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Prof. Carlos Iván Páez Rueda, M.Sc.
2010-3
TAREA No.4 - Transmisión Electromagnética
La presente tarea deberá ser entregada el lunes 06 de septiembre del 2010 al inicio de la clase.
1. Un filtro de tipo de cavidad resonente, es un filtro espacial que logra un alto Q a frecuencias de
microondas. Éste se construye usualmente encerrando un dieléctrico por medio de conductores
ideales de diferentes secciones transversales. Un ejemplo, es un resonador de sección transversal
rectangular de seis caras cuyo volumen es a · b · c en el sistema coordenado rectangular x −
y − z, cuyo primer vértice se encuentra en el origen y se despliega en el octante positivo del
sistema coordenado. Si este resonador se llena de un dieléctrico de permitividad relativa 3,5
y permeabilidad relativa de 1 y no tiene fuentes impresas, el fasor de la intensidad del campo
eléctrico es (1) y la frecuencia de resonancia es (2). Para este resonador responda:
Ẽ = 0, Ẽ0 sin
π
π
x sin
z ,0
a
c
1
wr = √
µ 0 µ r ε0 εr
s 2
π
a
+
V
m
(1)
2
π
(2)
c
1.1. Dibuje el resonador donde se detalle las dimensiones y localización en el sistema coordenado.
1.2. Determine el fasor de la intensidad del campo magnético dentro del resonador.
1.3. Determine el fasor de la corriente eléctrica en la superficie x = a/2, ∀y, z ∈ Resonador, el
fasor de la corriente en la superficie y = b/2, ∀x, z ∈ Resonador y el fasor de la corriente
en la superficie z = c/2, ∀x, y ∈ Resonador.
1.4. Dibuje en el contexto circuital dichas corrientes en el volumen en cada superficie.
1.5. Determine el fasor de la diferencia de potencial que existe entre el centro del resonador
x = a/2, y = b/2, z = c/2 y el plano x − y siguiendo la línea de separación más corta.
Realice el mismo cálculo para los planos x − z y y − z. ¿Qué concepto circuital para este
circuito puede confirmar o rechazar a partir del cálculo realizado?.
1.6. Determine el fasor de la carga almacenada en un volumen de sección rectangular de
dimensiones a4 · 4b · 4c en el sistema coordenado rectangular x − y − z, cuyo centroide está
localizado en el centro del resonador x = a/2, y = b/2, z = c/2.
1.7. Compruebe que en todas las interfaces en donde se encuentra el conductor ideal, el fasor
de la intensidad del campo eléctrico es normal y la intensidad del campo magnético es
tagencial. Dibújelo en el resonador.
1.8. Determine la cantidad de energía eléctrica y magnética almacenada en esta cavidad
resonante. Explique por qué estas energías mandatoriamente deben ser diferentes de
cero, a través de conceptos circuitales conocidos por usted.
1.9. Determine la densidad de la potencia compleja en cualquier punto dentro del resonador
y dibujela en dicha cavidad.
1.10. De una propuesta de dimensiones para este resonador, si se desea hacer un filtro a una
frecuencia de 10 GHz y se sabe que para mantener el modo de propagación b mı́n(a, c)
1.11. Determine las densidades de corriente supercial en la interface de las paredes conductoras.
Dibuje esas densidades de corriente en el resonador.
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1.12. Aunque en sentido contrario al concepto de corriente en una superficie, determine el fasor
de la corriente promedio espacial en cada interface. Para esto considere que la unidad de
esa corriente es A/m.
1.13. Determine las densidades de carga supercial en la interface de las paredes conductoras.
Dibuje esas densidades de carga en el resonador.
1.14. Aunque en sentido contrario al concepto de carga en un volumen, determine el fasor de
la carga promedio espacial en cada interface. Para esto considere que la unidad de esa
carga es C/m2 .
2. El dipolo magnético, es una antena de alambre eléctricamente pequeña en forma de loop (una
circunferencia) localizada en el plano x − y, centrada en el origen con radio a 1, conformada
por un alambre de espesor despreciable y en la cual cursa una corriente constate en el alambre
de valor I. Si en esta antena se encuentra que el fasor de la intensidad del campo eléctrico
es (3), donde β en una constante y m̌ se conoce como el momento del dipolo magnético
(m̌ = Iπa2 ). Responda:
wµ0 m̌β 2
1
1
0, 0, −j
sin (θ) j
+
e−jβr
4π
βr β 2 r2
Ẽ =
!
(3)
2.1. Dibuje la antena, donde se observe la corriente sobre el alambre.
2.2. Calcule el fasor de la intensidad del campo magnético.
2.3. Calcule el fasor de la corriente que pasa por el plano interior del loop (obviamente en el
plano x − y).
2.4. Si se está interesado en determinar el comportamiento de la radiación en campo cercano
de radiación (r 1, pero r > a), calcule el valor de los fasores de la intensidades de los
campos representativos.
2.5. Para campo cercano de radiación, calcule el vector de Pointyng y dibujelo por medio de
las líneas de flujo.
2.6. Para campo cercano de radiación, calcule la potencia compleja que viaja hacia el exterior
en una esfera de radio b (naturalemente b > a).
2.7. Para campo cercano de radiación, calcule la energía almacenada eléctrica y magnética
en una esfera de radio b (naturalemente b > a).
2.8. Para campo cercano de radiación, determine la cantidad de carga eléctrica y magnética
almacenada en una esfera de radio b (naturalemente b > a).
2.9. Si se está interesado en determinar el comportamiento de la radiación en campo lejano
(r 1), calcule el valor de los fasores de la intensidades de los campos representativos.
2.10. Para campo lejano, calcule el vector de Pointyng y dibujelo por medio de las líneas de
flujo.
2.11. Para campo lejano encuentre la potencia compleja que viaja hacia el exterior en una
esfera de radio b.
2.12. Para campo lejano, calcule la energía almacenada eléctrica y magnética en una esfera de
radio b.
2.13. Para campo lejano, determine la cantidad de carga eléctrica y magnética almacenada en
una esfera de radio b.
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2.14. Demuestre que en campo lejano se cumple que H̃ = η1 r̂ × Ẽ, donde η es una constante
que tiene unidades mandatoriamente de Ohmios.
2.15. Del comportamiento energético del campo cercano de radiación y del campo lejano,
concluya al respecto del comportamiento de radiación de esta antena.
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