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ANEXO II
 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Función Abreviatura
Seno
sin (sen)
Coseno
cos
Tangente tan (tg)
Cotangente cot (cotg)
Secante
sec
Cosecante csc (cosec)
Equivalencia
Teorema del Seno
Existe una relación muy útil para la resolución de triángulos que relaciona los lados con los
ángulos. Esta relación es conocida como teorema del seno
En el triángulo AC´C se verifica
de donde
h c = b × sen(A)
Análogamente en el triángulo BC´C
y obtenemos
h c = a × sen(B)
Igualando ambas expresiones resulta la
igualdad a × sen(B) = b × sen(A)
expresión equivalente a
Igualmente podemos considerar los
triángulos rectágulos AA´C y ABA al
trazar la altura relativa al vértice A.
Mediante un razonamiento análogo al
anterior obtendremos
De las expresiones obtenidas podemos deducir que
expresión conocida como teorema del seno (o de los senos) y que demuestra que la relación
que existe entre los lados de un triángulo y los senos opuestos es siempre la misma.
El teorema es válido para cualquier tipo de triángulo.
Teorema del Coseno
En el triángulo rectángulo AC´C se verifica
b 2 = m 2 + hc2
siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y hc la
altura relativa al vértice C.
Si m y n son las proyecciones
ortogonales de los lados b y a
sobre el lado c y consideramos
el triángulo rectángulo BC´C
resulta
a 2 = hc2 + n 2 = hc2 + (c - m) 2 =
= (hc2 + m 2) + c 2 - 2cm = b 2 +
c 2 - 2cm
Expresión que proporciona el
valor del cuadrado del lado
opuesto a un ángulo agudo
Como en el triángulo
rectángulo AC´C es m =
b×cos(A), si sustituimos en la
expresión anterior
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos(A)
Teorema del Coseno
El cuadrado del lado opuesto a
un ángulo agudo es igual a la
suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble
producto de ellos por el coseno
del ángulo comprendido.
Sea el triángulo BAC
obtusángulo en A. Si m es la
proyección ortogonal del lado
b sobre c tendremos
a 2 = hc2 + (c + m) 2 = c 2 +
2mc + (m 2 + hc2) =
= b 2 + c 2 + 2cm (*)
En el triángulo rectángulo AC´C se verifica
Expresión que proporciona el
b 2 = m 2 + hc2
valor del cuadrado del lado
siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y hc la
opuesto a un ángulo obtuso
altura relativa al vértice C.
Como en el triángulo AC´C
resulta que
m = b cos(180 - A) = - b
cos(A)
si sustituimos en (*)
volvemos a obtener la
expresión obtenida
anteriormente para el teorema
del coseno. Es decir, dicho
teorema se verifica para
cualquier tipo de triángulo.
(Para el caso particular que A
= 90º obtendríamos el
teorema de Pitágoras)
Tanto la expresión del cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo como la del cuadrado
del lado opuesto a un ángulo obtuso son dos excelentes criterios para determinar con qué
tipo de triángulo nos encontramos. Según que el cuadrado del lado de un triángulo sea
menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos, el ángulo será agudo,
recto u obtuso.
· Si los lado de un triángulo vienen dados por la terna (3,4,5) se trata de un triángulo
rectángulo pues 3 2 + 4 2 = 5 2.
· Si los lados vienen dado por la terna (3,5,7) se trata de un triángulo obtusángulo pues 3 2
+ 5 2 = 34 < 7 2.
· Si la terna de los lados es (7,8,10) el triángulo es acutángulo pues 7 2 + 8 2 = 113 > 10 2
Una demostración vectorial
del Teorema del Coseno
Consideremos un triángulo
cualquiera ABC en el que a
+ b = c y las longitudes de
los lados de dicho triángulo
son los módulos de los
vectores a, b y c.
Multiplicando escalarmente
a por sí mismo tenemos:
aa = (c - b)(c - b) = bb +
cc - 2 bc =
= |b| 2 + |c| 2 - 2 |b||c| cos (b,
c)
Es decir
|a| 2 = |b| 2 + |c| 2 - 2 |b||c|
cos (b, c)
Unidades de medida
a) Superficie:
1 centiarea = 1ca = 1m²
1 area
= 1 a = 100 m²
1 hectaria = 1ha = 10.000 m²
b) Angulares:
Sistema sexagesimal 1 giro=360°
Sistema centesimal 1 giro =400partes
Sistema natural 1radian 57°,2958 -- 2radianes 360°
Relación entre los sistemas
Sexagesimal-natural
1rd=360°/2
 rd/360° =1/57 o sea aprox 1/60
1’=1rd/3438 o sea aprox 1/3500
1”=1rd/206.265 o sea 1/200.000