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IES CARRIZAL
4º ESO (Opción B)
Trigonometría
INTRODUCCIÓN
En esta unidad didáctica vas aprender cosas nuevas sobre los triángulos y los ángulos y sobre todo, vas a
aprender a aplicarlo a problemas reales, como medir árboles o edificios, medir distancias que con una cinta
métrica sería imposible, etc.
Conocimientos Previos
1.- Los lados que forman el ángulo recto se llaman "catetos", y el que queda enfrente, "hipotenusa" (el mayor
de los tres.). Al cateto que esté frente al ángulo agudo que estemos mirando, vamos a llamarlo cateto opuesto y
al que forma uno de sus lados cateto contiguo o cateto adyacente.
2.- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º.
3.- El Teorema de Pitágoras: "La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado".
a
a2  b2  c2
b
c
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los
triángulos. La palabra trigonometría procede del griego trigonos, triánguloy metría, medida.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y
las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También
se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la
predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el
cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde debemos destacar al matemático y astrónomo
Griego Hiparco de Nicea (190 a.c.-120 a.c.), por haber sido uno de los principales desarrolladores de la
Trigonometría.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se
difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente
que la hace hoy parte de las matemáticas.
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1. TRIGONOMETRÍA:
Un ángulo viene determinado por dos semirrectas, llamadas lados, con un mismo
origen llamado vértice.
Un ángulo se puede representar por un arco o por tres puntos.
Y se lee, el ángulo  o el ángulo AOB.
Un ángulo orientado es la región del plano descrita por el giro de una semirrecta. Se dice que el ángulo
es positivo si el giro es en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, y negativo, en caso contrario.
Para medir los ángulos y los arcos de la circunferencia se usan fundamentalmente dos sistemas de
medidas.
Medidas de ángulos en el sistema sexagesimal y en radianes.
Un ángulo se puede medir en grados o en radianes:
a) Si los medimos en grados estamos usando el sistema sexagesimal.
Un ángulo se divide en 90 partes llamadas grados sexagesimales (º). Un grado sexagesimal tiene 60
minutos (‘) y cada minuto tiene 60 segundos (“).
1 recto= 90º
1º=60’
1’=60”
b) Radianes. Se dice que un ángulo mide un radián cuando la longitud del arco es igual al radio. Su símbolo
es RAD.
360º=2  rad
180º=  rad
90º=

rad
2
La ventaja de los radianes sobre los grados es solamente que ayudan a simplificar muchas fórmulas
trigonométricas.
Definición formal de radián
Llamamos radián a aquel ángulo tal que el arco que abarca tiene la misma longitud que el radio del arco.
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Conversión radian-grado grado-radian
Una circunferencia tiene una longitud de
y un radian mide r es decir en una circunferencia caben
radianes. A su vez en una circunferencia caben 360º. Es decir que:
Paso de grados a radianes:
Paso de radianes a grados:
El valor de un radian es:
Cambio de unidad de medida
Teniendo en cuenta que un ángulo de 360º tiene por arco toda la circunferencia, cuya longitud es L=2𝜋r, se tiene
𝐿
𝐿
2𝜋𝑟
que en la circunferencia caben ángulos de un radián y que por tanto, 360º= =
= 2𝜋 radianes. Con esta
𝑟
𝑟
𝑟
igualdad es fácil pasar la medida de un ángulo de grados a radianes y viceversa, por ejemplo, mediante una regla
de tres.
.
Ejercicio:
1. Pasar de grados a radianes:
30º, 45º, 225º, 300º, 150º, 315º, 270º, 60º, 90º, 120º
2. Pasar de radianes a grados:
  4 4 7 5 9 3
,
,
,
,
,
, ,
2 3 3 5 4 3 10 2
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.
El estudio de las razones trigonométricas se hace a partir de un triángulo rectángulo.
NOTA.
Importante para recordar:
- La relación entre los lados de un triángulo rectángulo se expresa por la fórmula del teorema de
Pitágoras.: a2+b2=c2
- La suma de los ángulos de un triángulo rectángulo es 180º
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En los siguientes grupos de triángulos semejantes calcula, relacionándolo con el ángulo A:
a) Cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa
b) Cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa
c) Cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente
¿Hay algo en esos cálculos que te llama la atención?
A partir del ángulo  se definen las siguientes razones trigonométricas:
longitud del cateto opuesto a 
a
 seno de   sen 
longitud de la hipotenusa
c
longitud del cateto continuo a 
b
 cos eno de   cos 
longitud de la hipotenusa
c
longitud del cateto opuesto a 
sen a
 tan gente de   tg 

longitud del cateto continuo a 
cos  b
Estas tres son conocidas como razones trigonométricas directas.
Ejemplo:
Calcula las razones trigonométricas en el siguiente triángulo. Halla el valor de los ángulo
A
3
B
 y.
34
5
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C
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Las razones trigonométricas inversas:
cos ecante   cosec 
sec ante   sec 
1
c

sen a
1
c

cos b
cot angente   cot g 
1
b

tg a
Ejemplo: calcula las razones trigonométricas inversas del triángulo anterior.
3.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.
Las razones trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí. Conociendo una cualquiera de ellas
quedan determinadas las demás.
cateto opuesto
 cateto opuesto
1
cateto contiguo
cos  =
 cateto contiguo
1
Teorema de Pitágoras : h 2 = c12 + c 22
sen =



 2
 1 =sen2  +cos2 




1=sen2  +cos2 
Dividimos ahora toda la expresión por sen2  :
1
sen 2 cos 2


sen 2 sen 2 sen 2

cosec2  =1+cotg2 
Dividimos ahora toda la expresión por cos2  :
1
sen 2 cos 2


cos 2 cos 2 cos 2

sec2  =tg2  +1
Ejemplo:
Siendo el sen  
1
2
0  /2
calcular el resto de razones trigonométricas.
Un uso importante de la trigonometría es trabajar con triángulo, y calcular partes del triángulo que no se
conocen.
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4.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS.
Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos (lados o ángulos) a partir de algunos
elementos conocidos.
Las razones trigonométricas nos permiten resolver cualquier tipo de triángulo rectángulo.
Conocidos dos lados.
- El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras.
- Uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica que lo relaciona con los dos lados
conocidos.
Conocidos un lado y un ángulo
- Otro lado se halla mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos.
- El otro ángulo agudo es complementario del que conocemos (suman 90º)
Ejemplo1:
Alfonso está haciendo volar su cometa. Ha soltado ya 47 m de hilo y averigua que el ángulo que forma la cuerda
de la cometa con la horizontal es de 52º ¿A qué altura se encuentra la cometa?
h: cateto opuesto al ángulo conocido.
sen52º=
h
 h  47 sen52  47·0.788  37,036m
47
La cometa está a unos 37 m de altura.
Ejemplo 2:
Halla la inclinación de los rayos solares cuando la torre Eiffel, de 320m de altura, proyecta una sombra de 350m
tg  =
320m
320
350
 0.914    arctg 0.914 =
350m
Ejemplo 3:
Una escalera de 2m forma con el suelo un ángulo de 45º, ¿a qué altura de la pared llegará el extremo superior?
Sen45º=
x
2 2
 x  2sen 45º 
 2  x  1,41m
2
2
2m
Ejemplo4:
Sobre un trípode de 1,50m , situado a 10m de un edificio, se coloca un teodolito y se obtiene una visual de la
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cúspide con un ángulo de 60º. Halla la altura del edificio.
Tg60º=
x
 3  x  10· 3  h  1,5  10· 318,8m
10
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º; 45º Y 60º.
Existen expresiones que relacionan el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, de modo que a partir de una de
ellas podemos obtener el resto de razones trigonométricas.
Razones trigonométricas de 45
En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos agudos miden 45° cada uno.
hipotenusa, a, de este tipo de triángulo rectángulo es:
a=
La
l 2  l 2  2l 2  2l siendo l la longitud de cada cateto.
l
sen 45 ° =

1
2l
cos 45 ° =
2
2

2
2
2
l

1
2l
tg 45 ° =

2
1
1
1
Razones trigonométricas de 30° y 60°
En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°. La altura, h, del triángulo
coincide con uno de los catetos y vale:
equilátero
2
h=
l2
3l 2
3l
1
l2     l2 


4
4
2
2
De modo que las razones trigonométricas de 30° y 60° serán:
l
1
Sen30º= 2 
l 2
3l
3
cos30º= 2 
l
2
1
3
tg30º=

3
3
sen60º=
3l
2  3
l
2
l
1
cos60º= 2 
l 2
tg60º= 3
Ejercicios de razones trigonométrica
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1) Si un ángulo tiene seno igual a 3/5, halla las restantes Razones Trigonométricas.
2) Si un ángulo tiene tangente igual a 4, halla las restantes Razones Trigonométricas.
3) Si un ángulo tiene coseno igual a 4/5, halla las restantes Razones Trigonométricas.
Esta es la parte de la Unidad más práctica, pues con poca teoría se pueden resolver muchos y
diversos problemas, tanto teóricos como prácticos.
La resolución de Triángulos Rectángulos es el caso más sencillo de Resolución de
Triángulos. En él utilizaremos los siguientes resultados:

La suma de los tres ángulos de un Triángulos es de 180º.

El Teorema de Pitágoras.

Las Razones Trigonométricas de un ángulo.
Nota: para hacer las actividades de Resolución de Triángulos sin ningún tipo de problemas en
la utilización de los resultados anteriormente citados se tendrá en cuenta lo siguiente:

Los ángulos se designarán con letras mayúsculas (las mismas que los vértices): A, B
y C.

Los lados se designarán con letras minúsculas y correspondientes al ángulo
opuesto: a, b y c.
B
c
A
b
a
C
Ejercicios de resolución de triángulos sencillos
1) Halla las Razones Trigonométricas del ángulo menor en un Triángulo Rectángulo de lados 6,
8 y 10.
2) Halla los ángulos de un Triángulo Rectángulo de lados 12, 16 y 20.
3) Dibuja un Triángulo Rectángulo cuya hipotenusa mide 1 y los catetos 0’5. Calcula los
ángulos agudos.
4) Dibuja un Triángulo Rectángulo cuya hipotenusa mide 4 y uno de los catetos 2. Calcula los
ángulos agudos.
5) Un cateto de un Triángulo Rectángulo mide 3 y la hipotenusa 7. Hallar las Razones
Trigonométricas de los ángulos agudos.
6) En un Triángulo Rectángulo se conocen la hipotenusa c = 12 y el ángulo B = 25º. Resolver el
triángulo.
7) Resolver el siguiente Triángulo Rectángulo:
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B
c
65º
a
A
80 cm
C
8) La hipotenusa de un Triángulo Rectángulo mide 25 cm y un cateto mide 20 cm. Resolver el
triángulo.
Ejercicios de resolución de triángulos adaptados a problemas reales
Para resolver estas actividades es necesario seguir los siguientes pasos:

Leer bien el problema y comprender lo que nos dice.

Realizar un dibujo que refleje fielmente la situación que describe el problema.

Traducir dicho dibujo a un Triángulo Rectángulo.

Anotar en el triángulo los datos conocidos y designar una letra a los datos
desconocidos.

Resolver el triángulo hasta hallar los datos incógnitas del problema, sin necesidad
de resolver el triángulo en su totalidad.
1) Los rayos solares forman un ángulo de 45º con el suelo. Calcula la altura de un árbol
sabiendo que su sombra es de 7m.
2) Calcula el radio, apotema y área de un octógono regular de lado 10cm.
3) En una circunferencia de 100 cm de radio se unen dos puntos mediante una cuerda de 100
cm. ¿Cuánto mide el ángulo central?
4) Halla el lado y el área del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 m.
5) Una cometa está fijada al suelo por un hilo de 100 m. formando con el suelo un ángulo de
60º. Calcula la altura a la que se encuentra la cometa.
6) La base de un triángulo isósceles mide 10 cm. y el ángulo apuesto 50º. Halla la altura y el
área del triángulo.
7) Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm. y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo
que forman las ramas.
8) Si las dos ramas de un compás miden 12 cm. de longitud y forman un ángulo de 60º, calcula
el diámetro de la circunferencia que puede trazarse.
9) Desde un faro de 40 m. de altura se divisa un barco bajo un ángulo de 55º. ¿A qué distancia
del faro se encuentra el barco?
10) Se desea calcular el área de una parcela triangular. Dos lados miden 80 m. y 130 m. y el
ángulo que forman dichos lados se mide con un teodolito obteniendo 70º. ¿Cuánto mide el
área?
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11) Una escalera de 5 m. de altura se apoya sobre una pared formando un ángulo de 20º con
el suelo: Calcula la altura que alcanza la escalera sobre la pared y la separación del pie de la
escalera con la pared.
12) Una escalera de bomberos de 10 m. se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya
sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º. Si se apoya sobre la otra
fachada el ángulo es de 30º. Halla la anchura de la calle y la altura sobre cada fachada que se
podrá alcanzar.
13)Calcula la altura de un edificio si desde el otro lado de la calle, a 30 m de su base, vemos su
extremo superior con un ángulo de 60°.
14)Calcula la altura de esta nave espacial.
15)Un edificio proyecta una sombra de 150 m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30’ sobre
el horizonte. Calcula la altura del edificio.
16)Desde un punto A en la orilla de un río se ve un
árbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros río
abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B
desde el que se ve el pino formando un ángulo de 15º
con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.
17) Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va
a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1200 metros y el ángulo de
observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de
30º. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si ésta mide 40 m de altura?
18) Para hallar la altura a la que se encuentra un globo, procederemos del siguiente modo:
Rosa se coloca en un punto B, y yo en un punto A, a 5 metros de ella, de tal forma que los
puntos A, B y C (observa la figura) quedan alineados. Si los ángulos y miden 40º y 50º
respectivamente, ¿a qué altura se encuentra el globo?
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19) Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, como indica la
figura.
Calcula: a) La altura de la antena. b) La longitud de los
cables.
20) Observa las medidas que ha tomado Juan para
calcular la anchura del río.
¿Cómo la hallará con esos datos?
21) En dos comisarías de policía A y C, se escucha la alarma de un banco B. Con los datos de la
figura, calcula la distancia del banco a cada una de las comisarías.
22) Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17 m de largo.
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23) Calcula la altura de esta nave espacial.
24) Determina la distancia en línea recta que separa
el Alto de los Arapiles de la Meseta del Carpio.
25) Se sabe que la luz del faro está a 60 metros sobre
el nivel del mar. El navegante mide el ángulo de
elevación de dicha luz y resulta que es de 20º. ¿A qué
distancia se encuentra el barco del pie del faro?
26) Un árbol y un observador se
encuentran en orillas opuestas de un río.
El observador mide el ángulo que forma su
visual con el punto más alto del árbol y
obtiene 35º; retrocede 10 m y mide el
nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 25º.¿Qué altura tiene el árbol?
27) Desde un punto se observa un edificio cuya
parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º,
si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de
45º. Calcular la altura del edificio.
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