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NÚMEROS POLIGONALES
(14 de Febrero de 2009)
Los matemáticos acostumbran a dar nombre a algunos números muy especiales
(seguro que conoces alguno como
ó
). Pues bien, hay unos números
“especiales” que están muy relacionados con polígonos y que los matemáticos
gustan por llamar con nombres geométricos, son los números poligonales.
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¿Y cómo podemos dibujar alguno de estos números geométricos? Cogemos una
hoja de nuestro cuaderno de cuadritos y contamos los vértices de los cuadrados que
vamos a ir dibujando siguiendo nuestra cuadrícula. Primero en “ningún” cuadrado,
luego en un cuadrado de lado 1 u.c. (unidad de cuadradícula), luego dos… Vamos,
como en el dibujo:

1.
Rellena en la cuadrícula de arriba los espacios en blanco y continúa dibujando
figuras según esta idea, escribiendo en cada caso el número de puntos que
obtienes.
A los números que se obtienen a partir de esta construcción se les llama números
cuadrados.
De la misma manera, si nuestro cuaderno tuviera hojas con “triangulículas”,
podríamos representar los números triangulares:
2. Continúa ahora dibujando, siguiendo el modelo del ejercicio anterior y escribe el
número de puntos que vas obteniendo.
Una vez presentados estos números, usemos una forma más abreviada de
llamarlos. Por ejemplo S4 será el cuarto número cuadrado y T2 el segundo número
triangular. Así, S5 = 25 ó T3 = 6.
En general, Sn es el n-ésimo número cuadro y Tn el n-ésimo triangular.
3. Completa ahora la siguiente tabla: (por lo menos hasta n = 20)
N
Sn
1
1
2
4
3
9
4
16
Tn
1
3
6
10
4. Dibuja
una estructura que represente el número cuadrado S 7. ¿Puedes partirla
en dos que representen números triangulares consecutivos? ¿Cuáles? ¿A qué
número cuadrado es igual T9 + T10? ¿y Tn + Tn+1?
5. Completa la tabla siguiente (por lo menos hasta n=10):
n
1
2
Tn
1
3
1+8Tn
9
25
¿Qué observas en los números de la fila tercera? Intenta demostrar eso que
conjeturas, sea cual sea n.
6. Escribe las fracciones
Sn
Sn1
y
Tn
Tn1
hasta n=10 y conjetura algo sobre si se pueden simplificar o no.

7. Completa la siguiente tabla:
n
1
2
3
4
5
(n+Sn)/2
(n-Sn)/2
Enuncia lo que parece que observas en las filas tercera y cuarta e intenta
demostrarlo.
8. ¿En cuántos puntos como máximo se cortan 10 rectas el plano? Haz una tabla
indicando el número de puntos en los que se cortan 2, 3, 4 , … rectas, hasta llegar a
10. ¿En cuántos puntos como máximo se cortan 365 rectas en el plano? ¿En
cuántos puntos como máximo se cortan cualquier número de rectas n en el plano?
9.
a) Haz una tabla, hasta n=5, con la suma de los cuadrados de dos números
triangulares consecutivos. ¿Alguna conjetura? ¿Sabrías demostrarla?
b) Haz una tabla, hasta n=5, con la diferencia de los cuadrados de dos números
triangulares consecutivos. ¿Alguna conjetura? ¿Sabrías demostrarla?
10. Números pentagonales. Ahora nuestro cuadernos no nos vale, ¡¡no soy capaz
de encontrar hojas de pentagunículas por ningún sitio!! (¿sabrías por qué? Igual
Merche nos puede ayudar…). Pero, de todas formas, ya te puedes imaginar cómo
se construyen (¡como los de antes!). Ayúdate de la figura y escribe los números
pentagonales hasta n=10.
n
1
2
Pn
1
5
Busca una relación entre los números pentagonales y los triangulares. ¿Sabrías
encontrar una fórmula que nos dé un número pentagonal cualquiera?
11.
Números hexagonales. Con la ayuda de la figura escribe los números
hexagonales hasta n=10.
n
1
2
Hn
1
6
Busca una relación entre los números hexagonales y los triangulares. ¿Sabrías
encontrar una fórmula que nos dé un número hexagonal cualquiera?