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 TRIGONOMETRÍA RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y FÓRMULAS FUNDAMENTALES: Seno ≡ sen α = y ; Coseno ≡ cos α = x Tangente ≡ tag α = Secante ≡ sec α = 1
cos α
1
senα
=
= ; Cotangente ≡ ctg α =
ctgα
senα tgα
cos α
1
1 ; Cosecante ≡ cosc α =
cos α
senα
sen 2 a + cos 2 a = 1 tg 2 a + 1 =
1
1
ctg 2 a + 1 =
2
cos α
sen 2α
SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS: tgα + tgβ
1− tgα ⋅tgβ
sen (α + β ) = senα ⋅ cos β + cos α ⋅ senβ
tgα − tgβ
tg (α − β ) = cos (α + β ) = cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ
1+ tgα ⋅tgβ
ctgα ⋅ ctgβ − 1
sen (α − β ) = senα ⋅ cos β − cos α ⋅ senβ
ctg (α + β ) = ctgα + ctgβ
cos (α − β ) = cos α ⋅ cos β + senα ⋅ senβ ctgα ⋅ ctgβ + 1
ctg (α − β ) = ctgα − ctgβ
tg (α + β ) =
ÁNGULO DOBLE ; ÁNGULO MITAD sen 2α = 2 ⋅ senα ⋅ cos α
cos
A
1+ cos A
=
2
2
cos 2α = cos 2 α − sen 2α
A
sen =
2 ⋅tgα
2
tg 2α =
2
1− tg α
A
tg =
2
ctg α − 1
2
ctg 2α =
2 ⋅ ctgα
A
ctg =
2
1− cos A
2
1− cos A
1+ cos A
1+ cos A
1− cos A
www.academiacae.com – [email protected] – 91.501.36.88 – 28007 MADRID TRANSFORMACIÓN DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA EN PRODUCTO PRODUCTO EN SUMA A+ B
A− B
⋅ cos
2
2
1
A+ B
A− B
senA ⋅ cos B = ⋅ ⎡⎣ sen ( A + B ) + sen ( A − B ) ⎤⎦
senA − senB = 2 ⋅ cos
⋅ sen
2
2
2
senA
⋅ cos B = − 1 ⋅ ⎡ cos ( A + B ) − cos ( A − B )⎤ A+ B
A− B
⎦
2 ⎣
cos A + cos B = 2 ⋅ cos
⋅ cos
2
2
1
cos A ⋅ cos B = ⋅ ⎡⎣ cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤⎦
A+ B
A− B
2
cos A − cos B = −2 ⋅ sen
⋅ sen
2
2
senA + senB = 2 ⋅ sen
OTRAS FÓRMULAS: 1+ cos 2α
2
1−
cos
2α
2
sen α =
2
cos 2 α =
TABLA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS α 0º senα 0 cos α tgα 30º 45º 1 1
= 2
2
4
3
= 1 2
2
0 2
2
2
2
1
3 1 =
3
3
60º 3
2
90º 270º 360º −1 0 −1 0 1 0 −∞ 0 0 4
= 1 2
1 1 0 = 2
2
3 180º ∞ senα ≡ Altura ; cos α ≡ proyección sobre el eje X → sen α cos α www.academiacae.com – [email protected] – 91.501.36.88 – 28007 MADRID ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Y COMPLEMENTARIOS ÁNGULO DEL EJE X ÁNGULOS DEL EJE Y sen ( 90 − α ) = cos α
cos ( 90 − α ) = senα tg ( 90 − α ) =
sen (180 − α ) = senα
sen ( 90 + α ) = cos α
cos (180 − α ) = − cos α cos ( 90 + α ) = −senα tg (180 − α ) = −tgα
sen (180 + α ) = −senα
cos (180 + α ) = − cos α tg (180 + α ) = tgα
sen ( 360 − α ) = sen ( −α ) = −senα
cos ( 360 − α ) = cos ( −α ) = cos α tg ( 360 − α ) = tg ( −α ) = −tgα
sen ( 90 − α ) cos α
=
= ctgα
cos ( 90 − α ) senα
tg ( 90 + α ) =
sen ( 90 + α ) cos α
=
= −ctgα
cos ( 90 + α ) −senα
sen ( 270 − α ) = − cos α
cos ( 270 − α ) = −senα tg ( 270 − α ) =
sen ( 270 − α ) − cos α
=
= ctgα
cos ( 270 − α ) −senα
sen ( 270 + α ) = − cos α
cos ( 270 + α ) = senα tg ( 270 + α ) =
sen ( 270 + α ) − cos α
=
= −ctgα
cos ( 270 + α )
senα
90º RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES π
3π
rad
270º ↔
rad
360º 2
2
180º ↔ π rad
360º ↔ 2π rad
90º ↔
180º 270º RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS En un triángulo: Â + B̂ + Ĉ = 180º Â •
TRIÁNGULO RECTANGULO: Â + B̂ + 90º = 180º TMA de Pitágoras: H2 = a2 + b2 b H senα =
cateto opuesto
; hipotenusa
90º a B̂ cateto contiguo
cateto opuesto
cos α =
; tgα =
hipotenusa
cateto contiguo
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PARA CUALQUIER TRIANGULO: TMA del SENO: TMA del COSENO: a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅b ⋅ c ⋅ cos Â
a
b
c
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B̂ =
=
sen senB̂ senĈ
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅b ⋅ cos Ĉ
(¡OJO al despejar!: cos  =
•
a2 − b2 − c2
) −2 ⋅b ⋅ c
Aplicaciones del Tma del seno: 1. Dos ángulos y un cateto ( Â + B̂ + Ĉ = 180º ). 2. Dos catetos y un ángulo correspondiente a uno de ellos. 3. Si nos dan el radio de una circunferencia circunscrita a un triangulo se cumple: a
b
c
= 2 ·∙ R =
=
sen senB̂ senĈ
•
Aplicaciones del Tma del coseno: 1. Los tres catetos del triángulo (se despeja el coseno de los ángulos). 2. Dos catetos y el ángulo correspondiente al cateto que no tenemos como dato. Ĉ a b B̂ c  •
ÁREA DE UN TRIÁNGULO: A=
1
1
1
⋅ a ⋅b ⋅ senĈ = ⋅ a ⋅ c ⋅ senB̂ = ⋅b ⋅ c ⋅ sen 2
2
2
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