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MECÁNICA aletos Física para Ciencias e Ingeniería CAMPO GRAVITATORIO - ENERGÍA 1 POTENCIAL GRAVITATORIA Contacto: [email protected] 1.16-01 - Se desea calcular la masa de la Tierra suponiendo que la Luna gira a su alrededor con un periodo de 27 días, a una distancia de 3,8 × 108 m. 1.16-02 - Supóngase que se perfora diametralmente la Tierra practicando un túnel cilíndrico de radio muy pequeño, y que en uno de sus extremos se abandona una partícula que puede deslizar sin rozamiento a lo largo del túnel. Supóngase asimismo que la masa extraida en la perforación del túnel es despreciable. a) ¿Qué clase de movimiento efectúa la partícula? b) ¿Cuanto pesará la partícula cuando se encuentre a mitad de camino hacia el centro de la Tierra? c) ¿Cuál será su velocidad al pasar por el centro de la Tierra? d) ¿Cuanto tiempo tardará en llegar al extremo opuesto del túnel? 1.16-03 - Una distribución esférica uniforme de estrellas de radio R0, tiene una masa total M. Cierta estrella de masa me situada a una distancia r < R0 del centro de la distribución, se mueve bajo la acción de una fuerza central, cuyo módulo depende de la distancia al centro, describiendo una órbita circular de radio r. a) ¿Cuál es el campo gravitatorio a la distancia r del centro de la distribución? b) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre la estrella? c) ¿Cuál es su velocidad en la órbita circular? d) ¿Cuál es su periodo? e) ¿Cuál es su energía potencial gravitatoria? 1.16-04 - Un planeta de radio R contiene una veta de oro, en forma de una bolsa esférica de radio R/4 que está centrada en un punto del eje OY a una distància R/2 del centro del planeta, como muestra la figura adjunta. a) Suponiendo que la densitad del oro es siete veces mayor que la densitad, ρ , del resto del planeta, calcúlese el potencial gravitatorio en un punto de la superfície del planeta de coordenadas (0, R/2, 0) utilizando coordenades esféricas de la forma r = R(sinθ cos ϕ , sinθ sinϕ ,cos θ ). AYUDA: Exprésese la massa de la veta de oro, M' , en función de la massa, M , que tendría el planeta si fuese una esfera homogénea de radio R y densidad ρ, y considérense por separado las tres contribuciones correspondientes a las distribuciones esféricas de masa M, M', y la cavidad esférica vacía donde se encuentra la veta de oro. Z O’ O R P Y R/4 R/2 X b) Obténgase la expresión general de la velocidad de escape del planeta en función de las coordenadas esféricas del punto de la superfície considerada. c) Dibújese la velocidad de escape en función del ángulo polar, ϕ, para el ecuador del planeta, (θ = 90º), y el paralelo 30º N (θ = 60º). 1.16-05 - ¿Cuál es la aceleración de la gravedad a una altura h = 265 km con respecto a la superficie de la tierra? 1.16-06 - Calcúlese la fuerza de atracción gravitatoria que la Luna ejerce sobre una persona de 50 kg que se encuentra en la Tierra.
