES DE
HUAUCHINANGO
• RELACIÓN R: X RASURA A Y
• VERDAD LÓGICA:
NO HAY BARBERO EN
HUAUCHINANGO QUE RASURE A
TODOS LOS HOMBRES DE
HUAUCHINANGO QUE NO SE
RASURAN A SÍ MISMOS, Y SÓLO A
ESOS
UNIVERSO: LOS SOCIOS DE CLUBES CON
NOMBRES DE SOCIOS
• RELACIÓN R: X ES SOCIO DEL
CLUB CON EL NOMBRE DE Y.
• VERDAD LÓGICA: NO HAY PERSONA
TAL QUE LOS SOCIOS DEL CLUB CON
SU NOMBRE SEAN EXACTAMENTE
LOS QUE NO SON SOCIOS DEL CLUB
CON SU NOMBRE Y SÓLO ESOS.
UNIVERSO: LOS CATÁLOGOS DE
CATÁLOGOS
• RELACIÓN R: X CATALOGA A Y.
• VERDAD LÓGICA: NO HAY UN
CATÁLOGO QUE CATALOGUE A
TODOS LOS CATÁLOGOS QUE NO SE
CATALOGAN A SÍ MISMOS Y SÓLO A
ESOS.
UNIVERSO: LOS VÉRTICES DE UNA
GRAFICA DIRIGIDA G
• RELACIÓN R: X ESTÁ CONECTADO
CON UNA ARISTA HACIA Y.
• VERDAD LÓGICA: NO HAY VÉRTICE
EN G QUE ESTÉ CONECTADO HACIA
TODOS LOS VÉRTICES QUE NO
ESTÉN CONECTADOS HACIA SÍ
MISMOS Y SÓLO HACIA ESOS.
UNIVERSO: LOS ADJETIVOS
• RELACIÓN R: X DENOTA A Y.
• VERDAD LÓGICA: NO HAY
ADJETIVO QUE DENOTE A TODOS
LOS ADJETIVOS QUE NO SE
DENOTAN A SÍ MISMOS Y SÓLO A
ESOS. (ES DECIR, NO EXISTE EL
ADJETIVO HETEROLÓGICO).
UNIVERSO: LOS PRESIDENTES
MUNICIPALES
• RELACIÓN R: X ES EL PRESIDENTE
MUNICIPAL DEL MUNICIPIO DONDE
VIVE EL PRESIDENTE MUNICIPAL Y.
• VERDAD LÓGICA: NO HAY
PRESIDENTE MUNICIPAL DEL
MUNICIPIO DE TODOS LOS
PRESIDENTES MUNICIPALES QUE NO
VIVEN EN EL MUNICIPIO DEL QUE
SON PRESIDENTES MUNICIPALES.
UNIVERSO: LOS HABITANTES DE
HUAUCHINANGO
RELACIÓN R: X ENSEÑA LOGICA A Y
• VERDAD LÓGICA:
NO HAY PROFESORES DE LOGICA EN
HUAUCHINANGO QUE ENSEÑEN
LOGICA A TODOS LOS HABITANTES
DE HUAUCHINANGO QUE NO SE
ENSEÑAN LOGICA A SÍ MISMOS, Y
SÓLO A ESOS.
UNIVERSO: LOS CONJUNTOS
• RELACION R: Y ES ELEMENTO DE X
O Y PERTENECE A X (Y  X).
• VERDAD LÓGICA: NO HAY UN
CONJUNTO AL QUE LE
PERTENEZCAN TODOS LOS
CONJUNTOS QUE NO SE
PERTENECEN A SÍ MISMOS, Y SÓLO
ESOS.
• ES DECIR, NO HAY UN CONJUNTO
B={Y/ YY}




LA VERDAD LÓGICA MUY ESPECIAL EN EL
CASO DE LOS CONJUNTOS
En el universo de los conjuntos con la relación
pertenencia entre conjuntos (ser elemento de).
No existe un conjunto cuyos elementos sean
exactamente todos aquellos conjuntos que no
son elementos de sí mismos, y sólo esos.
Así pues B = {x / x x }, no existe (en el universo
de los conjuntos) o bien
Tal B no es un conjunto. ¡Esto es una verdad
lógica!
Concluimos la aclaración de la
paradoja


El concepto ingenuo de conjunto como
colección de objetos que cumplen una
propiedad, aunque es intuitivo, claro y
útil es erróneo.
Porque es contradictorio con una verdad
lógica, para el caso de la propiedad
“Ser un conjunto y no pertenecerse a sí
mismo”.
ES CLARO AHORA, EL PORQUÉ DE LA
PARADOJA DE RUSSELL: ¡ ES UN
CONCEPTO QUE CONTRADICE A UNA
VERDAD LÓGICA !


CONCEPTO INGENUO: EXISTE UN
CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS SON
AQUELLOS CONJUNTOS QUE NO SE
PERTENECEN A SÍ MISMOS.
VERDAD LÓGICA: NO EXISTE UN
CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS SON
AQUELLOS CONJUNTOS QUE NO SE
PERTENECEN A SÍ MISMOS.
EQUIPOTENCIA






DEFINICION: Un conjunto A es equipotente a
un conjunto B si y sólo si hay una biyección
de A sobre B.
NOTACION: Si A es equipotente a B, lo
denotamos A ~ B.
Ejemplos:
ℕ~ℕxℕ ~ℤ~ℚ
ℕ≁ℝ
ℝ~ℝxℝ
 ¿El
conjunto de los espectadores de un
teatro tiene el mismo número de
elementos que el conjunto de los
asientos del teatro?
 Para saber la respuesta, el acomodador
¡no necesita contar a los espectadores
ni a los asientos!

Podemos definir las relaciones “los conjuntos A y B
tienen el mismo número de elementos”, o “el
conjunto A tiene estrictamente menor número de
elementos que el conjunto B”. Todo sin saber nada
acerca de números.

Lo único que necesitamos hacer en el primer caso es
establecer una biyección entre todos los elementos
de A y todos los elementos de B.
En el segundo caso establecer una función inyectiva
de todos los elementos de A a elementos de B y
mostrar que no hay biyección entre los dos
conjuntos.

TEOREMA DE CANTOR
Para todo conjunto A, A≁P(A)




Sea g: A → P(A) cualquier función
Sea B = {y∈A / y∉g(y)} B∈P(A)
Pero B∉im(g) pues si B = g(z) para algún
z∈A, tendríamos que
z∈B  z∉g(z)  z∉B !
Así pues g no es suprayectiva y como fue
arbitraria, no hay biyección entre A y P(A).
Observación. Hay f: A→P(A) inyectiva, por
ejemplo tal que x∈A, f(x)={x} ∈ P(A)
Una Observación Lógica

La afirmación
¬zw [w R g(z)  ¬(w R g(w))]
Es lógicamente válida, en todo universo, para
toda g función y toda R relación binaria.
Como caso particular, con la interpretación en
el universo de los conjuntos, la relación R
como ∈, y g como cualquier función, se afirma:

No hay un conjunto tal que su imagen bajo g
sea el conjunto de todos los conjuntos que no
pertenecen a su propia imagen bajo g:
¬z g(z)={w / w∉g(w)}.
¿Es el Teorema de Cantor una
Verdad Lógica?
Una fórmula lógicamente válida, relacionada con el
Teorema de Cantor es la siguiente:
Ag[F(g)D(g,A) z ( R(z,A) 
w(R(w,A) [R(w,f(g,z))  R(w,f(g,w))]))]
El lenguaje es: F predicado de un argumento; D, R
predicados de dos argumentos; f símbolo de función
de dos argumentos. Las variables son: A, g, z, w.
Esta fórmula es lógicamente válida: dados A y g
tales que F(g)D(g,A) por reducción al absurdo
mostrar z (.....), suponiendo z (.....).

Considero la siguiente interpretación para el lenguaje:
 Dominio V: los conjuntos (de aquí que A, g, z,
w representan conjuntos)
F  V, se interpreta como F(g): g es una función
(conjunto de pares ordenados donde no hay dos
pares con igual izquierdo y diferente derecho).
D  VxV, se interpreta como D(g, A): g es función y
A es su dominio (A es el conjunto de los elementos
izquierdos de los pares ordenados de g).
R  VxV, se interpreta como R(z, A): z A (R es la
relación de pertenencia entre conjuntos).
f : VxV -------> V es una función binaria sobre el
conjunto V, tal que para todo g, z V:
 i) f(g, z) = g(z) si g es función y z está en el
dominio de g
 ii) f(g, z) = Vacío, en otro caso.



Sean A cualquier conjunto y g cualquier conjuntofunción cuyo dominio es A.
Se concluye que no hay z  A tal que
g(z) = {w A / w  g(w)}
por lo que el conjunto {w A / w  g(w)} no
está en la imagen de A bajo g.
Pero ese conjunto {w A / w  g(w)} es
subconjunto de A por lo que pertenece al
conjunto Potencia de A.
Concluimos que g no es suprayectiva sobre
Potencia de A. Y como g fue arbitraria, no hay
biyección posible entre A y Potencia de A
(Teorema de Cantor).
Observaciones


En el penúltimo renglón del párrafo
anterior es donde para decir que {w A
/ w  g(w)} es un conjunto necesito el
Axioma de Separación.
Y para hablar de que {w A / w 
g(w)} es elemento del conjunto
Potencia de A, necesito el Axioma de
Potencia.
BIBLIOGRAFIA
1. AMOR J. A., “PARADOJAS, INTUICIÓN Y LÓGICA”,
REVISTA CIENCIAS No.29, ENE. 1993, FACULTAD DE
CIENCIAS, UNAM.
► AMOR J. A., “TEORIA DE CONJUNTOS PARA ESTUDIANTES
DE CIENCIAS”, SERVICIOS EDITORIALES DE LA FACULTAD
DE CIENCIAS DE LA UNAM, 2a. Ed. 2005.
► QUINE W. V.O., “RUSSELL’S PARADOX AND OTHERS”, THE
TECHNOLOGY REVIEW, NOV. 1941.
► QUINE W. V.O., “PARADOX”, THE FOUNDATIONS OF
MATHEMATICS, ABR. 1962.
► SMULLYAN RAYMOND, “¿CÓMO SE LLAMA ESTE LIBRO?”,
ED. CÁTEDRA COL. TEOREMA, 1978.
► TARSKI ALFRED, “TRUTH AND PROOF”, SCIENTIFIC
AMERICAN, JUN. 1969.
►