Download 2014 S07 PAU CYL

En todas las pruebas de Castilla y León se facilitan las siguientes constantes:
G = 6,67·10-11 N m2/kg2
MT = 5,98·1024 kg
RT = 6,37·106 m
g = 9,8 m/s2
Constante de gravitación universal
Masa de la Tierra
Radio de la Tierra
gravedad en la superficie terrestre
CYL 01. La distancia Luna Tierra es 3,84 ⋅108 m, y la distancia Tierra Sol es 1496·10 8 m. La Luna tiene una
masa 7,35·1022 kg y el Sol 1,99·1030 kg. Considere las órbitas circulares y los astros puntuales.
a) Comparando la velocidad lineal de los astros en sus órbitas respectivas, determine cuántas veces
más rápido se desplaza la Tierra alrededor del Sol que la Luna alrededor de la Tierra.
b) En el alineamiento durante un eclipse de Sol, calcule la fuerza neta que experimenta la Luna
debido a la acción gravitatoria del Sol y de la Tierra. Indique el sentido (signo) de dicha fuerza.
a) para cualquier astro P que gira alrededor de otro G:
FG
M G MP
R2
 MP
v2
R
 v
G MG
R

G M SOL
G·1,99·10 30
v T 

R
1496·108


G M TIE
G·5,98·10 24

v


 L
R
3,84·108


v T 1,99·10 30 ·3,84

 854,2
v L 5,98·10 24 ·1496
b)
dT-S
FSL  G
dT-L
FTL  G
Sol
Luna
Tierra
M S ML
 6,67·10 11
2
R SL
M T ML
R 2TL
1,99·1030 ·7,35·10 22
 4,38·10 20 N
(1492,16·108 )2
 6,67·10 11
5,98·10 24 ·7,35·10 22
 1,99·10 20 N
(3,84·108 )2
La fuerza neta es F  2,39·1020 N en el sentido Luna-Sol
Eclipse de Sol
CYL 02. Sabiendo que la distancia media Sol–Júpiter es 5,2 veces mayor que la distancia media Sol–Tierra, y
suponiendo órbitas circulares:
a) Calcule el periodo de Júpiter considerando que el periodo de la Tierra es 1 año.
b) ¿Qué ángulo recorre Júpiter en su órbita mientras la Tierra da una vuelta al Sol?
A partir de la tercera ley de Kepler,
TT2
R 3T

TJ2
R 3J
 TJ 
y el ángulo recorrido en un año es  
R 3J ·TT2
R 3T
 (5,2)3 ·1  11,86 años
360º
 30,35º
11,86
CYL 03. Un satélite artificial de 250 kg se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una
altura de 500 km. Si queremos transferirlo a una nueva órbita en la que su periodo de revolución sea tres
veces mayor:
a) Calcule la altura de esta nueva órbita y su velocidad lineal.
b) Obtenga la energía necesaria para realizar la transferencia entre ambas órbitas.
a) la velocidad del satélite en la órbita inicial es v1 
y el periodo T1 
G MT
6,67·10 11 ·5,98·10 24

 7619,7 m·s1
R
6,37·106  500·103
2  R 2 (6,37·10 6  500·10 3 )

 5665,0 s
v
7619,7
A partir de la tercera de Kepler calculamos el radio de la órbita nueva
T12
R13

T22
R 32
 R2 
3
T22
T12
R13  3 9·(6,37·106  500·103 )3  14,29·10 6 m  h2  7,92·10 6 m
en la que la velocidad lineal es v 2 
G MT
6,67·10 11 ·5,98·10 24

 5283,2m·s1
6
R
14,29·10
b) la energía para pasar de una órbita a otra es

5,98·10 24 ·250
1 M m
1
E1   G T   6,67·10 11
 7,26·10 9 J 
6
2
R1
2
6,87·10

9
 E  E2  E1  3,77·10 J
24
5,98·10 ·250
1 M m
1
E2   G T   6,67·10 11
 3,49·10 9 J 

2
R2
2
14,29·106

CYL 04. La masa de Marte, su radio y el radio de su órbita alrededor del Sol, referidos a las magnitudes de
la Tierra, son, respectivamente: 0,107, 0,532 y 1,524. Calcule:
a) la duración de un año marciano (periodo de rotación alrededor del Sol)
b) el valor de la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte.
Los datos son
MM
 0,107
MT
a) Kepler3:
b)
TT2
R 3OT
gM  G
v ESC M 

MM
R 2M
RM
 0,532
RT
TM2
R 3OM
G
 TM 
0,107 M T
(0,532R T )2
2G M M

RM
R OM
 1,524
R OT
R 3OM
R 3OT

TT2  (1,524)3 ·1  1,88años
0,107
g T  3,70m·s2
0,5322
2G·0,107 M T
 0,45 v ESC T  4933m·s 1
0,532R T
CYL 05. Dos masas puntuales, m1=5 kg y m2=10 kg, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos de
coordenadas (0,1) y (0,7) respectivamente. Sabiendo que todas las coordenadas están expresadas en metros,
calcule:
a) La intensidad del campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto (4,4).
b) El trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg situada en el punto (0,4) hasta el punto
(4,4), en presencia de las otras dos masas, indicando el signo del trabajo calculado.
g5  G
g10
m5
g10  G
 6,67·10 11
r52
m10
2
10
r
5
 1,33·10 11Nkg 1
32  4 2
 6,67·10 11
10
 2,66·10 11Nkg 1
3  42
2
Las dos forman un ángulo de 36,87º (tg=0,75) con la horizontal, luego
g5
g x  g10 cos36,87º g5 cos36,87º  3,19·10 11 Nkg 1
g y  g10 sen36,87º g5 sen36,87º  7,98·10 12 Nkg 1
g  3,19·10 11 i  7,98·10 12 j
También podíamos haber dicho que gTOT  (3,19)2  (0,798)2 ·10 11  3,28·10 11 Nkg , que forma un ángulo
de   arctg
7,98·10 12
 14,04º con la parte negativa del eje de las X.
3,19·10 11
El trabajo es la diferencia de energía potencial entre los dos puntos:
5·1   10·1
5·1
 10·1
11
W  E(4,4)  E(0,4)   G
G
G
   G
  3G  5G  2G  1,33·10 J
5
5
3
3

 

CYL 06. La lanzadera espacial Columbia giraba en una órbita circular a 250 km de altura sobre la superficie
terrestre. Para reparar el telescopio espacial Hubble, se desplazó hasta una nueva órbita circular situada a
610 km de altura sobre la Tierra. Sabiendo que la masa del Columbia era 75000 kg, calcule:
a) El periodo y la velocidad orbital iniciales de la lanzadera Columbia.
b) La energía necesaria para situarla en la órbita donde está el Hubble.
a) La velocidad de un satélite en órbita es:
v
G MT

R
y el periodo orbital: T 
6,67·10 11 ·5,98·10 24
 7762,2m·s1
6,37·106  250·103
2  R 2 (6,37·10 6  250·10 3 )

 5538,6 s  1h23m27 s
v
7762,2
b) La energía para pasar de una órbita a la otra es la diferencia de energías totales:

5,98·10 24 ·75000
1 M m
1
E250   G T
  6,67·10 11
 2,26·1012 J 
2 RT  h
2
6,37·10 6  250·10 3

11
 E  E610  E250  1,2·10 J
24
5,98·10
·75000
1 MT m
1
E610   G
  6,67·10 11
 2,14·1012 J 

2 RT  h
2
6,37·10 6  610·10 3

CYL 07. En el caso del campo gravitatorio creado por un planeta, demuestre que:
a) la velocidad de escape de un cuerpo es independiente de su masa.
b) para un cuerpo en órbita circular la ECINETICA 
1
2
EPOTENCIAL
a) La deducción más fácil es por energías. En la superficie del planeta y en el infinito la energía
total es la misma. En el infinito la energía potencial es cero y si el cuerpo se para la energía cinética
también se anula.
planetaP
E T  EC  EP 
infinito
ET  0
M m
1
m v2  G P  1
M m
2
RP 
m v2  G P
 v
RP
 2

2G MP
RP
que no depende de la masa del cuerpo que se lanza.
b) La energía potencial a una altura h es EP  G
MP m
RP  h
para un satélite que está en órbita a una altura h, la fuerza de atracción es la centrípeta:
G
MP m
(RP  h)
2
m
G MP
v2
 v
RP  h
RP  h
 EC 
1
1 G MP
1
mv 2  m
 EP
2
2 RP  h 2