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MATEMÁTICAS I
TRIGONOMETRÍA I
TEMA2: TRIGONOMETRÍA I
Trigonometría (del griego trigonon, triángulo y métron, medida)
1. MEDIDA DE ÁNGULOS
Para medir los ángulos y los arcos de circunferencia se usan fundamentalmente dos sistemas de
medida:
1. Sistema Sexagesimal: Se toma como unidad fundamental el ángulo recto. Un ángulo recto se
divide en 90 partes llamadas grados sexagesimales ( º ).
Un grado sexagesimal tiene 60 minutos( ‘ ) y cada minuto tiene 60 segundos ( “ ).
1 ángulo recto= 90º
1º=60’
1’=60”
2. Sistema Circular o Internacional: En el sistema circular la unidad de medida es el radián y no
tiene subunidades. Su abreviatura es rad.
Se dice que un ángulo mide un radián cuando la longitud del arco que abarca es
igual al radio.
Si a un ángulo de 1 radián corresponde un arco de longitud r, a 2 radianes corresponde un arco
de longitud 2r, por tanto, como la longitud de toda la circunferencia de radio r es 2πr, este arco
corresponderá a un ángulo de 2π radianes. Una circunferencia, cuya medida en grados es 360º,
tiene un total de 2π radianes:
¿Cuántos arcos de longitud r podemos “colocar” sobre una circunferencia de radio r? La
longitud r “cabe” 2π veces.
360º = 2π rad
180º = π rad
90º =
π
rad
2
Ejercicios:
1º) En una circunferencia de 24 m de radio, un arco mide 6 m. Halla el ángulo central
correspondiente expresado en radianes y en grados sexagesimales.
2º) Completa la tabla en tu cuaderno:
Ángulo en grados
Ángulo en
radianes
0º
45º
π
6
60º
90º
4π
9
1/8
135º
200º
5π
6
225º
2
240º
3π
2
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2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Considerando el triángulo rectángulo OAB, se definen las razones trigonométricas seno (sen),
coseno (cos) y tangente (tg) del ángulo α de la
forma:
AB cateto opuesto a α
=
OB
hipotenusa
OA cateto contiguo a α
cos α =
=
OB
hipotenusa
AB cateto opuesto a α
tgα =
=
OB cateto contiguo a α
senα =
Además de las tres razones trigonométricas principales, existen otras tres razones relacionadas con
las anteriores: secante, cosecante y cotangente, definidas como
sec α =
1
1
1
, cos ecα =
, ctgα =
cos α
senα
tgα
Las teclas sin, cos y tan de la calculadora científica permiten calcular las razones trigonométricas
principales. Usa el modo DEG o D para trabajar con grados sexagesimales y RAD o R para trabajar
en radianes.
También podemos usar la calculadora para el resultado contrario, es decir, conocido el valor del seno,
coseno o tangente de un ángulo, podemos averiguar el valor del ángulo utilizando la función inversa
de la tecla correspondiente.
Ejercicios:
3º) Calcula en el sistema sexagesimal, con la ayuda de la calculadora, un ángulo agudo en cada uno
de los siguientes casos: a) sen  =0’34
b) cos B̂ =0’76
c) tg Ĉ =1’34
d) cosec D̂ =3’45
e) sec Ê =4
f) ctg F̂ =2’25
4º) Calcula las razones trigonométricas del ángulo menor de un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden 4 y 8 cm.
5º) Utiliza la calculadora para hallar x en cada una de las figuras siguientes:
6º) Ayúdate de los siguientes triángulos para
calcular los valores exactos del seno, coseno y
tangente de los ángulos de 30º, 45º y 60º.
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3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Observa el triángulo ABC de la figura:
1) Como a>b y a>c →
2)
0 < senα < 1
b
senα
b
= a = = tgα , es decir
c c
cos α
a
y
tgα =
0 < cosα < 1
senα
cosα
b2 c 2 b2 + c 2
, pero por el
+
=
a2 a2
a2
teorema de Pitágoras se cumplirá que: b 2 + c 2 = a 2 , luego:
3)
sen 2 α + cos 2 α =
b2 c2 b2 + c2 a2
+
=
= 2 = 1→
a2 a2
a2
a
relación fundamental de la trigonometría.
sen 2 α + cos 2 α =
sen 2 α + cosα 2 α = 1 , esta igualdad es la
4) Si en la relación anterior dividimos todo por sen 2 α :
sen 2 α cos 2 α
1
→ 1 + ctg 2 α = cos ec 2 α
+
=
2
2
sen α sen α
sen 2 α
5) Si en la relación anterior dividimos todo por cos 2 α :
sen 2 α cos 2 α
1
→
+
=
2
2
cos α cos α cos 2 α
1 + tg 2 α = sec 2 α
Ejercicio:
7º) Halla las restantes razones trigonométricas del ángulo α en los casos siguientes:
4
1) senα =
5
2) sec α =
2
3) tgα = 2
4.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo consiste en determinar todos sus elementos: los tres ángulos  , B̂
y Ĉ y los tres lados a, b y c. Para ello debemos recordar:
• La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Si el triángulo es rectángulo y  =90º, se
cumplirá que: B̂ + Ĉ =90º.
• El teorema de Pitágoras.
• Las definiciones de las razones trigonométricas.
Una de las aplicaciones más importantes de la trigonometría es la determinación de alturas y
distancias.
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Ejercicios:
8º) Resuelve el triángulo ABC en cada uno de los siguientes
a) a=5 , b=2
b) a=3 , B̂ =50º
c) c=2 , b=7
d) b=5 , Ĉ =30º
e) c=6 , Ĉ =25º
casos:
9º) Calcula la altura de un edificio si el ángulo de elevación de su punto más alto, observado desde
un punto del suelo situado a 20 metros de su base, es de 50º.
10º) Resuelve un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 15 m y que su ángulo agudo
adyacente es de 62º.
11º) Apoyamos el extremo superior de una escalera de 4 metros en una pared vertical. El ángulo que
forma la escalera con el suelo es de 70º. ¿A qué distancia de la pared está la base de la escalera?
¿Qué altura podemos alcanzar sobre la pared?
12º) Al ir por una carretera nos encontramos la siguiente señal de tráfico:
Significa que por cada 100 m. recorridos, el desnivel aumenta 12 m.
¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal? Si avanzamos 538 m.
¿cuántos metros habremos subido en vertical?
13º) En un círculo de radio 50 cm. trazamos una cuerda que une los
extremos de un arco de 120º. Calcula la distancia del centro a la cuerda. [25]
14º) La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles mide 12 cm. y el ángulo desigual es de
30º. Halla los otros lados, el perímetro y el área.
15º) La altura de un edificio es 18m. Desde una ventana del edificio una persona, A, tensa una
cuerda con otra, B, que está en la calle a una cierta distancia del edificio. Si B ve la azotea del
edificio bajo un ángulo de 60º, y la cuerda mide 14 m, calcula a qué altura está A.
16º) Halla el área de un pentágono regular de lado 5 cm.
17º) Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm. de radio
18º) Desde la orilla de un río vemos la punta más alta de un árbol, situado en la otra orilla, bajo un
ángulo de 45º. Si retrocedemos 20 m, vemos el árbol bajo un ángulo de 30º. Calcula la altura del
árbol.
19º) Desde un punto de la horizontal en el suelo, medimos el ángulo de elevación de la cumbre de
una montaña: 53º. Caminando 33 m hacia la montaña, el ángulo de elevación se incrementa en 11º.
Halla la altura de la montaña.
20º) ABC es un triángulo rectángulo en A. El segmento CD divide el
ángulo C en dos ángulos de 10º y 28º respectivamente. Si DB = 9m
halla la longitud de AC.
21º) Desde lo alto de un acantilado de 350 m de altura se observa un
barco con un ángulo de depresión de 12º (ángulo que forma la visual
desde el acantilado hasta el barco, con la horizontal). Transcurridos 5
min, el mismo barco se observa bajo un ángulo de 19º. Calcula la velocidad del barco.
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5. ÁNGULOS ORIENTADOS
A partir de ahora consideraremos los ángulos como giros, y no como regiones del plano limitadas por
dos semirrectas. Así, un ángulo puede dar lugar a cuatro ángulos distintos según el lado que se tome
como origen y el sentido del giro:
Para representar un ángulo orientado utilizaremos un sistema de
coordenadas cartesianas, haciendo coincidir el lado origen con el
semieje OX. La posición del lado extremo nos dirá a qué cuadrante
pertenece el ángulo. Por ejemplo, el ángulo de 150º pertenece al
segundo cuadrante.
Al considerar los ángulos como giros, tiene sentido hablar de ángulos
mayores de 360º.
Consideremos, por ejemplo, un ángulo 390º. Para girar 390º hemos de girar una vuelta completa
(360º) y 30º más. Por tanto, la posición final y la representación de un ángulo de 390º coincide con la
del ángulo de 30º, aunque el giro es otro diferente. Decimos que 30º es el resultado de reducir al
primer giro el ángulo de 390º.
En general, para reducir un ángulo al primer giro, dividiremos entre 360º para saber cuántas vueltas
completas contiene. El resto de la división nos da el ángulo equivalente del primer giro.
Ejercicios:
22º)Los ángulos positivos del primer cuadrante verifican la desigualdad 0º < α < 90º . ¿Qué
desigualdad verifican los ángulos positivos de los restantes cuadrantes?
23º)Indica a qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos:
a) 85º
e) 300º
b) -105º
f) -250º
c) 160º
g) 350º
d) 240º
h) -300º
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i) 385º
j) 1820º
k) -740º
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6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
En un sistema de ejes cartesianos se considera una circunferencia
con centro situado en el origen de coordenadas y de radio r.
Dibujamos el ángulo α, agudo, que corta a dicha circunferencia
en el punto P(x,y).
Sabemos que las razones trigonométricas del ángulo α son:
senα =
y
r
cos α =
,
x
r
,
tgα =
y
x
Pues bien, si α es un ángulo cualquiera, de forma similar
se definen las razones trigonométricas de α:
senα =
Con
y
r
,
cos α =
x
r
tgα =
,
y
x
esta definición las razones trigonométricas pueden tener tanto signo positivo como negativo:
1er C
2ºC
3erC
4ºC
seno
+
+
−
−
coseno
+
−
−
+
tangente
+
−
+
−
El valor de las razones trigonométrica de un ángulo no dependen del radio de la circunferencia. En
particular si tomamos una circunferencia de radio 1 (circunferencia goniométrica), el seno y el
coseno coinciden con la ordenada “y” y con la abscisa “x” del punto P, respectivamente. Esto nos
permite tener un segmento representativo de valor del seno y del coseno de un ángulo cualquiera, y
acotar su valor entre -1 y 1:
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Ejercicios:
24º) Utiliza la circunferencia goniométrica para obtener los valores del seno, coseno y tangente de los
ángulos que limitan los cuatro cuadrantes.
25º) Los puntos P(-2,3), Q(-5,-2) y R(3,-4) determinan los ángulos α, β y δ con el eje OX,
respectivamente. Calcula sus razones trigonométricas.
26º) Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrante si senα =
1
.
2
27º) Sin utilizar la calculadora, obtén las restantes razones trigonométricas de α en los siguientes
casos:
− 12
c. ctgα = − 4 , 4ºC
a. cos α =
, 2ºC
d. cos ecα = − 1,25 , 3erC
13
1 er
e. sec α = 2 , 4ºC
b. tgα =
,3 C
2
7.
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ALGUNOS ÁNGULOS
a) Ángulos complementarios:
π
rad. Así, si
2
α es un ángulo cualquiera, su complementario es 90º − α .
Dos ángulos son complementarios cuando suman 90º o
Como se observa en la figura
x' = y 
 , luego
y ' = x 
sen(90º − α ) = cos α
cos(90º − α ) = senα
b) Ángulos suplemetarios:
Dos ángulos son suplementarios cuando suman 180º o π
rad. Así, si α es un ángulo cualquiera, su suplementario es
180º − α .
Podemos observar que
sen(180º − α ) = senα
cos(180º − α ) = − cos α
c) Ángulos que difieren en 180º
En la figura siguiente aparecen dos ángulos de medida α y
180º + α :
Se observa en este caso que el seno y coseno de α y
180º + α son opuestos:
sen(180º + α ) = − senα
cos(180º + α ) = − cos α
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d) Ángulos opuestos
Podemos considerar opuesto de α tanto al ángulo 360º − α ,
como al ángulo −α.
De la figura se deduce que:
sen(360º − α ) = sen( − α ) = − senα
cos(360º − α ) = cos(− α ) = cos α
Ejercicios:
28º) Calcula, usando un ángulo del primer cuadrante, las razones trigonométricas de los ángulos
siguientes: 135º , 210º , 240º , 300º , 315º, -30º , -45º , 945º, -225º.
29º) Si tgα = 2 y 0<α<90º, halla las razones trigonométricas de 360º−α , 180º−α y 180º+α.
30º) Utilizando como único dato que sen73º=0’9563, obtén razonadamente las RT de 107º, 253º, -73º
y 2177º.
31º) Calcula todos los ángulos del primer giro que cumplan:
1
a. senx =
2
−1
b. cos x =
2
c. tgx = 1
d.
e.
f.
g.
sec x = 2
ctgx = − 3
senx = − 1
cos x = 0
32º) ¿Qué otro ángulo cumple la igualdad?
a. sen x =sen 48º
b. cos x = -cos 16º
c. tg x = tg 170º
d. sec x = sec 84º
e. ctg x = -ctg 307º
33º)Justifica las siguientes identidades:
1 + tgα
a) senα + cos α =
sec α
b) tgα + ctgα = sec α ⋅ cos ecα
c) sec 2 α + cos ec 2 α = sec 2 α ⋅ cos ec 2α
d) cos α ⋅ ctgα =
e)
ctgα
= 1 + ctg 2 α
cos α
1 + tg 2 α
g)
= tg 2 α
2
cos ec α
1
2
h) sen α =
1 + ctg 2 α
sec α − cos α
sec α
= tg 2 α ⋅
i)
cos ecα − senα
cos ecα
f)
1
− senα
senα
cos 3 α + cos α ⋅ sen 2 α
= ctgα
sen 3 α + cos 2 α ⋅ senα
34º) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
2
2
a) sen x − cos x =
b) 4 senx = cos ecx
c)
1
2
d)
e) tgx + ctgx = 2
f)
cos x − sen x = senx
2
3tg2x =1 + 2tgx
2
tg2x + cosec2x = 3
g) ctg 2 x − cos ecx = 1
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