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UNIDAD 3
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
LECTURA Nº 15: ALGUNOS SISTEMAS DE MEDIDA
Tomado con fines instruccionales de:
Martínez, M.(1998). Mi primera enciclopedia científica
Matemática. Editorial del Valle de México, S.A. (p.40). México:
A lo largo de la historia, se han establecido diversas referencias de medida que han
permitido estandarizar representaciones de longitud, volumen, tiempo, velocidad, en
fin múltiples formas de medir. En la historia se dice que los romanos utilizaban sus
pies para medir distancias; en las mediciones más pequeñas utilizaban el ancho del
dedo pulgar el cual ellos llamaban “uncía”.
Las longitudes muy largas las medían con pasos. Un paso comprendía dos etapas,
una con el pie derecho y la otra con el pie izquierdo. En las distancias de mayor
prolongación utilizaban las “millas”, una milla era equivalente a 1000 pasos, de allí la
palabra milla que proviene del latín “mille” que significa “mil”. Las millas, yardas, pies
y pulgadas son medidas del sistema imperial de medición; es curioso mencionar que el
rey Enrique I (1068-1135) creó una medida que sirviera a todos, era la distancia desde
su nariz hasta su pulgar y lo llamó “yarda”.
En nuestros días, una gran cantidad de países utilizan una medida estándar llamada
metro, que es mucho más extenso que una yarda. La unidad metro, tanto en España
como en Venezuela, miden lo mismo. El Sistema Internacional de Medidas (S.I.M.)
utiliza el kilómetro para distancias largas, el centímetro y el milímetro para distancias
mucho más pequeñas. A continuación, podemos observar algunas referencias
antiguas y modernas con respecto a las unidades de medidas:
Romano
1 milla = 1000 pasos
1 paso = 5 pies
1 pie = 12 uncias
Métrico
1 kilómetro = 1000 metros
1 metro = 100 centímetros
1 centímetro = 10 milímetros
Imperial
1 milla = 1760 yardas
1 yarda = 3 pies
1 pie = 12 pulgadas
LECTURA Nº 16: EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Tomado con fines instruccionales de:
Santamaría, J (2007) El Sistema Métrico Decimal.
Artículo no publicado. (Pp. 5). Tinaquillo, Estado Cojedes.
En 1790, la Academia Francesa de Ciencias fue la que se encargó, de acuerdo a
lineamientos de la Asamblea Nacional Francesa y la proposición de los políticos
Talleyrand y Prieur, de establecer un sistema unificado de medidas de aplicación
sencilla, que culminó el 19 de marzo de 1791 con la definición de Sistema Métrico
Decimal a partir de las propuestas de dos comisiones. La unidad de longitud, el metro,
se definió igual a la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. Los
franceses, Pelambre y Méchain fueron los encargados de medir el arco del meridiano
terrestre que pasa por Paris, comprendido entre Dunkerque y el castillo de Monjuich
en Barcelona.
A partir de la unidad fundamental, el metro, se definieron todas las otras unidades: las
de superficie, las de volumen, las de peso y las de capacidad. Por ejemplo, el gramo
se definió, para la época, como el peso de la masa de un centímetro cúbico de agua
destilada, pesada en el vacío, a la temperatura de 4º C.
El Sistema Métrico Decimal es un Sistema, porque comprende un conjunto de
medidas relacionadas entre sí; es métrico porque su unidad fundamental es el metro; y
es decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen en potencia de 10.
Tanto en las medidas de longitud como en las demás, se utilizan múltiplos y
submúltiplos a partir de la unidad.
Para los submúltiplos se asignaron prefijos latinos: deci para diez; centi para cien; mili
para mil y así sucesivamente. Mientras que para los múltiplos se estableció el uso de
prefijos griegos: deca para diez; hecto para cien; kilo para mil, etc.
Para transformar, medidas de longitud de una magnitud a otra vamos a utilizar la
siguiente estrategia:
Km
Hm
Se divide entre 10 por
cada escalón que subes
Dam
Metro
dm
Se multiplica por 10 por
cada escalón que bajes
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Transformar:
cm
mm
35,328 Km a m
Si verificamos la escalera anterior, para pasar de Kilómetros a metros, tenemos que
bajar tres escalones. Entonces, según el procedimiento debemos multiplicar por 10,
por 10 y por 10. Es decir:
35,328.10.10.10  35,328.10 3 
Recuerda, cuando se multiplica una cantidad por una potencia de
base 10 se corre la coma hacia la derecha tantos espacios como lo
indique el exponente de la potencia.
Por lo tanto, 35,328.10 3  35328,0
Observa que la cantidad tiene tres decimales y se está multiplicando por 10 3 , la coma
se corrió a la derecha tres, espacios, esto hace que la cantidad quede sin decimales:
35,328.10 3
 35328
 35,328 Km a m es 35328 metros.
Ejemplo 2:
Transformar:
21307 mm a Dm.
Si verificamos la escalera anterior, para pasar de milímetros a decametros, tenemos
que subir cuatro escalones. Entonces, según el procedimiento debemos dividir por 10,
por 10, por 10 y por 10. Es decir:
21307
21.307

10.10.10.10
10 4
Recuerda que cuando se divide una cantidad por una potencia
de base 10 se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios
como lo indique el exponente de la potencia.
Si la cantidad es un número entero la coma se omite, pero podemos agregarle la coma
para indicar que tiene cero (0) decimales, así: 21307,0
Luego:
21307,0
 2,13070
10 4
Observa que la coma se corrió hacia la izquierda, cuatro espacios de acuerdo al
exponente de la potencia de base 10.
Por lo tanto:
21307 mm a Dam es 2,1307 Decametros.
Te proponemos algunos ejercicios para que practiques este procedimiento de
conversión de medidas:
15.1.
3584,1 dm a Dam
15.2.
1,435 Km a cm
15.3.
0,000153 Hm a mm
15.4.
58973,003 cm a Hm
15.5.
3 dm a m
15.6.
1 m a Dam
Los múltiplos y submúltiplos en el sistema métrico decimal, se justifican por lo
siguiente: Imagínate a un sastre diseñando la manga de una camisa, es de suponer
que necesitará cierta cantidad de tela, y expresarla en centímetros bastará para
satisfacer los requerimientos.
Mientras que es diferente en el caso de un ciclista profesional, sus actividades o
recorridos son en grandes distancias, estas cantidades bastaría expresarlas en
Kilómetros y no en centímetros; pues no es que no se pueda, pero no sería lo
adecuado.
Las medidas de superficie son las mismas utilizadas en las longitudes, a diferencia de
que aquí se expresan en unidades cuadradas. Por ejemplo, para expresar el área de
un terreno se puede hacer en metros cuadrados (m2) o kilómetros cuadrados (Km2).
Recuerda que las superficies se representan en dos dimensiones.
Para realizar conversiones de medidas de superficie se puede aplicar el procedimiento
de la escalera; pero debes tener cuidado, pues las medidas aumentan o disminuyen
en potencias de 100, es decir 102.
Ocurre lo mismo con las medidas de capacidad, cuyas medidas nos dan a conocer el
volumen de un cuerpo. Se sabe que un cuerpo tiene tres dimensiones, por tal motivo,
al hablar del volumen de una caja, de un tanque, entre otros; se puede representar en
centímetros cúbicos, metros cúbicos, etc.
Las conversiones que se realizan en medidas de capacidad aumentan o disminuyen
en potencias de 1000, es decir, 103.
Multiplicas
por 102 por
cada escalón
que bajes
Km2
Hm2
Dam2
Multiplicas por
103 por cada
escalón que bajes
Km3
Hm3
Dam3
m2
m3
dm2
cm2
Divides por 102
por cada escalón
que subas
Escalera para
superficie.
dm3
mm2
transformar
medidas
de
Divides por 103
por cada escalón
que subas
cm3
mm3
Escalera para transformar medidas de capacidad
Revisemos algunos ejemplos sobre conversiones de medidas en superficie y de
capacidad.
Ejemplo 1.
Transformar 12 m2 a cm2
Según la escalera, para pasar de metros a centímetros se tiene que bajar dos
escalones, entonces se debe multiplicar la cantidad dada por 100, y por 100, es decir:
12.100.100  12.102.102
12.102.102  12.10 4
12.10 4  120000
Por lo tanto:
12 m2 a cm2 = 120000 cm2
Ejemplo 2:
Transformar: 3,5 cm3 a m3
De acuerdo a la escalera, para pasar de centímetros a metros hay que subir dos
escalones, por lo tanto se debe dividir por 1000, y por 1000, esto es;
3,5
3,5
3,5


3
3
1000.1000 10 .10
10 6
Según el procedimiento, cuando se divide por una potencia
de base 10 se corre la coma hacia izquierda tantos espacios
lo indique el exponente de la potencia.
Entonces;
3,5
 0,0000035
10 6
En conclusión:
3,5 cm3 a m3 = 0,0000035 m3
Resuelve los siguientes ejercicios para que adquieras un mayor dominio de tus
habilidades:
Realiza las siguientes conversiones de unidades y resuelve los problemas
planteados:
15.7.
5,823 Dam3 a cm3
15.9.
8 dm2 a mm2
15.11.
1
Km3 a Dam3
100
15.13.
3
mm3 a Km3
8
15.8. 0,0045 m3 a Km3
15.10.
1 2
m a Hm2
5
15.12.
1
Hm2 a cm2
1000
15.14. Un maratonista, para su entrenamiento, realiza durante cinco días los
siguientes recorridos: el primer día recorre 950 Dam, el segundo día 122 Hm;
en el tercer día 14 Km, en el cuarto 15420 m, y para el último día recorre
1.800.000 cm. ¿Cuántos kilómetros recorre en los cinco días?
15.15. Calcula la diferencia que existe entre un recipiente, cuya capacidad es de 54
m3 y otro de 44.100.000 cm3
Se sabe que la unidad de volumen en el Sistema Internacional de Medidas es el metro
cúbico (m3), pero existe otra unidad de medida para representar las capacidades de
los cuerpos como lo es el litro (l). Se relaciona con la otra unidad, ya que 1 decímetro
cúbico (1 dm3) es equivalente a 1 litro de agua pura a temperatura de 4º C. Litro,
centilitro, mililitro, son medidas de capacidad que tienen sus equivalentes en volumen;
por ejemplo:
1 m3 = 1000 dm3 = 1000 Litros
1 dm3 = 1000 cm3 = 1 Litro
100 cm3 = 100 militros
1cm3 = mililitro
Si nos vamos a situaciones de la vida cotidiana; en varios productos es
frecuente expresar sus cantidades en cm3 (abreviado cc) o en mililitros (ml). También
es usual en muchos productos importados: perfumes, cosméticos, medicinas, etc.,
expresar las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los
contienen) en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de flido). Por ejemplo:
16,9 fl oz (500 ml); 4,2 fl oz (125 ml), tal cual como se lee en las etiquetas de esos
productos. ¿Cuántos ml equivalen a 1 fl oz?
Realiza las siguientes conversiones:
15.16. 3240 ml a m3
15.17. 53 dm3 a ml
LECTURA N° 17: FIGURAS POLIGONALES
Tomado con fines instruccionales de:
Suárez, E. y Cepeda, D. (2003). Matemáticas de Educación
Básica. Editorial Antillana, S.A. (p.149) Caracas, Venezuela:
Un polígono es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Fíjate en el siguiente polígono:
Plano
 Los segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG y GA se denominan lados.
 El vértice de un polígono, es el punto de intersección de dos segmentos o lados.
Dos vértices son consecutivos si son extremos de un mismo lado. Los vértices se
denotan así: vértice A, vértice B, etc. Este polígono tiene 7 vértices.
 El ángulo interno de un polígono, es la abertura formada por dos lados en un
vértice. Los ángulos denotan así: BEC , ABC , FEB , FED , EBC , EBA ,
etc. Hay muchos ángulos en este polígono.
 La diagonal de un polígono, es el segmento de recta que une dos vértices que no
pertenecen a un mismo lado. Tenemos la diagonal BE, y podemos trazar en este
mismo polígono, diagonales entre los vértices: A y C, A y D, A y E, A y F, B y D, B y
F, etc. Se pueden trazar varias diagonales.
 El perímetro de un polígono se calcula sumando las medidas de las longitudes de
cada lado. El perímetro de este polígono es igual
a: P  AB  BC  CD  DE  EF  FG  GA .
Se habla de polígono convexo y cóncavo. Un polígono es convexo, si cada uno de sus
ángulos interiores es menor de 180º. Es cóncavo si uno de sus ángulos es mayor de
180º.
Polígono Cóncavo
Polígono Convexo
Clasificación de los polígonos
Los polígonos se clasifican según sus lados en:
Número de lados
Nombre del polígono
3
Triángulos
4
Cuadriláteros
5
Pentágonos
6
Hexágonos
7
Heptágonos
8
Octágonos
9
Eneágonos
10
Decágonos
11
Undecágonos
12
Dodecágonos
Un polígono es regular, cuando todos sus lados miden igual y todos sus ángulos
también son iguales.
La apotema de un polígono regular, es el segmento de recta que une centro del
polígono con el punto medio de uno de sus lados.
LECTURA N° 18: LOS TRIÁNGULOS, LOS
CUADRILÁTEROS Y SUS RELACIONES MÉTRICAS
Tomado con fines instruccionales de:
Fundación Polar. Matemática para todos. [Artículo en
línea]. Disponible:
http://www.fpolar.org.ve/matemática.
Extraído: enero 12, 2007
LOS TRIÁNGULOS
El triángulo tiene una característica especial, es estable; por ello es vital en la
industria, en efecto, si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en
uno de sus vértices, la forma del triángulo permanece. Observa las estructuras de una
torre utilizada en la extracción de petróleo, o las torres que sostienen algunas antenas
parabólicas, y también en muchos edificios.
El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo ABC se
refiere al triángulo determinado por los puntos A, B y C. En este
caso sus lados son los segmentos AB, BC y AC. Los ángulos
del triángulo son los ángulos de vértices A, B y C, es decir,
 CAB,  ABC y  BCA.
El símbolo
representa la palabra triángulo. Así
significa el triángulo ABC.
Clasificación de los triángulos
ABC
Según sus ángulos:
Obtusángulo: Tiene un
ángulo obtuso (miden
más de 90º)
Acutángulo: Tiene tres
ángulos agudos
(miden menos de 90º)
Rectángulo: Tiene un
ángulo recto (mide 90º)
Según sus lados:
Equilátero: Tiene tres
lados miden igual
Escaleno: Todos sus
lados miden distinto.
Isósceles: Tiene dos
lados que miden igual
Otros elementos de los triángulos
Alturas:
desde
Segmento
cada
vértice
perpendicular al lado
Bisectrices: Semirrecta
Medianas:
Segmento
Mediatrices:
que divide cada ángulo
desde cada vértice al
perpendicular
en dos ángulos iguales
punto medio del lado
lado en su punto medio
opuesto
Recta
a
cada
opuesto
Ortocentro: Punto de
Incentro: Punto de
Baricentro o Centro de
Circuncentro: Punto de
intersección de las
intersección de las
gravedad: Punto de
intersección de las
alturas
bisectrices y centro del
intersección de las
mediatrices y centro del
círculo inscrito en el
medianas
círculo circunscrito al
triángulo
triángulo
LOS CUADRILÁTEROS:
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, se caracterizan por tener,
cuatro lados; cuatro vértices, cuatro ángulos interiores, cuatro ángulos exteriores y
dos diagonales. Observen las figuras:
Vértice
A
Lado
A
B
Diagonales
C

D
Ángulo
interior
C
Ángulo
exterior
B
D
En cuadrilátero convexo se muestra que:
-
Los lados son los segmentos: AB, BC, CD, DA.
-
Los vértices, son cada encuentro de los lados: A, B, C y D.
-
Los ángulos internos, son cada abertura entre dos lados, son: *  DAB,  ABC,
 BCD,  CDA. (Observa las tres letras, la que esta en el medio es de donde
surge el ángulo)
* El signo “  ” se lee ángulo
-
Las diagonales, son cada segmento que une dos vértices opuestos, son: AC, BD.
-
La letra griega “  ” Alfa denota un ángulo exterior.
A un cuadrilátero se le puede calcular el perímetro y su área.
-
El perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados:
Perímetro del cuadrilátero ABCD = AB + BC + CD + DA.
Sabemos que un triángulo tiene tres ángulos y la suma de las medidas de esos
ángulos es de 180º. Un cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos trazando una de
sus diagonales, por tal motivo los cuatro ángulos del cuadrilátero al sumarse se
obtiene 360º
A

cuadrilátero: ABCD:

B


La
suma de los cuatro ángulos del
DAB  ABC  BCD  CDA  360º
O también:
        360º
D
C
Letras griegas:
 se lee Alfa
 se lee Beta
 se lee Delta
 se lee Tita
Clasificación de los Cuadriláteros:
CUADRILÁTEROS
FIGURA Y DIAGONALES
Rectángulos
A
B
D
C
A
Cuadrado
Paralelogramos
B
D
C
A
B
Rombo
C
D
A
B
Romboide
C
D
A
Trapecio
Rectangular
Trapecios
B
D
C
A
Trapecio
B
Isósceles
C
D
B
A
Trapecio
Escaleno
C
D
A
B
Trapezoides
D
C
Ejercicios propuestos: calcula el perímetro en cada figura.
18.1. Cuadrado de lado 2/3m.
18.3.
18.2. Un rectángulo formado con las
unión de dos cuadrados de lado 8
m.
Triángulo isosceles
7m
10 m
18.4. Un rombo formado por la unión de
dos triángulos equiláteros de lado x/2
6m
22 m
LECTURA N° 19: LA CIRCUNFERENCIA Y SUS
ELEMENTOS
Tomado con fines instruccionales de:
Santamaría, J (2007). La Circunferencia y sus
Elementos. [Artículo no publicado]. (Pp. 2). Tinaquillo,
Estado Cojedes.
La circunferencia, es el conjunto infinito de puntos que están a una misma distancia de
un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la
circunferencia se le llama radio.
Elementos de una circunferencia:
La distancia del centro al punto R o segmento
OR es un radio de la circunferencia.
La distancia del punto P al punto Q o
segmento PQ es un diámetro de la
circunferencia. Un diámetro equivale a dos
veces el radio.
La distancia del punto A al punto B o
segmento AB es una cuerda de la
circunferencia.
La recta “s” que toca dos puntos, el punto M y
el punto N, de la circunferencia es una recta
secante a la circunferencia.
La recta “t” que toca un solo punto, el punto P, de la circunferencia es una recta
tangente a la circunferencia.
El conjunto de puntos que pertenecen a la circunferencia y están entre dos puntos de
ella, entre el punto A y el punto B, por ejemplo, se le llama arco de la circunferencia.
El arco de extremos A y B se denota arco
Los puntos R, O y P describen un ángulo central a la circunferencia, y se denota
ROP .
El conjunto infinito de puntos que forman la circunferencia y los
interiores a ella conforman una superficie llamada círculo.
La región comprendida entre los puntos A, B y O, o mejor dicho, todos
los puntos interiores al ángulo AOB representa un sector circular
de dicho círculo.
A una circunferencia es imposible calcularle el área, pues sólo
representa una línea cerrada que limita al círculo, a la circunferencia
se le puede calcular la longitud y al círculo se le calcula el área. La
fórmula para hallar la longitud de una circunferencia es: L    2r ,
siendo   3,14 y r = radio de la circunferencia y para determinar la
longitud un ángulo central se utiliza:
L
  r  nº
180º
.
Mientras que la fórmula para hallar el área de un círculo es: A    r 2 .
Y para calcular el área de un sector circular se usa:
A
  r 2  nº
360º
, donde nº representa la amplitud del ángulo.
El ángulo central de una circunferencia es aquel que está formado por dos de sus
radios. Cada ángulo central determina una cuerda y un arco, y a la vez cada cuerda
determina un arco y un ángulo central, y un arco determina un ángulo y una cuerda.
Observen la figura, allí se describe en el ángulo central DOE , el arco
y la cuerda
DE. La medida de amplitud de un arco de una circunferencia se representa en grados
(º), y la de un ángulo central de la misma manera; ya habíamos dicho que un ángulo
central determina un arco y viceversa, esto indica que las medidas en grados para
ambos son iguales. Es decir, si un arco mide 60º, su ángulo central mide 60º.
Ejercicios :
19.1. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene de radio 5 Km?
19.2. ¿Qué longitud tiene un arco cuya amplitud del ángulo central es de 30º?
19.3. Determina el área de un sector circular, si su ángulo central es de 22º.
19.4. Calcula el área de un círculo cuyo diámetro es de 25 metros.
19.5. En una semicircunferencia el radio es de 3/2 cm ¿cuál es su longitud?
1
19.6. La longitud del un arco de una circunferencia es de  , calcula la medida de su
3
ángulo central.
19.7. Hallar el diámetro de un círculo, sabiendo que su área es igual a 100π.
LECTURA N° 20: CUERPOS GEOMÉTRICOS Y SUS
ELEMENTOS
Figura
7
Tomado con fines instruccionales de:
Santamaría, J (2007). Los Cuerpos Geométricos y sus
Elementos. Artículo no publicado. (Pp. 3). Tranquillo, Estado
Cojedes.
En la geometría plana, se estudian aquellas figuras y formas geométricas que tienen
una o dos dimensiones; y sólo se pueden representar en una superficie plana, como la
circunferencia, el círculo, el triángulo, los cuadriláteros y demás polígonos.
La geometría del espacio se encarga de estudiar aquellas formas, cuerpos y objetos
que tienen tres dimensiones. Estas formas se encuentran en el mundo real, sea de
manera artificial, construidas por el hombre, como por ejemplo: edificaciones,
herramientas, envases, entre otros y la que pertenecen a la naturaleza, como:
árboles, montañas, roca, planetas, animales, seres humanos.
CARACTERÍSTICAS DE ALGUNOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
Cuerpos Redondos:
La esfera: es un cuerpo cuya superficie es curva, carece de vértices y su volumen se
calcula mediante la fórmula:
V
4
 .r 3
3
Si hacemos un corte a una esfera con un plano obtenemos una circunferencia.
Observa la figura:
Plano
Circunferencia
C
r
P
Circunferencia
máxima
La distancia de C a P es el
Radio
Si la esfera es sólida como una bola, al realizar el corte obtendríamos el círculo.
El Cilindro: es un cuerpo mixto; es decir, tiene superficie plana y superficie curva. El
cilindro consta de una base circular y de una determinada altura. Su volumen se halla
mediante la fórmula.
V = Área de la base x Altura.
Eje
Si hacemos un corte al
cilindro con un plano
paralelo a la base, se
obtiene un círculo. Si el
corte
se
hace
perpendicular a la base, se
obtendría un rectángulo.
Base
Base
El Cono: es un cuerpo de base plana y de superficie lateral curva. A diferencia del
cilindro, el cono sólo tiene una base y tiene un vértice. El volumen de un cono se
calcula mediante la fórmula:
V
 .r 2 .( Altura )
Vértice
3
Si hacemos un corte con un plano
paralelo a la base del cono se
obtiene un círculo
Eje
Base
Poliedros: Muchas edificaciones construidas por los humanos y algunos cuerpos de la
naturaleza tienen forma de poliedros. Los poliedros son cuerpos limitados por un
número finito de superficies planas. Estas superficies planas son polígonos que
reciben el nombre de caras del poliedro. La intersección de dos caras forman una
arista y el punto de intersección de tres o más caras es un vértice.
Entre los poliedros se encuentran: Las pirámides y los prismas.
Las pirámides: Son poliedros cuyas caras laterales tienen forma de triángulo; el
número de triángulos o caras laterales de una pirámide, depende del número de lados
de la base. Éstas pueden ser de base triangular, cuadrada, pentagonal, etc. Los
triángulos que conforman las caras de la pirámide convergen en un punto, es decir,
tienen un punto en común; este punto recibe el nombre de vértice de la pirámide.
Vértice
Arista
Cara
Base cuadrada
Pirámide Hexagonal
Pirámide cuadrada
Los prismas: son cuerpos geométricos tridimensionales, la característica más
sobresaliente es que dos de sus caras son paralelas (caras opuestas) y congruentes,
llamadas bases del prisma. Cada prisma recibe su nombre de acuerdo a la forma de
sus bases.
Los prismas, cuyas caras laterales son rectángulos, son llamados prismas rectos; de
otra forma son llamados prismas oblicuos.
Los prismas rectangulares o “cajas” también son llamados paralelepípedos.
Veamos algunos prismas:
Base cuadrada
Vértice
Cara lateral
Arista
Bases
Triangulares
Prisma Triangular
Algunas cosas curiosas de la naturaleza guardan relación con estas formas
geométricas, por ejemplo: ¿Has llegado a ver de cerca un panal de abejas? Si lo
observas detalladamente parece un piso cubierto de mosaicos hexagonales. Pero su
forma tridimensional es la de prismas rectos hexagonales. Entre el triangulo equilátero,
el cuadrado y hexágono regular, este último tiene el menor perímetro para un área
establecida. Esto significa, que en los panales de abejas en forma de prisma
hexagonal se usa menos cera para su construcción.
LECTURA Nº 21: EL NÚMERO PI (  ) Y EL CÁLCULO
DE ÁREAS
Tomado con fines instruccionales de:

Fundación Polar. El número pí ( ) y el cálculo de áreas. [Artículo
en línea]. Disponible: http://www.fpolar.org.ve/matemática. Extraído:
enero 7, 2007
El número π (Pi), tiene un origen un poco extenso y muy apasionante; en la antigua
Grecia, su aparición se relacionó con el resultado de dividir la longitud de una
circunferencia entre la longitud de su diámetro, por lo que se denota con letra griega π,
inicial de la palabra “περιμετρο” que significa perímetro. Leonard Euler (1707-1783),
matemático suizo, fue quien hizo famosa la notación de π, a pesar de haberla
implementado en sus estudios William Jones muchos años antes.
La aproximación al número π se remonta a las civilizaciones más antiguas, ejemplo de
ello fueron los babilonios y egipcios, que aún cuando desconocían su nombre y
simbología, le atribuyeron el valor “3” obtenido con la aproximación de la longitud de
una circunferencia mediante “6r” que es el perímetro del hexágono regular inscrito.
Es decir, de la relación
6r = 2πr, se obtiene que π = 3
r
r
Lado del hexágono = radio
de la circunferencia
r=r
Hay un pasaje de la Biblia donde también se puede deducir ese valor “3”:
“…Él, hizo también un vaso de metal fundido, la gran cuba, que
tenía diez codos de diámetro y era perfectamente redondo, y
tenía cinco codos de alto, en tanto que un cordón de treinta
codos medía la circunferencia”.
De aquí se cumple que: π = 30 codos/10 codos = 3.
Aún en nuestra era se hacen cálculos sobre π, llegando a representarlo con 109 cifras
decimales. Éste número es tomado en cuenta en muchas fórmulas matemáticas
relacionadas con medidas: longitud de una circunferencia, área de un círculo, área de
un óvalo, volumen de un cilindro, de un cono y de una esfera, área de la superficie de
una esfera, entre otros.
El primer matemático que hizo cálculos de π con muchas cifras, 707 cifras decimales,
fue el inglés William Shanks en 1873, cifras que adornan la cúpula del “Palacio del
Descubrimiento” en el Museo de Ciencias de Paris. Esta cúpula se encuentra en una
sala que tiene 10 metros de diámetro y π decámetros de perímetro.
El matemático e ingeniero venezolano Francisco José Duarte (1883-1972), nacido en
Maracaibo, también calculó el número π con muchas cifras. Duarte escribió, en 1956,
una monografía sobre los números irracionales π y ℮
Procedimientos para calcular áreas y volúmenes de figuras y cuerpos
geométricos:
En muchas labores de la vida cotidiana se deben hacer cálculos para determinar el
área de una determinada región; ya sea sobre un terreno que se va a cultivar, alguna
edificación que se va a construir; sobre un piso que se va a cubrir con alfombra o
cerámica; sobre una pared o un lienzo donde se va realizar una pintura, entre otros.
También es importante realizar cálculos de volumen en situaciones donde; se necesite
saber, cuántos litros de agua requiere una piscina, un tanque, una botella o cualquier
otro envase; la cantidad de cajas que ocupan una habitación o cava; entre otras
actividades de la vida diaria.
El área de una figura plana, es la medida de la región encerrada por líneas
poligonales, en otras palabras es la medida de la superficie.
Realicemos algunos cálculos de perímetro y área.
Ejemplo 1:
En el terreno de béisbol, las cuatro bases forman un cuadrilátero como se muestra en
la figura. Si entre cada base hay una distancia de 90 pies, es decir, 27 metros
¿Cuántos metros recorre el bateador al dar un jonrón?
2da Base
Solución:
3ra Base
Sólo tenemos que calcular el
perímetro del cuadrilátero: Recuerda
que para calcular el perímetro de un
polígono se suman las longitudes de
sus lados.
1ra Base
Home
Entonces:
P = 27m + 27m + 27m + 27m
Luego Perímetro = 4.(27m) = 108 metros.
Por lo tanto: El bateador recorre 108 metros al dar el jonrón.
¿Calcula el área que hay entre las cuatros bases?
Solución: Para calcular el área del cuadrilátero que es un cuadrado, sólo debemos
multiplicar la medida de un lado dos veces, así.
27m
27m
Área
= (Lado)2
Área
= (27m)2 = (27m).(27m) = 729 m2
El área del cuadrilátero que está entre las cuatro bases es de 729m2
Ejemplo 2:
El terreno de una siembra de café tiene forma de un trapecio isósceles, como se
muestra en la figura, se necesita saber el perímetro y el área del terreno.

A
AB  3Km
B

Donde: BC  5 Km
2

11
DC  Km
2

8
AF 
3
Altura
D
C
F
Solución:
Para
calcular
el
perímetro
del
trapecio,
aplicamos
AD  BC

AF  Altura
la
fórmula:
P  AB  BC  CD  DA
Entonces: Perímetro
= 3Km 
Perímetro = 3Km 
El perímetro del terreno es de
5
11
5
Km  Km  Km
2
2
2
21
27
Km 
Km
2
2
27
Km
2
Luego, cálculo del área:
El área de un trapecio se calcula mediante la fórmula:
Área
=
Base mayor  base menor   Altura
2
Donde: base mayor = DC; base menor = AB
Altura = AF.
Sustituyendo; queda:
Área
5
 11

 Km  Km 
2
2
   8 Km 
=


2
3

 16

 Km 
 2
   8 Km 


2
3

Área
=
Área
=
8KM  8

  Km 
2 3

=
Área
Área
32
Km 2
3
8

Km 
3

= 4Km  
El área del terreno es de
32
Km 2
3
Ejemplo 3:
Una constructora, ha dividido un terreno en cuatro partes iguales para la
edificación de cuatro casas. Si el terreno tiene forma de rombo y las medidas y
divisiones se especifican en la figura dada. Calcular el área de todo el terreno y el área
que corresponde a cada casa.
D
Donde:

G
DE  10 Dam
E

DF  16 Dam

EG  12 Dam
F
Solución: Para calcular el área de un
rombo se aplica la fórmula:
Área
=
Diagonal mayor  diagonal menor
2
Donde; diagonal mayor = DF y diagonal menor = EG
Sustituyendo; queda:
Área
=
16Dam  12Dam  192Dam2
2
Área
2
= 96Dam 2
Luego el área de todo el terreno es igual a 96 Dam2
Para calcular el área de una de las divisiones, podemos dividir el área total entre 4 o
tomamos una de las cuatro divisiones; que representan triángulos y le calculamos el
D
área.
G
C
E
Para calcular el área del DEC, se necesita conocer la
base “CE” y la altura “CD”.
Recuerda que Área
F
=
base . Altura
2
Como las diagonales de un rombo se cortan en sus
puntos medios, entonces: La mitad de la diagonal EG es igual a CE.
EG 12Dam

 6Dam
Esto es: 2
2
CE  6Dam  base

DF
 CD
También:
2
Esto es;
DF 16Dam

 8Dam
2
2
Por lo tanto;
Área
=

CD  8Dam  Altura
6Dam  8Dam  48Dam2
2
2
 24Dam2
Ejemplo 4:
Miguel es albañil y quiere construir en el patio de su casa un caney de base
pentagonal. Si del centro de la superficie de la base, al punto medio entre dos
columnas, la distancia es de 7/2 metros y entre cada columna hay una distancia de 3
metros; ¿Cuál es el área del pentágono?
Solución:
Los vértices A, B, C, D, E
A
Son los puntos donde van las columnas. El segmento FH es un
apotema.
B
E
F
D
H
Como AB = 3m y el pentágono es regular, entonces,
C
AB = BC = ED = DC = CB
y
FH 
7
m
2
Luego, para calcular el área de un pentágono regular se aplica la fórmula.
Área
=
Perímetro del
polígono   Apotema
2
Entonces; Perímetro = AB + BC + CD + DE + AE
Pero como todos los lados miden igual
Perímetro= 5.( AB )  5.( 3m )  15m
Por lo tanto;
15m    7 m 
Área
=
2
2
105 2
m
105 2
 2

m es el área del pentágono.
2
4
Cálculos de algunos volúmenes en cuerpos geométricos.
Ejemplo 5:
Una tarde, el joven Julio caminaba con su padre por cierta avenida y observa,
detalladamente, las cosas a su alrededor; le dice: Papá, viste que algunos carros, en
la parte trasera, llevan escrito algunos símbolos como: 1.3L, 1.6L, 2.0L, 4.5L, etc.
¿qué significan esos números?
El padre, como todo un experto, le contesta: Hijo, esas expresiones hacen referencia a
la cilindrada del automóvil, en otras palabras al volumen útil de los cilindros; cuanto
mayor es la expresión que allí se indica mayor es la cilindrada del vehículo. Por
ejemplo, en un carro de cuatro cilindros, si calculamos el volumen de cada cilindro,
mediante la fórmula: V    r 2  h , siendo   3,1416 ; h  altura  7,548cm y
r  radio  4,1035cm . Sustituyendo la fórmula, queda:
V  (3,1416)  (4,1035cm) 2  (7,548cm)  399,29cm 3 , ésta representa la capacidad para
cada cilindro. Si el carro es de 4 cilindros, entonces la cilindrada es de:
4V  4(399,29cm 3 )  1597,16cm 3 .
Redondeando esta cantidad por exceso nos resulta, que: V  1600cm 3 , esto es
equivalente a decir V  1,6litros , y se anota de esta manera para simplificar la
escritura.
Ejemplo 6:
Una piscina, tiene la forma de un prisma como el que se muestra en la figura
¿cuántos litros de agua se necesitan para llenarla por completo?
Solución:
Observa que si la piscina fuese un
paralelepípedo el volumen sería:
V  ( Áreabase)  altura
Esto es, V  (10m  4m)  (4m)
Luego; V  160m 3
Pero a la piscina le hace falta un pedazo, para ser un
paralelepípedo, algo como esta forma; un prisma triangular, cuyo
volumen es:
V
V
4m  4m  5 2 m
2

( Área base)
 altura . Sustituyendo, queda;
2
16m 5m  80m
2
4
4
3
 20m 3
Luego, al volumen del paralelepípedo le restamos el volumen del prisma triangular y
nos dará el volumen de la piscina, así: Volumen de la piscina
 160m 3  20m 3  140m 3
Pero nos piden la capacidad de la piscina en litros, por lo que hay que transformar
140m 3 a litros ; para hacer esto, primero tenemos que trasformar 140m 3 a dm 3 .
De acuerdo a la escalera de conversión, se tiene que: 140m 3 a dm 3 = 140000dm 3 , si
se sabe que 1dm 3  1litro , entonces; 140000dm 3  140000litros .
Por lo tanto la piscina necesita 140000litros de agua para llenarse por completo.
Te proponemos algunos ejercicios y problemas, debes ejercitar todo lo relacionado al
cálculo de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.
Ejercicios:
21.1. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 35 cm y su altura es 3/5 de la
base?
21.2. ¿Cuánto mide la base menor de un trapecio que tiene como área 204 m2, la base
mayor es de 32 m y su altura es de 12 m?
21.3. ¿Cuál es la medida de uno de los lados de un polígono regular de 16 lados, de
apotema igual a 60 cm y área 16000 cm2?
21.4. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo perímetro es de 52 dm?
Según la figura que se te indiqua a continuación, realiza los cálculos respectivos:
21.5. Si el área de la figura es igual a 68 cm2
¿cuánto vale b?
9 cm.
b
A
21.6. El triángulo ABC es isósceles; si AD = 11 cm.
C
y CD = 7/2 cm. ¿cuánto vale el área?
D
B
El trapecio de la figura se ha construido con tres triángulos rectángulos, donde uno de
ellos es isósceles.
21.7. Halla el área del trapecio de dos
maneras: usando la fórmula del área
del trapecio y hallando la suma de las
áreas
de
los
tres triángulos
rectángulos.
13 cm.
12 cm.
7 cm.
Resuelve los siguientes problemas:
13 cm.
12 cm.
7 cm.
cm.
21.8.
La habitación de Juana, mide 4 m de ancho, 5 m de largo y 5/2 m de alto.
El área de la puerta y la ventana es de 2 m2. Ella desea colocar papel tapiz
a las cuatro paredes; si cada rollo de papel mide 50 cm de ancho por 5 m
de largo ¿Cuántos rollos de papel necesitaría Juana para cubrir las
paredes?
21.9.
En Tinaquillo hay una estación de radio que tiene una cobertura igual a un
radio de 72 Km. ¿Cuántos kilómetros cuadrados cubre la señal de la
estación de radio?
21.10. Carlos tiene un terreno de forma cuadrada, cuyo lado mide 18 m. En cada
esquina del terreno hay un poste y un caballo atado por una cuerda de 9 m.
¿Qué parte del terreno no puede se recorrida por los caballos?
21.11. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos:
21.13. El volumen de un cilindro es 330п cm3. Calcula el radio de la base si la altura
mide 6 cm.
21.14. Determina la altura de un cono que tiene un volumen de 108п m3 y el área de
la base es igual a 36п m2.
LECTURA Nº 22: THALES Y LA PIRAMIDE DE
KEOPS
Tomado con fines instruccionales de:
Fundación Polar. Thales y la pirámide de Keops.
[Artículo en línea]. Disponible:
http://www.fpolar.org.ve/
matemática. Extraído: enero 11, 2007
Tales de Mileto (s. VI a.C.), matemático y filósofo de la antigua Grecia,
pertenece al selecto grupo de los siete sabios de la antigüedad, después de
ciertos ensayos y reflexiones, realizó el cálculo de la pirámide de Keops, y lo
asombroso fue que lo hizo sin hacer mediciones de manera directa, ni se
esforzó por llegar a la cima de tan imponente monumento. Se basó en un
planteamiento o teorema que lleva su nombre. Según los antecedentes
históricos que se tienen en la actualidad, la idea de Thales para el cálculo que
realizó se esquematiza como sigue:
Sea “A” la altura de la pirámide para calcular; se clava una vara, cuya longitud
se conoce, verticalmente donde termina la
sombra que proyecta la pirámide. Los valores
“S” y “v” son las longitudes conocidas de las
sombras de la pirámide y de la vara. Luego,
mediante el teorema de Thales se puede
demostrar la siguiente igualdad:
A
Dh
base
, donde D 
S.
v
2
Esa igualdad permite calcular “A”, si se conoce,
la base de la pirámide cuadrangular, la sombra
“S” de la pirámide, la altura “h” de la vara y la
sombra “v” de la vara.
Cuando se realizaron los cálculos la asombrosa pirámide tenía 227 m de lado y
146,5 m de altura.
En la actualidad, el procedimiento más común para realizar medidas en
cuerpos geométricos y figuras planas, es la aplicación de fórmulas
matemáticas. Esas medidas que llamamos áreas y volúmenes, no se calculan
directamente ya que se deben medir previamente ciertas magnitudes. Por
ejemplo:
Figura
Triángulo
Área
A
base  altura
2
Bb
 altura
2
Trapecio
A
Paralelogramo
A  base  altura
Rectángulo
A  base  altura
Rombo
A
producto _ de _ diagonales
2
A  (lado) 2
Cuadrado
A    r2
Círculo
Cuerpo
Prisma recto
Volumen
V  área _ de _ base  altura
V  (lado )3
Cubo
Pirámide
Cilindro
Cono
V 
área _ de _ base  altura
3
V    r 2  altura
V 
  r 2  altura
3
Esfera
V 
4
  r3
3
LECTURA N° 23: LA TRIGONOMETRÍA
Tomado con fines instruccionales de:
Santamaría, J (2007). La trigonometría. [Artículo no
publicado]. (pp. 1- 3). Tinaquillo, Estado Cojedes.
Es la rama de la geometría, que estudia las relaciones numéricas entre los
lados y los ángulos de los triángulos
 El origen 0 es el vértice de ángulo y
las semirrectas 0A y 0B son los lados del
ángulo.
 0A es el lado inicial y 0B es el lado
terminal.
 El ángulo A0B= & se genera mediante
la rotación del lado 0A hasta el lado 0B
 Los ángulos pueden denominarse con
letras
del
alfabeto
griego:
.
 ,  ,  ,  ,  , ,.
 También puede denominarse  A0B ,
que se lee como ángulo A0B.
Un ángulo es positivo si
0A se rota en sentido contrario
al giro de las agujas del reloj
hasta 0B.
Un ángulo es negativo si
0A se rota en el mismo sentido
del giro de las agujas del reloj
hasta 0B.
Un ángulo, es la posición del plano limitada
por dos semirrectas que poseen un origen
común.
 Un radián es el ángulo central de
una circunferencia al que le corresponde
un arco de longitud igual al radio.
Si 360º=2  radianes
180º =  radianes de donde
1 radián = 180º/  = 57,30º
 Para convertir de grado a radianes
multiplicamos el valor del ángulo en
grado por  /180º.
 Para convertir de radianes a grado
se multiplica el valor del ángulo en
radianes por 180º/  .
Las razones trigonométricas
Consideremos el triángulo rectángulo de referencia
B
AB = c: Hipotenusa
BC = a: Cateto opuesto al ángulo &
AC = d: Cateto adyacente al ángulo &
c
a
&
C
d
A
Tomando en consideración el triángulo ABC y el ángulo & pueden definirse las
razones trigonométricas en el triángulo rectángulo así:
Se llama seno de & a la razón entre el cateto opuesto BC y la hipotenusa
Sen(&) 
AB:
BC
AB
Se llama coseno de & la razón entre el cateto adyacente AC y la hipotenusa AB:
Cos(&) 
AC
AB
Se llama tangente de & a la razón entre el cateto opuesto BC y el cateto adyacente
AC:
Tag (&) 
BC
AC
Razones trigonométricas recíprocas
Se llama cotangente de & a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto:
Ctg (&) 
AC
CB
Se llama secante de & a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto adyacente AC:
Sec(&) 
AB
AC
Se llama cosecante de & a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto opuesto BC:
Csc(&) 
AB
BC
Identidad fundamental de la trigonometría
Consideremos el triángulo rectángulo mostrado en la figura. Apliquemos el
teorema de Pitágoras a dicho triángulo.
(Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2
De acuerdo al triángulo rectángulo ABC se tiene
que:
( AC ) 2  ( AB) 2  ( BC ) 2 ,
luego; dividimos toda la igualdad por (AC)2 y nos
queda:
 AC 2
 AC 2

 AB  2  ( BC ) 2 ,
 AC 2  AC 2
por propiedad de la potenciación, se puede representar así:
2
2
 AC 
 AB   BC 

 
 

 AC 
 AC   AC 
2
luego; según la definición de las razones trigonométricas se tiene que: Si AC es
la hipotenusa, AB es el cateto opuesto del ángulo  y BC es el cateto
adyacente del ángulo  , entonces:
AB
BC
 Sen ,
 Cos .
AC
AC
Y por propiedad de inverso en la multiplicación
AC
 1,
AC
Por lo tanto, si se sustituye estas igualdades en la anterior, nos queda:
1  Sen   Cos  .
2
2
De esta manera la expresión:
Sen 2  Cos 2  1
representa la identidad fundamental de la trigonometría, en función al triángulo
rectángulo y a uno de sus ángulos agudos.
Ejercicios propuestos
23.1- Encierra en un círculo la opción “V” si consideras el enunciado como verdadero o
la letra “F” si lo consideras falso:
1. La trigonometría, estudia la simetría de las figuras planas .................... V - F.
2. La identidad fundamental de la trigonometría es llamada teorema
de Euclides ........................................................................................... V - F.
3. Las razones trigonométricas parten de un triángulo rectángulo ............. V - F.
4. La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama
cotangente de & de ............................................................................... V - F.
5. Para hallar la identidad fundamental hay que aplicar el teorema de
Pitágoras ............................................................................................... V - F.
6. El seno al cuadrado de un ángulo más el coseno al cuadrado del
mismo ángulo es igual a la unidad ...................................................... V - F.
7. La secante de & es una razón trigonométrica recíproca del coseno ...... V - F.
8. El cateto adyacente más el cateto opuesto es igual a la hipotenusa ..... V - F.
RESUMEN
DE
FUNDAMENTALES
LAS
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
 Las identidades pitagóricas:
1.
sen 2 x  cos 2 x  1
2. tag 2 x  1  sec 2 x
3. 1  cot ag 2 x  1  cos 2
 Las identidades del cociente:
4. tagx 
senx
cos x
5. cot agx 
cos x
senx
 Las identidades recíprocas:
6. cos x 
1
senx
7. senx 
1
cos x
8. cot agx 
1
tgx
Ejercicios:
23.2.
Sabiendo que sen α = ¾ calcular el resto de las identidades
trigonométricas
3 2
calcular cos y sen
2 3
23.3.
Dado que la tag  =
23.4.
Sabiendo que sec  =
30
calcular sen y cot
2 3
23.5.
Sabiendo que cos α =
m2  n2
encontrar cot α
m2  n2
23.6.
Si sen 
23.7.
sen  3 hallar el valor de la exp resión
1
2
hallar el valor de la exp resión
tag 2  cos 2 
sec 2   cot 2 
sen 2  cot 2 
 cos 2 
sec 2   cos 2 
23.8. Dado el triángulo de la derecha, calcular las
razones trigonométricas del ángulo α
1+a
α
1-a
LECTURA Nº 24: LA TRIGONOMETRÍA ¿PARA QUÉ
SIRVE?
Tomado con fines instruccionales de:
Feria, D. (s.f.) Trigonometría ¿Para qué sirve? [Artículo en
línea]. Disponible:
http://www.es.geocities.com/dferiagomez.
Extraido: diciembre 6, 2007
El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto: Estás cerca de un
ancho río y necesitas conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol
marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar,
ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el
río?
La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el
suelo en los puntos A y B, y mida con una cinta la
distancia “c” entre ellos (base del triángulo).
Luego extraiga el poste del punto A y sustitúyalo por un
telescopio de topógrafo "teodolito", contando con una placa
dividida en 360 grados, marque la dirección (azimut) a la
que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero
Figura 10
hacia el árbol y luego hacia el poste B, mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la
diferencia entre los números que ha leído de la placa de azimut. Sustituya el poste por
el teodolito en el punto B y mida de la misma forma el ángulo B. La longitud “c” de la
base y los dos ángulos A y B es todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC,
suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la misma forma y mismo tamaño,
en un sitio más conveniente.
La trigonometría (de trigón = triángulo) en un principio, fue el arte de calcular la
información perdida mediante simple cálculo. Dada la suficiente información para
definir un triángulo, la trigonometría te permite calcular el resto de las dimensiones y
de ángulos.
¿Por qué triángulos?
Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se
pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en
triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros.
Para medir un terreno, los topógrafos lo dividen en triángulos y
marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es
a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un
agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos
(George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente).
Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el
topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se
forman con el punto C y usará la trigonometría para calcular las
Un antiguo telescopio
De topógrafo
(teodolito).
distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su
vez suministrarán bases para dos más..., y de esta forma construirá más y más
triángulos hasta que se cubra el terreno completo, con una red que tiene distancias
conocidas. Posteriormente, se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los
triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán
distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos.
Un gran proyecto de reconocimiento del siglo XIX fue la "Gran Planimetría
Trigonométrica" de la India británica. Se construyeron para el proyecto los mayores
teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se
hacían de manera precisa con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media
tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos, el proyecto cubrió
el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste
(las áreas entre las cadenas se dejaron para más tarde) y se necesitaron décadas
para completarla.
En 1843 Andrew Scott Waugh, se encargó del proyecto como Inspector General y
puso especial atención a las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las
nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta
1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse hecho, los
resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las
oficinas de inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos
trigonométricos.
La historia dice que en 1852, el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le
dijo: "Señor, hemos descubierto la mayor montaña del mundo". Desde una distancia
de más de 100 millas (160 km), observaron la montaña desde seis estaciones
diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a través
de su telescopio el punto más alto de la Tierra". Al principio se la designó como "Pico
XV" por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó Everest, en memoria de Sir
George Everest su predecesor, en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el
primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el
"Museum of the Survey of India" en Dehra Dum.
Hoy en día se puede localizar de forma muy precisa la posición de un punto sobre la
Tierra, usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita
exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento
electrónico de mano recibe sus señales y devuelve nuestra posición con un error de
10-20 metros (aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema).
Se usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está
dentro de su aparato, lo único que usted necesita es pulsar los botones apropiados.
LECTURA Nº 25: TEOREMA DE PITAGORAS
Tomado con fines instruccionales de:
Fundación Polar. Teorema de Pitágoras. [Artículo en línea].
Disponible:
http://www.fpolar.org.ve/matemática. Extraído:
enero 4, 2007
En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado
construido sobre la hipotenusa es igual, a la suma de
las áreas de los cuadrados construidos sobre los
catetos. Observa cómo los cuadrados construidos
sobre los catetos cubren el cuadrado construido sobre
la hipotenusa.
El cuadrado superior derecho se descompone,
ubicando primero el punto de corte de las diagonales.
Luego se trazan por ese punto, un segmento paralelo
a la hipotenusa y un segmento perpendicular a ella. En
la figura se presenta una “versión visual” de la
comprobación de este teorema.
Observa un ejemplo de comprobación analítica del teorema:
En el triángulo rectángulo que se muestra en la figura, los lados miden 10, 8 y 6
unidades respectivamente. Sobre cada lado
se ha construido un cuadrado; según el
teorema de Pitágoras se puede verificar que
el área del cuadrado mayor, es igual a la
suma de las áreas de los cuadrados
menores. Analíticamente hablando, esto es:
entonces
( AB) 2  ( AC ) 2  ( BC ) 2 ,
fácilmente podemos constatar la fórmula
sustituyendo los valores correspondientes.
(10) 2  (8) 2  (6) 2 , luego 100  64  36 .
Figura 12