Download Ejercicios - Ficha Nº 2 - Departamento De Matematica

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Transcript
Apuntes de Geometría 1.
Ce.R.P. del Este
Ejercicios correspondientes a la Ficha Nº 2.
1. Sea ABC un triángulo cualquiera. Demostrar que :
i) todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
ii) la suma de los ángulos interiores es igual a un llano.
iii) la suma de los ángulos exteriores es igual a dos llanos.
iv) a lado mayor se opone ángulo mayor.
v) cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
2. El triángulo ABE es rectángulo en A e isósceles. El triángulo BCE es equilátero y el
segmento BC mide lo mismo que el DC. Los puntos A, E y D están alineados.
Calcular los ángulos del T(CDE).
3. Indicar en cada caso si la proposición es verdadera o falsa. Justificar.
a) El ángulo  es igual a 90º.
b) El ángulo D es recto.
c) La suma de los ángulos y es igual a 360º.
d) Los ángulos yson iguales.
4. Mediatriz de un segmento.
a) Probar que si P es un punto del plano que equidista de dos puntos A y B, entonces
P está en la recta p perpendicular a AB que pasa por el punto medio del segmento AB.
b) Recíprocamente: si P es un punto de la recta p, perpendicular a AB entonces P
equidista de A y de B.
5. a) Dada una recta a y un punto A, construir la recta perpendicular a a que pasa por A,
utilizando sólo regla y compás.
b) Idem. la recta paralela a a que pasa por A.
c) Construir una recta paralela a otra a una distancia dada.
6. a) Probar que las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto
(circuncentro).
b) Dados tres puntos no alineados A, B y C, probar que existe una única
circunferencia la que pertenecen los tres. (circunferencia circunscripta al T(ABC))
7. El triángulo ABC es equilátero, los segmentos AP, BQ y CR son iguales. Justificar
que el triángulo PQR es equilátero.
Prof. Eduardo Peraza
1
Apuntes de Geometría 1.
Ce.R.P. del Este
8. Bisectriz de un ángulo.
Considerar un ángulo convexo áng(aOb).
a) Probar que si P es un punto interior al áng(aOb) y equidista de los lados del
ángulo, entonces áng(aOP) = áng(POb).
b) Recíprocamente, si P es un punto interior al áng(aOb) y además áng(aOP) =
áng(POb) entonces P equidista de los lados del ángulo.
9. Considerar dos rectas secantes en O. Probar que:
a) las bisectrices de los ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas.
b) las bisectrices de dos ángulos adyacentes son semirrectas contenidas en rectas
perpendiculares.
10. a) Probar que las tres bisectrices de los ángulos interiores se cortan en un único
punto. (incentro).
b) Probar que la bisectriz de uno de los ángulos interiores de un triángulo y las dos
bisectrices exteriores de los otros dos ángulos, se cortan en un punto. (exincentro).
11. Dadas tres rectas a, b y c, no concurrentes ni paralelas, construir todas las
circunferencias tangentes a las tres rectas.
12. Probar que en todo triángulo isósceles la bisectriz exterior del ángulo opuesto a la
base, es paralela a la recta que contiene a la base.
13. Sea P un punto interior a un triángulo cualquiera ABC.
Demostrar que AP + PB < AC + CB.
14. Sean m y n dos rectas paralelas; t es una secante. {A} = m  t, {B} = n  t. En m se
toman los puntos M y N tales que A es punto medio del segmento MN y d(A,N) =
d(A,B).
a) Probar que las semirrectas BM y BN son bisectrices de los ángulos que forma t
con la recta n.
b) Probar que MBN es un triángulo rectángulo.
15. Sea I el incentro de un triángulo ABC. Por I se traza la recta r // AC, r  AB = {M},
r  CB = {N}. Probar que d(M,N) = d(A,M) + d(N, C).
16. Medianas de un triángulo.
Def. Se llaman medianas a cada uno de los segmentos que unen un vértice de un
triángulo con el punto medio del lado opuesto.
a) Probar que dos medianas cualesquiera se cortan en un punto.
b) Sea M el punto medio de BC, y N el de AC. Sea {G} = AM  BN. Demostrar
AG BG

 2.
que
GM GN
c) Demostrar que las tres medianas concurren en un punto. (baricentro).
FIN de la Ficha Nº2
Prof. Eduardo Peraza
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