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Espacios Vectoriales
∗
Daniel Felipe Gonzalez Obando
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Abstract
Ejercicios tomados de la sección 6.1 del libro de Álgebra lineal de Bernard Kolman y David R. Hill.
Ejercicios 6.1 Espacios Vectoriales realesDaniel Felipe González Obando
Texto ÁLGEBRA LINEAL. Bernard Kolman, David R. Hill
3. Determine si el conjunto dado V es cerrado bajo las operaciones ⊕ y .
V es el conjunto de todos los polinomios de la forma at2 + bt + c donde a, b y c son números reales, y
b = a + 1;
a1 t2 + b1 t + c1 ⊕ a2 t2 + b2 t + c2 = (a1 + a2 ) t2 + (b1 + b2 ) t + (c1 + c2 )
(1)
r at2 + bt + c = (ra) t2 + (rb) t + rc.
(2)
y
13. determine si el conjunto dado, junto con las operaciones dadas es un espacio vectorial. Si no lo es,
enumere las propiedades de la denición 1 que no se cumplen.
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales de la forma (0, 0, z) con las operaciones
(0, 0, z) ⊕ 0, 0, z ' = 0, 0, z + z '
(3)
c (0, 0, z) = (0, 0, cz)
(4)
y
Solución.
3.
Proof El problema nos dice at2 + bt + c; a, b, c ∈ R; y b = a + 1
entonces si
→
u = a1 t2 + b1 t + c1
(5)
→
v = a2 t2 + b2 t + c2
(6)
u ⊕ v = (a1 + a2 ) t2 + (b1 + b2 ) t + (c1 + c2 )
(7)
tendremos
→
∗ Version
→
1.2: Oct 8, 2008 7:17 pm -0500
† http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/
http://cnx.org/content/m17552/1.2/
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cambiando b por a + 1,
→
→
u ⊕ v = (a1 + a2 ) t2 + (a1 + 1 + a2 + 1) t + (c1 + c2 )
(8)
reduciendo la expresión (a1 + 1 + a2 + 1),
→
→
u ⊕ v = (a1 + a2 ) t2 + (a1 + a2 + 2) t + (c1 + c2 )
(9)
tomando a1 + a2 como a,
→
→
u ⊕ v = (a1 + a2 ) t2 + (a + 2) t + (c1 + c2 )
(10)
y por tanto b 6= a + 2, con lo cual concluimos que V no esta cerrado bajo las operaciones ⊕ y . 13.
Proof El problema nos dice que (0, 0, z) ∈ R y que se cumple (0, 0, z) ⊕ 0, 0, z ' = 0, 0, z + z ' y
c (0, 0, z) = (0, 0, cz), por lo tanto viendo la aplicación de las propiedades comprobaremos si es o no un
espacio vectorial.
→
→
→
Si u = (0, 0, z) , v = 0, 0, z ' , w= 0, 0, z '' ∈ V
→
→
→
→
• u ⊕ v ∈ V , esto es u ⊕ v = 0, 0, z + z ' ∈ V , por lo tanto se cumple la propiedad clausurativa de la
suma
vectorial.
→
→ →
→
• u ⊕ v = v ⊕ u , esto es 0, 0, z + z ' = 0, 0, z ' + z , por lo tanto se cumple la propiedad conmutativa
de→la suma
vectorial.
→ →
→
→ →
• w ⊕ v ⊕ u =w ⊕ v ⊕ u , esto es 0, 0, z '' + z ' ⊕ (0, 0, z) = 0, 0, z '' ⊕ 0, 0, z ' + z , que es lo
mismo que 0, 0, z '' + z ' + z = 0, 0, z '' + z ' + z , por lo tanto se cumple la propiedad asociativa de la
suma
vectorial.
→
→
→
→
→
→
• ∃! 0 ∈ V : 0 ⊕ u = u ⊕ 0 = u , esto es (0, 0, 0) ⊕ (0, 0, z) = (0, 0, z) ⊕ (0, 0, 0) = (0, 0, z), por lo tanto se
cumple la propiedad modulativa de la suma vectorial.
→
→
→
→
→ →
• ∃! −u∈ V :−u ⊕ u = u ⊕ −u= 0 esto es (0, 0, −z) ⊕ (0, 0, z) = (0, 0, z) ⊕ (0, 0, −z) = (0, 0, 0), por lo
tanto se cumple la propiedad de la existencia del inverso de la suma vectorial.
Además,
→
• a u ∈ V , esto es a (0, 0, z) = (0, 0, az) ∈ V , por lo tanto se cumple la propiedad clausurativa del
producto escalar.
→
→
• (a · b) u = a b u , esto es (a · b) (0, 0, z) = a (b (0, 0, z)) = (0, 0, abz), por lo cual se cumple
la propiedad asociativa
del producto
escalar.
→
→
→
u
u
u
• (a + b) = a
⊕ b
, esto es (a + b)(0, 0, z) = (a (0, 0, z))⊕(b (0, 0, z)) = (0, 0, (a + b) · z),
porlo tantose cumple
la
primera
escalar.
propiedad de distribución del producto
→
→
→
→
'
• a u ⊕ v = a u ⊕ a v , esto es a (0, 0, z) ⊕ 0, 0, z
= (a (0, 0, z))⊕ a 0, 0, z ' =
0, 0, a z + z ' , por lo tanto se cumple la segunda propiedad distributiva del producto escalar.
Una vez desmostradas las propiedades de los espacios vectoriales, podemos decir que V es un espacio vectorial.
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