Download Teorema de Tales en un triangulo

Índice:
-Historia de la trigonometria (pg 1y pg 2)
-Explicación del teorema de Tales (pg2)
-Teorema de Tales en un triangulo (pg3)
-Aplicaciones del teorema de tales (pg. 3-6)
-Medida de la torre de guzmán mediante las razones
trigonométricas (pg. 7)
-Medida de la distancia desde las 3 piedras hasta la
orilla de la playa (pg. 8 -9)
-Fotografías con razones trigonométricas (10-12)
Trabajo realizado por:
-Jesús Marín Sanz
-Pedro Calderón Ruiz
1ºbach-A
TRABAJO DE PROYECTO INTEGRADO
RUTAS MATEMATICAS POR
CONIL DE LA FRONTERA Y
USO DE LA
TRIGONOMETRIA
2011
TRABAJO REALIZADO POR:
Jesús Marín Sanz y Pedro calderón Ruiz
Hi st ori a de l a Tr ig on ome t ri a
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los
Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en
grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia
clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una
tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de
71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la
longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado
que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que
Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos
adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción
básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito
por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de
su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo
utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo
a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver
triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado
también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de
cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado
opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los
matemáticos indues utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la
función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función
seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron
teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos
planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1
en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las
funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través
de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a
aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia
en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann
Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los
logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un
gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e
integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la
representación de muchas funciones matemáticas utilizando series
infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el
sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del
cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis,
donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las
matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró
que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética
de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas
utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
T eo r ema de T ha l es
Si do s r ect a s c ua l esqui er a se c ort a n por var i a s rec ta s
pa ra l el a s,
r ect a s
l os
son
seg men t os
det er mi na dos
pr oporc i ona l es
c o rr espon di en t es en l a ot r a .
a
en
l os
un a
de
la s
seg men t os
E l teor ema de Tha l es en un tr iá n g ul o
D a do un t ri á ng ul o A B C, si se tr az a un seg men t o
pa ra l el o, B'C', a un o de l os l a dos del t ri a ng ul o, se
o bt i en e
ot r o
t ri á ng ul o
AB 'C' ,
c uyos
l a dos
son
pr o por ci on a l es a l os del tr iá n g ul o A B C .
A pli c ac i on es del teor ema de T ha l es
E l teo r ema de T ha l es se ut i li z a pa ra di vi di r un seg ment o
en va r ia s pa r t es i g ual es .
E jempl o
D i vi dir el seg men t o A B en 3 par t es i g ua l es
1. Se di buja un a semi r r ec t a de or ig en el ex tr emo A del
seg men t o.
2.
Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la
semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.
3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan
rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre
la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan
las 3 partes iguales en que se divide.
Razones trigonometricas
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se
parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo.
El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los
sucesivo será:
•
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de
mayor longitud del triángulo rectángulo.
•
•
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos
determinar.
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que
queremos determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano,
por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o
180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no
rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se
dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas
para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo
que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se
trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la
hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la
hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
MEDIDA DE LA TORRE DE GUZMAN MEDIANTE LA TANGENTE
Tg 46º= h/19.80
Tg 46ºx19, 80=h
H= 20,50 m mide la altura de la torre de Guzmán
MEDIDA DE LA DISTANCIA DESDE LAS 3 PIEDRAS HASTA LA
ORILLA
Usamos las tangentes:
TG 25º=h/x------h=x x TG 25/ igualamos: (x) x tg 25º= (15+x) x tg 14º
TG 14º=h/15+x----- h= (15+x) x TG 14º
X = (15 + x) x tg14º/ tg25; x= 17, 23 m
Resultados:
-17,23 metros es la distancia desde las 3 piedras hasta la orilla
-15 + 17,23 = 32,23 metros es la distancia desde las 3 piedras hasta
la orilla
FOTOGRAFIAS CON RAZONES
TRIGONOMETRICAS
-La sombra de la pared forma
Un triangulo rectángulo
- el símbolo de la marca
Renault tiene forma de rombo
-La cuerda de la red del jabeguero y la pared forman un triangulo
rectángulo
FOTOGRAFIAS CON RAZONES
TRIGONOMETRICAS
-Muchas señales de tráfico tienen forma triangular; por ejemplo la de
“seda el paso”
-las grúas de las obras están formada por infinidad de triángulos
FOTOGRAFIAS CON RAZONES
TRIGONOMETRICAS
-la base donde se apoya el palo del reloj solar tiene forma triangular