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Apuntes de Geometría 1.
Ce.R.P. del Este
Ficha Nº 5 de ejercicios. Cálculos de distancias y ángulos.
1. Sea ABC un triángulo acutángulo. Sea B’ el pie de la altura trazada desde B. Sea h = d(B,B’), m= d(C,B’)
y n =d( A,B’). Probar que valen las siguientes igualdades:
a) a2 = m2 + h2
b) c2 = n2 + h2
c) a2 = b2 + c2 - bc cos(áng(A)) (Teorema del coseno)
2. Se considera el T(ABC) obtusángulo en A, y con la misma nomenclatura del ejercicio anterior; probar que
a2 = b2 + c2 - bc cos(áng(A)).
¿Se cumple la relación anterior si el ángulo A es recto?
3. Calcular en función de los lados de un triángulo ABC, la longitud de las medianas.
4. Se considera un triángulo ABC cualquiera con los lados de medida a, b, c. Probar que
a
b
c
. (Teorema del seno)
senA senB senC
5. (Teorema de las bisectrices)
a) En un triángulo ABC, la bisectriz interior al ángulo C, corta al lado AB en el punto X. Probar que
d(A,X) / d(B,X) = b/a.
b) Considerar ahora la bisectriz exterior al ángulo C que corta a la recta AB en el punto Y. Probar que
d(A,Y)/d(B,Y) = b/a.
6. ABC es un triángulo rectángulo en A y sea H el pie de la altura correspondiente a A. Probar que: a) d(A,B)2
= d(B,H) d(B,C) (Teorema del cateto)
b) d(A,C)2 = d(C,H).d(C,B)
c) d(A,H)2 = d(B,H).d(C,H) (Teorema de la altura)
7. ABCD es un cuadrado de lado x; M es el punto medio del lado AB y N del lado BC. Los segmentos MC y
ND se cortan en T. a) Probar que MC es perpendicular a DN. b) Calcular en función de x los lados y los
ángulos del T(NTC). c) Calcular en función de x los ángulos y los lados del cuadrilátero ADTM.
8. Se dan dos puntos A y B tales que d(A,B) = 2a. Se consideran las cfas.C1=C(B,3/2a) y C2 =C(A,2a). C1 ∩
C2 ={M,N}. Sea Por M se traza la recta r paralela a AB, r ∩ C1 ={M,B’} y r ∩ C2 = {M, A’}.
Probar que: a) MN es perpendicular a AB; b) A’, A y N están alineados; c) B’ pertenece a NB; d) el
triángulo A’B’N es isósceles.
Calcular: a) la medida de MN en función de a; b) el área del A’B’N en función de a; c) los ángulos del
cuadrilátero A’MBN en función de
9. (Potencia de un punto respecto de una circunferencia)
a) Dada una Cfa(O,r) y un punto interior L, considerar dos rectas a y b tales que a ∩ C ={A1; A2} y b ∩C
={B1;B2}. Probar que d(L,A1).d(L,A2) = d(L,B1).d(L,B2).
b) ¿Se cumple lo anterior si L es exterior a la cfa.? ¿Y si L pertenece a la cfa.?
c) Hallar una expresión general del producto d(L,A1).d(L,A2) en función de r y de d(L,O).
10. Sea BAC un ángulo inscripto en una cfa. Y sean Ar y As dos semirrectas de origen A, interiores al ángulo
BAC, y tales que áng(BAr) = áng(CAs). La semirrecta r corta a la Cfa en el punto M y la semirrecta s corta
a BC en el punto N. Probar que AB. AC = AM.AN.
11. Sea ABC un triángulo y C la cfa. circunsripta. La bisectriz del ángulo C corta a la cfa. en el punto D y al
lado AB en el punto VC . a)Probar que CA.CB = CD.CVC b) Calcular la longitud del segmento de bisectriz
CVC en función de a, b y c (lados del triángulo).
12. Demostrar que el producto de las medidas de los segmentos en que cada altura de un triángulo queda
dividida por el ortocentro es igual en cada altura.
13. Calcular el radio de la circunferencia si se conoce la longitud de la cuerda y de la flecha correspondiente
(flecha es el segmento que une el punto medio del arco con el punto medio de la cuerda).
14. Demostrar que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los
cuadrados de los lados.
Prof. Eduardo Peraza
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