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Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?
Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Computación Cuántica Topológica
Fases Topológicas
Mario Vélez
Ingeniería Física
Universidad EAFIT
Días de la Ciencia Aplicada, Septiembre de 2009
Mario Vélez
Computación Cuántica Topológica
Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?
Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Contenido
1
Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?
Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
2
Que es TQC?
Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3
Cómo hacer TQC?
Implentando compuertas cuánticas con anyones
4
Conclusiones
Mario Vélez
Computación Cuántica Topológica
Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?
Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
Contenido
1
Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?
Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
2
Que es TQC?
Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3
Cómo hacer TQC?
Implentando compuertas cuánticas con anyones
4
Conclusiones
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Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?
Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
Bits Cuánticos
Qubits
Los qubits son codificados en una superposición de
estados ortogonales de un sistema de dos niveles
| ψi = α | 0i + β | 1i.
Los computadores cuánticos son una colección de qubits.
Figura: 1. Diferentes representaciones del qubit.
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Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
Las compuertas cuánticas
Cálculos
Los cálculos son realizados a través de la acción de un
conjunto universal de compuertas cuánticas
{Uˆ1 , Uˆ2 . . . , Uˆm } que actúan sobre uno o más qubits.
El resultado de los cálculos se obtiene con la proyección
sobre los estados de la base {| 0i , | 1i}.
Figura: 2. Representación esquemática de un computador cuántico
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Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
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Decoherencia y correción de errores
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2
Que es TQC?
Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3
Cómo hacer TQC?
Implentando compuertas cuánticas con anyones
4
Conclusiones
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Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
Errores no deseados
En el mundo real los computadores cuánticos fallan debido
a la decoherencia
| ψi = α | 0i + β | 1i → | ψi = | 0i
ó
| 1i .
A menos que protejamos el qubit.
Figura: 3. Gato de Schrödinger. Se busca vivo y muerto.
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Computación Cuántica Topológica
(1)
Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?
Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
Errores no deseados
En principio usando corrección de errores es posible
realizar computación cuántica tolerante a fallos.
Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesario
desarrollar una gran jerarquía de mecanismos de
corrección de errores.
Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevo
hardware.
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Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
Errores no deseados
En principio usando corrección de errores es posible
realizar computación cuántica tolerante a fallos.
Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesario
desarrollar una gran jerarquía de mecanismos de
corrección de errores.
Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevo
hardware.
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Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
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Decoherencia y correción de errores
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Computador cuántico Topológico
Errores no deseados
En principio usando corrección de errores es posible
realizar computación cuántica tolerante a fallos.
Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesario
desarrollar una gran jerarquía de mecanismos de
corrección de errores.
Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevo
hardware.
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Que es TQC?
Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
3
Cómo hacer TQC?
Implentando compuertas cuánticas con anyones
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Topología
Computador cuántico Topológico
Propiedades topológicas
Las propiedades topológicas de un objeto matemático
permanecen invariantes bajo deformaciones suaves.
La TQC es inmune a la decoherencia cuántica, es
tolerante a fallos, el qubit esta protegido.
Figura: 4. El grafeno, un laboratorio natural para el estudio de
propiedades topológicas.
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Modelo de computación cuántica estándar
Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
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Que es TQC?
Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
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Cómo hacer TQC?
Implentando compuertas cuánticas con anyones
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Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
Tolerancia intrínseca a fallos
Así luciría una compuerta cuántica topológica de anyones.
Figura: 5. Compuerta de un TQC.
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Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
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Grupo braid
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Cómo hacer TQC?
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Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Partículas indistinguibles
Supongamos que tenemos dos partículas idénticas x1 y x2
descritas por
| ψi = | x1 x2 i
El operador de permutaciones P̂ cambia las partículas:
P̂ | x1 x2 i = eiφ | x2 x1 i
P̂ 2 | x1 x2 i = e2iφ | x1 x2 i
Sin embargo, P̂ 2 ≡ 1I, se necesita que e2iφ = 1. Esto
implica que e2iφ = ±1.
1
Fermiones (φ = 2π ∗ ) y los bosones (φ = 2π ∗ 1)
2
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Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
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Partículas indistinguibles
Un resultado general
En todas las dimensiones espaciales
tales que D > 2 las partículas son bosones o son fermiones.
Teorema de Espín y Estadística
Los anyones existen en 2D
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Grupo braid
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Anyones
Fermiones
Ψ(x1 , x2 ) = −Ψ(x2 , x1 ) = eiπ Ψ(x2 , x1 )
Bosones
Ψ(x1 , x2 ) = Ψ(x2 , x1 ) = e2iπ Ψ(x2 , x1 )
Anyones
Ψ(x1 , x2 ) = Ψ(x2 , x1 ) = eiπ(1+m) Ψ(x2 , x1 )
Los anyones tienen estadística fraccionaria
0≤m≤1
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Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
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Anyones
Intercambio se representa como una rotación. Dos
intercambios producen un ciclo completo.
En un modelo 3D, los ciclos de las partículas pueden ser
continuamente deformados hasta un ciclo trivial.
En un modelo 2D, esto no se puede hacer: las rotaciones
por un ángulo de 2π no tienen autovalores limitados a ±1.
Los anyones sólo existen en 2D debido a las propiedades
topológicas de del grupo de rotación SO(2).
Figura: 6. Ciclos no triviales en un modelo 2D.
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Partículas indistinguibles y anyones
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Anyones
Intercambio se representa como una rotación. Dos
intercambios producen un ciclo completo.
En un modelo 3D, los ciclos de las partículas pueden ser
continuamente deformados hasta un ciclo trivial.
En un modelo 2D, esto no se puede hacer: las rotaciones
por un ángulo de 2π no tienen autovalores limitados a ±1.
Los anyones sólo existen en 2D debido a las propiedades
topológicas de del grupo de rotación SO(2).
Figura: 6. Ciclos no triviales en un modelo 2D.
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Topología
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Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
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Grupo Braid
El grupo trenza Bn consiste de las diferentes maneras bajo
las cuales n partículas pueden ser trenzadas.
Figura: 7. Grupo trenza (Braid).
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Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
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Grupo Braid
Las trenzas pueden ser compuestas, los nudos no están
permitidos.
Figura: 8. Más sobre el grupo trenza.
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Grupo braid
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Grupo Braid
Cualquier trenza puede ser construida desde el
intercambio de partículas vecinas a partir de un conjunto
de generadores.
Hay tres generadores para el grupo de trenzas B4 . Los
grupos de trenzas son infinitos y tienen infinitas
representaciones. Tiene representaciones 1D. Así cómo
representaciones de más alto orden.
Figura: 9. Generadores del grupo trenza.
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Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
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Anyones abelianos y no abelianos
Las partículas idénticas que se transforman cómo
representaciones 1D del grupo de trenzas son anyones
abelianos: sus generadores se representan cómo phase
shifts.
σj = eiφj
El grupo de trenzas tiene representaciones no abelianas
-anyones no abelianos- sus generadores están
representados por matrices no conmutantes.
Las representaciones irreducibles de Bn de n anyones
actúan sobre un espacio vectorial topológico de n
dimensiones y se incrementa exponencialmente con n.
Dependiendo del tipo de anyon no abeliano, la imagen de
la representación puede ser densa en SU(Dn ).
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Conclusiones
Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
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Anyones abelianos y no abelianos
Las partículas idénticas que se transforman cómo
representaciones 1D del grupo de trenzas son anyones
abelianos: sus generadores se representan cómo phase
shifts.
σj = eiφj
El grupo de trenzas tiene representaciones no abelianas
-anyones no abelianos- sus generadores están
representados por matrices no conmutantes.
Las representaciones irreducibles de Bn de n anyones
actúan sobre un espacio vectorial topológico de n
dimensiones y se incrementa exponencialmente con n.
Dependiendo del tipo de anyon no abeliano, la imagen de
la representación puede ser densa en SU(Dn ).
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Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Computación cuántica topológica universal
TQC universal
Es posible hacer computación cuántica universal con trenzado de anyones
no abelianos .
Imagen densa en SU(n)
Ficción o realidad?
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Implentando compuertas cuánticas con anyones
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Conclusiones
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Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos
Fases topológicas no triviales de materia TQFT=QFT efectiva
Gases de electrones, gases de Bose rotantes, grafeno. Todos
son implementaciones de TQC en sistemas (2D).
Figura: 10. Efecto hall cuántico fraccionario.
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Implentando compuertas cuánticas con anyones
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Decoherencia y correción de errores
Topología
Computador cuántico Topológico
2
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Partículas indistinguibles y anyones
Grupo braid
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Cómo hacer TQC?
Implentando compuertas cuánticas con anyones
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Conclusiones
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Conclusiones
Implentando compuertas cuánticas con anyones
Anyones Fibonacci para implementar compuertas
cuánticas topológicas
Se ha realizado computación cuántica topológica universal con
anyones Fibonacci. Los qubits lógicos han sido implementados
con tres anyones.
Figura: 11. Qubits del modelo Fibonacci de anyones.
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Conclusiones
Implentando compuertas cuánticas con anyones
Generadores del grupo trenza con los cuales se
implementan compuertas cuánticas topológicas
Las matrices σ1 y σ2 son generadores del grupo trenza actuando
sobre qubits anyonicos generadores del espacio de Hilbert.
Sólo el bloque superior (2 × 2) actúa sobre la base
computacional (carga total=1 ).
Figura: 12. Acción de los generadores sobre los qubits.
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Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Implentando compuertas cuánticas con anyones
Una compuerta general de 3 qubits
Construcción general de compuertas de 3 qubits mediante
aplicaciones sucesivas de σ1 , σ1 y sus inversas.
Usando búsqueda a fuerza bruta, es posible aproximarse a
cualquier compuerta de 1 qubit.
Figura: 13. Acción de los generadores sobre los qubits.
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Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Implentando compuertas cuánticas con anyones
Compuerta de rotación controlada
La construcción se realiza haciendo una rotación controlada
teniedo un qubit de control.
Esta compuerta junto a la de 1 qubit produce computación
cuántica topológica universal.
Figura: 14. Rotación controlada.
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Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Implentando compuertas cuánticas con anyones
Compuerta CNOT
Figura: 15. Not controlado.
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Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Conclusiones
Computación cuántica topológica es muy deseable dada
su tolerancia intrínseca a fallos.
Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema de
anyones no abelianos.
Por fortuna ellos existen en la naturaleza.
La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones no
abelianos.
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Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Conclusiones
Computación cuántica topológica es muy deseable dada
su tolerancia intrínseca a fallos.
Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema de
anyones no abelianos.
Por fortuna ellos existen en la naturaleza.
La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones no
abelianos.
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Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Conclusiones
Computación cuántica topológica es muy deseable dada
su tolerancia intrínseca a fallos.
Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema de
anyones no abelianos.
Por fortuna ellos existen en la naturaleza.
La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones no
abelianos.
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Que es TQC?
Cómo hacer TQC?
Conclusiones
Conclusiones
Computación cuántica topológica es muy deseable dada
su tolerancia intrínseca a fallos.
Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema de
anyones no abelianos.
Por fortuna ellos existen en la naturaleza.
La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones no
abelianos.
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