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Departamento de Física y Química
IES “Rey Fernando VI”
Algunas demostraciones de
Física y química
de 1º de bachillerato
Aquí se presentan unos resúmenes de física y química y después unos problemas tipo o
desarrollo de conceptos matemáticos.
Indice:
A. RESÚMENES ........................................................................................................................................ 2
1. LEYES PONDERALES Y VOLUMÉTRICAS ............................................................................... 2
2. CONCEPTO DE MOL. LEYES DE LOS GASES .......................................................................... 3
3. DISOLUCIONES. Expresiones de la concentración ....................................................................... 4
4. CINEMÁTICA ................................................................................................................................... 5
B. APLICACIONES ................................................................................................................................... 6
1. PLANO INCLINADO ........................................................................................................................ 6
2. MOVIMIENTO DE MASAS ENLAZADAS ................................................................................... 7
3. PERALTES ......................................................................................................................................... 8
4. CONCEPTO DE DERIVADA ......................................................................................................... 9
5. TRIGONOMETRÍA ........................................................................................................................ 10
6. CALCULO VECTORIAL ............................................................................................................... 13
7. CÁLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS ......................................................... 15
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A. RESÚMENES
1. LEYES PONDERALES Y VOLUMÉTRICAS
Ley de Lavoisier o ley de conservación de la masa
En una reacción química, la masa de los reactivos es igual a la masa de los productos
de reacción.
Esto equivale a decir que el número de átomos de cada elemento es el mismo en el
primer miembro y en el segundo miembro.
Ley de Proust o ley de las proporciones definidas
Cuando dos o más elementos se combinan para formar un compuesto lo hacen siempre
en una proporción constante, fija o definida.
Ley de Dalton o ley de las proporciones múltiples
Cuando dos elementos se combinan de forma diferente para formar distintos
compuestos, la cantidad de uno de ellos que se combina con una cantidad fija del otro
están en relación de números enteros y sencillos.
Ley de Richter o ley de las proporciones recíprocas
Cuando dos elementos se combinan con un tercero, la cantidad de estos elementos que
se combinan con una cantidad fija del tercero son las mismas, múltiplos o submúltiplos
que cuando estos se combinan entre sí.
Ley de Gay-Lussac o ley de los volúmenes de combinación
En una reacción en la que intervienen gases, los volúmenes de los gases reaccionantes
y de los productos de reacción guardan una relación numérica sencilla, ed las mismas
condiciones de P y T.
Hipótesis de Avogadro
Volúmenes iguales de distintos gases en las mismas condiciones de P y T contienen el
mismo número de moléculas.
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2. CONCEPTO DE MOL. LEYES DE LOS GASES
Unidad de masa atómica: u
Es la masa correspondiente a la doceava parte de la masa del isótopo de carbono 12.
Número de Avogadro NA = 6,022 1023
Concepto de mol
Es un número de Avogadro de moléculas (o de cualquier partícula)
La masa de un mol es la masa molecular expresada en gramos (en lugar de u)
El volumen que ocupa un mol de cualquier gas en c.n. es de 22,4 litros
Leyes de los gases ideales
Ley de Boyle Mariotte (transformación a temperatura constante)
Si se mantiene la temperatura constante, el producto de la
presión por el volumen de un gas se mantiene constante
P1V1  P2V2  cte
Ley de Charles (transformación a presión constante)
Si se mantiene contante la presión, el volumen varía en relación
directa con la temperatura. (a mayor temperatura mayor volumen)
V1 V2
  cte
T1 T2
Ley de Gay-Lussac (transformación a volumen constante)
Si el volumen se mantiene contante, la presión varia en relación
directa con la temperatura (a mayor temperatura mayor presión)
Ecuación de estado de los gases
P1V1 P2V2

 cte
T1
T2
Ecuación de Klapeyron o de los gases ideales
PV  nRT
Donde n es el número de moles de gas
R es la constante de los gases ideales
R = 0,082 atm l/K mol = 8,31 J/K mol = 1,98 cal/K mol
Ley de Dalton o de las presiones parciales
P  PA  PB  PC ...
P1 P2
  cte
T1 T2
PA  X A P
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3. DISOLUCIONES. Expresiones de la concentración
Tanto por ciento en masa
Número de gramos de soluto
en 100 gramos de disolución
% peso 
Tanto por ciento en volumen
Número de cm3 de soluto por 100 cm3
de disolución
m (gramos de soluto)
100
mDisol (gramos de disolución)
v (cm3 de soluto)
% vol 
100
V (cm3 de disolución)
Gramos por litro
Número de gramos de soluto por litro de
disolución.
g /l 
m (gramos de soluto)
V (litros de disolución)
M
n (moles de soluto)
V (litros de disolución)
Molaridad
Número de moles de soluto por litro de
disolución
Normalidad
Número de equivalentes de soluto por litro
de disolución
N
n (equivalentes de soluto)
V (litros de disolución)
Molalidad
Número de moles de soluto por kilogramo de
disolvente
m
n (moles de soluto)
M (kg de disolvente)
Fracción molar
Número de moles de soluto respecto al número total de moles
Xs 
ns
ns  nd
Concepto de peso equivalente o Equivalente-gramo
Peso en gramos de una sustancia que reacciona o se combina con 1 gramo de hidrógeno.
Es la unidad de masa reaccionante de una sustancia. Las sustancias reaccionan
equivalente a equivalente.
Peq 
PM
valencia
nº de equivalentes  nº de moles · valencia
 N  val·M
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4. CINEMÁTICA
Leyes del MRU
v  cte
evt
Leyes del MRUA
a  cte
v  v0  a t
1
a t2
2
2
2
v  v0  2 a e
e  e0  v 0 t 
Leyes de la Caída libre
ag
v  v0  g t
1
g t2
2
2
2
v  v0  2 g h
h  h0  v0 t 
Tiro oblicuo
v x  v0 cos
x  v0 cos t
v y  v 0 sen  g t
Tiro horizontal
v x  v0
y  v 0 sen t 
1
2
g t2
x  v0 t
Alcance máximo : (x cuando y  0)
vy  g t
x máx 
y
1
g t2
2
v02 sen(2 )
g
Altura máxima : (y cuando Vy  0)
y máx 
Relación entre magnitudes
lineales y angulares
v02 sen2
2g
Coordenadas de la aceleración
s  r
v  r
a  r
MCU
  cte
  t
a  aT  a N
a
dv
v2
uT  u N
dt
r
MCUA
  cte
  0   t
   0  0 t 
1
 t2
2
 2   02  2  
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B. APLICACIONES
1. PLANO INCLINADO
Calcular la aceleración del sistema formado por dos cuerpos de masas 2 y 5 kg que se
deslizan por sendas vertientes de 30º y 60º de inclinación. El coeficiente de rozamiento
entre los cuerpos y los planos inclinados es de 0,15. Determinar la aceleración del
sistema y la tensión de la cuerda.
T
N1
Fr2
N2
P2y
Fr1
P1y
P2x
P1
P2
Ecuaciones para el cuerpo m2
P2 x  FR 2  T  m2 a
P2 x  FR 2  T  m2 a
P2 x  N 2  T  m2 a
P2 y  N 2
P2 x  P2 y  T  m2 a
FR 2  N 2
P2 sen  P2 cos   T  m2 a
m2 g sen   m2 g cos   T  m2 a
Ecuaciones para el cuerpo m1
T  P1 x  FR1  m1 a
T  P1 x  FR1  m1 a
T  P1 x  N 1  m1 a
P1 y  N 1
T  P1 x  P1 y  m1 a
FR1  N 1
T  P1 sen  P1 cos  m1 a
T  m1 g sen   m1 g cos  m1 a
Sumando la ecuación (1) y (2) se calcula la aceleración y la tensión de la cuerda.
a
m
2
(1)
sen   m2 cos   m1 sen   m1 cos g
(m1  m2 )
T  m1 g sen   g cos  a 
a = 3,773 m/s2
T = 19,89 N
( 2)
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2. MOVIMIENTO DE MASAS ENLAZADAS
Movimiento de masas enlazadas
Supongamos dos masas m y m’ enlazadas por un hilo de masa despreciable, que pasa
por la garganta de una polea de masa también despreciable en comparación con m y m’.
Si m > m’ el sistema se pondrá en movimiento con aceleración a.
P T  m a
T  P '  m' a
o también sumando ambas expresiones :
P  P '  ( m  m' ) a
T
T
P´
P
( m  m' ) g
( m  m' )
T  m( g  a )
a
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3. PERALTES
Peralte sin rozamiento:
Un motorista da vueltas alrededor de una pista circular de 100 m de diámetro y que
posee un peralte de 30º. Calcula la velocidad de la motocicleta en km/h, para que el
sistema se mantenga en posición perpendicular a la pista.
Ny  P
N x  m ac
N cos  mg
v2
N sen   m
R

v2
tg  
Rg
v  R g tg
v  16,8 m / s  57,6 km / h
Peralte con rozamiento:
1. Deducir la ecuación que nos dé el valor mínimos del radio que puede tener una curva de la carretera
para que un automóvil que la recorre a la velocidad v km/h, no se deslice hacia el exterior suponiendo que
el coeficiente de rozamiento es  = 0,5.
2. Deducir la ecuación anterior en el supuesto de que la curva tenga un peralte de  grados.
N
FR
Soluciones:
1.
P
NP
FR  m ac
N  mg
R
v2
N m
R
2.
v2
mg
N
N y  P  FRy
N cos  mg   N sen
N x  FRx  m a c
v2
N sen   N cos  m
R
Nx
Frx
Fry
P
N (cos   sen )  mg
g
g
v2
sen  
cos 
(cos   sen )
(cos   sen )
R
R
v 2 1   tg 
g   tg 
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4. CONCEPTO DE DERIVADA
A lo largo de las explicaciones nos henos encontrado a menudo con el concepto de derivada de una
función.
Decimos que y es una función de x y escribimos y = f(x), cuando la y (que llamamos variable
dependiente) toma valores que dependen de x (que llamamos variable independiente). En física nos
encontramos con que la posición, la velocidad o la aceleración son función del tiempo, dependen del
tiempo.
Si deseamos saber como varía una función y(x) en un determinado intervalo de x, haremos:
y
.
x
x es extremadamente pequeño, estamos analizando dicha variación en el límite en que x es
y
igual a cero, en un instante. En este caso escribimos lo siguiente: lim
.
x  0 x
Pero si
Este valor límite es lo que se conoce como derivada de y con respecto a x. En física, al tratar con
funciones contínuas, lo escribimos del siguiente modo:
dy
.
dx
Desarrollando lo que hemos dicho hasta ahora:
dy
y
y ( x  x)  y ( x)
 lim
 lim
dx x 0 x x 0
x
Calculo de la derivada de la función
y = xn
Aplicando la definición anterior, escribimos:
dy
y
( x  x)n  x n
 lim
 lim
dx x 0 x x 0
x
Teniendo en cuenta el desarrollo del binomio de Newton:
n
n
n
n
( x  x) n    x n    x n 1x    x n  2 x 2    x n  3x3  ... 
0
1
 2
 3
n(n  1) n  2 2
 x n  nxn 1x 
x x  ...
2
Donde se pueden despreciar todos los términos a partir de ∆x2. Y sustituyendo en la definición de
derivada:
dy
y
( x  x)n  x n
( x n  nxn 1x  ...)  x n
 lim
 lim
 lim
 nxn 1
dx x 0 x x 0
x

x
x 0
5. TRIGONOMETRÍA
El término trigonometría proviene del griego trigono y metro, que juntos
Significan «medida de tres lados» o «medidas en un triángulo».
Seguramente no exageramos si te decimos que ésta es una de las herramientas matemáticas más utilizadas en Física. Cualquier magnitud
vectorial que se descomponga lo hará siguiendo las normas o definiciones
trigonométricas que vamos a ver.
Centraremos nuestra atención en los triángulos rectángulos. Observa con
atención los triángulos que aparecen en la figura 1. Los dos tienen el
mismo ángulo agudo α y, en consecuencia, todos sus ángulos son iguales.
Sin embargo, sus lados no lo son. Ahora bien, si mides con una regla, te
darás cuenta de que las distintas relaciones que establezcas entre los lados
de los triángulos (por separado) valen lo mismo en ambos casos.
Comprueba que:
AB CD

OB OD
y que
OA OC

OB OD
C
A

O
Fig. 1
A’
A

O
OA OC

AB CD
podemos

B O
Fig. 2
Si ambas relaciones son ciertas, también lo será la siguiente relación:
Por tanto,
importante:
D
B
B’
a
sacar
una
conclusión
b

Si dos triángulos tienen ángulos iguales, las relaciones entre sus lados
tienen valores iguales.
c
Fig. 3
Observa ahora los triángulos de la figura 2. En el triángulo de menor
ángulo, la relación
sen (α  β)  senα cosβ  cosα senβ
AB/OB es menor que
Si α  β, entonces : sen 2α  2senα cosα la relación A'B'/O'B'
del triángulo de mayor
ángulo. Concretamente, dicha relación aumenta a medida que lo hace el
ángulo. Esto nos sugiere que:
cateto opuesto b

hipotenusa
a
cateto contiguo c
cos 

hipotenusa
a
cateto opuesto b
tg 

cateto contiguo c
Podemos usar la relación entre los dos lados de un triángulo para medir
sus ángulos.
Tabla 1
Hemos visto que pueden definirse tres relaciones entre los tres lados. Sin
embargo, también es posible definir las tres relaciones inversas (AB/OB o
bien OB/AB, por ejemplo). Por tanto, podemos establecer seis relaciones
entre los tres lados del triángulo (tablas 1 y 2).
Las distintas relaciones entre los lados de un triángulo se denominan
“funciones trigonométricas”.
Veamos ahora algunas identidades o igualdades trigonométricas de
interés que aparecen en ciertos desarrollos de la asignatura:
sen2 α  cos 2 α  1
de donde sen α  1  cos 2 α
1
a

sen b
1
a
sec 

cos  c
1
c
ctg 

tg  b
cosec  
Tabla 2
y cos α  1  sen2 α
Por otra parte:
tg α 
sen 
1-cos 2 α
sen α
sen α


cos α
cos α
1-sen2 α
sen +
cos –
sen +
cos +
Funciones circulares:
Definición
b
a
c
sen α
cos α
tg α
Relaciones:
Recorrido
[-1, +1]
[-1, +1]
R
Periodo
2π
2π
π
sen –
cos +
Circunferencia goniométrica (r = 1)
Complementarios


sen     cos
2



cos     sen
2

Suplementarios
sen     sen
cos     cos
Difieren en π
sen      sen
cos     cos
Difieren en π/2


sen     cos
2



cos      sen
2

Opuestos
sen    sen
cos     cos
Valores trigonométricos más usuales:
Convertir ángulos a radianes:
180º = π rad
Grados
0 45
60
90
120
135
150
180
210
225
240
rad
0



4
3
2
2
3
3
4
5
6

7
6
5
4
4
3
Seno
0
2
2
3
2
2
2
1
2
0

Coseno
1
2
2
tangente
0 1
3
2
1
2
3
1
1
2

0

±∞
 3 -1
2
2
Funciones recíprocas:
arcsen x   
arcos x   
arctg x   
c
sen –
cos –
sen2 α + cos2 α = 1
Ecuación fundamental:
b

a
Discontinuidad
π/2 + kπ

3
2 -1

3
3 0

1
2
3
2
3
3

2
2


2
2

1
270
3
2
3
2 -1
300
315
330
360
5
3
7
4
11
6
2

3
2

1
2
0
1
2
3
±∞
 3 -1
2
2
2
2
1
2
0
3
2
1


3
3 0
Funciones inversas:
sen   x
cos   x
tg   x
1
sen α
1
sec α 
cos α
1
ctg α 
tg α
cosec α 
Las funciones recíprocas,
en la calculadora están
señaladas como sen-1, cos-1
y tg-1, y suelen estar en las
mismas teclas que el sen,
cos y tg pero en otro color.
Las funciones inversas no
se utilizan como tales.
Fórmulas trigonométricas:
Adición y ángulo doble:
sen (α  β)  senα cosβ  cosα senβ
Si α  β, entonces: sen 2α  2senα cosα
cos (α  β)  cosα cosβ  senα senβ
Si α  β, entonces: cos 2α  cos 2 α  sen2 α
tg (α  β) 
tg α  tg β
1  tgα tg β
Si α  β, entonces: tg 2α 
2 tg α
1  tg 2 α
Ángulo mitad:
sen
1  cos α
α

2
2
cos
1  cos α
α

2
2
tg

2

1  cos α
1  cos α
Transformaciones:
αβ
α β
cos
2
2
αβ
αβ
cos α  cos β  2 cos
cos
2
2
αβ
αβ
cos α  cos β  2 sen
sen
2
2
senα  β 
tg α  tg β 
cosα cosβ
sen α  sen β  2 sen
6. CALCULO VECTORIAL
A lo largo del curso de Física te encontrarás con dos tipos de magnitudes:
Magnitudes escalares o numéricas. Son aquellas que quedan definidas por
completo con un valor numérico. Son un ejemplo de éstas la masa, la
temeratura, el tiempo, el volumen y la densidad entre otras. (ejemplo la masa de
un cuerpo son 5 kg, sin dar más explicaciones).
Magnitudes vectoriales. Son aquellas que quedan definidas mediante tres
atributos:
- Módulo: que nos indica su valor numérico.
- Dirección: la recta sobre la qua actúa.
- Sentido: toda dirección tiene dos sentidos.
Las magnitudes vectoriales se representan como las escalares pero colocando
una flecha encima del símbolo.
Magnitudes escalares:
Masa
m
Tiempo
t
Temperatura
T
Trabajo
W
Presión
p
Magnitudes vectoriales:
r
v
Posición
Velocidad
a
F
Aceleración
Fuerza
Notación vectorial
Para distinguir las magnitudes vectoriales de las escalares se representan
colocando una flecha encima. Por ejemplo:
F
El vector V  8 j o bien
Empleo de vectores unitarios
V  8u y representa
Cuando indicamos que un cuerpo mide 8 m queremos decir que mide 8 veces 1
m.
vector cuyo módulo es 8 en
la dirección del eje OY.
Con las magnitudes vectoriales hacemos lo mismo y decimos que un vector
v veces el vector unitario
un
v es
u y lo escribimos así: v  vu . Donde u  1 .
Como los vectores pueden tener cualquier dirección definimos los siguientes
vectores:
- Vector unitario en la dirección OX: i o bien
ux
- Vector unitario en la dirección OY: j o bien u y
- Vector unitario en la dirección OZ:
k o bien u z
Representación gráfica de vectores
Los vectores se representan por medio de segmentos orientados. Una flecha
cuya longitud es proporcional al módulo, cuya dirección es la recta de aplicación
y el sentido el que indique la dirección de la flecha
Teorema del coseno
R
Operaciones con vectores
Suma y resta de vectores
Se colocan los vectores uno a continuación del otro, uniendo el extremo del
primero con el origen del siguiente, La resultante o la suma se obtiene uniendo
el origen del primero con el extremo del último.
V2

V1
R2= V12 + V22 + 2V1V2cos
Cuando se trata de dos vectores, la resultante es la diagonal y se puede calcular por el teorema del coseno.
Cuando queremos determinar el valor de la resultante de la suma de varios vectores es preciso descomponer
todos los vectores en sus componentes cartesianas o rectangulares, posteriormente se suman todas las
componentes en el eje x y todas las componentes en ele eje y obteniendo así la resultante.
Restar vectores es sumar el opuesto. Así V1  V2  V1  (  V2 ) .
Descomposición de vectores, componentes de un vector
Dado cualquier vector, se puede descomponer según sus coordenadas cartesianas o rectangulares del siguiente
modo:
V  Vx u x  V y u y
donde
Vx  V cos α y
Vy  V sen α
y
Producto de vectores
Se definen dos tipos de productos entre vectores: El producto escalar y el
producto vectorial.
Vy
Producto escalar de vectores
V

Vx
x
El producto escalar de dos vectores es un escalar, cuyo valor es el producto de
los módulos por el coseno del ángulo que forman.
Se expresa así: V1  V2  V1·V2 cos α
Si los vectores están expresados en coordenadas cartesianas o rectangulares:
V1 V2  V1x·V2x  V1y·V2y
Un ejemplo de producto escalar es el trabajo realizado por una fuerza cuando se produce un desplazamiento:
W  F·r  F r cos α .
Producto vectorial de vectores
El producto vectorial de dos vectores es otro vector, cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del
ángulo que forman, cuya dirección es perpendicular a ambos vectores y cuyo sentido es el del giro del
sacacorchos (o tornillo) cuando gira del primero al segundo.
Se expresa así:
V1  V2  V1·V2 sen α
Si los vectores están expresados en coordenadas cartesianas o rectangulares:
V1  V2  V1x·V2y  V1y·V2x  u z
V1
V

V2
Un ejemplo de producto vectorial es el momento de una fuerza respecto de un punto: M  r  F  r F sen α .
7. CÁLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
A veces no podemos medir directamente el valor de una magnitud y sólo podemos conocerlo utilizando una
fórmula. El resultado obtenido mediante dicha fórmula también tiene una imprecisión que dependerá de la
imprecisión con que conozcamos las magnitudes que intervienen en la fórmula.
Por ejemplo para determinar un área es preciso realizar dos medidas de longitud.
Por lo tanto debemos conocer previamente los valores de las magnitudes que intervienen en la fórmula y sus
imprecisiones.
Método de logaritmo neperiano.
Primero se toman logaritmos neperianos y se deriva la expresión cambiando los diferenciales por incrementos.
Ejemplo-1: Determinación del error absoluto en la medida del periodo de un péndulo.
Para calcular el periodo de un péndulo medimos con un cronómetro de sensibilidad 0,1s diez oscilaciones
obteniendo 5,2 s. Dividimos por diez y una oscilación tarda 0,52 s. Su imprecisión la calculamos según lo dicho
más arriba.
t
10
ln T  ln t
T
T t

T
t
dT dt

T
t
Periodo:
Error absoluto del periodo:
T=t/10
T  Ert ·T


T  Ert ·T
T=5,2/10=0,52 s ;
ΔT=(0,1/5,2)·0,52=0,01
Se disminuye la imprecisión por un factor de 10

T=0,52 ± 0,01
Este método de medir varios procesos y luego dividir para hallar el tiempo de uno, reduce la incertidumbre de la
medida.
Ejemplo-2: Determinación del error absoluto en la medida del área de un rectángulo.
La superficie de un rectángulo de lados 12,3 ± 0,1 cm y 8,2 ± 0,1 cm es: 12,3·8,2=100,86 cm 2. Su imprecisión la
determinamos:
S  a·b
ln S  ln a · ln b
dS da db


S
a
b
Superficie de un rectángulo:
S = a·b
S a b


S
a
b

 a b 

S 
b 
 a
Error absoluto de la superficie: S  
 a b 
S  

S
b 
 a
S= 12,3 · 8,2 = 100,86 cm2.
ΔS=[(0,1/12,3)+(0,1/8,2)]·100,86 = 0,83 cm2.
La imprecisión o incertidumbre de la medida es de 0,9 cm2 (se toma en exceso)
El resultado de la medida será

A = 100,8 ± 0,9 cm²
Por lo tanto tenemos certeza sólo de que la superficie estará entre 99,9 y 101,7 cm².
Consideraciones generales para fórmulas más complejas:
Ejemplo-3: Determinación del error absoluto en la medida del volumen de una esfera.
Si la fórmula tiene exponente, constantes numéricas y números irracionales, se procede como en este ejemplo:
4
V  R 3
3
ln V  ln 4  ln 3  ln   3 ln R
dV d
dR

3
V

R
V 
R

3
V

R
R 
 
V  
3
V
R 
 
Reglas Cálculo de errores en medidas indirectas
1. Siempre se suman los errores relativos de cada magnitud aunque aparezcan en el denominador y este quede
negativo al tomar logaritmos (las imprecisiones son siempre aditivas).
2. Las constantes numéricas no introducen error y al derivar desaparecen (en el ejemplo anterior el 4 y el 3).
3. Los números irracionales (que tienen infinitas cifras decimales van acompañados de imprecisión según el
número de cifras significativas que se tomen y no se suprimen) se toman con tantas cifras decimales como sean
necesarias para que introduzcan menos error que el dato de la fórmula conocido con menor error. En general un
decimal más que el dato medido con más precisión.
4. Se efectúa un redondeo en la imprecisión calculada (dejando solo una cifra significativa en el error absoluto) y
ésta condiciona la expresión del resultado.