Download Matemáticas Bachillerato

Nº REALES
se clasifican
IRRACIONALES √a
RACIONALES (a/b)
propiedades
•
•
•
•
(a/b)m . (a/b)n = (a/b)m+n
(a/b)m : (a/b)n = (a/b)m-n
[(a/b)m ]n = (a/b)m.n
(a/b . c/d ) m = (a/b)m. (c/d)m
propiedades
•
•
•
•
•
Productos y
cocientes
Suma
Racionalización
•
•
•
a
n
n
√ an = a
√ a . n √b = n √ab
n
aplicaciones
•
m/n
n
relaciones
n
a
=
n
a
de
b
b
(n √a)m = n √am
n m n nm
√ √a = √a
n
√an = nm√an
m
orden
= √a
tipos
•
•
•
•
Error Absoluto ∆x = | x- x |
Redondeo
Notación científica
Error Relativo δx= ∆x/x
ERRORES
utilidad
VALOR | |
ABSOLUTO
aplicaciones
INTERVALOS
ej.
CIFRAS
SIGNIFICATIVAS
DISTANCIA
tipos
•
•
•
Abiertos ( )
Cerrados [ ]
Semiabiertos ( ]
POLINOMIOS
P(x)= an x + an-1 xn-1 + …..+ a1 x0 + a0
n
operaciones
combinación
RAZONES ALGEBRAICAS
P(X) / Q (X)
xn + bn xn = ( an + bn) xn
se relaciona con
•
Suma : an
•
Producto : ( amx
•
Cociente : P(x) = Q(X) . C(x) + R(x) ⇒ gr R(x) < gr Q(x)
•
operaciones
Resta: (- P(x) )
m
) . (b n xn )= am bn xm+n
•
SUMA
•
Reducir a común
denominador
m.c.m
•
factorización
de
polinomios
P(x) = (x- α1) . (x- α2) ….. (x- αk) C´(x)
ejemplo
•
•
•
Regla de Ruffini ⇒ P(x) : (x-a)
Teorema del Resto ⇒ R = P(a)
Raíces de un polinomio
Producto
Cociente
IGUALDADES Y DESIGUALDADES
igualdades
desigualdades
SISTEMAS DE
ECUACIONES
ECUACIONES (=)
Tipos
clasificación
INECUACIONES
resolución gráfica
solución
tipos
•
LINEALES
•
Primer grado, ax + b = 0 ⇒ a ≠0 ⇒ x= - b/a
MÉTODO DE
GAUSS
tipos
•
Primer grado, ax + b ≤ 0
Segundo grado, ax2 + bx + c = a(x-x1 ) . (x-x2 )
INCOMPATIBLES
•
Segundo grado, ax2 + bx + c = 0
X= ( -b ± √b 2 - 4ac ) / 2a
•
COMPATIBLES
•
Bicuadradas, ax4 + bx2 + c =0 ⇒ x2 =z
tipos
DETERMINADOS
•
Ecuaciones con radicales
INDETERMINADOS
Otros grados, (x-a) . (x+b) …..≥ 0
VECTORES
Q
P
clasificación
combinación
nomenclatura
•
•
•
•
Q , origen
P , extremo
QP , desplazamiento
  , módulo
operaciones
VECTOR FIJO
producto escalar
a.b=1/2(a 2 +b 2 -b-a2 )
operaciones
Suma : a + b 
Suma; regla
del polígono
MATRIZ DE
COMPONENTES
BASES
ejemplo
BASES
CARTESIANAS
módulo
Resta : a - b 
producto escalar
Multiplicación : ra 
Multiplicación
rPA
operaciones
VECTOR LIBRE
representantes
DIRECCIÓN
SENTIDO
MÓDULO
a.b = a1 .b 1 + a2 . b 2
v= √[ ( v 1 )2 + (v 2 )2 ]
GEOMETRÍA VECTORIAL
DEL PLANO
tipos
VECTOR LIBRE
identificación
RECTA
relación con
posición
punto
ORIGEN
AB = OB - OA
aplicación
VECTORIAL
r = OA + t. v
COORDENADAS
DEL PUNTO
MEDIO
PARAMÉTRICA
X= a1 + t . v 1
Y= a2 + t . v 2
asocia
SISTEMA DE
COORDENADAS
forman
VECTOR
POSICIÓN
COORDENADAS
(X,Y)
relación
CONTINUA
x -a 1 /v 1 = y-a 2 /v 2
BASE
DISTANCIA
SECANTE
COINCIDENTE
NO
COINCIDENTE
aplicación
GENERAL
Ax +By + C = 0
son
PARALELAS
PUNTO - RECTA
aplicación
DOS
PUNTOS
PENDIENTE, m
PERPENDICULARES
EXPLÍCITA
y= mx + h
Nos COMPLEJOS
soporte
estructura
se
identifican
AFIJO
TRIGONOMETRIA
caracteriza
VECTOR DE
POSICIÓN (x ,y)
se
define
consta
CUERPO
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
relación entre ellas
operaciones
IDENTIDADES
formas de
Expresión
X, PARTE
REAL
Y, PARTE
IMAGINARIA
operaciones
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
SUMA
r = |z |
x = r cos α
y = r sen α
POLAR r α
(a+bi) . (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i
z . z´= ( r. r´ ) α+β
BINÓMICA
Z= x+yi
PRODUCTO
POR Nº REAL
PRODUCTO
COCIENTE
POTENCIA
operaciones
Multiplico conjugado
z : z´= (r / r´ ) α - β
Multiplicaciones sucesivas
zm = ( r m ) mα
RAÍZ
n
√r α =
{
R=
n
√r , θ = α/n + k360º/n
TRIGONOMETRÍA
Cosec α= 1/y
Sen α = y
son
Sec α = 1/x
Cotang
α = x/y
cos α = x
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
Tang α = y/x
operaciones
relación
Ángulo doble
• Sen2α = 2 senα . cosα
• cos2α = cos2 α - sen2 α
IDENTIDADES BÁSICAS
son
Suma de ángulos
• Sen(α+β)=senα .cos β+ cos α . senβ
• Sen(α-β)=senα .cosβ - cos α . senβ
• cos(α+β)=cos α.cosβ - sen α . senβ
• cos(α+β)=cosα .cosβ +sen α . senβ
nomenclatura
Ángulo mitad
sen2 α + cos2 α = 1
1 + tang2 α = sec2 α
1 + cotang2 α = cosec2 α
•
aplicación
•
√ (1 - cos α) / 2
Cos α/2= ± √ (1 + cos α) / 2
Sen α/2= ±
Suma de razones
• SenA + senB = 2sen (A+B)/2 . cos (A - B)/2
• SenA - senB = 2cos (A+B)/2 . sen (A - B)/2
• cosA + cosB = 2cos (A+B)/2 . cos (A - B)/2
• cosA + cosB = 2sen (A+B)/2 . sen (A - B)/2
180º = Π rad
Equivalencia
RADIAN
ECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
TRIÁNGULOS
C
B
Â
TEOREMA DEL COSENO
a2 = b 2 + c2 - 2abc cosA
a
c
relación entre lados y ángulos
B
resolución
utilizando
aplicación
ÁNGULOS DE
ELEVACIÓN Y
DEPRESIÓN
TEOREMA DEL SENO
a/senA = b/senB = c/senC
TRIÁNGULOS
RECTANGULOS
aplicación
CIRCUNFERENCIA
CIRCUNSCRITA
a/senA= 2R
CASO
GENERAL
utilizando
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
CÁLCULO DE
DISTANCIAS
INACCESIBLES
FUNCIONES
COJUNTO IMAGEN
asocia
DOMINIO; D
x⇒y= f (x)
Imf= { f(x)  x∈D }
se define
F . PLINÓMICA
f(x)= an xn + a n-1 xn-1 +….+
a1 x + a0
asigna
GRÁFICA
( X, f(x) )
F . CONSTANTE
f (x)= c
tipos
clasificación
propiedades
F . IDENTIDAD
f(x) =x
F . PRIMER GRADO
f(x) = ax + b
IMPAR
f (-x) = - f(x)
SIMETRÍAS
INYECTIVA
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 =x2
PAR
f (-x) = f(x)
SUMA
f (x) + g(x) = (f+g) (x)
RESTA
f (x) - g(x) = (f-g) (x)
F. PROPORCIONALIDAD
INVERSA
y=c⁄ x
operaciones
PRODUCTO POR cte
(C. f)(x) = C . f(x)
PROCUCTO
(f . g) (x) = f(x) . g(x)
pendiente o.o
F. SEGUNDO GRADO
f(x)=ax2 + bx + c
COCIENTE
(f/g) (x) = f(x)/g(x)
COMPOSICIÓN
(g 0 f) = g(f(x))
LÍMITES
tipos
VALORES MUY
GRANDES
LÍMITES EN
EL INFINITO
limx à +
limx à ±
∞=
indeterminaciones
0 /0
LÍMITE EN UN PUNTO
limx à ± a =
∞=
VALORES MUY
PEQUEÑOS
limx à -
∞=
clasificación
propiedades
limxà+∞ =[f(x)+g(x)] = lim xà+∞ f(x) +
limxà+∞ g(x) = l + m
•
•
•
limxà+∞ =[f(x).g(x)] =[ limxà+∞ f(x) ].
[ limxà+∞ g(x) ] = l .m
•
•
∞/ ∞
∞−∞
0.∞
CONTINUA
l/± ∞=0
l ≠0
l/0 = ∞
l ≠0
l ≠0
limx àa x = a
Tipos
(-∞ )+(-∞ )= - ∞
limx àa f(x)= l
l>0 , entonces
limx àa√f(x) = √l
EVITABLE
±∞ / l = ± ∞
•
0/0
1ª ESPECIE
limxà+∞ =[f(x):g(x)]=[ limxà+∞ f(x) ] :
[ limxà+∞ g(x) ] = l/m
(+∞ )+(+∞ )= +∞
•
propiedades
DISCONTINUA
limx àa f(x) = f(a)
•
∞=∞
limx àa c =c
indeterminaciones
•
Cte +
•
Cte
. ±∞ =± ∞
±∞/0=+∞
±∞ .± ∞=± ∞
2ª ESPECIE
DERIVADA
f(x) derivada
f´(x)
aplicación
f ´(x0 ) = lim
h→0
f (x0 +h ) - f (xo )
f(x) ± g(x) = [f ´(x) ± g ´(x)]
definición
técnicas de derivación
h
f ´(x) . g(x) = [f ´(x) . g(x) +g ´(x) . f(x)]
conclusión
f(x) = mx + b → f´(x)=m
RECTA TANGENTE
y- f(x0 )= f´(xo ) . (x - xo )
ASÍNTOTAS
f ´(x) : g(x) = [f ´(x) . g(x) +g ´(x) . f(x)] : g 2 (x)
ASINTOTA VERTICAL
Lim x → a f(x)= ∞
[ x n ] ´ = n x n - 1 → n √p m = p m/n
ASINTOTA HORIZONTAL
Lim x → ∞ f(x)
CRECIMIENTO
GRÁFICAS
F . CRECIENTE X1 < X2
f(x1 ) < f(x2 )
F . DECRECIENTE X1 < X2
f(x1 ) > f(x2 )
1º Criterio
MÁXIMO
2º Criterio
estudia
OPTIMIZACIÓN
DE FUNCIONES
h (x)= ( u(x) )n ; n∈Q
h ´(x) = n ( u(x) )n-1 . u ´(x)
EXTREMOS
RELATIVOS
f ´(x)=0
Creciente→Decreciente
f ´(x0 )=0 → f ´´(x0 ) < 0
son
1º Criterio
MÍNIMO
Decreciente→Creciente
2º Criterio
implica
PUNTOS DE INFLEXIÓN
f ´´ (x0 )=0
CONVEXA ; f ´´(x)<0 ⇒ f ´(x)decreciente
CONCAVIDAD Y
CONVEXIDAD
CONCAVA ; f ´´(x)>0 ⇒ f ´(x)creciente
f ´(x0 )=0 → f ´´(x0 ) > 0
INTEGRAL ; ∫a
b
∫
b
a
…+
[
f(x) dx = lim n→∞ = f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 +
f (ξn ) ∆xn
]
definición
Sn = f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 +
…+
∫
teorema
f(x) dx = -
a
fundamental
f (ξn ) ∆xn
b
∫
b
f(x) dx ; a<b
a
del
sabiendo
cálculo
propiedades
∫
b
a
a , límite inferior
b , límite superior
FUNCIÓN PRIMITIVA→H(x) primitiva f(x)
LINEALIDAD;
∫
b
a
cálculo
f(x) dx = 0
∫
f(t) dx es una primitiva
b
b
C f(x) dx = C
a
⇓
∫
[f(x)+g(x)] dx =
a
de f(x)
∫
∫
f(x) d x
a
∫
b
a
b
f(x) dx +
b
a
g(x) d x
integral
aplicaciones
∫
a
ADITIVIDAD DE INTERVALOS
∫
b
f(x) dx = G(b) - G(a)
b
a
f(x) dx =
∫
b
a
f(x) dx +
a<c<b y f(x) ≥0
G(x) primitiva
CÁLCULO DE ÁREAS
A=
∫
b
a
f(x) dx , f(x) ≥0 , x ∈ (a,b)
ejemplo ENERGÍA
POTENCIAL
∫
b
a
f(x) d x
datos
ESTADÍSTICA
POBLACIÓN
método de cálculo
ej.
SUMATORIO,
∑
subconjunto
MUESTRA
HISTOGRAMAS
INTERVALOS
características
Xi = (Li-1 + Li ) / 2
Representación
número de datos grande
DISCRETA
CUANTITATIVA
clasificación
VARIABLE
ESTADÍSTICA, X
CONTINUA
CUALITATIVA
ordenación
de datos
BARRAS
FRECUENCIA
ABSOLUTA, fi
tipos
representación gráfica
DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS
tipos
DIAGRAMAS
POLIGONAL
FRECUENCIA
RELATIVA
h i =fi /N
medidas
medidas
de
dispersión
SECTORES
de
centralización
RANGO
VARIANZA
MEDIA
ejemplo
CUARTILES
son
DESVIACIÓN TÍPICA
DESVIACIÓN MEDIA
DIVISIÓN DE
DATOS
DECILES
PERCENTILES
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
FRECUENCIAS
ACUMULADAS
ABSOLUTAS Y
RELATIVAS
MEDIANA
POLÍGONOS DE
FRECUENCIA
FUNCIONES
TRASCENDENTES
FUNCIÓN EXPONENCIAL
f(x)= ax
definición
relación
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
y= loga x
definición
ap/q = q √a p donde p,q ∈Z , q≠o
propiedades
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
sen x, cos x
definición
loga x =y ⇔ ay =x
Cos(t) =0 , Sen (t)=y
loga 1 =0 →a0 =1
a >1
CRECIENTE
INYECTIVA
propiedades
tipos
limx→ +∞ ax= +∞ limx→-∞ ax= 0
-1 ≤cos t≤ 1
- 1 ≤sen t≤ 1
-
loga a =1 →a1 =a
propiedades
loga (ax) =x si x ∈ R
Cos(t+2Π)=cost
Sen(t+2Π)=sent
Tang(t+2Π)=tan
a >o ⇒x
x
propiedades
aLogax =x si x ∈ R
o<a<1
DECRECIENTE
loga (x.y) = loga x + loga y
derivada
limx→ ∞ a = 0 , limx→- ∞ a = +∞
x
x
loga (1/x) = - loga x
ax>o ⇒x
loga (y/x) = loga y - loga x
BASE e
Tang (t)
propiedades
loga (xy ) = y loga x
COMÚN a >1
(e x)´= e x ⇒ [e u/x] ´ = u ´ (x) eu (x)
derivada
DECIMAL ; BASE 1O
tipos
(ax ) ´= a x ln a ⇒ [au(x) ] ´= au(x) u´(x) Ln a
• (senx)´=cosx
[senu(x) ]´=u´(x).sen u(x)
• (cosx)´=-senx
cosu(x)]´=- u´(x). sen u(x)
• (tangx)´=1/cos 2 x
[tangu(x)]´= u´(x)/ cos2 u(x)
relación
CAMBIO BASE
Log b x =(1/ loga b). loga x
NEPERIANO ; BASE e
(Ln x)´= 1/x ⇒ [au(x) ]´= au(x) . u´(x) Ln a
VARIABLES ESTADÍSTICAS
BIDIMENSIONALES
derivada
ejemplo
VARIABLES
BIDIMENSIONALES
(X , Y)
relación
entre
variables
REGRESIÓN
LINEAL
LINEAL
caracteriza
representación
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
Media X = ∑ xi / N
relación
relación
NO LINEAL
grado de
dependencia
Covarianza σ xy = XY - mx .my
medidas aritméticas
medida
de
aproximación
Media Y = ∑ y i /N
DEPENDIENTES
Media XY= ∑ xi. y i
/N
INDEPENDIENTES
CORRELACIÓN
LINEAL
tipos
FUNCIONAL
ERROR
CUADRÁTICO
MEDIO
E2 = (y - a - bx2 )
medida
CORRELACIÓN
- 1 < r < 1 → Intervalo
CORRELACIÓN
DIRECTA
RECTA
CRECIENTE
r >0
interpretación
COEFICIENTE DE
CORRELACIÓN, r
r=
σxy /σxσy
relación
clasificación
CORRELACIÓN
INVERSA
RECTA
DECRECIENTE
Y sobre X :
r< 0
r =±1→ E2 =0
Y -m y = σxy / σ2 x ( X - mx )
X sobre Y :
X -m x = σxy / σ2 y ( Y - my )
TÉCNICAS DE
CONTAR
en general
DIAGRAMA
DE ÁRBOL
planteamiento de
posibilidades
PRINCIPIO DE
MULTIPLICACIÓN
posibilidades
de combinación
VARIACIONES
Vmk = m.(m-1)…(m-k1)
DIAGRAMA
DE CAJAS
VARIACIONES CON
REPETICIÓN
VR mk = mk
característica
IMPORTA ORDEN
PERMUTACIONES
Pm= Vmm
concepto
asociado
COMBINACIONES
Cmk = Vmk / Pk
BINOMIO DE NEWTON
fórmulas
TRIÁNGULO DE PASCAL
NÚMERO COMBINATORIO
(mk) = m! / k! (m-k)!
concepto asociado
PERMUTACIONES
CON REPETICIÓN
PRn k1 k2 = n!
FACTORIAL
n! = n . (n-1) . (n-2)…
NO REPETICIÓN
características
NO IMPORTA ORDEN