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Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Zacatenco
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica
Academia de Matemáticas
Fundamentos de Álgebra. Tarea 1
Julio César Vera Hernández
1.
Sistemas de ecuaciones lineales
Problema 1. Para el sistema de ecuaciones
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
.
(1)
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
supóngase que escogemos m escalares c1 , . . . , cm tales que la j-ésima fila se multiplica por cj y luego se suman. Así, se obtiene la
ecuación
(c1 a11 + · · · + cm am1 )x1 + · · · + (c1 a1n + · · · + cm amn )xn = c1 b1 + · · · + cm bm ,
(2)
la cual se conoce como combinación lineal del sistema (1). Por otra parte, se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son
equivalentes si cada ecuación de cada sistema es combinación lineal de las ecuaciones del otro sistema. Determine si los pares de
sistemas de ecuaciones siguientes son equivalentes, y si es así, exprese cada ecuación de cada sistema como combinación lineal de
las ecuaciones del otro sistema así como sus soluciones, en caso de que existan.
(a)
x1 − x2 = 0
2x1 + x2 = 0
(b)
2x1 + (−1 + i)x2 + x4 = 0
3x2 − 2ix3 + 5x4 = 0
2.
Operaciones fundamentales con matrices
3x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 0
(c)
−x1 + x2 + 4x3 = 0
x1 + 3x2 + 8x3 = 0
1
5
2 x1 + x2 + 2 x3 = 0
x1 − x3 = 0
x2 + 3x3 = 0
(1 + 2i )x1 + 8x2 − ix3 − x4 = 0
2
1
3 x1 − 4 x2 + x3 + 7x4 = 0
Problema 2. Construir una matriz (ajk ) ∈ M3×2 (R), donde ajk = j 2 − jk.
Problema 3. Sea la delta de Kronecker definida por
(
δjk :=
1
0
j=k
.
j 6= k
Construir una matriz (ajk ) ∈ M3×4 (R) donde ajk = 3k + k 2 δjk .
Problema 4. Si A = (ajk ) ∈ Mn×n (R), decimos que A es diagonal si ajk = αj δjk , para algún αj ∈ R. Si A, B ∈ Mn×n (R) son
matrices diagonales, demostrar que A y B conmutan y escribir de manera explícita al producto AB.
Problema 5. Una matriz M se dice simétrica si M = M | . Encontrar el número máximo de entradas distintas en cualquier matriz
simétrica n × n.
0 1
Problema 6. Si A =
, encontrar AN , N ∈ N1 .
1 1
1 La
sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .
La sucesión inicia con f0 = 0 y f1 = 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores, es decir, fn+2 = fn+1 + fn . A cada elemento fn de esta
1

1
Problema 7. Si A = 0
0
1
1
0


0
1

1, demostrar que An+1 = 0
1
0
n+1
1
0

n(n + 1)

2
n + 1 .
1
Problema 8. Si A, B ∈ Mn×n (R), determinar una condición suficiente y necesaria para que
(a) (A + B)(A + B) = A2 + B 2
(b) (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
Problema 9. Sea f (x) := a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 + an xn un polinomio
por
y sea
A ∈ Mm×m (R). Denotamos
1 2
14 2
2
n−1
n
2
f (A) := a0 In×n +a1 A+a2 A +· · ·+an−1 A
+an A . Si f (x) = 3x −5x−2 y A =
, demostrar que f (A) =
.
3 1
3 14
Problema 10. Una matriz A ∈ Mm×m (R) se dice idempotente si A2 = A. Demuestre que las siguientes matrices son idempotentes:

−26
(a)  21
12
−18
15
8

−27
21 
13

1
(b) 0
0
0
1
0

0
0.
0
Problema 11. Se dice que una matriz es antisimétrica si A = −A| . Encontrar el número máximo de elementos distintos en
cualquier matriz antisimétrica n × n.
Problema 12. Demostrar que si A es antisimétrica, entonces A2 es simétrica.
Problema 13. Sean A, B matrices antisimétrica n × n. Demostrar que AB es simétrica si y sólo sí AB = BA.
Problema 14. Demostrar que toda matriz cuadrada puede ser expresada como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.
3.
Matrices inversas

1
Problema 15. Sean A = 2
1

−1
3

2
yB =
−4
0
1
. ¿Existe una matriz C tal que CA = B?
4
Problema 16. Sea A ∈ Mn×n (R). Si existe B ∈ Mn×n (R) tal que AB = In×n , demostrar que entonces B = A−1 .
Problema 17. Encontrar la inversa, si es que existe, de las siguientes matrices:
(a)
a
c
b
∈ M2×2 (R)
d
(b)
cos θ
− sen θ
sen θ
cos θ

2
(c) 0
0
3
5
0

4
6
1
Problema 18. Si A ∈ Mn×n (R), ¿es cierto que (A−1 )−1 = A?
Problema 19. Sea A ∈ Mn×n (R).
(a) Supongamos que existe B ∈ Mn×n (R) tal que AB = 0. ¿Se puede concluir que A = 0 o B = 0?
(b) Si A es invertible y AB
a
Problema 20. Si A =
0
= 0 para alguna matriz B ∈ Mn×n (R), demuestre que B = 0.
0
, encontrar una condición suficiente y necesaria para que A sea invertible. Encontrar A−1 , si existe.
b
sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como
Fibonacci, al tratar con un problema de conejos. Se sabe que el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci está dado por
√ !n
√ !n
1+ 5
1− 5
−
2
2
√
fn =
,
0≤n∈N
5
√
1+ 5
. Resulta una verdadera curiosidad el hecho de que el número áureo ϕ :=
aparezca en la expresión anterior.
2
2
Problema 21. Determinar para qué valor de λ la siguiente matriz es invertible:


1 λ 0 0
λ 1 0 0


 0 λ 1 0 .
0 0 λ 1
Problema 22. Calcular el número de operaciones de multiplicación y de adición necesarias al multiplicar una matriz A ∈ Mm×n (R)
por una B ∈ Mn×p (R).
Problema 23. Sea D una matriz diagonal n × n de tal forma que los elementos diagonales son todos distintos. Demostrar que si
f (x) es un polinomio, entonces f (D) es una matriz diagonal.
Problema 24. Una matriz cuadrada se llama escalar si es igual con αIn×n , para algún escalar α ∈ R. Si una matriz conmuta con
todas las matrices cuadradas del mismo orden, demostrar que entonces A es una matriz escalar.
Problema 25. Encontrar la forma general de las matrices que conmutan con las matrices siguientes:




0
1
0 ··· 0
0 1 0
0
0
1 ··· 0 
(a) 0 0 1



·
·
·
·
·
·
·
· · · · · · · ·
0 0 0
(b) 

0
0
0 ··· 1 
0
0
0 · · · 0 n×n
Una matriz A = (ajk ) ∈ Mn×n (R) se llama triangular superior si ajk = 0 para todo 1 ≤ j < k ≤ n, y triangular inferior
si ajk = 0 para todo 1 ≤ k < j ≤ n. Demostrar que la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular
superior (inferior).
Problema 26. Resuelva el siguiente sudoku:
3
9
2 5
1
1
4
7
8
4
2
5 2
9 8 1
3
4
7 2
3 6
7
3
9
3
6
4
Referencias
[1] Aitken, A. C. Determinants and Matrices. Instituto Politécnico Nacional. México, 1999.
3
[2] Childs, Lindsay. A Concrete Introduction to Higher Algebra. Springer. New York, 2009.
[3] Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray. Álgebra Lineal. Prentice-Hall Hispanoamericana. México, 1973.
[4] Máltsev, A. I. Fundamentos de Álgebra Lineal. MIR. Moscú, 1976.
[5] Spiegel, Murray. Álgebra Lineal. Serie Schaum. Mc. Graw-Hill. México, 1999.
[6] Spiegel, Murray. Complex Variables. Schaum’s Outline. Mc. Graw-Hill. Singapur, 1981.
[7] Spivak, Michael. Calculus. Reverté. México, 2001.
[8] Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. Massachusetts, 2003.
“Los matemáticos no estudian los objetos,
sino las relaciones entre los objetos.
Entonces, son libres de remplazar algunos
objetos por otros siempre y cuando las relaciones
permanezcan sin cambios.
El contenido para ellos es irrelevante:
están interesados sólo en la forma.”
–Henri Poincaré
4