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9. FACTOR DE POTENCIA. RESONANCIA EN PARALELO
Objetivo
Determinar el factor de potencia de un tubo fluorescente, su autoinducción y factor de calidad.
Material
Tubo fluorescente con cebador y reactancia, miliamperı́metro, caja de condensadores.
Fundamento teórico
Un tubo fluorescente consta de un cilindro de vidrio, un cebador (interruptor térmico de arranque) y
una reactancia inductiva (bobina estabilizadora). El cilindro contiene una mezcla de vapor de mercurio
y argón, y sus paredes internas están recubiertas de sales de fósforo. En los extremos del cilindro se
hallan dos electrodos. Durante el funcionamiento del tubo fluorescente, se produce una corriente entre
sus electrodos. El paso de dicha corriente provoca, por colisiones, la emisión de radiación ultravioleta
de los vapores y gases contenidos en el cilindro. Al incidir sobre el fósforo que recubre las paredes
interiores del cilindro, la radiación ultravioleta se transforma en luz visible (fenómeno que se conoce
con el nombre de fluorescencia, y que da nombre al tubo).
Debido a la presencia de la bobina estabilizadora, podemos representar esquemáticamente un tubo
fluorescente conectado a la red eléctrica mediante el circuito de la Figura 9.1, donde la fuente de
tensión alterna suministra una diferencia de potencial que varı́a armónicamente en el tiempo. Se
Figura 9.1. Tubo fluorescente conectado a la red (incluyendo un condensador de corrección).
incluye además un condensador, conectado en paralelo a la fuente de tensión. La resistencia es la
correspondiente a la bobina.
Calcularemos en primer lugar la impedancia del circuito (véase práctica 4). Recordemos que la
impedancia de una resistencia R es real y vale ZR = R, la impedancia de una autoinducción L es
imaginaria positiva y vale ZL = iωL, y la impedancia de un condensador de capacidad C es imaginaria
negativa y vale ZC = i/(ωC), siendo ω la pulsación de la señal alterna suministrada.
Para calcular la impedancia de la rama superior del circuito de la Figura 9.1, notemos que la
resistencia y la autoinducción están en serie, y por lo tanto, la impedancia de la rama es la suma de
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impedancias:
Zsup = R + iωL .
(9.1)
Por otra parte, la impedancia de la rama inferior consta solamente del condensador, y por tanto su
valor es:
i
(9.2)
Zinf = −
ωC
Para calcular la impedancia total del circuito, notemos que la rama superior y la inferior están en
paralelo, y por tanto:
1
1
1
=
+
(9.3)
Zeq
Zsup Zinf
Operando en la ecuación anterior, la impedancia del circuito resulta ser:
£
Zeq
¡
¢
R + i ωL 1 − ω 2 LC − ωCR2
=
ω 2 C 2 R2 + (1 − ω 2 LC)2
¤
(9.4)
Notemos que la anterior expresión es, en general, un número complejo cuya fase ϕ puede expresarse
de la forma:
¡
¢
ωL 1 − ω 2 L C − ω CR2
tan ϕ =
(9.5)
R
Aplicando ahora la Ley de Ohm de los circuitos de corriente alterna, obtenemos para la intensidad:
I =
V
V −iϕ
=
e
.
Zeq
Zeq
(9.6)
Este resultado nos indica que, en general, la diferencia de potencial V aplicada sobre el circuito y la
intensidad I que lo atraviesa no están en fase.
La potencia P que disipa el circuito se expresa de la forma:
Ã
P = Re (V I) = Re
V 2 e−iϕ
Zeq
!
=
V2
cos ϕ
Zeq
(9.7)
Al término cos ϕ se le denomina factor de potencia. La condición de que la fase sea nula se llama
resonancia. Bajo esta circunstancia, las condiciones de trabajo del circuito son óptimas (se aprovecha
al máximo la energı́a suministrada por la fuente). Al imponer que la fase sea nula en la expresión
(9.5), la condición de resonancia en paralelo puede escribirse de la forma:
L2 −
R2
L
+
= 0.
ω2 C
ω2
(9.8)
Puede demostrarse que, en condiciones de resonancia en paralelo, el módulo de la impedancia total
Zeq es máximo, y por tanto la intensidad que lo atraviesa mı́nima. La agudeza de la resonancia se
mide mediante el llamado factor de calidad Q, que se define en términos del cociente entre la energı́a
almacenada por el circuito y la disipada en un ciclo:
Q = 2π
< energia que tiene >
< energia que pierde en un ciclo >
(9.9)
Puede demostrarse que, en un circuito resonante en paralelo, la expresión del factor de calidad resulta
ser:
s
Q = 2π
L C ω2
.
1 − LCω 2
(9.10)
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Método experimental
Monte el circuito de la Figura 9.2, prestando la máxima atención a todas las conexiones eléctricas. ATENCIÓN: todos los elementos están bajo tensión de 220 voltios. Existe por tanto un riesgo de electrocución si no se toman las debidas precauciones. Por ello, antes de cada experiencia
consulte con el profesor/a de prácticas antes de conectar el circuito a la red eléctrica.
Conecte el circuito. Compruebe que los interruptores de la caja de condensadores tienen sus respectivos indicadores rojos apagados. Lea la indicación del miliamperı́metro y denomı́nela I0 . A continuación accione los interruptores de la caja de condensadores de forma que se encienda el indicador
rojo correspondiente. Empiece con 0.5 µF y lea la indicación del miliamperı́metro. Escriba los datos
en forma de tabla de dos columnas, encabezadas “Capacidad” (µF ) e “Intensidad” (mA). Repita las
lecturas en pasos de 0.5 µF hasta 10.5 µF . Deberá tener en total 22 medidas, incluyendo I0 .
Represente gráficamente la intensidad I medida frente a la capacidad C utilizada en cada caso.
Observará que existe un mı́nimo de intensidad. Denomine a este valor Imin y a la capacidad correspondiente Cmin . Esta situación corresponde a la resonancia en paralelo (punto de operación óptimo del
circuito). Por ello, la magnitud Cmin se denomina condensador de corrección. Puesto que la potencia
disipada es la misma en cualquier circunstancia, es fácil demostrar que el factor de potencia del circuito
es:
Imı́n
,
(9.11)
cos ϕ =
I
siendo I la intensidad medida por el miliamperı́metro en cada caso.
Figura 9.2.
Figura 9.3.
Desconecte a continuación el circuito de la red, e inserte el condensador problema, formando el
circuito de la Figura 9.3. Conecte el circuito (ATENCIÓN: avise al profesor primero). Compruebe
seguidamente que todos los interruptores de la caja de condensadores están desconectados, y anote
entonces el valor de la intensidad leı́da en el miliamperı́metro. Sobre la gráfica construida en el apartado
anterior, determine el valor de Cp . Notará que existen dos posibilidades. Busque una manera de
discernir cuál de las dos es la correcta, utilizando el material experimental del que dispone.
Resultados
A partir de la gráfica capacidad–intensidad construida anteriormente, determine el valor del condensador de corrección necesario. Determine a continuación, mediante la expresión (9.11), el factor de
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potencia del circuito para cada valor de C utilizado, y represente gráficamente dicho factor de potencia
frente a la capacidad. Interprete el máximo de esta gráfica.
Calcule el coeficiente de autoinducción de la reactancia mediante la expresión (9.8), utilizando el
valor de la la capacidad de corrección encontrado anteriormente (puesto que esta expresión se verifica
sólo en resonancia), R = 50,5 Ω para la resistencia de la autoinducción, y f = 50 Hz (frecuencia de
la red eléctrica en Europa) para calcular la frecuencia angular de la corriente alterna utilizada. Por
último, determine el factor de calidad del circuito en resonancia utilizando la expresión (9.10).