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Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Computación Cuántica Topológica Fases Topológicas Mario Vélez Ingeniería Física Universidad EAFIT Días de la Ciencia Aplicada, Septiembre de 2009 Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Contenido 1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico 2 Que es TQC? Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos 3 Cómo hacer TQC? Implentando compuertas cuánticas con anyones 4 Conclusiones Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Contenido 1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico 2 Que es TQC? Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos 3 Cómo hacer TQC? Implentando compuertas cuánticas con anyones 4 Conclusiones Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Bits Cuánticos Qubits Los qubits son codificados en una superposición de estados ortogonales de un sistema de dos niveles | ψi = α | 0i + β | 1i. Los computadores cuánticos son una colección de qubits. Figura: 1. Diferentes representaciones del qubit. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Las compuertas cuánticas Cálculos Los cálculos son realizados a través de la acción de un conjunto universal de compuertas cuánticas {Uˆ1 , Uˆ2 . . . , Uˆm } que actúan sobre uno o más qubits. El resultado de los cálculos se obtiene con la proyección sobre los estados de la base {| 0i , | 1i}. Figura: 2. Representación esquemática de un computador cuántico Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Contenido 1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico 2 Que es TQC? Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos 3 Cómo hacer TQC? Implentando compuertas cuánticas con anyones 4 Conclusiones Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Errores no deseados En el mundo real los computadores cuánticos fallan debido a la decoherencia | ψi = α | 0i + β | 1i → | ψi = | 0i ó | 1i . A menos que protejamos el qubit. Figura: 3. Gato de Schrödinger. Se busca vivo y muerto. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica (1) Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Errores no deseados En principio usando corrección de errores es posible realizar computación cuántica tolerante a fallos. Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesario desarrollar una gran jerarquía de mecanismos de corrección de errores. Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevo hardware. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Errores no deseados En principio usando corrección de errores es posible realizar computación cuántica tolerante a fallos. Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesario desarrollar una gran jerarquía de mecanismos de corrección de errores. Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevo hardware. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Errores no deseados En principio usando corrección de errores es posible realizar computación cuántica tolerante a fallos. Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesario desarrollar una gran jerarquía de mecanismos de corrección de errores. Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevo hardware. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Contenido 1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico 2 Que es TQC? Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos 3 Cómo hacer TQC? Implentando compuertas cuánticas con anyones 4 Conclusiones Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Propiedades topológicas Las propiedades topológicas de un objeto matemático permanecen invariantes bajo deformaciones suaves. La TQC es inmune a la decoherencia cuántica, es tolerante a fallos, el qubit esta protegido. Figura: 4. El grafeno, un laboratorio natural para el estudio de propiedades topológicas. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Contenido 1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico 2 Que es TQC? Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos 3 Cómo hacer TQC? Implentando compuertas cuánticas con anyones 4 Conclusiones Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico Tolerancia intrínseca a fallos Así luciría una compuerta cuántica topológica de anyones. Figura: 5. Compuerta de un TQC. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Contenido 1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico 2 Que es TQC? Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos 3 Cómo hacer TQC? Implentando compuertas cuánticas con anyones 4 Conclusiones Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Partículas indistinguibles Supongamos que tenemos dos partículas idénticas x1 y x2 descritas por | ψi = | x1 x2 i El operador de permutaciones P̂ cambia las partículas: P̂ | x1 x2 i = eiφ | x2 x1 i P̂ 2 | x1 x2 i = e2iφ | x1 x2 i Sin embargo, P̂ 2 ≡ 1I, se necesita que e2iφ = 1. Esto implica que e2iφ = ±1. 1 Fermiones (φ = 2π ∗ ) y los bosones (φ = 2π ∗ 1) 2 Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Partículas indistinguibles Un resultado general En todas las dimensiones espaciales tales que D > 2 las partículas son bosones o son fermiones. Teorema de Espín y Estadística Los anyones existen en 2D Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Anyones Fermiones Ψ(x1 , x2 ) = −Ψ(x2 , x1 ) = eiπ Ψ(x2 , x1 ) Bosones Ψ(x1 , x2 ) = Ψ(x2 , x1 ) = e2iπ Ψ(x2 , x1 ) Anyones Ψ(x1 , x2 ) = Ψ(x2 , x1 ) = eiπ(1+m) Ψ(x2 , x1 ) Los anyones tienen estadística fraccionaria 0≤m≤1 Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Anyones Intercambio se representa como una rotación. Dos intercambios producen un ciclo completo. En un modelo 3D, los ciclos de las partículas pueden ser continuamente deformados hasta un ciclo trivial. En un modelo 2D, esto no se puede hacer: las rotaciones por un ángulo de 2π no tienen autovalores limitados a ±1. Los anyones sólo existen en 2D debido a las propiedades topológicas de del grupo de rotación SO(2). Figura: 6. Ciclos no triviales en un modelo 2D. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Anyones Intercambio se representa como una rotación. Dos intercambios producen un ciclo completo. En un modelo 3D, los ciclos de las partículas pueden ser continuamente deformados hasta un ciclo trivial. En un modelo 2D, esto no se puede hacer: las rotaciones por un ángulo de 2π no tienen autovalores limitados a ±1. Los anyones sólo existen en 2D debido a las propiedades topológicas de del grupo de rotación SO(2). Figura: 6. Ciclos no triviales en un modelo 2D. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Contenido 1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico 2 Que es TQC? Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos 3 Cómo hacer TQC? Implentando compuertas cuánticas con anyones 4 Conclusiones Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Grupo Braid El grupo trenza Bn consiste de las diferentes maneras bajo las cuales n partículas pueden ser trenzadas. Figura: 7. Grupo trenza (Braid). Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Grupo Braid Las trenzas pueden ser compuestas, los nudos no están permitidos. Figura: 8. Más sobre el grupo trenza. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Grupo Braid Cualquier trenza puede ser construida desde el intercambio de partículas vecinas a partir de un conjunto de generadores. Hay tres generadores para el grupo de trenzas B4 . Los grupos de trenzas son infinitos y tienen infinitas representaciones. Tiene representaciones 1D. Así cómo representaciones de más alto orden. Figura: 9. Generadores del grupo trenza. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Anyones abelianos y no abelianos Las partículas idénticas que se transforman cómo representaciones 1D del grupo de trenzas son anyones abelianos: sus generadores se representan cómo phase shifts. σj = eiφj El grupo de trenzas tiene representaciones no abelianas -anyones no abelianos- sus generadores están representados por matrices no conmutantes. Las representaciones irreducibles de Bn de n anyones actúan sobre un espacio vectorial topológico de n dimensiones y se incrementa exponencialmente con n. Dependiendo del tipo de anyon no abeliano, la imagen de la representación puede ser densa en SU(Dn ). Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Anyones abelianos y no abelianos Las partículas idénticas que se transforman cómo representaciones 1D del grupo de trenzas son anyones abelianos: sus generadores se representan cómo phase shifts. σj = eiφj El grupo de trenzas tiene representaciones no abelianas -anyones no abelianos- sus generadores están representados por matrices no conmutantes. Las representaciones irreducibles de Bn de n anyones actúan sobre un espacio vectorial topológico de n dimensiones y se incrementa exponencialmente con n. Dependiendo del tipo de anyon no abeliano, la imagen de la representación puede ser densa en SU(Dn ). Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Computación cuántica topológica universal TQC universal Es posible hacer computación cuántica universal con trenzado de anyones no abelianos . Imagen densa en SU(n) Ficción o realidad? Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Contenido 1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico 2 Que es TQC? Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos 3 Cómo hacer TQC? Implentando compuertas cuánticas con anyones 4 Conclusiones Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos Fases topológicas no triviales de materia TQFT=QFT efectiva Gases de electrones, gases de Bose rotantes, grafeno. Todos son implementaciones de TQC en sistemas (2D). Figura: 10. Efecto hall cuántico fraccionario. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Implentando compuertas cuánticas con anyones Contenido 1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Modelo de computación cuántica estándar Decoherencia y correción de errores Topología Computador cuántico Topológico 2 Que es TQC? Partículas indistinguibles y anyones Grupo braid Ciencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos 3 Cómo hacer TQC? Implentando compuertas cuánticas con anyones 4 Conclusiones Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Implentando compuertas cuánticas con anyones Anyones Fibonacci para implementar compuertas cuánticas topológicas Se ha realizado computación cuántica topológica universal con anyones Fibonacci. Los qubits lógicos han sido implementados con tres anyones. Figura: 11. Qubits del modelo Fibonacci de anyones. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Implentando compuertas cuánticas con anyones Generadores del grupo trenza con los cuales se implementan compuertas cuánticas topológicas Las matrices σ1 y σ2 son generadores del grupo trenza actuando sobre qubits anyonicos generadores del espacio de Hilbert. Sólo el bloque superior (2 × 2) actúa sobre la base computacional (carga total=1 ). Figura: 12. Acción de los generadores sobre los qubits. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Implentando compuertas cuánticas con anyones Una compuerta general de 3 qubits Construcción general de compuertas de 3 qubits mediante aplicaciones sucesivas de σ1 , σ1 y sus inversas. Usando búsqueda a fuerza bruta, es posible aproximarse a cualquier compuerta de 1 qubit. Figura: 13. Acción de los generadores sobre los qubits. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Implentando compuertas cuánticas con anyones Compuerta de rotación controlada La construcción se realiza haciendo una rotación controlada teniedo un qubit de control. Esta compuerta junto a la de 1 qubit produce computación cuántica topológica universal. Figura: 14. Rotación controlada. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Implentando compuertas cuánticas con anyones Compuerta CNOT Figura: 15. Not controlado. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Conclusiones Computación cuántica topológica es muy deseable dada su tolerancia intrínseca a fallos. Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema de anyones no abelianos. Por fortuna ellos existen en la naturaleza. La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones no abelianos. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Conclusiones Computación cuántica topológica es muy deseable dada su tolerancia intrínseca a fallos. Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema de anyones no abelianos. Por fortuna ellos existen en la naturaleza. La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones no abelianos. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Conclusiones Computación cuántica topológica es muy deseable dada su tolerancia intrínseca a fallos. Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema de anyones no abelianos. Por fortuna ellos existen en la naturaleza. La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones no abelianos. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)? Que es TQC? Cómo hacer TQC? Conclusiones Conclusiones Computación cuántica topológica es muy deseable dada su tolerancia intrínseca a fallos. Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema de anyones no abelianos. Por fortuna ellos existen en la naturaleza. La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones no abelianos. Mario Vélez Computación Cuántica Topológica