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III REPEM – Memorias
Santa Rosa, La Pampa, Argentina, Agosto 2010
CB 01
APORTES PARA APLICAR CONTENIDOS DE ÁLGEBRA LINEAL EN
INGENIERÍA ELECTRÓNICA CON LA MEDIACIÓN DE LA TECNOLOGÍA
María M. GAITÁN, María I. GANDULFO, Stella M. VAIRA, Alejandro BRAUN, Diego
DUPLEICH
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Paraná - Entre Ríos - Argentina
[email protected] [email protected] [email protected]
[email protected] [email protected]
Nivel Educativo: Educación Superior.
Palabras Clave: Algebra Lineal, Tecnología, aplicaciones, motivación.
RESUMEN
Desde el momento en que la Tecnología se ha puesto al servicio de la enseñanza, actúa como
mediadora para facilitar el aprendizaje. Sin embargo, no siempre se la usa en asignaturas de
primer año de ingeniería. En particular, se propone en este caso su uso en la enseñanza de
Matemática, permitiendo desarrollar algunas de las interesantes aplicaciones de Álgebra
Lineal en la carrera de Ingeniería. Se presentan problemas específicos de Ingeniería
Electrónica simplificados para que puedan ser comprendidos sin mayores dificultades por
alumnos de primer año de la asignatura Álgebra y Geometría Analítica, con el objetivo de que
sean elementos motivadores para el estudio de temas de la cátedra. Se involucra a los recursos
tecnológicos como parte integral del proceso de aprendizaje, constituyéndose en un
complemento casi insustituible para la resolución de los problemas planteados.
INTRODUCCIÓN
En el Proyecto “Importancia del Álgebra Lineal y sus aplicaciones en Matemática y en
Ingeniería” del Grupo de Investigación en la Enseñanza de Matemática en Carreras de
Ingeniería (GIEMCI), de la Universidad Tecnológica Nacional, se realizan algunas
aplicaciones de Álgebra Lineal en Ingeniería Electrónica, simplificadas para que puedan ser
desarrolladas sin grandes conflictos por alumnos de primer año y además sean elementos que
motiven el estudio de dichos temas.
MARCO TEÓRICO
En los procesos de enseñanza y aprendizaje se deben producir cambios conceptuales que
permitan la integración de los nuevos conocimientos con los previamente adquiridos.
Numerosas investigaciones dan muestra que la motivación es uno de los factores más
importantes para que este proceso implique un aprendizaje duradero y transferible a nuevas
situaciones.
La Teoría de Dubinsky y Mc Donald, 2003, citada en Artigue (2003) considera “comprender
un concepto matemático comienza con la manipulación de objetos físicos o mentales
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previamente construidos para formar acciones, las acciones son luego interiorizadas para
formar procesos que son después encapsulados para formar objetos. Los objetos pueden ser
desencapsulados de nuevo a los procesos a partir de los cuales fueron formados. Finalmente,
las acciones, procesos y objetos pueden ser organizados en esquemas”. Se puede hablar de
cambios en las relaciones que los estudiantes desarrollan con respecto a los conceptos
matemáticos, hay reconstrucciones necesarias en el proceso educativo, que puede haber
comenzado con un enfoque intuitivo y práctico de manipulación de objetos físicos o mentales,
lo cual tiende a predominar en la Enseñanza Secundaria, para posteriormente lograr el
enfoque formal en la Universidad. En ocasiones, ciertas acciones permanecen en los alumnos
como borrosas, incoherentes y poco adaptadas a las necesidades de la carrera. Existen
reconstrucciones provenientes del hecho de que sólo se pueden introducir algunas facetas de
ciertos conceptos matemáticos en un primer contacto con él.
Es sabido que, a diferencia del Cálculo, el desarrollo de la mayor parte de los conceptos del
Álgebra se presenta como definiciones abstractas y formales de objetos no vinculados con
conocimientos físicos. Con relación a ello, Grossman (2008) cita los dichos del físico inglés
Lord Kelvin referidos a los cuaterniones estudiados por Hamilton: “aun cuando son
bellamente ingeniosos, han sido un mal peculiar para todos aquellos que los han manejado
de alguna manera y, los vectores… nunca han sido de la menor utilidad para ninguna
criatura”. ¡No imaginó al formular esta apreciación, las aplicaciones que aparecerían luego!
Desde otro ángulo, se pueden tener presentes los principales elementos que dificultan el
aprendizaje del Álgebra Lineal, citados en la Revista Iberoamericana sobre Calidad, Eficacia
y Cambio en Educación (2009):
* “Uso del formalismo, el agobio ante las nuevas definiciones y la pérdida de conexión con lo
que los alumnos ya saben de matemáticas (Dorier, Robert, Robinet y Rogalski, 2000).
* Deficiencia de conocimientos matemáticos básicos y específicos que han debido adquirir
previamente los estudiantes; por ejemplo, ciertas nociones de lógica elemental, ya que, se
asume que las mismas permiten al estudiante entender la formalidad de la teoría de espacio
vectorial (Labraña, Plata, Peña, Crespo y Segura, 1995).
* La complejidad del lenguaje especifico del álgebra lineal y el alto grado de abstracción de
los conceptos (Labraña, Plata, Peña, Crespo y Segura, 1995; Tucker, 1993).
* Poca utilización de problemas como base para la introducción de conceptos y de
propiedades que, con las indicaciones e instrucciones pertinentes, sugieran su
descubrimiento (Berenguer, 2003; Ortiz, Rico y Castro, 2008).
* Manejo de mucha teoría y poca práctica, debido a la naturaleza del Álgebra Lineal, la cual
puede decirse que es una teoría unificada y generalizada.
* Poca vinculación de los contenidos manejados a este nivel con el nivel de Educación
Básica, Media y Diversificada. (Ortiz, Rico y Castro, 2008)”.
Propuesta Didáctica
Se proponen aplicaciones de Álgebra Lineal en Ingeniería Electrónica, las cuales con una
breve introducción teórica de las cuestiones específicas de ingeniería, se pueden implementar
ya sea como Trabajos Prácticos o como disparadores para tareas extra áulicas de investigación
que pueden realizarse integrando distintas cátedras de la carrera.
Aplicaciones del Producto Vectorial en temas de la materia Medios de Enlace
En esta materia se estudia cómo es posible transmitir información mediante la propagación de
ondas electromagnéticas a través de diferentes medios físicos, como pueden ser los siguientes
(Ver Fig. 1):
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Medios cableados (corriente que circula por un conductor/cable):
o Par trenzado (utilizado principalmente en redes de área local).
o Par de cobre bifilar (telefonía fija)
Guía de ondas (onda electromagnética que se conduce en un guía cerrada)
o Fibra óptica (guíaondas circular que transmite haces de luz, utilizada en redes de muy alta
frecuencia)
o Cable coaxial (guíaondas circular que transmite una corriente eléctrica, utilizada para
transmitir señales de televisión, Internet de banda ancha y telefonía fija)
o Guíaondas rectangular
Medios Inalámbricos
o Infrarrojo: comunicaciones de corto alcance (puerto de datos de la computadora, control
remoto de televisores y proyectores, comunicación entre calculadoras o celulares, apertura
y cierre de portones eléctricos).
o Microondas: comunicaciones de mayor alcance (utilizado para Internet inalámbrico,
telefonía móvil o redes de área local inalámbricas), redes de área local/personal
inalámbricas como Wi-Fi y Bluetooth.
Figura 1: Medios físicos para la transmisión de información
Caso de estudio 1: Onda electromagnética plana en el espacio con polarización lineal.
Una onda plana que se transmite por el espacio está formada por dos componentes vectoriales,
y el vector de intensidad de campo
que son el vector intensidad de campo eléctrico
magnético . Al transcurrir el tiempo estos vectores varían su magnitud pero siempre
permanecen perpendiculares entre sí. La dirección en que se propaga la onda (esto es, hacia
donde circula la energía) está dada por un vector ortogonal a y conocido como vector de
Poynting , el cual se calcula simplemente como el producto cruz entre y . Ver
Figura 2 y observar que se cumple la regla de la mano derecha.
(1)
Figura 2: Propagación de una onda electromagnética
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Problema:
Se supone una onda electromagnética plana que se propaga en el espacio, sus vectores de
campo eléctrico y magnético en un instante dado son respectivamente:
= 4i + 3j + 5k [V/m] y
= -1,25i -5j +4k [A/m]
Se solicita:
a.
b.
c.
d.
Representar gráficamente ambos vectores.
Demostrar analíticamente que son perpendiculares.
Calcular las componentes del vector de Poynting
=
Representar gráficamente el vector .
x .
Se puede proceder a la resolución del Problema por ejemplo utilizando un software como
MatLab, con el cual se logra la siguiente representación gráfica:
Figura 3: Vectores E, H y de Poynting
Caso de estudio 2: Fuerza de Lorentz
Se conoce con este nombre a la fuerza ejercida sobre una carga eléctrica en presencia de un
campo electromagnético. Esta fuerza se estudia en la materia Física II y es un concepto
importante para comprender el principio de funcionamiento de los motores y generadores
eléctricos (materia Máquinas e Instalaciones Eléctricas), la desviación del haz de electrones
en el Tubo de Rayos Catódicos de monitores y osciloscopios analógicos (materia Medidas
Electrónicas II), también la levitación magnética del TGV (Tren de Alta Velocidad). En estas
condiciones se dispone de dos vectores y , que describen al campo eléctrico y magnético
respectivamente. Si una carga de magnitud escalar q se desplaza a una velocidad
en
presencia de este campo, se produce sobre ella una fuerza dada por:
(2)
Nota 1: Si sólo uno de los campos (eléctrico ó magnético) está presente, uno de los términos
se anula. Observe también que si la carga está en reposo, su vector de velocidad es nulo, por
lo tanto el campo magnético ( ) no ejerce ninguna fuerza.
Nota 2: Las unidades (indicadas entre corchetes) de las variables de acuerdo al Sistema
Internacional son:
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E (Intensidad de campo eléctrico): [V/m]
H (Intensidad de campo magnético): [A/m]
S (Vector de Poynting): [W/m2]
B (Densidad de flujo magnético): [T]
Q (Carga eléctrica): [C]
F (Fuerza): [N]
v (Velocidad): [m/seg]
Problema:
Considere una partícula con carga positiva “q” que se desplaza en la dirección del semieje
positivo y a una velocidad de 30 [m/seg] y que está sometida a la acción de los campos
= 4i + 3j + 5k [V/m] y = -1,25i -5j + 4k [T]. Sabiendo que la fuerza producida sobre
dicha partícula es de 30[N], determine el valor de la carga q y las componentes del vector de
fuerza.
Se puede proceder a la resolución del Problema por ejemplo utilizando un software como
MatLab, con el cual se logra la siguiente representación gráfica:
Figura 4: Vector E, B y fuerza de Lorentz
Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones y Multiplicación de Matrices
Caso de estudio 3:
Sistemas de Televisión (espacio de colores en la codificación de imágenes): pasaje de
coordenadas RGB (cantidad de rojo, verde, azul) a YUV (luminancia y crominancias).
Conversión RGB-YUV
En la teoría del color se suelen utilizar sistemas de coordenadas de 3 variables (conocidos
como espacios de color) para componer un color. Algunos de ellos son RGB, HSV, YCbCr,
YUV siendo el más común e intuitivo el RGB por estar basado en la percepción del ojo
humano. Este sistema permite formar un color dados sus componentes de Rojo (R), Verde (G)
y Azul (B). De este modo las coordenadas (R,G,B) donde cada variable puede tomar valores
enteros entre 0 y 255, definen un espacio de color. En la Figura 5 se muestran algunos colores
Figura 5: Coordenadas RGB de algunos colores
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En sistemas de fotografía y video digital suele utilizarse el sistema YCrCb estandarizado por
la Unión Internacional de Telecomunicaciones (ITU), el cual es una versión trasladada y
escalada del espacio de color YUV. Este último es más básico y se define a partir de una
variable Y de luminancia y dos variables U y V de crominancia. Cb es la diferencia de
luminancia respecto al color azul (Y – B) y Cr la diferencia respecto al rojo (Y – R). Las
ecuaciones que relacionan ambos sistemas son las siguientes:
Pasaje de (R,G,B) a (Y,U,V)
Y = 0,299 R + 0,587 G + 0,114 B
U = –0,147 R – 0,289 G + 0,436 B
V = 0,615 R – 0,515 G – 0,100 B
Estas ecuaciones se pueden escribir en forma matricial:
Y   0,299 0,587 0,114   R 
 
  
U  =  − 0,147 − 0,289 0,436 . G 
V   0,615 − 0,515 − 0,100  B 
 
  
La matriz de los coeficientes constantes se conoce como matriz de transformación MT y
llamando CRGB y CYUV a los vectores de coordenadas, se puede expresar en forma abreviada:
CYUV = MT CRGB
(3)
Pasaje de (Y,U,V) a (R,G,B)
Trabajando en notación matricial, resulta evidente que para determinar el vector CRGB si se
conoce CYUV , será necesario multiplicar la matriz inversa de MT por él.
CRGB = MT –1 CYUV
(4)
es decir, que si
M
−1
T
1,000

= 1,000
1,000

entonces:
0,0000
− 0,3946
2,0320
0,1398 

− 0,5805 .
0,0000 
 R  1,000 0,0000 1,1398   Y 
 
  
G  = 1,000 − 0,3946 − 0,5805.U 
 B  1,000 2,0320 0,0000  V 
 
  
Y las ecuaciones para la transformación de YUV a RGB serán las siguientes:
R = Y – 1,1398 V
G = Y – 0,3946U – 0,5805V
B = Y + 2,0320U
Problemas propuestos:
1) En la Figura 5 se observa que el amarillo tiene coordenadas RGB dadas por (255,255,0),
¿cuáles son sus coordenadas YUV?
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2) ¿Qué valores máximos y mínimos pueden obtener las variables Y, U y V?
3) Verificar que la matriz MT -1 dada es realmente la matriz inversa de MT.
4) ¿A qué color corresponden las coordenadas YUV (105,315 ; 73,695; 131,325).
Caso de estudio 4: Cálculo de parámetros de transmisión en la conexión en serie de
cuadripolos.
En Teoría de Circuitos se utiliza el modelo del cuadripolo para representar una red eléctrica
con 2 terminales de entrada y salida como se puede ver en la Figura 6.
Figura 6: Modelo del cuadripolo
Independientemente de los elementos en el interior del cuadripolo (pueden ser resistencias,
capacitancias e inductancias), éste puede caracterizarse de forma única por una matriz 2x2
que contiene 4 parámetros, que relacionan las tensiones y corrientes de entrada y de salida, es
decir: V1, V2, I1, I2.
Una de estas familias de parámetros es la de los parámetros de transmisión y las ecuaciones
que relacionan las tensiones y corrientes son las siguientes:
V1= a V2 – b I2
(5)
I1 = c V2 – d I2
o en forma matricial:
V1   a b   V2 

  = 
.
 I1   c d   − I 2 
(6)
La matriz 2x2 en este caso se conoce como matriz de transmisión (T). En el caso de conexión
en serie de 2 cuadripolos (ver Figura 7), se multiplican las matrices T1 y T2 de cada uno para
obtener la matriz T3 del cuadripolo equivalente.
T3 = T1 T2
(7)
Figura 7: Conexión en serie de cuadripolos
Problemas propuestos:
1) Hallar la matriz de transmisión del cuadripolo equivalente si las matrices de los dos
cuadripolos conectados en serie son:
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 3,2 1,7 

T1 = 
 5,2 1,4 
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 − 3,2 3,5 

T2 = 
 4,9 0,6 
y
2) En la ecuación
T 3= T 1 .T 2
 − 7,2 11,7 

T1 = 
 − 2,3 1,4 
y
calcular T2 si:
4,5 
 7,8
.
T3 = 
 − 20,9 6,7 
CONCLUSIONES
En la formación de profesionales no matemáticos resulta altamente motivador justificar la
conveniencia de estudiar contenidos matemáticos en los primeros años de la carrera.
Los temas de Álgebra Lineal, que constituyen una poderosa herramienta para el planteo de
ciertos problemas de ingeniería, exigen la elaboración de problemas factibles de comprender
con los conocimientos de los alumnos de primer año pero a veces llevan a resoluciones no tan
amigables. Los recursos tecnológicos resultan una alternativa didáctica que permiten la
resolución y la integración de estos conceptos desde el comienzo de la carrera.
En este caso se presentaron algunas ideas que justifican la enseñanza de Álgebra Lineal y se
desarrollaron problemas con el uso de un software.
En el desarrollo del trabajo en el aula, generalmente realizado en forma grupal, se observó una
actitud positiva permanente relacionada con la participación activa en la clase y la discusión
de los resultados obtenidos, esbozando voluntariamente, alternativas al planteo.
Actualmente, con la existencia de aulas equipadas con la tecnología necesaria y la
disponibilidad de software adecuados, resulta favorecida la integración de las TIC’s en forma
más sistemática a las clases de Matemática, no obstante, para que desempeñen un papel en el
aprendizaje, se hace necesaria la elaboración y evaluación de recursos, situaciones y
trayectorias didácticas que creen un contexto rico en diálogo para motivar la actividad y la
reflexión matemática que mejoran significativamente el rendimiento en la asignatura.
Asimismo, se favorece la formación básica de profesionales que sabemos necesitan adaptarse
continuamente a los cambios y avances producidos en la Sociedad de la Información.
REFERENCIAS
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Universitario? Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. Vol. X, Nº 2. p 117.
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Noble, B. y Daniel, J. W. 1989. Algebra lineal aplicada. 3ª edición. (Prentice Hall. México)
Ogata, K. 1996. Sistemas de control en tiempo discreto. (Prentice Hall. México)
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Oppenheim, A. y Willsky, A. 1994. Señales y Sistemas. (Prentice Hall. México)
Paredes Z., Iglesias M. y Ortiz J. 2009. “Los docentes y su formación inicial hacia el aula
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Pueyo, H y Marco, C. 1993. Analisis de Modelos Circuitales Tomo II. 1ra edic. (Arbó.
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Sauchelli, V. H. 2004. Introducción a Sistemas de Control. (Ed. Universitas. Córdoba)
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