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Tema 5. Uso de las razones de ángulos para la
resolución de problemas
Monumento a Pitágoras en Samos: sigloscuriosos
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En el siglo VI antes de Cristo y gracias a los conocimientos de la geometría del triángulo, se construyó
el túnel de Eupalinos en Samos, ciudad natal de Pitágoras.
Esta obra llevaba el agua desde las fuentes del monte Castro a la ciudad. El túnel tenía dos metros de
diámetro y un kilómetro de longitud.
Lo que hoy puede ser una obra de ingeniería común, hace casi 28 siglos sólo lo podía programar y
ejecutar un experto en resolución de triángulos y conocedor de las razones trigonométricas.
1. Triángulo rectángulo. Características
Fuente propia
Fuente propia
Figura 1.1
Figura 1.2
Repasamos
Un triágulo rectágulo, como ya sabes, se caracteriza por tener dos lados perpendiculares .
A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos , al lado mas grande hipotenusa .
Como has observado en el tema anterior se utilizan las letras griegas alfa (
para nombrar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (Figura 1.1)
) y beta (
)
Fuente propia
Figura 1.3
Otra forma muy utilizada es nombrar los vértices por letras mayúsculas y a los lados en
minúsculas, de forma que, como aparece en la figura 1.3, el lado opuesto al vértice (el lado que no
pasa por el vértice) coincida con la misma letra: el vértice que forman los catetos se le suele llamar
A y por tanto a la hipotenusa a , a los otros B , b y C , c .
También aprovechando esta forma de designar los lados y vértices, a sus ángulos llamarle la letra
correspondiente de su vértice (figura 1.3) (se puede poner el angulito arriba para distinguirlo del
vértice)
.
Como ya sabes uno de ellos es recto, es decir ,
triángulo es de 180º nos queda que
.
y como la suma de los ángulos de un
Pregunta de Elección Múltiple
1) Un triángulo rectángulo uno de sus ángulos es de 35º . ¿Cuánto mide los otros dos?
a) 90º y 55º
b) 90º y 65º
c) 90º y 45º
2) Los lados de un triángulo rectángulo miden 6, 8 y 10 cm. ¿Cúal es su área?
a) 48 cm
2
b) 24 cm
2
c) 27 cm
2
Fuente propia
Repasamos las razones
Es importante recordar las razones trigonométricas.
De la misma forma para el otro ángulo
fuente propia
1) Calcula las razones trigonométricas del ángulo 45
º
2)Un cazador acostado en el terreno ve una perdiz que vuela a 15 metros de altura.
Por su experiencia calcula que la tiene a unos 30 metros de distancia. ¿Cúal es el
ángulo que deberá colocar su escopeta para poder alcanzar a la perdiz?
Fuente propia
Pregunta de Elección Múltiple
Un triángulo rectángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cm respectivamente. ¿Cuáles son las
medidas de sus ángulos agudos?
a) 36,87
º
y 53,13
b) 60
º
y 30
º
c) 63
º
y 27
º
º
Actividad
Resumiendo
En un triángulo rectángulo:
2. Resolución de triágulos rectángulos
Fuente propia
Resolver un triángulo rectangulo es hallar sus ángulos y lados a partir de algún elemento conocido.
Para ello vamos a distinguir dos casos (hay que tener en cuenta que siempre conocemos un ángulo:
el de 90 º )
Caso 1º. Se conocen dos lados.
Se aplica el teorema de Pitágoras para calcular el otro lado.
Una vez conocidos los lados se aplica para uno de los ángulos, por ejemplo
fórmulas del apartado anterior.
, las
El otro ángulo
a conocer se puede calcular porque sabemos que la suma de los ángulos
+
= 90º (es decir que
= 90)
Veamos un ejemplo.
La escalera de un electricista mide 12 m . Para arreglar una avería de un poste que
mide 6 m de alto la ha colocado contra el suelo y el poste (como indica la figura). Si el
poste está vertical, calcula la distancia del pie de la escalera al poste, los ángulos que
forman la escalera con el suelo y el poste.
Caso 2º. Se conoce un lado y un ángulo (además del de 90º).
El otro lado se calcula utilizando alguna de las razones trigonométricas del ángulo conocido.
El otro ángulo se calcula puesto que ambos ángulos deben sumar 90º.
Ya conocemos dos lados y por tanto se calcula el tercero como en el caso 1º (Por el teorema
de Pitágoras o por alguna de las razones del ángulo).
La mayor cuesta del pueblo tiene de pendiente 25 grados. La longitud de la subida es
de 12 metros. ¿Qué diferencia de altura subimos en esos 12 metros? ¿Cuantos metros
en horizontal suponen esos 12 metros de pendiente?
Pregunta de Elección Múltiple
Fuente propia
Para obtener una visión completa de la Torre Eiffel (325 m de altura) disponemos de
una cámara que recoge hasta un ángulo de 47 grados (una cámara normal).
1) ¿A qué distancia mínima del pie de la torre conseguiremos sacarla entera?
b) 303 metros
c) 100 metros
2) ¿Y si es una gran angular? (ángulo máximo de 65
a) 151.5 metros
b) 240 metros
c) 25 metros
º
)
3. Aplicaciones a problemas
Metro Cuatro Caminos ritmodominicano.com
Bajo licencia de creative commons
Los cuadriláteros aparecen en nuestro espacio. El herrero que confeccionó el rótulo de la imagen
formó un rectángulo en medio de un rombo. Si observas con mas detalle verás que lo formó con cinco
piezas:
Rectángulo (metro)
Dos triángulos isósceles iguales (derecha e izquierda de metro)
Dos triángulos isósceles (arriba y abajo de metro)
En el apartado 1.3.2 resolveremos un problema con el cartel de Cuatro Caminos.
3.1. Triángulos no rectángulos
Aplicación a triángulos no rectángulos
Cualquier triángulo no rectángulo se puede resolver dividiéndolo en triángulos rectángulos
(acuérdate que resolver era calcular los lados y los ángulos que nos faltan). La forma de hacerlo es
trazar una de las alturas y realizar los cálculos para los dos triángulos rectángulos que se forman.
Para triángulos isósceles (dos lados iguales), la altura sobre el lado desigual divide al triángulo
en dos triángulos rectángulos iguales. El ángulo que forman los lados iguales se divide en dos partes
iguales. Pero, lo mejor es que lo veamos con un ejemplo práctico:
Ejemplo 1 . Un carpintero quiere construir una escalera cuyos brazos, una vez
abiertos, formen un ángulo de 60 grados (como en la figura de arriba). Una vez
abierta la distancia entre sus pies es de 2 m. ¿Cuánto ha de medir cada brazo? ¿cuál
es la altura de la escalera?
Pregunta de Elección Múltiple
Un compás de 20 cm de lado puede abrirse hasta formar un ángulo de 80º.
a) 25.71 cm de radio
b) 12.86 cm
c) 20 cm
b) ¿qué altura tendra totalmente abierto?
a) 20 cm
b) 15.32 cm
c) 18.9 cm
Ejemplo 2 . ¿Cómo podemos medir la altura de la Pirámide de Keops? Obseva la fotografía
Gran pirámide. filemon.upct.es Con licencia de creative commons
Un viajero situado al pie de la pirámide veía la cúspide con un ángulo de 38 º Cuando se alejó 121
pies (36,88 metros), la veía con un ángulo de 32º. ¿Cuántos pies mide la altura de la pirámide?
Se trata de un triángulo que no es rectángulo , pero si consideramos la altura de la pirámide
obtenemos dos triángulos rectágulos con el cateto en común.
Resolvemos este problema a continuación.
Un viajero desde el pie de la pirámide veía la cúspide con un ángulo de 38 º Cuando
se alejó 121 pies (36,88 metros), la veía con un ángulo de 32º. ¿Cuántos pies mide la
altura de la pirámide?
Pregunta de Elección Múltiple
Para medir la altura de mi piso lo observo desde la calle con un ángulo de 40º si
avanzo 10 metros el ángulo aumenta a 50º.
¿A qué altura del suelo vivo?
a) 25 m
b) 28,36 m
c) 75 m
3.2. Cuadriláteros
CUADRILÁTEROS
Escudo de la Infanta Leonor:
Bajo licencia de Creative Commons
En los escudos los rombos aparecen con gran frecuencia.
En un rombo si trazamos sus diagonales, estas se cortan en un ángulo recto formando tres
trángulos rectángulos. Utilizando esta propiedad vamos a resolver el siguiente problema.
Ejemplo 1 . Una ventana en forma de rombo tiene una altura de 90 cm y una anchura de 60 cm.
¿Cuánto mide su perímetro? ¿y sus ángulos? ¿y su área?
Fuente propia
E
Fuente propia
Ejemplo 1 . Una ventana en forma de rombo tiene una altura de 90 cm y un ancho
de 60 cm. ¿cuánto mide su perímetro? ¿y sus ángulos? ¿y su área?
Ejemplo 2 . Con un rombo de papel de 20 cm de lado, 34'8 de diagonal mayor y unos
ángulos menores de 60º (A y D) queremos construir un sobre (como indica la figura).
El ancho del sobre es 10 cm.¿Cuanto mide de longitud?
Fuente propia
Pregunta de Elección Múltiple
Bajo licencia de creative commons
Como ya sabes la figura anterior indica la boca de metro de Cuatro Caminos (para tu
información esta boca se remodeló).
El largo de la figura es de 2 metros y ancho de 1 metro. El rectángulo (donde pone
"metro") mide 1,20 m de largo.
Con estos datos vamos a calcular:
a) Su superficie.
a) 1 m
2
b) 2 m
2
c) 0,5 m
2
b) La medida de su perímetro.
a) 12 metros
b) 4,47 metros
c) 5,45 metros
c) El área del rectangulo inscrito (metro).
a) 0,204 m
b) 0,48 m
2
2
c) No se puede saber con estos datos.
a) 53,13º y 126,87º
b) 50,25º y 129,75º
c) 90º y 90º
3.3. Círculos y otras figuras
Fuente propia
A lo largo de la historia del hombre el interés por la medida de las distancias y el tamaño de los
astros ha sido una constante. Aristarco de Samos (170 a C), Hiparco de Nicea (150 a C), entre otros
utilizaron las razones de un triángulo para calcular las distancias y diametros de la luna y el sol.
Veamos un ejemplo que nos permite hallar el diámetro de la luna.
Fuente propia
Desde un punto de la tierra (D) se ve la luna con un ángulo de 0,51º . Se sabe que la
distancia de la tierra a la luna (DA) es de 384.000 km . ¿cúal es el diámetro de la luna
(CE)
Pregunta de Elección Múltiple
El ángulo bajo el que se ve el Sol desde un punto de la tierra es de 0.533º. Sabiendo
que la distancia al Sol es de 149.600.000 km. ¿Cuál es el diámetro del Sol?
a) 696.000 km
b) 1.392.000 km (apox)
c) 200.000 km
Fuente propia
Un símbolo muy conocido es la llamada estrella de David que tienes arriba. Si observas puedes ver un
hexágono (CLMNOD) y seis triángulos equiláteros saliendo de cada uno de sus lados.
Otra forma de verla es observando dos triángulos equiláteros invertidos IJK y PQR que superpuestos
formarían el hexágono.
El lado del hexágono es la tercera parte del lado del triángulo (grande) y los ángulos son todos de
60º salvo el del interior del hexágono que seria de 120º (observa que si doblas los triángulos que
salen de los lados del hexágono los seis encajan perfectamente en el hexágono). Por eso el área del
hexágono coincide con la suma de las áreas de los 6 triángulos equiláteros.
Te propongo el siguiente ejercicio:
Fuente propia
¿Qué mide la distancia RK (o PJ o IQ que es lo mismo) de una estrella que llevo en el
pecho, si el lado del hexágono es de 1cm ?
Pregunta de Elección Múltiple
¿Que superficie total tiene la estrella?
a) 5,2 cm
2
b) 9,85 cm
2
c) 12,22 cm
2