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APUNTS DE GEOMETRIA.
ELEMENTS FONAMENTALS DE GEOMETRIA
Conceptes fonamentals
Punt ·
Recta
Pla
Semirrecta: porció de recta limitada en un extrem per un punt
Semipla: es cadasquna de les parts en que queda dividit un pla por una cualsevol deles seues
semipla A
semiplano B
rectes.
Segment: porció de recta comprendida entre dos dels seus punts anomenants extrems.
Rectas paralelas: son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningún punto en
A
B
común.
Rectas secantes: son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en cuatro regiones.
Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que dividen al plano en cuatro
regiones iguales.
Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular trazada en su punto medio.
Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.
Ángulo: es una región del plano limitada por dos semirrectas, que se llaman lados, y que
lado
a
vértice
b
lado
tienen un punto común que se llama vértice.
Clasificación de los ángulos:
- recto: cuando los dos lados son perpendiculares
- agudo: la abertura de los lados es menor que un ángulo recto
- obtuso: la abertura de los lados es mayor que un ángulo recto
Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
B
D
C
A
Línea poligonal: es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos.
Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, la línea poligonal
se llama cerrada, y en caso de que no coincidan, abierta.
A
B
D
C
Polígono: es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Los elementos de los polígonos son:
a) Lados: segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA.
b) Perímetro: suma de las longitudes de los lados.
c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todo polígono el nº de
lados y vértices coincide.
d) Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos.
e) Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos.
f) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro
consecutivo.
A
D
B
F
C
Clasificación de los polígonos:
a) Por el número de lados:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Ángulo interior = ABC
Ángulo exterior = CBF
b) Por su forma:
Equilátero: lados iguales
Equiángulo: ángulos iguales
Regular: lados y ángulos iguales
Irregular: lados y ángulos desiguales
Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos
el ella. Se dice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono.
Cuadrilátero inscrito en la circunferencia
Pentágono circunscrito a una circunferencia
o circunferencia circunscrita al cuadrilátero
o circunferencia inscrita en el pentágono
Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes
(tocan en un solo punto) a la misma. Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el
polígono.
Medida de ángulos
Puesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos, se
definen otro tipo de unidades:
a) División sexagesimal
La unidad que habitualmente se utiliza es el grado centesimal, que es la noventava parte de un
ángulo recto. Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos * 90º cada uno = 4·90 =
360º
Minuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado sexagesimal. 1º = 60'
Segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal. 1' = 60''
b) División centesimal (no se suele utilizar)
La unidad es el grado centesimal, que es la centésima parte de un ángulo recto. Por lo tanto
una circunferencia tiene 4 ángulos rectos *100g = 4·100g = 400g
Minuto centesimal es la centésima parte de un grado centesimal. 1g = 100m
Segundo centesimal es la centésima parte de un minuto centesimal. 1m = 100s
c) Radián
Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada
en el vértice.
Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2··R = 2·3'14·R=6'28·R es decir el
perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que
nosotros dibujemos. Por lo tanto en un giro completo hay 6'28 radianes, es decir:
1 revolución = 360º = 2· radianes
Si hacemos una regla de tres:
360º  2· radianes
xº  1 radián
x = 360/2· = 57'29º
En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una
regla de tres, siempre dejando el valor de  sin operar, por ejemplo:
¿Cuántos radianes son 30º?
360º  2· radianes
30º  x radianes
x = 30·2·/360 = /6 radianes
¿Cuántos grados son /4 radianes?
360º  2· radianes
x /4 radianes
x = (360·/4)/2 = 45º
Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal
La medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y segundos, o en una sola
unidad:
8º 30' 36''  8'51º
Forma compleja  Forma decimal
Veamos como se pasa de una a otra:
8º 30' 36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º
8'51º = 8º 0'51·60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6·60'' = 8º 30' 36''
Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales
a) Suma
Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos
con segundos.
32º 15' 6''
+2º 8' 29'
34º 23' 35''
Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad
inmediatamente superior.
15º 20' 16''
+20º 30' 54''
35º 50' 70''
Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresaríamos como:
35º 51' 10''
Importante: si la suma de dos ángulos es 90º, es decir, juntos forman un ángulo recto, se dice
que son complementarios. Si la suma de dos ángulos es 180º, es decir, forman un ángulo llano,
se dice que son suplementarios.
b) Resta
La operación se dispone igual que la suma
30º 31' 12''
-22' 48''
Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto
a segundos: 30º 31' 12'' = 30º 30' 72''
Con lo cual ya podemos realizar la resta:
30º 30' 72''
-22' 48''
30º 8' 24''
c)Multiplicación
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar los grados minutos y
segundos por ese número:
4º 20' 10''
x5
20º 100' 50''
Ahora bien como 100' = 1º 40' se tiene que: 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''
d) División
Par dividir un ángulo entre un número natural, se dividen por separado grados, minutos y
segundos entre este número natural:
206º
06º
1ºx60 =
37'
60'
97'
47'
2'x60 =
46''
5
41º 19' 33''
120''
166''
16
1''
Otra forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados solamente
y operar con ellos, y después si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos.
32º 15' 6'' =
2º 8' 29'' =
32º + 15/60º + 6/3600º =
2º + 8/60º + 29/3600º =
32º + 0'25º + 0'00166 =
2º + 0'133º + 0'00805º =
32'25166º
2'14105º
34'39271º
34º
0'39271·60 = 23'5626'
0'5626·60 = 35''
Por lo que obtendríamos el mismo resultado: 34º 23' 35''
TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Triángulos. Clasificación.
Como ya vimos los triángulos son polígonos de 3 lados y por lo tanto 3 ángulos. Se pueden
clasificar:
a) Por sus lados:
Equilátero, si tiene los tres lados iguales
Isósceles, si tiene dos lados iguales
Escaleno, si tiene los tres lados diferentes
b) Por sus ángulos:
Rectángulo, si tiene un ángulo recto
Acutángulo, si sus tres ángulos son agudos
Obtusángulo, si tiene un ángulo obtuso
En los triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa y los otros dos lados, catetos.
Propiedades del triángulo
1.En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su
c
b
a
diferencia.
En la figura se observa que si a fuese mayor que b+c entonces no podríamos juntar sus lados.
Pero por otro lado a-b tampoco puede ser mayor que c para que se puedan unir.
a
c
b
a
b
2.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
Los lados alternos internos a las paralelas son iguales.
Como por otro lado un ángulo llano mide 180º tenemos que a + b + c = 180º
3.Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
b
180° - a = b + c
a
a
c
adyacentes.
Rectas y puntos notables de un triángulo
Mediatrices: son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados.
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro que
equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
Bisectrices: son las semirrectas
que dividen en dos partes
iguales los ángulos interiores al
triángulo.
Las tres bisectrices de un
triángulo se cortan en un punto llamado incentro que equidista de los lados del triángulo y por
lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
Alturas: son los segmentos perpendiculares a un lado o a su
prolongación, trazados desde el vértice opuesto
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado
ortocentro.
Medianas: son los segmentos que
unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto
llamado baricentro o centro de gravedad.
Teorema de Pitágoras
'' En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
b
a
a2 = b2 + c2
c
hipotenusa ''
Cuadriláteros. Clasificación.
Los cuadriláteros como su propio nombre indica son aquellos polígonos de cuatro lados y por
lo tanto cuatro ángulos. Se clasifican según el paralelismo de sus lados en:
1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro.
2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos.
Los trapecios se pueden clasificar en:
- Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos
- Trapecio isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales
- Trapecio escaleno, sin ninguna propiedad específica
3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados
paralelos dos a dos
y por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados opuestos son
iguales.
Los paralelogramos se pueden clasificar en:
- Rectángulo, es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales
(rectos), pero los lados adyacentes no son iguales.
- Cuadrado, es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales.
- Rombo, es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos iguales.
- Romboide, cuando no es ninguno de los anteriores.
ÁREAS Y VOLÚMENES
Cuadrado
Rectángulo
l
Triángulo
h
l
h
b
A = l.l
b
b•a
A =b.h
P = 4·l
P = 2·b + 2·h
A=
2
P =  lados
Rombo
Romboide
Áreas de figuras planas
Trapecio
D
b
h
d
B
h
l
B b
A=
•h
2
P =  lados
Polígono regular
A=
D•d
2
a
b
A=b·h
P = 2·b + 2·a
P = 4·l
Círculo
Sector circular
l
a
6l • a P • a
A=
=
2
2
P = 6·l
n°
r
A =  · r2
A=
P = 2··r
P=
 • r2 • no
360
   • r • no
360
Nota: en el caso del hexágono regular, se puede calcular el área como la suma de 6 triángulos
equiláteros, en los demás polígonos regulares se podrá calcular como la suma de triángulos
isósceles.
Poliedros. Clasificación
Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los
polígonos que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro, y los lados y vértices de las caras
son las aristas y vértices del poliedro respectivamente.
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y concurren el
mismo número de ellas en cada vértice.
Tetraedro
Octaedro
Cubo
(4 triángulos equiláteros)
(8 triángulos equiláteros)
(6 cuadrados)
Dodecaedro
(12 pentágonos regulares)
Solo existen 5 poliedros regulares que son:
Icosaedro
(20 triángulos equiláteros)
Dentro de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales:
1º) Prismas: son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus otras
caras laterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas caras laterales como lados
tenga la base.
Los prismas se clasifican en:
a) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las bases
es recto, en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo.
b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos
regulares, en caso contrario se dice que el prisma es irregular.
c) Por el número de lados de sus bases:
-Triangulares, si sus bases son triángulos
- Cuadrangulares, si sus bases son cuadriláteros
- Pentagonales,....etc.
Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo que tiene por bases
dos paralelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los
paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como son el cubo (todas sus
caras son cuadrados), ortoedro (todas sus caras son rectángulos), romboedro (todas sus caras
son rombos) y rombodiedro (todas sus caras son romboides).
Veamos algunos ejemplos de prismas:
Prisma recto pentagonal irregular
Prisma oblicuo cuadrangular(base cuadrada)
o también paralelepípedo oblicuo
Prisma cuadrangular(base rectangular)
Prisma recto triangular irregular
regular(recto) o paralelepípedo recto
Nota: no olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es oblicuo es irregular y por
tanto no es necesario decirlo.
Nota: La mejor forma de nombrarlos es: prisma recto de base pentagonal irregular, prisma
oblicuo de base cuadrada, prisma recto de base triangular irregular y prisma recto de base
rectangular.
2º) Pirámides: son poliedros en los que una de sus caras (llamada base) es un polígono y las
otras caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.
Las pirámides se clasifican en:
a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de
su base, o lo que es lo mismo, cuando las caras laterales no son triángulos escalenos. En caso
contrario tendremos un pirámide oblicua.
b) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono
regular. En caso contrario será irregular.
c) Por el número de lados de su base:
- Triangular
- Cuadrangular
- Pentagonal,....etc.
Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base obtendremos lo que se llama tronco
de pirámide.
Pirámide hexagonal regular
Pirámide cuadrangular
Tronco de pirámide
(base cuadrada) oblicua
Veamos algunos ejemplos de pirámides:
Nota: la mejor forma de nombrarlos es: pirámide recta de base hexagonal regular, pirámide
oblicua de base cuadrada
Cuerpos redondos o de revolución
Un cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el
mismo plano, de modo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una
vuelta completa.
Si un rectángulo gira sobre un lado describe un cilindro.
Si un triángulo rectángulo gira sobre un cateto describe un cono.
Si un semicírculo gira sobre su diámetro describe una circunferencia.
Áreas laterales y volúmenes de los poliedros y cuerpos redondos
Vprisma = área de la base · altura = B · h
Vcilindro = área de la base · altura = B · h = ·r2 · h
Vpirámide = 1/3.área de la base.altura =
B• h
3
2
B • h  • r •h
Vcono = 1/3.área de la base.altura =
=
3
3
Vesfera =
 •  • r3
3
Si la figura geométrica no es recta, si no que es oblicua, las fórmulas siguen siendo válidas
siempre y cuando se tenga claro cual es la altura de la figura que se está estudiando y no se
confunde con alguna de las medidas de las áreas laterales.
Lógicamente también es necesario recordar cuales son las áreas de las figuras planas más
importantes, para poder calcular la base de la figura geométrica.
Para poder calcular el volumen de un tronco de pirámide o cono deberíamos calcular el
volumen de la pirámide o cono mayor, menos el menor.
A prisma = 2·Abase + Alaterales
A pirámide = Abase + Alaterales
A tronco de pirámide = Amayor + Amenor + Alaterales
A cilindro = 2··r2 + 2··r·h (en este caso h = g)
A esfera = 4··r2
r
A cono = ·r2 + ·r·g ya que
2g 
2r 
360
n = 360·2r/2g = 360r/g
Área sector circular = R2n/360 = g2360r/360g = rg
g
n
2r
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA
Conceptos fundamentales
Punto ·
Recta
Plano
Semirrecta: porción de recta limitada en un extremo por un punto
Semiplano: es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de
semiplano A
sus rectas.
semiplano B
Segmento: porción de recta comprendida entre dos de sus puntos, llamados extremos.
Rectas paralelas: son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningún punto en
A
B
común.
Rectas secantes: son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en cuatro regiones.
Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que dividen al plano en cuatro
regiones iguales.
Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular trazada en su punto medio.
Cualquier punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.
Ángulo: es una región del plano limitada por dos semirrectas, que se llaman lados, y que
lado
a
vértice
b
lado
tienen un punto común que se llama vértice.
Clasificación de los ángulos:
- recto: cuando los dos lados son perpendiculares
- agudo: la abertura de los lados es menor que un ángulo recto
- obtuso: la abertura de los lados es mayor que un ángulo recto
Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
B
D
C
A
Línea poligonal: es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos.
Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, la línea poligonal
se llama cerrada, y en caso de que no coincidan, abierta.
A
B
D
C
Polígono: es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Los elementos de los polígonos son:
a) Lados: segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA.
b) Perímetro: suma de las longitudes de los lados.
c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todo polígono el nº de
lados y vértices coincide.
d) Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos.
e) Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos.
f) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro
consecutivo.
A
D
B
F
C
Clasificación de los polígonos:
a) Por el número de lados:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Ángulo interior = ABC
Ángulo exterior = CBF
b) Por su forma:
Equilátero: lados iguales
Equiángulo: ángulos iguales
Regular: lados y ángulos iguales
Irregular: lados y ángulos desiguales
Un polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos
el ella. Se dice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono.
Cuadrilátero inscrito en la circunferencia
Pentágono circunscrito a una circunferencia
o circunferencia circunscrita al cuadrilátero
o circunferencia inscrita en el pentágono
Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes
(tocan en un solo punto) a la misma. Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el
polígono.
Medida de ángulos
Puesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos, se
definen otro tipo de unidades:
a) División sexagesimal
La unidad que habitualmente se utiliza es el grado centesimal, que es la noventava parte de un
ángulo recto. Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos * 90º cada uno = 4·90 =
360º
Minuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado sexagesimal. 1º = 60'
Segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal. 1' = 60''
b) División centesimal (no se suele utilizar)
La unidad es el grado centesimal, que es la centésima parte de un ángulo recto. Por lo tanto
una circunferencia tiene 4 ángulos rectos *100g = 4·100g = 400g
Minuto centesimal es la centésima parte de un grado centesimal. 1g = 100m
Segundo centesimal es la centésima parte de un minuto centesimal. 1m = 100s
c) Radián
Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada
en el vértice.
Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2··R = 2·3'14·R=6'28·R es decir el
perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que
nosotros dibujemos. Por lo tanto en un giro completo hay 6'28 radianes, es decir:
1 revolución = 360º = 2· radianes
Si hacemos una regla de tres:
360º  2· radianes
xº  1 radián
x = 360/2· = 57'29º
En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una
regla de tres, siempre dejando el valor de  sin operar, por ejemplo:
¿Cuántos radianes son 30º?
360º  2· radianes
30º  x radianes
x = 30·2·/360 = /6 radianes
¿Cuántos grados son /4 radianes?
360º  2· radianes
x /4 radianes
x = (360·/4)/2 = 45º
Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal
La medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y segundos, o en una sola
unidad:
8º 30' 36''  8'51º
Forma compleja  Forma decimal
Veamos como se pasa de una a otra:
8º 30' 36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º
8'51º = 8º 0'51·60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6·60'' = 8º 30' 36''
Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales
a) Suma
Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos
con segundos.
32º 15' 6''
+2º 8' 29'
34º 23' 35''
Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad
inmediatamente superior.
15º 20' 16''
+20º 30' 54''
35º 50' 70''
Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresaríamos como:
35º 51' 10''
Importante: si la suma de dos ángulos es 90º, es decir, juntos forman un ángulo recto, se dice
que son complementarios. Si la suma de dos ángulos es 180º, es decir, forman un ángulo llano,
se dice que son suplementarios.
b) Resta
La operación se dispone igual que la suma
30º 31' 12''
-22' 48''
Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto
a segundos: 30º 31' 12'' = 30º 30' 72''
Con lo cual ya podemos realizar la resta:
30º 30' 72''
-22' 48''
30º 8' 24''
c)Multiplicación
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar los grados minutos y
segundos por ese número:
4º 20' 10''
x5
20º 100' 50''
Ahora bien como 100' = 1º 40' se tiene que: 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''
d) División
Par dividir un ángulo entre un número natural, se dividen por separado grados, minutos y
segundos entre este número natural:
206º
06º
1ºx60 =
37'
60'
97'
47'
2'x60 =
46''
5
41º 19' 33''
120''
166''
16
1''
Otra forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados solamente
y operar con ellos, y después si se quiere convertirlo otra vez a grados minutos y segundos.
32º 15' 6'' =
2º 8' 29'' =
32º + 15/60º + 6/3600º =
2º + 8/60º + 29/3600º =
32º + 0'25º + 0'00166 =
2º + 0'133º + 0'00805º =
32'25166º
2'14105º
34'39271º
34º
0'39271·60 = 23'5626'
0'5626·60 = 35''
Por lo que obtendríamos el mismo resultado: 34º 23' 35''
TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Triángulos. Clasificación.
Como ya vimos los triángulos son polígonos de 3 lados y por lo tanto 3 ángulos. Se pueden
clasificar:
a) Por sus lados:
Equilátero, si tiene los tres lados iguales
Isósceles, si tiene dos lados iguales
Escaleno, si tiene los tres lados diferentes
b) Por sus ángulos:
Rectángulo, si tiene un ángulo recto
Acutángulo, si sus tres ángulos son agudos
Obtusángulo, si tiene un ángulo obtuso
En los triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa y los otros dos lados, catetos.
Propiedades del triángulo
1.En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su
c
b
a
diferencia.
En la figura se observa que si a fuese mayor que b+c entonces no podríamos juntar sus lados.
Pero por otro lado a-b tampoco puede ser mayor que c para que se puedan unir.
a
c
b
a
b
2.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
Los lados alternos internos a las paralelas son iguales.
Como por otro lado un ángulo llano mide 180º tenemos que a + b + c = 180º
3.Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
b
180° - a = b + c
a
c
a
adyacentes.
Rectas y puntos notables de un triángulo
Mediatrices: son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios
de los lados.
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro que
equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
Bisectrices: son las semirrectas que dividen en dos
partes iguales los ángulos interiores al triángulo.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un
punto llamado incentro que equidista de los lados
del triángulo y por lo tanto es el centro de la
circunferencia inscrita al triángulo.
Alturas: son los segmentos perpendiculares a un lado o a su
prolongación, trazados desde el vértice opuesto
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado
ortocentro.
Medianas: son los segmentos que
unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto
llamado baricentro o centro de gravedad.
Teorema de Pitágoras
'' En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
b
a
a2 = b2 + c2
c
hipotenusa ''
Cuadriláteros. Clasificación.
Los cuadriláteros como su propio nombre indica son aquellos polígonos de cuatro lados y por
lo tanto cuatro ángulos. Se clasifican según el paralelismo de sus lados en:
1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro.
2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos.
Los trapecios se pueden clasificar en:
- Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos
- Trapecio isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales
- Trapecio escaleno, sin ninguna propiedad específica
3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados
paralelos dos a dos
y por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados opuestos son
iguales.
Los paralelogramos se pueden clasificar en:
- Rectángulo, es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales
(rectos), pero los lados adyacentes no son iguales.
- Cuadrado, es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales.
- Rombo, es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos iguales.
- Romboide, cuando no es ninguno de los anteriores.
ÁREAS Y VOLÚMENES
Cuadrado
Rectángulo
l
Triángulo
h
l
h
b
A = l.l
b
b•a
A =b.h
P = 4·l
P = 2·b + 2·h
A=
2
P =  lados
Rombo
Romboide
Áreas de figuras planas
Trapecio
D
b
h
d
B
h
l
B b
A=
•h
2
P =  lados
Polígono regular
A=
D•d
2
b
A=b·h
P = 2·b + 2·a
P = 4·l
Círculo
Sector circular
l
a
6l • a P • a
A=
=
2
2
P = 6·l
a
n°
r
A =  · r2
P = 2··r
 • r2 • no
A=
360
P=
   • r • no
360
Nota: en el caso del hexágono regular, se puede calcular el área como la suma de 6 triángulos
equiláteros, en los demás polígonos regulares se podrá calcular como la suma de triángulos
isósceles.
Poliedros. Clasificación
Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los
polígonos que limitan al poliedro se llaman caras del poliedro, y los lados y vértices de las caras
son las aristas y vértices del poliedro respectivamente.
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y concurren el
mismo número de ellas en cada vértice.
Tetraedro
Octaedro
Cubo
(4 triángulos equiláteros)
(8 triángulos equiláteros)
(6 cuadrados)
Dodecaedro
(12 pentágonos regulares)
Solo existen 5 poliedros regulares que son:
Icosaedro
(20 triángulos equiláteros)
Dentro de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales:
1º) Prismas: son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus otras
caras laterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas caras laterales como lados
tenga la base.
Los prismas se clasifican en:
a) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las bases
es recto, en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo.
b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos
regulares, en caso contrario se dice que el prisma es irregular.
c) Por el número de lados de sus bases:
-Triangulares, si sus bases son triángulos
- Cuadrangulares, si sus bases son cuadriláteros
- Pentagonales,....etc.
Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo que tiene por bases
dos paralelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los
paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como son el cubo (todas sus
caras son cuadrados), ortoedro (todas sus caras son rectángulos), romboedro (todas sus caras
son rombos) y rombodiedro (todas sus caras son romboides).
Veamos algunos ejemplos de prismas:
Prisma recto pentagonal irregular
Prisma oblicuo cuadrangular(base cuadrada)
o también paralelepípedo oblicuo
Prisma cuadrangular(base rectangular)
Prisma recto triangular irregular
regular(recto) o paralelepípedo recto
Nota: no olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es oblicuo es irregular y por
tanto no es necesario decirlo.
Nota: La mejor forma de nombrarlos es: prisma recto de base pentagonal irregular, prisma
oblicuo de base cuadrada, prisma recto de base triangular irregular y prisma recto de base
rectangular.
2º) Pirámides: son poliedros en los que una de sus caras (llamada base) es un polígono y las
otras caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.
Las pirámides se clasifican en:
a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de
su base, o lo que es lo mismo, cuando las caras laterales no son triángulos escalenos. En caso
contrario tendremos un pirámide oblicua.
b) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono
regular. En caso contrario será irregular.
c) Por el número de lados de su base:
- Triangular
- Cuadrangular
- Pentagonal,....etc.
Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base obtendremos lo que se llama tronco
de pirámide.
Pirámide hexagonal regular
Pirámide cuadrangular
Tronco de pirámide
(base cuadrada) oblicua
Veamos algunos ejemplos de pirámides:
Nota: la mejor forma de nombrarlos es: pirámide recta de base hexagonal regular, pirámide
oblicua de base cuadrada
Cuerpos redondos o de revolución
Un cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el
mismo plano, de modo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una
vuelta completa.
Si un rectángulo gira sobre un lado describe un cilindro.
Si un triángulo rectángulo gira sobre un cateto describe un cono.
Si un semicírculo gira sobre su diámetro describe una circunferencia.
Áreas laterales y volúmenes de los poliedros y cuerpos redondos
Vprisma = área de la base · altura = B · h
Vcilindro = área de la base · altura = B · h = ·r2 · h
Vpirámide = 1/3.área de la base.altura =
Vcono = 1/3.área de la base.altura =
Vesfera =
B• h
3
2
B • h  • r •h
=
3
3
 •  • r3
3
Si la figura geométrica no es recta, si no que es oblicua, las fórmulas siguen siendo válidas
siempre y cuando se tenga claro cual es la altura de la figura que se está estudiando y no se
confunde con alguna de las medidas de las áreas laterales.
Lógicamente también es necesario recordar cuales son las áreas de las figuras planas más
importantes, para poder calcular la base de la figura geométrica.
Para poder calcular el volumen de un tronco de pirámide o cono deberíamos calcular el
volumen de la pirámide o cono mayor, menos el menor.
A prisma = 2·Abase + Alaterales
A pirámide = Abase + Alaterales
A tronco de pirámide = Amayor + Amenor + Alaterales
A cilindro = 2··r2 + 2··r·h (en este caso h = g)
A esfera = 4··r2
r
A cono = ·r2 + ·r·g ya que
2g 
2r 
360
n = 360·2r/2g = 360r/g
Área sector circular = R2n/360 = g2360r/360g = rg
g
n
2r