Download Rectas y puntos notables del triángulo

Rectas y puntos notables del triángulo
a) Altura (h) y ortocentro (H)
En un triángulo acutángulo (equilátero o isósceles) el ortocentro se encontrará siempre
dentro de la circunferencia.
H se ubica dentro del Δ
Cuando trazamos las alturas en un triángulo rectángulo (isósceles o escaleno), dos de
ellas se enciman en cada uno de los catetos, por eso al intersecarse el ortocentro queda
en el vértice donde se encuentran unidos los dos catetos.
En un triángulo obtusángulo (escaleno), siempre se tiene que prolongar la base, por lo
que la intersección de las alturas (ortocentro) quedará fuera del triángulo.
H fuera del ∆
b) Bisectriz (b) y el incentro (I)
Las bisectrices (b1, b2 y b3) dividen cada ángulo interno por la mitad. Todas las
bisectrices concurren a un mismo punto que es el centro de una circunferencia inscrita.
Este punto se denomina incentro (I).
Con la actividad de exploración te diste cuenta que el incentro siempre quedará dentro
del triángulo, y no depende de qué tipo de triángulo se trate pues cuando se dividen los
ángulos siempre es en el interior de éste. La distancia del incentro con cualquiera de los
lados es la misma, por eso se puede trazar la circunferencia inscrita y ésta depende de la
forma del triángulo; si es equilátero la circunferencia inscrita quedará en el centro.
c) Mediatriz (M) y circuncentro (N)
Las mediatrices (M1, M2 y M3) son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de
los lados. Las tres mediatrices concurren a un punto que es el centro de la circunferencia
circunscrita. A este punto se le denomina circuncentro (N).
♦
En un triángulo rectángulo el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.
♦
En un triángulo acutángulo el circuncentro está en el interior del triángulo.
♦
En un triángulo obtusángulo el circuncentro está fuera del triángulo.
Además la circunferencia circunscrita al triángulo siempre contiene los tres vértices de
éste.
d) Mediana (m) y baricentro (G)
Las medianas (m1, m2 y m3) unen un vértice con el punto medio del lado
opuesto. Concurren en un mismo punto, denominado centro de gravedad del triángulo
(G). Este punto, donde se unen las tres medianas, se llama baricentro, es decir, aquí se
encuentra el punto de equilibrio. G se ubica siempre dentro del triángulo.
En el baricentro se cumple:
En un triángulo equilátero, los cuatro puntos (ortocentro, incentro, circuncentro y
baricentro) siempre se encuentran en el centro del triángulo, a diferencia de todos los
demás triángulos.
e) Recta de Euler
Hasta ahora hemos localizado los cuatro puntos notables de un triángulo. Tres de ellos —
circuncentro, baricentro y ortocentro— son colineales, es decir, están sobre una línea
que los une a la cual se le llama Recta de Euler (se llama así en honor al matemático
suizo Leonhard Euler quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII).