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Diseño y Simulación de una Máquina Eléctrica Lineal de Reluctancia Conmutada con un Programa Informático TITULACIÓN: Ingeniería Técnica Industrial en Electricidad. AUTOR: David Gil Albalat. DIRECTORES: Jordi García Amorós, Lluís Massagués Vidal Mayo de 2012. 1 ÍNDICE GENÉRICO ÍNDICE GENÉRICO Título: Diseño y Simulación de una Máquina Eléctrica Lineal de Reluctancia Conmutada con un Programa Informático. Índice. Resumen. Objetivos. Capítulo I: El Motor de Reluctancia Conmutada. Aspectos Generales. Capítulo II: El Motor Lineal de Reluctancia Conmutada. Capítulo III: Método de los Elementos Finitos. Capítulo IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos. Capítulo V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4. Referencias. 2 ÍNDICE DE CAPÍTULOS ÍNDICE DE CAPÍTULOS EL MOTOR DE RELUCTANCIA CONMUTADA: ASPECTOS GENERALES ....... 7 I.1 El Motor de Reluctancia Conmutada en el Marco de los Accionamientos Eléctricos .............. 8 I.1.1 Accionamientos Eléctricos.................................................................................................... 8 I.1.2 Accionamientos de Velocidad Variable................................................................................. 9 I.1.3 Nuevos Accionamientos con Conmutación Electrónica ......................................................... 9 I.1.4 Comparación entre diversos Accionamientos Eléctricos ........................................................ 9 I.2 Evolución Histórica ................................................................................................................. 11 I.3 Constitución ............................................................................................................................. 11 I.4 Principio de Funcionamiento .................................................................................................. 13 I.5 Relaciones Energéticas ............................................................................................................ 15 EL MOTOR LINEAL DE RELUCTANCIA CONMUTADA .......................................21 II.1 Accionamientos Eléctricos Lineales ....................................................................................... 22 II.1.1 Antecedentes y Evolución ................................................................................................. 22 II.1.2 Aplicaciones ..................................................................................................................... 22 II.2 LSRM a partir del SRM ........................................................................................................ 23 II.3 Constitución del Motor Lineal de Reluctancia Conmutada .................................................. 25 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ..................................................................28 III.1 Introducción al Método de los Elementos Finitos ................................................................ 29 III.1.1 Aspectos Generales: Aplicaciones .................................................................................... 29 III.1.2 Definición del FEM ......................................................................................................... 30 III.1.3 Funcionamiento de un Programa de Elementos Finitos ..................................................... 30 III.1.4 Fuentes de Error .............................................................................................................. 31 III.1.5 El FEM Aplicado al Electromagnetismo. .......................................................................... 31 III.2 Finite Elements Method Magnetics 2D ................................................................................ 32 III.2.1 Introducción al Software FEMM ...................................................................................... 32 III.2.2 Pre-procesador de Problemas Magnéticos ......................................................................... 33 III.2.2.1 Definición del Objeto Modelo del Estudio ................................................................ 33 III.2.2.2 Definición de Propiedades ....................................................................................... 33 III.2.3 Análisis del Modelo ......................................................................................................... 35 III.2.4 Post-procesador de Problemas Magnéticos ....................................................................... 36 III.2.4.1 Modos Post-procesador ............................................................................................ 36 III.2.4.2 Visualización de las Líneas de Flujo ......................................................................... 36 III.2.4.3 Visualización de la Densidad de Flujo....................................................................... 36 III.2.4.4 Visualización de la Dirección y Magnitud del Campo Magnético .............................. 36 III.2.4.5 Gráficos de Contornos Definidos .............................................................................. 36 III.2.4.6 Integración de Contornos Definidos .......................................................................... 37 III.2.4.7 Integración de Bloques Definidos ............................................................................. 37 III.3 Software Flux 10.4 3D .......................................................................................................... 39 3 ÍNDICE DE CAPÍTULOS III.3.1 Introducción al Software FLUX 10.4................................................................................ 39 III.3.2 Pre-Procesador................................................................................................................ 39 III.3.2.1 Geometría ................................................................................................................ 39 III.3.2.1.1 Simetrías ........................................................................................................... 40 III.3.2.1.2 Elementos de la Geometría ................................................................................ 40 III.3.2.1.3 Contorno Exterior del Problema ........................................................................ 40 III.3.2.2 Mallado del Problema ............................................................................................... 41 III.3.2.2.1 Elementos y Calidad de Malla ........................................................................... 41 III.3.2.2.2 Reglas Generales de Mallado ............................................................................ 41 III.3.2.2.3 Generadores de Malla....................................................................................... 42 III.3.2.3 Parámetros Físicos.................................................................................................... 42 III.3.2.3.1 Aspectos Físicos de las Simetrías ...................................................................... 43 III.3.2.3.2 Materiales ........................................................................................................ 43 III.3.2.3.2.1 Definición del Comportamiento Magnético. .............................................................. 43 III.3.2.3.2.2 Magnetismo Remanente Escaso en Materiales Isotrópicos i Anisotrópicos ................. 44 III.3.2.3.2.2.1 Aproximación Lineal ........................................................................................ 44 III.3.2.3.2.2.2 Aproximación Analítica................................................................................... 45 III.3.2.3.2.2.3 Aproximación Analítica y Coeficiente de Ajuste. ............................................. 46 III.3.2.3.2.2.4 Curva B/H real. ................................................................................................ 46 III.3.2.3.2.3 Magnetismo remanente alto. ................................................................................ 47 III.3.2.3.2.3.1 Aproximación lineal de un imán (unidireccional) .............................................. 48 III.3.2.3.2.3.2 Aproximación lineal de un imán (vectorial) ...................................................... 48 III.3.2.3.2.3.3 Curva de Desmagnetización (Hc, Br) ................................................................ 49 III.3.2.3.2.3.4 Curva de Desmagnetización (Hc, Br) + Coeficiente de Ajuste. ........................... 50 III.3.2.3.2.3.4 Curva de Desmagnetización (B, H) Real. ......................................................... 50 III.3.2.3.3 Bobinas ............................................................................................................ 51 III.3.2.3.4. Definición del intervalo de cálculos .................................................................. 51 III.3.3 Procesador ...................................................................................................................... 51 III.3.4 Post- Procesador .............................................................................................................. 51 ESTUDIO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTROIMÁN POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ......................................................................................53 IV.1 Descripción del electroimán a estudiar. ............................................................................... 54 IV.2 Análisis con FEMM 2D 4.2. ................................................................................................ 55 IV.3 Análisis con el FLUX 3D 10.4. .............................................................................................. 64 IV.4 Comparación de los Resultados Obtenidos con FEMM 2D y FLUX 3D. ........................... 72 IV.4.1 Flujo Magnético Concatenado en la Bobina...................................................................... 72 IV.4.2 Inductancia en la Bobina. ................................................................................................. 74 IV.4.3 Fuerza de Atracción Magnética. ....................................................................................... 75 IV.4.4 Energía ............................................................................................................................ 76 IV.4.5 Dimensiones de Malla y Tiempos de Cálculo. .................................................................. 79 ESTUDIO ELECTROMAGNÉTICO DE UN LSRM CON FLUX 3D 10.4 ................83 V.1 Dimensiones y Parámetros Principales del LSRM 4-2 8/6 .................................................... 84 V.2 Construcción del LSRM con FLUX 3D. ................................................................................ 85 V.2.1 Aplicación Magneto-estática ............................................................................................ 85 V.2.2 Simetrías .......................................................................................................................... 85 V.2.3 Ejes de Coordenadas ......................................................................................................... 85 V.2.4 Geometría ......................................................................................................................... 86 V.2.5 Contorno Exterior ............................................................................................................. 88 V.2.6 Midas de Malla ................................................................................................................. 89 4 ÍNDICE DE CAPÍTULOS V.2.7 Asignación de Regiones y Materiales ................................................................................ 90 V.2.8 Asignación de Partes Móviles, Fijas y Compresibles.......................................................... 91 V.2.9 Bobinas ............................................................................................................................ 92 V.2.10 Corriente en las Bobinas ................................................................................................. 94 V.2.11 Automatización del Movimiento ..................................................................................... 94 V.2.12 Sensores ......................................................................................................................... 95 V.2.13 Resolución del Problema. ................................................................................................ 95 V.2.14 Resultados ...................................................................................................................... 96 V.3 Análisis de Resultados ............................................................................................................ 96 V.3.1 Fuerzas ............................................................................................................................. 96 V.3.2 Flujo Magnético Concatenado en la Bobina ..................................................................... 101 V.3.3 Energía del Campo Magnético en el Estátor .................................................................... 104 V.3.3 Energía del Campo Magnético en el Rotor....................................................................... 105 V.3.4 Energía del Campo Magnético en el Estátor, Rotor y Aire ............................................... 107 V.3.5 Inducción Magnética....................................................................................................... 108 5 RESUMEN Y OBJETIVOS RESUMEN En el presente proyecto se ha realizado una introducción a los principios generales de funcionamiento de los motores rotativos eléctricos de reluctancia conmutada. A partir de estos principios se describe la síntesis de transformación de un motor rotativo en lineal. A continuación se introduce brevemente el método de los elementos finitos y las características de funcionamiento de los programas FEMM 4.2 2D y Flux 10.4 3D. Seguidamente se realiza un estudio electromagnético de un electroimán con los dos programas mencionados y se comparan los resultados gráficamente. Para finalizar se simula un motor lineal de reluctancia conmutada con Flux 10.4 3D, del que se disponen de estudios anteriores los datos obtenidos en ensayos con el prototipo real. OBJETIVOS El objetivo principal del proyecto es la comparación entre estudios electromagnéticos realizados por el método de los elementos finitos con distintos programas informáticos, así como la simulación y comparación de resultados para un motor lineal de reluctancia conmutada. 6 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales CAPÍTULO I EL MOTOR DE RELUCTANCIA CONMUTADA: ASPECTOS GENERALES I.1 El motor de reluctancia conmutada en el marco de los accionamientos eléctricos. I.2 Evolución histórica. I.3 Constitución. I.4 Principio de funcionamiento. I.5 Relaciones energéticas. 7 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales I.1 El Motor de Reluctancia Conmutada en el Marco de los Accionamientos Eléctricos I.1.1 Accionamientos Eléctricos Los accionamientos eléctricos son el resultado de la aplicación de los principios básicos del electromagnetismo, que se empezaron a desarrollar en el siglo XIX con los experimentos de Oersted, Faraday, Henry, Lenz, Barlow y la sintetización que hizo Maxwell en 1873. Dentro de los trabajos que realizaron los científicos anteriores, se puede considerar como punto de partida para el estudio de las máquinas eléctricas el principio de inducción electromagnética, descubierto por Faraday en 1831. La ley de inducción de Faraday fue el punto de partida para que muchos científicos e ingenieros buscaran una máquina eléctrica que generase electricidad de un modo diferente al que se conocía en aquellos tiempos, como era la pila de Volta [1]. A principios del siglo XX, los accionamientos eléctricos revolucionaron la industria ya que proporcionaron una fuerza motriz descentralizada para cada máquina y también para cada eje. En el transcurso del siglo evolucionaron hacia relaciones potencia/peso más elevadas, mejor fiabilidad y menor coste. Hasta la década de los setenta, las máquinas eléctricas tenían muy definido su ámbito de aplicación en la industria. Así el motor de inducción de jaula de ardilla era el motor por excelencia; el motor síncrono, aparte de su exclusividad en la generación, quedaba reducido a las aplicaciones de gran potencia; y el motor de corriente continua monopolizaba los accionamientos de velocidad variable. En las aplicaciones que requerían pequeñas potencias se utilizaban motores de inducción monofásicos y motores universales. A partir de los años setenta la modernización y automatización de los procesos industriales, la aparición de nuevos sectores como la informática y la robótica y una mayor sensibilidad por el medio ambiente, provocaron que los accionamientos eléctricos evolucionaran en los siguientes aspectos [2]: Mejora de las prestaciones y del rendimiento en las máquinas eléctricas convencionales. Desarrollo de nuevos tipos de máquinas mejor adaptadas a las necesidades de los procesos que han de impulsar. Desarrollo de accionamientos de velocidad variable en corriente alterna. Ampliación de la utilización de la velocidad variable a sectores en que no fuese necesaria para el proceso, su utilización permitió conseguir importantes ahorros energéticos. Reducción del impacto ambiental. Esta evolución se debió principalmente al desarrollo en paralelo de los interruptores de estado sólido, de las técnicas de control y de los imanes permanentes. 8 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales I.1.2 Accionamientos de Velocidad Variable Aproximadamente el 80%de los accionamientos que impulsan los motores eléctricos son a velocidad constante. No obstante, hay aplicaciones industriales donde la velocidad variable es imprescindible para regular el proceso como pueden ser la industria textil, papelera o el automóvil eléctrico. El mercado europeo de los accionamientos mecánicos y eléctricos de velocidad variable de los últimos años indica una fuerte disminución de los accionamientos eléctricos de corriente continua, mientras que se aprecia un fuerte ascenso de los accionamientos de corriente alterna y un moderado incremento de los accionamientos hidráulicos. La disminución del uso de los accionamientos eléctricos de corriente continua se debe a las limitaciones de tipo dimensional (potencia, velocidad, tensión de delgas) y de tipo funcional (incompatibilidad con exigencias de seguridad en atmósferas explosivas) o de fiabilidad (atmósferas corrosivas) que ofrece el uso del colector de delgas y escobillas en estos motores. Aunque se continúa trabajando en la línea de mejorar las prestaciones y reducir costes, en los últimos años los accionamientos de corriente alterna, especialmente los síncronos han alcanzado un elevado grado de madurez y es posible obtener prestaciones equiparables a los accionamientos de corriente continua sin sus incompatibilidades funcionales [2]. I.1.3 Nuevos Accionamientos con Conmutación Electrónica En la actualidad se está trabajando en el desarrollo de nuevos accionamientos eléctricos con conmutación electrónica que presentan ventajas ante el motor asíncrono convencional. Estos accionamientos son: Motor de corriente continua sin escobillas. Motor síncrono con imanes permanentes. Motor de reluctancia síncrono y autoconmutado. En el ámbito industrial estos nuevos accionamientos se abren camino en aplicaciones muy específicas, pero por el momento no son competidores de los motores de inducción. Actualmente, se avistan nuevos campos de utilización, entre los cuales destacan el sector del electrodoméstico, aire acondicionado y climatización, sector auxiliar del automóvil, aplicaciones un ambientes hostiles y peligrosos [2]. I.1.4 Comparación entre diversos Accionamientos Eléctricos La elección de un accionamiento para una aplicación concreta depende, además de los requisitos específicos de la propia aplicación, de la potencia, del margen de velocidades, de las condiciones ambientales, de la capacidad térmica y del coste. En la actualidad, para una aplicación existe más de una opción satisfactoria. Efectuando una clasificación de los accionamientos eléctricos según su potencia, se distinguen tres grupos. Pequeña potencia (P < 1 kW). Mediana potencia (1 kW ≤ P < 1MW). 9 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales Gran potencia (P > 1MW) El motor de reluctancia conmutada se utiliza para aplicaciones de pequeña y mediana potencia. En la tabla I.1 se pueden observar de forma concreta y reducida algunas de las ventajas e inconvenientes de diferentes accionamientos eléctricos que son competidores directos de los de reluctancia en muchas aplicaciones. ACCIONAMIENTO VENTAJAS INCONVENIENTES Motor de corriente continua -Dependencia directa entre -Colector de delgas y la velocidad y la tensión, y escobillas. entre par y corriente. -Relación potencia/peso -Convertidores simples baja. Motor de inducción -Robusto y sencillo -Económico -Control de flujo y de par desde el estator. Buena relación potencia/peso Motor de corriente continua sin escobillas -Sencillo -Par pulsante Motor síncrono con imanes permanentes -Excelente calidad del par y relación potencia/peso. -Económico -Coste elevado. -Bajo momento de inercia. -Gran capacidad de sobrecarga. Motor paso a paso -Económico. -Convertidor simple. -Respuesta dinámica deficiente. -Bajo rendimiento. -Pérdida de pasos con controles simples. Motor de reluctancia autoconmutado -Robusto y sencillo. -Par pulsante. -Económico. -Ruidoso. -Convertidores resistentes a fallos. Tabla I.1 Comparación entre diferentes accionamientos eléctricos [2] 10 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales I.2 Evolución Histórica El primer motor de reluctancia rotativo documentado fue diseñado por Robert Davidson en 1838, para impulsar una locomotora en la línea férrea que unía Glasgow y Edimburgo. Posteriormente, en 1851 Charles Grafton Page construyó otro motor de reluctancia para aplicaciones de tracción sin demasiado éxito. Las limitadas prestaciones obtenidas del motor de reluctancia debido a la conmutación manual de las bobinas junto con el rápido desarrolla de los motores de corriente continua en la segunda mitad del siglo XIX impidieron su desarrollo. La denominación de Switched Reluctance Motor (SRM) fue utilizada por primera vez por S.A. Nasar en 1969 y las primeras patentes sobre motores de reluctancia autoconmutados fueron registrados por Bedford & Hoft, en 1971 y 1972. Es a finales de la década de 1970 cuando se inicia la realización de trabajos de investigación sobre vehículos eléctricos alimentados desde baterías, empezando a utilizar para la conversión de la energía, motores de reluctancia autoconmutados. Este renacimiento del motor de reluctancia autoconmutado se debe a la utilización de los interruptores de estado sólido, en un principio se utilizaron tiristores y posteriormente PowerMosfets e IGBTs. Estos dispositivos solucionaron el problema de la conmutación de fases. Otros factores importantes que aportaron mayores posibilidades al SRM fueron las mejoras de los materiales ferromagnéticos y el desarrollo de la electrónica de regulación y control. Desde entonces se ha ido despertando gran interés en la comunidad universitaria concretándose en un gran número de comunicaciones en congresos y revistas especializadas, creando unas buenas expectativas en el mundo industrial [3]. I.3 Constitución En este apartado se desarrollan los principios fundamentales del motor de reluctancia autoconmutado rotativo (SRM) a partir de la estructura magnética elemental de reluctancia, analizándose las relaciones energéticas y de producción del par. Una vez obtenidas estas relaciones, se aplicará el resultado a la obtención del LSRM. El motor de reluctancia autoconmutado es un accionamiento de corriente continua sin escobillas ni imanes permanentes. Por lo general, dispone de una estructura magnética reluctante de polos salientes en el estator y en el rotor. En los polos del estator se colocan las bobinas concentradas, que conectadas a pares diametralmente opuestos forman las fases del motor. En cada fase la conmutación de la corriente se efectúa a través de un convertidor estático. La secuencia de conmutación de los interruptores estáticos viene controlada por la posición del rotor mediante sensores de posición ópticos o magnéticos. Por lo tanto, podemos hablar de tres bloques constitutivos diferenciados: La estructura magnética reluctante. El convertidor estático. El dispositivo de control formado por los sensores de posición y la secuencia de conmutación de fases. 11 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales Figura I.1 Estructura general del SRM [2]. La topología de la estructura magnética viene condicionada por el número de fases (m). Para un determinado número de fases el número de polos del primario (Np) siempre será un múltiplo del número de fases, expresándose por [3]: Donde K expresa el orden de multiplicidad de la estructura polar. Se define la multiplicidad de K como el número de pares de polos por fase, así para la figura I.2 (c) se tiene un par de polos por fase (K=1) resultando Np = 8 polos. Figura I.2 Estructuras electromagnéticas de SRMs [2]. El número de polos del secundario (Ns) ha de asegurar el arranque del SRM en cualquier posición y dirección [3], debiendo cumplir: Una forma de asegurar que se cumpla (I.2) es haciendo que el número de polos del secundario sea : La estructura magnética reluctante queda definida por el número de fases (m) y la multiplicidad (K) dando la relación Np/Ns que caracteriza los SRM. Existen diferentes estructuras de convertidores estáticos para los SRM, sin entrar en detalle, uno de los más usados es el convertidor de topología Clásica. Éste consta de dos 12 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales interruptores de estado sólido por fase (fase A: S1-S1’) resultando un total de 8 interruptores de estado sólido para las cuatro fases. Figura I.3 Convertidor estático de topología Clásica para cuatro fases A, B, C, D [3] La detección de la posición del rotor se puede efectuar mediante optointerruptores asociados a un disco ranurado acoplado al eje del motor. Las disposiciones de los optointerruptores, así como el número y características de las ranuras del disco dependerán de las condiciones de funcionamiento y de la estructura electromagnética elegida. A partir de las señales de estos optointerruptores se puede obtener la velocidad del motor. I.4 Principio de Funcionamiento El principio de funcionamiento del SRM se obtiene a partir de la transición hacia posiciones de mínima reluctancia magnética. Conocida la posición angular del rotor a partir de los sensores de posición, se deduce mediante la lógica de control, la fase que se tiene que activar. Partiendo de la posición mostrada en la figura I.4 (a) se alimenta la fase B hasta que el rotor haya girado y se hayan alineado los polos (mínima reluctancia), instante en que se activa la fase C, figura I.4 (b). Se repite el proceso descrito representado en la figura I.4 c-d-e-f. Se observa como el movimiento del rotor es inverso al sentido horario, mientras que la secuencia de activación de fases es en sentido horario. Figura I.4 Descripción del funcionamiento del SRM [3] 13 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales Tomando como referencia la posición mostrada en la figura I.4 (a) ( =0º), la fase A está totalmente alineada por lo que la inductancia es máxima (La) mientras que la fase C está completamente desalineada, siendo la inductancia mínima (Lu). El ángulo (Ɛ) definido como ángulo entre dos posiciones de equilibrio consecutivas llamado paso o “stroke”, se muestra en la figura I.4 (a-b), obteniéndose a partir de [3]: La evolución angular teórica de las inductancias de fase se muestra en la figura I.5. La forma es la misma para todas las fases, pero avanzando un ángulo (Ɛ) cada fase respecto la anterior [3]. Además de la evolución de las inductancias, en la figura I.5 se muestran los intervalos de activación de cada fase, que como se puede observar coinciden con la pendiente positiva de la inductancia para el funcionamiento del motor. Figura I.5 Evolución teórica de las inductancias de fase y secuencia de conmutación [3]. 14 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales I.5 Relaciones Energéticas La producción del par en el SRM se puede explicar a partir de la estructura electromagnética reluctante básica mostrada en la figura I.6. La parte fija del circuito magnético consta de una bobina de N espiras alimentada por una fuente de energía eléctrica. El rotor puede girar libremente y está conectado a un sistema mecánico. Planteando el balance energético de la estructura electromagnética reluctante para un instante de tiempo infinitesimal y considerando que las pérdidas forman parte de la fuente de energía eléctrica y del sistema mecánico, se tiene [3]: Figura I.6 Estructura magnética reluctante elemental [2]. La energía eléctrica suministrada por la fuente de energía (dW elec), se transforma una parte en energía mecánica (dW mec) y otra parte queda almacenada en el campo magnético (dW mag) [3]. La energía mecánica para la estructura de la figura I.6 es [3]: A partir de las ecuaciones (I.6), (I.7), (I.8) se obtiene la variación de la energía magnética [3]: Dado que el sistema electromagnético es un sistema conservativo, la variación de la energía entre dos posiciones no depende del camino seguido sino sólo del estado inicial y final. La energía magnética (W mag) es una variable de estado que depende de la posición ( ) y del flujo concatenado ( ), siendo [3]. 15 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales Diferenciando la ecuación 1.5, se tiene: Identificando los términos de (I.9) y (I.11) se tiene: Expresando la ecuación I.13 en forma integral se tiene: La representación de la ecuación I.13 se muestra en la figura I.7. Como se observa la energía magnética almacenada es el área comprendida entre la curva de magnetización para una posición determinada ( = cte.) y el eje de ordenadas ( ). Figura I.7 Energía almacenada en el campo magnético (W mag.) [2]. 16 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales Se define la co-energía como el área complementaria al área del rectángulo representada en la figura I.8 y obtenida como [3]: ·i, Figura I.8 Representación de la co-energía del campo magnético (W’ mag) [2]. Derivando la ecuación I.14 se tiene: Sustituyendo la ecuación I.9 en la ecuación I.15: De la misma forma que la energía, la co-energía es una variable de estado que solo depende, en este caso de la posición ( ) y la corriente (i), siendo su expresión diferencial: Igualando las ecuaciones I.16 y I.17 se tiene. La superposición de la estructura magnética elemental crea la figura I.9(a). A partir de esta figura, por simplificación se obtiene la topología clásica del SRM de tres fases, mostrado en la figura I.9 (b), siendo de aplicación todas las expresiones deducidas para la estructura magnética elemental. 17 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales Figura I.10 (a) Superposición de estructuras magnéticas. (b) Topología magnética simplificada [2]. El par electromagnético desarrollado por una fase del SRM (Tf) se obtiene a partir de la ecuación I.18, mediante [3]: Expresando la ecuación I.19 de forma integral se obtiene la co-energía de la fase para una determinada posición. Las curvas de /i de la figura I.11 corresponden a las posiciones comprendidas entre el alineamiento ( =0º) y el no alineamiento ( =2·Ɛ), donde Ɛ es el ángulo entre posiciones de alineamiento. Definimos W’c como la energía electromagnética disponible para ser convertida en energía mecánica por fase. El número de transiciones por revolución es m·Ns, por lo que el par medio por revolución es: 18 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales Figura I.11 Energía electromagnética disponible por el SRM entre 1 y 2 [3]. Como sólo existe una fase excitada y el flujo magnético está concatenado a la espira de la fase excitada, se considera despreciable el acoplamiento magnético, por lo que el par electromagnético se obtiene como superposición de los pares electromagnéticos de cada fase [3]. En el caso que no haya saturación, la energía magnética y la co-energía son iguales, y la inducción solo depende de la posición (figura I.12) [3]. De la ecuación I.24 y I.21 se obtiene la co-energía para el caso lineal [3]: Figura I.12 Curvas de magnetización para el caso lineal [3]. Sustituyendo la ecuación I.27 en la ecuación I.20 se obtiene el par para el caso lineal: 19 CAPÍTULO I: El Motor de Reluctancia Conmutada: Aspectos Generales La inductancia se puede expresar en función de la permeancia (Ʌ) y de la reluctancia (ℜ) del circuito magnético, ℜ La ecuación I.29 demuestra lo descrito en la figura I.4, ya que al alimentar una fase, el sistema inicialmente en reposo experimenta un par motor, o lo que es lo mismo, se produce un movimiento de alineación para alcanzar la máxima permeancia (mínima reluctancia). 20 CAPÍTULO II: El Motor Lineal de Reluctancia Conmutada CAPÍTULO II: EL MOTOR LINEAL DE RELUCTANCIA CONMUTADA II.1 Accionamientos eléctricos lineales II.2 LSRM a partir del SRM II.3 Constitución del motor lineal de reluctancia 21 CAPÍTULO II: El Motor Lineal de Reluctancia Conmutada II.1 Accionamientos Eléctricos Lineales II.1.1 Antecedentes y Evolución Los accionamientos eléctricos puramente lineales (AEL) se pueden definir como los que convierten la energía eléctrica en energía mecánica de movimiento lineal sin ningún tipo de sistema mecánico auxiliar [3]. El primer motor lineal del que se tiene constancia es de reluctancia y fue construido por Charles Wheatstone en 1845. No fue hasta la década de 1970, igual como ocurrió con los SRM, cuando los avances en los campos del control y la regulación, la mejora de los interruptores de estado sólido y los materiales ferromagnéticos permitieron mejorar las posibilidades que ofrecían dichos accionamientos hasta el momento. En la actualidad hay una extensa gama de diferentes tipos de AEL. Los motores lineales se pueden clasificar según su principio de funcionamiento en, motores de corriente continua, asíncronos, síncronos, de reluctancia autoconmutado y el motor lineal paso a paso. Estos motores tienen su origen en los motores rotativos respectivos. A partir de los principios de los motores rotativos se obtienen motores lineales de topología plana o tubular. A su vez, también pueden clasificarse según sean las superficies que contienen las líneas de flujo, paralelas o perpendiculares a la dirección del movimiento, denominándose respectivamente de flujo longitudinal o de flujo transversal [3] II.1.2 Aplicaciones Actualmente existen diversos campos de aplicación de los accionamientos eléctricos lineales, pero los más relevantes son la tracción eléctrica para ferrocarriles y los pistones para maquinaria industrial (servomecanismos de posicionamiento en máquinas en cadenas de montaje). Hoy en día, los avances más significativos y relevantes se encuentran en el transporte ferroviario. Mientras que sistemas convencionales (rueda-rail) de alta velocidad pueden alcanzar los 350 Km/h, los accionamientos eléctricos de levitación magnética (MagLeb) alcanzan velocidades de 500 Km/h. Existen infraestructuras de transporte terrestre basadas en la tecnología MagLeb en funcionamiento y en proyecto en varios países (China, UK, USA). El sistema MagLeb es un motor lineal síncrono, en el que el primario (raíl) se alimenta por secciones mediante corriente alterna. El secundario lo forma el vehículo y está formado por electroimanes alimentados mediante baterías, de forma que no existe ningún contacto entre primario y secundario. Los electroimanes de la parte móvil son para hacerlo levitar y posicionar lateralmente el vehículo en el raíl. El vehículo no produce fricción mecánica, excepto la aerodinámica, de forma que permite muy altas velocidades [3]. Otras aplicaciones en las que se han desarrollado los motores lineales en sus diferentes variedades son los servomecanismos, entre los que se encuentran los accionamientos eléctricos lineales síncronos, asíncronos, de reluctancia, paso a paso e incluso de corriente continua sin escobillas. 22 CAPÍTULO II: El Motor Lineal de Reluctancia Conmutada Los AEL están sustituyendo en muchas ocasiones los pistones neumáticos de las cadenas productivas, lo cual hace prescindir de las instalaciones de aire comprimido y otros fluidos a presión. Este cambio hace las instalaciones más limpias y en consecuencia más seguras. El caso que ocupa el presente proyecto, los motores lineales de reluctancia conmutada, son los accionamientos menos desarrollados. Existen motores de este tipo para la alineación de cabezales en sistemas de impresión. En la figura II.1 se muestran AEL de a) topología plana y b) tubular. Figura II.1 Motores lineales de topología plana y tubular [5] II.2 LSRM a partir del SRM El LSRM se obtiene a partir de la transformación topológica del SRM. Generalmente la idea reside en el desarrollo lineal de las partes rotativas cortadas por una o dos secciones. Por ejemplo, cortando el SRM 4-8/6 por donde se indica en la figura II.2.a, se obtiene el LSRM de simple cara mostrado en la figura II.2.b. Figura II.2 LSRM de simple cara a partir del SRM 4-8/6, K=1[3]. Por otra parte, cortando del SRM 4-16/12 de multiplicidad K=2 por donde indica la figura II.3.a, se obtiene un motor lineal de reluctancia conmutada de dos caras, la suma total de los polos del estator de ambas caras son los polos totales del estator de SRM. 23 CAPÍTULO II: El Motor Lineal de Reluctancia Conmutada Figura II.3 LSRM de doble cara a partir del SRM 4-16/12 k=2 [3]. Se puede aplicar la misma transformación a ordenes crecientes de multiplicidad, siendo de especial interés los ordenes pares (k=2, k=4,…). En el caso de órdenes de multiplicidad impares se pierde la simetría en uno de los polos. Figura II.4 LSRM obtenido a partir del SRM 4-24/18 k=3[3]. Utilizando órdenes de multiplicidad pares la estructura del estátor se puede descomponer en secciones independientes. La figura II.5 muestra un LSRM obtenido a partir de un SRM 4-48/36 k=6, donde en número de polos del secundario vendrá condicionado según el recorrido que tenga que realizar. Figura II.5 LSRM 4-2-8/6-3[3]. La forma de designar las diferentes configuraciones de los LSRM se realizan siguiendo un patrón (m-k-Np/Ns-M) donde m es el número de fases, k el número de caras (k=1 simple cara, k=2 doble cara), Np número de polos por sección y cara del primario, Ns número de polos por sección y cara del secundario, M es el número de secciones. Los ejemplos de LSRM anteriormente mostrados tienen las siguientes configuraciones. 24 CAPÍTULO II: El Motor Lineal de Reluctancia Conmutada SRM LSRM Figura II.2 4-8/6 4-1-8/6-1 Figura II.3 4-16/12 4-2-8/6-1 Figura II.5 4-48/36 4-2-8/6-3 Tabla II.1 Equivalencias entre SRM y LSRM [3] II.3 Constitución del Motor Lineal de Reluctancia Conmutada A la hora de construir un LSRM se debe asegurar el arranque de dicho motor para cualquier posición y dirección del secundario. Para ello es necesario cumplir que el mínimo común múltiplo de Np y Ns sea el producto del número de fases (m) por el número de polos del secundario por sección y cara (Ns), expresándose mediante [3]: Para que se cumpla la ecuación II.1 el número de polos del secundario (Ns) se escoge en función del número de fases (m) según: Mientras que el número de polos del primario por sección y cara (Np), cumple: Figura II.6 Dimensiones geométricas fundamentales de la estructura electromagnética. Los pasos polares del primario Tp y del secundario Ts pueden expresarse a partir de las cotas representadas en la figura II.6 como: 25 CAPÍTULO II: El Motor Lineal de Reluctancia Conmutada Donde bp es la anchura del polo primario y cp la anchura del primario, bs es la anchura el polo secundario y Cs la anchura de la ranura. La longitud L se obtiene a partir del desarrollo del SRM 4-8/6, resultando la igualdad: La longitud de una sección estatórica (Lp) es: El paso (PS) es la distancia entre posiciones de equilibrio del secundario al excitar dos fases consecutivas, calculándose: Las condiciones que deben cumplir el polo primario (bp) y secundario (bs) para garantizar la factibilidad del diseño del SRM se describe mediante las condiciones siguientes [3]: La anchura del polo secundario (bs) tiene que ser algo superior a la del polo primario (bp). Esta condición asegura un diseño con menores pérdidas en el cobre debido a la mayor anchura de la ranura del primario. Otro factor importante en el que influye la anchura de los polos principal y secundario es que siendo el secundario mayor que el primario se evita la saturación simultanea de los polos. Para evitar posiciones en las que el motor no pueda arrancar se debe garantizar que la fuerza de propulsión actúe durante todo el recorrido PS. Puesto que la fuerza de propulsión actúa durante la pendiente positiva del coeficiente de autoinducción, es necesario que el valor inicial de la pendiente (Lmin) sea lo más pequeña posible, por lo que: Para valores grandes de bp y bs (fig. II.7a) los polos se solapan en las posiciones de no alineamiento, siendo la inductancia mínima de valor elevado, del mismo modo cuando los polos están alineados la inductancia es todavía más elevada. Para valores reducidos de bp y bs (fig. II.7b) no hay solapamiento de polos en la posición de no alineamiento y por tanto la inductancia mínima es reducida. Por otra parte, con los polos alineados la inductancia máxima también es reducida debido a la estrechez de los polos. 26 CAPÍTULO II: El Motor Lineal de Reluctancia Conmutada Figura II.7 a) Valores grandes de bp y bs. b) Valores reducidos de bp y bs [3]. 27 CAPÍTULO III: Método de los Elementos Finitos CAPÍTULO III: MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS III.1 Introducción al Método de los Elementos Finitos III.2 Software Finite Elements Method Magnetics 2D III.3 Software Fux 10.4 3D 28 CAPÍTULO III: Método de los Elementos Finitos III.1 Introducción al Método de los Elementos Finitos III.1.1 Aspectos Generales: Aplicaciones El método de los elementos finitos, citado de ahora en adelante mediante sus siglas en inglés FEM (Finite Element Method), ha adquirido gran importancia en la solución de problemas relacionados en el campo de la ingeniería y la física. Permite resolver casos que hasta hace poco tiempo eran prácticamente imposibles de resolver por métodos matemáticos tradicionales. Esta circunstancia obligaba a realizar prototipos, ensayarlos e ir realizando mejoras de forma iterativa, lo que ocasionaba un coste elevado tanto económicamente como en tiempo de desarrollo. El FEM permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más fácil y económico de modificar que un prototipo. El hecho de ser un método de cálculo aproximado hace que la construcción de prototipos siga siendo necesaria, aunque en menor número, ya que se habrá podido aproximar dicho prototipo al diseño óptimo mediante su estudio por este método. El FEM como formulación matemática es relativamente nuevo, aunque su estructura básica es conocida desde hace bastante tiempo. En los últimos años ha sufrido un gran desarrollo debido a los avances informáticos. Han sido estos avances los que han puesto a disposición de los usuarios gran cantidad de programas que permiten realizar estos cálculos. Actualmente, un gran número de proyectos que tratan la construcción de nuevos dispositivos son desarrollados mediante estos métodos, los cuales, son la base de cálculo del comportamiento que van a tener cada uno de los componentes de un prototipo. Estos modelos permiten obtener la geometría de cada uno de los elementos de los que está compuesto el modelo. La complejidad matemática del modelo la determina el diseñador en función de la cantidad de nodos y elementos con los que se diseña el modelo, que es función de las dimensiones de malla utilizadas. Generalmente, se obtendrá mayor precisión cuanto más reducidas sean las dimensiones de malla, hecho que hace aumentar el número de nodos y elementos. Este aumento de precisión requiere de un mayor potencial de cálculo e implica un aumento en el tiempo de realización de dicho cálculo. En el campo de la ingeniería eléctrica, estos métodos pueden ser aplicados en distintas máquinas como pueden ser transformadores, motores rotativos o lineales, líneas de transmisión y otros dispositivos magnéticos con el fin de determinar distribuciones de campo magnético en zonas determinadas, inducciones, fuerzas, inductancias, energía en volúmenes específicos, sobrecalentamientos, etc. El FEM, tal y como se conoce en la actualidad, fue propuesto por primera vez en la década de los cuarenta para el cálculo estructural en la ingeniería aeronáutica. De ahí en adelante ha sido ampliamente utilizado en problemas de análisis estructural, transmisión de calor, electromagnetismo, etc. Hoy en día, la inferencia de los fenómenos electromagnéticos en los procesos industriales es muy importante. La inducción electromagnética se utiliza para medir, calentar, modificar, manipular y crear una amplia gama de materiales. En las últimas décadas la demanda de nuevas aplicaciones más potentes, versátiles y económicas han inducido un profundo cambio en el diseño de dispositivos. La necesidad de calcular rápidamente y con precisión nuevos dispositivos o modificaciones en aparatos ya existentes ha creado la necesidad de desarrollar nuevos métodos de cálculo más veloces, versátiles y precisos. 29 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.1.2 Definición del FEM El método de los elementos finitos es un método de aproximación de problemas continuos, de tal forma que el problema continuo se divide en un número finito de partes, denominados elementos, cuyo comportamiento se especifica mediante un número finito de parámetros asociados a ciertos puntos característicos denominados nodos. Los nodos son los elementos de unión de cada elemento con sus adyacentes. El comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir del comportamiento de los nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación. La solución del sistema completo sigue las reglas de los problemas discretos y se forma por ensamblaje de los elementos. Por tanto, la solución es una aproximación de los valores de una función a partir del conocimiento de un número determinado y finito de puntos. La técnica de análisis por elementos finitos consiste en el empleo de los métodos numéricos para la resolución de un problema físico determinado. La resolución de las ecuaciones se realiza de forma iterativa hasta que se alcanza la solución. Actualmente, existen herramientas de elementos finitos que permiten resolver varios problemas físicos, como son mecánica estructural, mecánica de fluidos, transmisión de calor, electromagnetismo, etc. III.1.3 Funcionamiento de un Programa de Elementos Finitos Los programas para el cálculo de elementos finitos disponen por regla general de tres módulos de trabajo: Pre-procesador: Dibujo del modelo o importación si se ha generado desde un programa CAD que genere ficheros compatibles. Asignación del tipo de estudio. En función del tipo de cálculos a realizar estos programas suelen disponer de diferentes elementos especiales para cada aplicación (transitorio, estacionario, térmico,…) Selección de los materiales a emplear, que pueden obtenerse desde librerías, o pueden ser definidos por el usuario. Un ejemplo es la creación de chapas metálicas mediante la introducción de las características magnéticas. Asignación de elementos y propiedades de materiales a los diferentes componentes del modelo. Aplicación de cargas exteriores (puntuales, lineales o superficiales). Aplicación de las condiciones de contorno y mallado de la geometría. En el caso que nos ocupa el presente proyecto, al estar estudiando los fenómenos electromagnéticos en distintos modelos, se precisa tener en cuenta las condiciones de contorno. Por tanto, al estar el campo magnético distribuido en todo el espacio, incluido el aire, será necesario mallarlo también. Esta es una necesidad propia del electromagnetismo, a diferencia de otros sistemas, como por ejemplo los sistemas mecánicos donde no hace falta mallar el aire. 30 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos Procesador: es la parte del programa que realiza el cálculo y genera las soluciones. Sigue los siguientes pasos: Selección del tipo de cálculo a realizar, por ejemplo si es un análisis transitorio, en régimen armónico, estacionario, etc. Configuración de los parámetros de cálculo. Selección de los intervalos de tiempo o espacio, etc. Inicio del cálculo: el programa empieza transfiriendo las cargas al modelo, genera las matrices de datos y resuelve el sistema de ecuaciones. Post-procesador: es la herramienta que permite la representación gráfica de resultados o la exportación de las soluciones a otro tipo archivos para poder realizar comparaciones o nuevos cálculos numéricos. III.1.4 Fuentes de Error Son diversas la fuentes de error que pueden existir en el análisis de problemas empleando el FEM. Errores de modelización: Son errores introducidos en el programa al definir las condiciones de contorno o las propiedades de los materiales utilizados en el modelo. Errores de discretización: Puede tratarse de errores en la aproximación a la geometría, por falta de capacidad de las funciones de forma geométricas de representar con exactitud la geometría real. Este problema se resuelve aumentando el mallado o refinándolo en las zonas conflictivas. También pueden aparecer errores relacionados con el tamaño del elemento y la función de forma de los corrimientos de nodos. Como norma general se emplean elementos pequeños en las zonas de variación rápida de la solución y elementos grandes en las zonas de variación lenta. Errores de computación: Errores en la integración de los elementos. Dado que hay que tomar un grado de polinomio, hay que aceptar un cierto grado de error (asociado al grado del polinomio). También pueden aparecer errores debidos al redondeo. III.1.5 El FEM Aplicado al Electromagnetismo. Los campos electromagnéticos se describen mediante las ecuaciones que J.C. Maxwell publicó en 1873, que en forma diferencia son [3]: 31 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos Donde: - Campo magnético. - Densidad de campo magnético. - Densidad de corriente. - Campo eléctrico. – Densidad de campo eléctrico. - Densidad de carga eléctrica. La ecuación (III.1) es la ley de Ampere, (III.2) es la ley de Faraday, (III.3) es la ley de Gauss para el campo magnético, (III.4) es la ley de Gauss para el campo eléctrico y (III.5) es la ecuación de continuidad. Estas ecuaciones se completan con las siguientes: Donde: - Constante dieléctrica. - Conductividad eléctrica. – Permeabilidad magnética. Para problemas invariables con el tiempo, la ecuación (III.2) queda: III.2 Finite Elements Method Magnetics 2D III.2.1 Introducción al Software FEMM FEMM es un conjunto de programas para la resolución de problemas electromagnéticos de baja frecuencia en dos dimensiones. En lo que se refiere al presente proyecto, se ha utilizado la versión FEMM 4.2 de libre distribución creada por el profesor Dr. D.C. Meeker. El programa aborda problemas de magnetoestática lineales y no lineales, problemas de electroestática lineales, problemas magnéticos no lineales con armónicos y problemas de flujo de calor en estado estacionario [6]. 32 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos El FEMM se divide en tres partes principales. La primera parte es un interfaz de múltiples documentos pre-procesador y postprocesador para los diversos tipos de problemas resueltos por el FEMM. Contiene un sistema CAD para creación de la geometría que definirá el modelo a estudiar. También dispone de la posibilidad de importar geometría desde archivos Autocad.dxf. En la segunda parte se descomponen las diferentes partes del modelo en un número finito de elementos. Es la parte vital del proceso de los elementos finitos. En el tercer apartado se resuelven las ecuaciones diferenciales parciales pertinentes para obtener los valores de la solución. El programa dispone de módulos para la resolución de problemas de magnetismo, electroestática, flujo de calor y flujo de corriente. El FEMM también dispone de la posibilidad de crear y resolver los problemas planteados en los campos mencionados en el apartado anterior mediante el lenguaje de programación LUA. En los apartados que a continuación se presentan, únicamente se expondrán las secciones pertenecientes al estudio de los fenómenos magnéticos, que son los que conciernen el estudio del presente proyecto. Para ello, en el momento de iniciar el FEMM escogeremos la opción “magnetic problem”. III.2.2 Pre-procesador de Problemas Magnéticos El pre-procesador se utiliza para la elaboración de la geometría de los problemas, definiendo los materiales y las condiciones de contorno. III.2.2.1 Definición del Objeto Modelo del Estudio En primer lugar, para la resolución del problema el usuario podrá elegir entre un plano en dos dimensiones o un problema con simetría axial. A continuación se escogerá la unidad de longitud con la que se quiera trabajar (pulgadas, milímetros, centímetros, metros,…). Seguidamente se establecerá la frecuencia (Hz). Para un problema de magnetoestática el usuario elegirá una frecuencia de 0 Hz. Si la frecuencia no es cero, el programa va a realizar un análisis armónico, en el que todas las cantidades de campo están oscilando a la frecuencia prescrita. También se deberá especificar la profundidad del dispositivo a estudiar, teniendo en cuenta que las unidades de profundidad serán las especificadas en este mismo apartado. Otro parámetro que nos permite introducir el FEMM es el ángulo mínimo que tendrán los triángulos formados por las mallas. En la práctica, el algoritmo de frecuencia tiene éxito para ángulos mínimos de 33,8 grados, para mallas altamente refinadas puede ser necesario reducir al ángulo por debajo de 20 para evitar problemas asociados a la precisión. III.2.2.2 Definición de Propiedades El usuario deberá identificar las propiedades de los materiales, condiciones de contorno, propiedades de puntos y propiedades de circuitos. El programa permite añadir, modificar y eliminar todas las propiedades existentes. Propiedades del punto 33 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos Se pueden definir puntos con una corriente determinada introducida en amperios o puntos con un vector de potencial específico en webers/metro. Propiedades de contorno Esta propiedad se utiliza para especificar los segmentos o arcos que van a ser los límites del dominio de la solución. Se permite escoger entre varios tipos de límites. “Prescibed”. Esta propiedad del contorno se utiliza para establecer el flujo que pasa a través de dicho contorno. Esta propiedad se usa generalmente para delimitar el área total del estudio, que normalmente es aire. El contorno que define dicha área establece un flujo de campo magnético a través de él de cero Webers. “Small Skin Depth”. Esta propiedad proporciona un material sujeto a corrientes parásitas a altas frecuencias, cuya profundidad de penetración en dicho material es muy pequeña. “Mixed”. Seleccionando adecuadamente determinados coeficientes se puede definir el contorno de la geometría del modelo y establecer la intensidad de campo magnético que fluye paralelamente al contorno. “Periodic”. Esta condición es útil cuando se trabaja con las simetrías del modelo, para así, reducir las dimensiones del dominio. Permite que el vector magnético sea idéntico a lo largo de los segmentos seleccionados. “Antiperiodic”. Esta condición fuerza a dos contornos para que uno sea el negativo del otro. Propiedades de los materiales En este apartado se introducirán en el programa las propiedades de los materiales que componen el objeto a estudiar. Se deberá especificar la característica magnética del material lineal o no lineal. En el caso de seleccionar la característica magnética lineal, el FEMM permite especificar diferentes permeabilidades relativas en las direcciones verticales y horizontales. Si por el contrario queremos definir un material con una característica magnética no lineal, el programa permite introducir los datos de la curva BH, además permite visualizar dicha curva gráficamente. Se debe tener en cuenta el número de puntos de la curva B-H introducidos, pues esta condición afecta de manera directa los resultados de los cálculos. Para no introducir grandes errores insertados en la curva B-H, deben existir un número razonable de puntos en la zona con más curvatura, es decir, en la zona en que el material pasa de la zona lineal a la zona saturada. Otro aspecto importante que debe tenerse en cuenta, es que el FEMM extrapola linealmente el extremo de la curva B-H si el programa encuentra densidades de flujo o intensidades de campo magnético que estén fuera de dicha curva. En el caso de que el modelo del estudio contenga imanes, se deberá introducir la coercitividad en amperios por metro, además de las direcciones de magnetización. Otro parámetro que nos permite introducir el FEMM, es la densidad de corriente (J). Una fuente de densidad de corriente define la corriente que circula por un determinado circuito. Para frecuencias distintas de 0 Hz, en regiones con conductividad distinta de 0 S/m, pueden inducirse corrientes de Foucault que cambian la densidad de corriente total. 34 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos Más parámetros que podemos introducir para continuar definiendo un determinado material es la conductividad eléctrica (σ) en siemens por metro. También podemos especificar el plano en que las chapas magnéticas están laminadas para disminuir al máximo las corrientes de Foucault. De estas chapas podremos definir su grosor, además de poder especificar la relación que hay entre el grosor de la chapa y el grosor del aislamiento que las separa. El FEMM, también dispone de una amplia gama de materiales ya creados con parámetros específicos. Propiedades del circuito. Permite al usuario aplicar restricciones en la corriente que circula por las partes del objeto seleccionado. Si, escogemos “paralelo” la corriente se dividirá entre todas las regiones del circuito, mientras que si escogemos “serie”, la corriente especificada se aplica a todas las regiones del circuito. En todos los bloques etiquetados con una propiedad de circuito existe la opción de asignar un número de vueltas, con lo que se forma una bobina. El número de vueltas asignado a un circuito puede ser positivo o negativo, hecho que representa que la corriente fluya en una dirección u otra. III.2.3 Análisis del Modelo Una vez introducidos en el FEMM todos los parámetros que proporcionan las propiedades físicas a los distintos materiales, circuitos, contornos, etc., del modelo que se quiere estudiar se deberá generar la malla. Antes de mallar toda la geometría, el usuario especificará las midas de malla con las que quiere que trabaje el FEMM. Se puede mallar cada pieza del modelo con la mida de malla deseada, teniendo en cuenta que cuanto más reducida es la malla, más cálculos tendrá que realizar el FEMM, lo que conllevará un tiempo de cálculo mayor. Hay que tener en cuenta también que, generalmente, cuánto más pequeña es la malla mayor precisión se obtendrá en los posteriores cálculos. Es por estos dos motivos por los que a la hora de mallar un modelo se utilizará una malla más pequeña para zonas donde se prevean cambios importantes en los campos magnéticos o se necesiten resultados lo más precisos posibles, mientras que se utilizarán midas de mallas mayores para zonas donde no nos interese obtener resultados o simplemente, no sea necesario que sean muy precisos. Después del mallado el FEMM abre una ventana en la que muestra en número de nodos y elementos creados. Una vez mallada la geometría se procederá a la realización de los cálculos. FEMM abre una ventana de información para visualizar el estado del cálculo, que se cierra cuando ha finalizado. Este programa no requiere ninguna interacción del usuario mientras se está ejecutando. El tiempo que requiere el FEMM para resolver el problema es dependiente del tipo y tamaño de problema que se está estudiando, puede tardar de menos de un segundo a varias horas. Generalmente los problemas magnetoestáticos lineales se realizan con menor cantidad de tiempo, mientras que los problemas con armónicos emplean algo más de tiempo por el hecho de trabajar con números complejos, lo que hace duplicar el número de incógnitas. Los más costosos de analizar son los problemas no lineales con armónicos, ya que son necesarias múltiples interacciones para converger en la solución final. 35 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.2.4 Post-procesador de Problemas Magnéticos La función del post-procesador de problemas magnéticos de FEMM se utiliza para ver las soluciones generadas. III.2.4.1 Modos Post-procesador El post-procesador siempre funciona con uno de los tres modos que a continuación se exponen. El usuario elegirá un modo dependiendo de la tarea a realizar. Modo punto: el usuario escogerá el modo punto de la barra de herramientas de la ventana solución y lo insertará en la geometría del problema que se esté estudiando. A continuación escogerá el tipo de dato que quiere visualizar respecto a ese punto. Modo contorno: este modo permite al usuario definir contornos en la ventana solución para obtener diferentes soluciones evaluadas en dicho contorno. Modo bloque: permite al usuario definir un subdominio en la región solución. Una vez el bloque se ha definido se pueden calcular energías, inductancias, pérdidas, etc. III.2.4.2 Visualización de las Líneas de Flujo El FEMM permite visualizar de forma gráfica las líneas de flujo del campo magnético. Cuando las líneas de flujo están muy juntas, la densidad de flujo es alta, mientras que si están dispersas la densidad de flujo será más reducida. Existe la opción de variar la cantidad de curvas de flujo que aparecen. III.2.4.3 Visualización de la Densidad de Flujo Es un medio útil para tener una idea rápida de la densidad de flujo en varias partes del modelo estudiado. El usuario puede elegir entre visualizar la densidad de flujo, la intensidad del campo o la densidad de corriente. III.2.4.4 Visualización de la Dirección y Magnitud del Campo Magnético Mediante esta aplicación, el FEMM permite visualizar de forma rápida y directa la dirección y magnitud del campo magnético. Para ello dibuja flechas, cuya dirección representa la del campo magnético y sus dimensiones representan la magnitud de dicho campo. III.2.4.5 Gráficos de Contornos Definidos Cuando el post-procesador muestra las líneas de flujo, se pueden trazar segmentos de contorno. En estos segmentos se pueden obtener los valores de varios campos de interés para el estudio del modelo. El FEMM permite obtener los datos pertenecientes a las siguientes magnitudes: Densidad de flujo a lo largo del contorno. Componente de la densidad de flujo normal al contorno. Componente de la densidad de flujo tangencial al contorno. 36 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos Magnitud de la intensidad de campo a lo largo del contorno. Componente de la intensidad de campo normal al contorno. Componente de la intensidad de campo tangencial al contorno. El FEMM permite visualizar los resultados obtenidos gráficamente, o exportar los datos a documentos de texto para posteriores cálculos. III.2.4.6 Integración de Contornos Definidos Estas integrales se realizan mediante la evaluación de un gran número de puntos a lo largo de un contorno definido. Actualmente del FEMM permite calcular: “B.n”: Calcula el flujo total que pasa a través del contorno. Este resultado puede ser comparado con cálculos realizados mediante las ecuaciones aproximadas del magnetismo. “H.t”: Calcula la integral de la intensidad de campo a lo largo del contorno, también pueden compararse con cálculos analíticos. “Contour Lenght”: Esta integral devuelve la longitud del contorno en metros. “Force from stress tensor”: Esta integral calcula el valor de la fuerza que ejerce el campo magnético en el contorno definido, también se puede comparar con los resultados obtenidos mediante el cálculo con las ecuaciones del magnetismo. “Torque from stress tensor”: Ésta integral devuelve el par referido al punto (0,0). III.2.4.7 Integración de Bloques Definidos Una vez se ha cerrado un contorno, se ha creado un bloque. En el FEMM los bloques aparecen resaltados en verde y las integrales se resuelven sobre sus áreas. En general, las integrales en bloques tardan varios segundos, sobre todo en mallas densas. Las integrales que puede resolver el FEMM en áreas específicas son las siguientes: “A.J”: Para el cálculo de inductancias. “A”: Para evaluar inductancias mutuas entre bobinas. “Magnetic fiel energy”: Esta opción calcula la energía almacenada por el campo magnético en una región. “Magnetic fiel coenergy”: Evalúa la coenergía almacenada por el campo magnético en una región determinada. “Hyst. and/or Laminated eddy current losses”: calcula las pérdidas energéticas en los núcleos ferromagnéticos debidas a las corrientes de Foucault y al ciclo de histéresis. “Resistive losses”: muestra las pérdidas debidas a la resistividad que ofrece circuito eléctrico. 37 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos “Total losses”: calcula todas las pérdidas que se han podido ocasionar en una región determinada. Generalmente se utiliza en bloques donde existen distintos materiales. “Lorentz forcé”: muestra la fuerza que ejerce el campo magnético sobre una región determinada. “Total current”: devuelve la corriente determinada. que circula a través de una región “Block Volume”: en los problemas con simetría axial, devuelve el volumen total del bloque seleccionado. “Force via Weighted Stress Tensor”: determina la fuerza que ejerce el campo magnético sobre una región determinada por medio de las ecuaciones de Maxwell. “Torque via Weighted Stress Tensor”: muestra el par que ejerce un determinado campo magnético sobre un bloque que debe estar referenciado al punto (0,0). “R^2 (i.e. Moment of Inertia/density)”: determina el momento de inercia del bloque seleccionado. 38 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.3 Software Flux 10.4 3D III.3.1 Introducción al Software FLUX 10.4 FLUX es un software de elementos finitos creado por la compañía Cedrat. Está destinado a la simulación de problemas electromagnéticos y térmicos en dos y tres dimensiones. Los fenómenos magnéticos, eléctricos y térmicos que aparecen en los distintos dispositivos eléctricos que permite analizar el FLUX 10.4 son descritos por las ecuaciones de Maxwell, del calor y de los materiales. La simulación de todas estas ecuaciones en conjunto es difícil debido al elevado número de cálculos que necesitaría realizar el programa para llegar a la conclusión, además del volumen de datos que generaría. Es por esta razón, por la que el programa está descompuesto en varias aplicaciones, cada una de las cuales resuelve un tipo determinado de problema. El FLUX 10.4 está dividido en tres aplicaciones básicas, como son [7]: Aplicación magnética. Aplicación eléctrica. Aplicación térmica. Es posible combinar la aplicación térmica con la magnética o con la eléctrica, de forma que se obtendrán dos nuevas aplicaciones, aunque deberá tenerse en cuenta que esta combinación aumentará considerablemente el volumen de cálculos y por consiguiente el tiempo de cálculo. Las cinco aplicaciones anteriormente mencionadas pueden clasificarse en función de los campos a estudiar: Estado estacionario: utilizado para estudiar dispositivos en los que las fuentes de campo son independientes del tiempo. Estado transitorio: es aplicado para el estudio de dispositivos en los que las fuentes de campo son dependiente del tiempo. Estado estable con corriente alterna: aplicado en dispositivos donde la variación del campo respecto al tiempo es sinusoidal. III.3.2 Pre-Procesador El pre-procesador es la parte inicial para la construcción de la geometría del problema, la definición de materiales, contornos y otros parámetros que deben definir completamente el problema a estudiar. III.3.2.1 Geometría FLUX permite definir la geometría del problema de dos formas distintas, una mediante la importación de archivos compatibles, como pueden ser archivos con las extensiones .igs, .stp, .dxf, .stl, .ipt, .prt… y otra empleando las herramientas de las que dispone el programa para la creación de puntos, líneas, caras y volúmenes. 39 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.3.2.1.1 Simetrías En determinados problemas existe la posibilidad de representar la geometría del dispositivo a estudiar mediante la utilización de simetrías en los planos que se requieran. Es conveniente utilizar simetrías en todos aquellos problemas en que sea posible, pues esta acción nos permite reducir las dimensiones del dominio, con la reducción de los tiempos de cálculo que ello conlleva. III.3.2.1.2 Elementos de la Geometría En primer lugar se deberán crear los ejes de coordenadas. FLUX permite crear estos ejes referenciados al eje que el programa toma como origen de coordenadas (XYZ) o tomar como referencia otros ejes previamente definidos por el usuario. Esta propiedad del programa permite crear ejes de coordenadas para las distintas piezas que forman el problema. De este modo resulta más fácil introducir las coordenadas de los puntos que empezarán a definir la geometría del problema, así como cambiarlos de ubicación dentro del conjunto. La creación de puntos es el paso siguiente para la definición de la geometría. Los puntos son introducidos manualmente por el usuario, a estos puntos el programa les asigna un número y posteriormente se les asignarán unas propiedades determinadas. Una vez definidos los puntos que forman una cara, se procederá a la creación de las líneas. Igual como sucede en los puntos, las líneas deben ser creadas manualmente. A continuación los puntos y líneas creados se pueden duplicar paralelamente a la distancia requerida. Posteriormente, el programa creará las caras y los volúmenes automáticamente. III.3.2.1.3 Contorno Exterior del Problema En el estudio de los fenómenos electromagnéticos por medio del método de los elementos finitos es necesario establecer un límite para poder calcular la distribución del campo magnético en el aire. El FLUX denomina “infinite box” al contorno que se dibuja alrededor del dispositivo que se quiere estudiar. Este contorno delimita la región de aire y de este modo permitirá mallar dicho volumen. El programa permite insertar como contornos, paralelepípedos, de los cuales podemos definir las tres dimensiones y cilindros definidos por diámetro y profundidad. Automáticamente, el programa impone un flujo de campo magnético cero a través de las caras de dichos contornos. Por esta razón, se deben elegir unas dimensiones de contorno adecuadas para que los cálculos realizados no estén influidos por la condición del campo magnético impuesto en el contorno exterior. Existen unas premisas generales para definir el contorno de un modo adecuado [7]: La distancia entre el dispositivo y el contorno exterior será al menos igual a la distancia del dispositivo en esa dirección. Las dimensiones del contorno también dependen de la región que se quiera estudiar. En el caso que se quiera estudiar únicamente el dispositivo, no será necesario insertar un gran contorno, bastará con seguir la premisa anterior. Mientras que si se quiere estudiar la 40 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos influencia del campo magnético en el aire, se deberá insertar un contorno más amplio, para que los resultados no estén afectados por la imposición del contorno exterior. III.3.2.2 Mallado del Problema El proceso de mallado del problema consiste en dividir todo el domino a estudiar en un número finito de elementos, siendo los vértices de estos elementos los nodos. Es en los nodos donde el programa realiza los cálculos necesarios para converger en la solución. III.3.2.2.1 Elementos y Calidad de Malla Al realizar el mallado, el programa permite escoger al usuario la geometría de los elementos que formarán la malla. En el caso de estar trabajando en dos dimensiones los elementos de malla serán caras triangulares o rectangulares, mientras que cuando se trabaja en tres dimensiones se podrá escoger entre volúmenes en forma de tetraedro, pentaedro, hexaedro o pirámide. La calidad de los resultados alcanzados por el programa dependerá en gran medida de la malla utilizada. Los parámetros de malla que afectan a la calidad de los resultados son: Número y dimensiones de elementos creados en el mallado. Orden de los polinomios utilizados en la interpolación de funciones en cada elemento. El Flux dispone de diferentes tipos de elementos finitos, en terminología Flux se denominan elementos de primer y segundo orden, que corresponden a polinomios de primer y segundo orden. Polinomios de 1º Orden: los nodos se encuentran en los vértices de los elementos y la interpolación de la función es lineal. Polinomios de 2º Orden: Aumenta el número de nodos respecto los polinomios de 1º orden, los nodos se encuentran en los vértices de los elementos y a una distancia media de las líneas que unen los vértices. La interpolación de la función es cuadrática. El uso de polinomios de 2º Orden produce un aumento considerable del número de nodos obtenidos, lo que ocasiona un incremento del número de cálculos y por consiguiente un aumento del tiempo de cálculo y de memoria requerida por el programa. III.3.2.2.2 Reglas Generales de Mallado Los elementos creados al mallar la geometría del problema deben estar bien proporcionados respecto las caras o volúmenes que van a dividir. Los elementos ideales para mallar una superficie son triángulos equiláteros o cuadrados, mientras que para mallar volúmenes lo ideal es utilizar tetraedros regulares o cubos. Sin embargo, utilizando elementos de 2º Orden los elementos ideales pueden ser modificados dentro de unos límites. Otro parámetro que se debe tener en cuenta es la mida de malla, para zonas donde los cambios del campo magnético sea reducido o en zonas próximas al contorno exterior no es necesario utilizar una malla reducida, de este modo se reducirán cálculos innecesarios y tiempo. 41 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.3.2.2.3 Generadores de Malla En este apartado se presentan los distintos generadores de malla de los que dispone el Flux. “Automatic mesh generator” genera elementos triangulares en todas las caras y tetraedros en los volúmenes. Este modo de mallado asegura una distorsión baja entre triángulos y tetraedros, genera bastantes elementos más que la opción MAPPED y es apto para todos los problemas. “Topological mesh generator (MAPPED)” genera elementos rectangulares en todas las caras y paralelepípedos en los volúmenes. Permite al usuario tener el control de la cantidad y calidad de los elementos y está indicado para el mallado de entrehierros, volúmenes delgados, láminas, etc. Se reduce considerablemente el número de nodos con respecto al generador de malla automático. “Linked mesh generator” permite copiar la malla creada en una cara a otra cara igual creada por una transformación geométrica. Este generador de malla solo se puede utilizar en el mallado de caras. “Extrusive mesh generator” permite generar mallas en caras y volúmenes que ha sido creados por propagación. “No mesh” no genera malla en caras o volúmenes que no necesiten ser mallados. III.3.2.3 Parámetros Físicos En este apartado se especificará el tipo de problema que el usuario quiere resolver. En la tabla siguiente se presentan todas las aplicaciones de las que dispone el Flux en dos y tres dimensiones. Aplicaciones 2D y 3D FLUX Estático Transitorio Magnética Estable con corriente alterna Estático Conducción eléctrica Eléctrica Estable con corriente alterna Estable Térmica Transitorio Estable con corriente alterna (Magnético) Magnética/Térmica Transitorio (Térmico) Conducción eléctrica 2D Transitorio (Térmico) 2D Eléctrica/Térmica Estable con corriente alterna (Eléctrico) 2D Transitorio (Térmico) 2D Tabla III.1 Aplicaciones 2D y 3D FLUX [7]. 42 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.3.2.3.1 Aspectos Físicos de las Simetrías En el apartado Geometría, se ha determinado la razón por la cual se utilizan las simetrías en la construcción de las figura. Una vez determinados los planos de simetría y ya construida la figura, se deberán establecer las condiciones de simetría que deseemos tener en los contornos creados por dicha simetría. Se podrá especificar un campo magnético tangencial o normal al plano creado. Dirección del campo magnético en el plano de simetría. Normal Tangencial Tabla III.2 Dirección del campo magnético [7]. III.3.2.3.2 Materiales A la hora de diseñar un dispositivo electromagnético, es muy importante disponer de las características magnéticas, eléctricas, etc. que posee el material de que va a estar formado el circuito magnético. El Flux dispone de una amplia librería de materiales con todos los parámetros asignados, pero también existe la posibilidad de introducir nuevos materiales por medio de parámetros específicos. Este aparado se centrará únicamente en la exposición de los distintos tipos de materiales ferromagnéticos que permite generar el programa. III.3.2.3.2.1 Definición del Comportamiento Magnético. El comportamiento magnético de los materiales ferromagnéticos está descrito por la curva de magnetización (curva B/H), también llamada característica magnética. Esta curva representa la inducción (B) que se obtiene en un determinado material al aplicarle una intensidad de campo magnético (H) determinada. Figura III.1 Característica Magnética FeV 270-50HA 43 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos En estas curvas se puede apreciar la zona de crecimiento lineal de la inducción, el codo de la curva donde el material empieza a saturarse y la zona donde el material está prácticamente saturado. Generalmente, la característica magnética de los materiales ferromagnéticos es no lineal, pero en ocasiones para simplificar los cálculos se utilizan aproximaciones lineales. El Flux permite introducir materiales, tanto con característica magnética lineal como no lineal, pero los distingue según el magnetismo remanente que conservan al dejar de estar sometidos a un campo magnético. Esta distinción es necesaria para obtener unos resultados coherentes cuando se simplifican cálculos utilizando la aproximación lineal. En la siguiente tabla se especifican las zonas en las que se aplica la aproximación lineal dependiendo del tipo de magnetismo remanente que presenta cada material. Magnetismo remanente alto Magnetismo remanente escaso Tabla III.3 Ciclo de histéresis según el magnetismo remanente [7]. Otra característica que tiene en cuenta el programa a la hora de definir un material ferromagnético es la dependencia que ofrece un material a conducir el flujo magnético en una dirección u otra. A estas dos propiedades de los materiales el Flux las denomina: “Isotropic material”, la magnetización del material tiene las mismas propiedades en todas las direcciones. “Anisotropic material”, el nivel de magnetización del material depende de la dirección en que se aplica el campo magnético. III.3.2.3.2.2 Magnetismo Remanente Escaso en Materiales Isotrópicos i Anisotrópicos El Flux dispone de varias formas de introducir materiales magnéticos con niveles bajos de magnetismo remanente. III.3.2.3.2.2.1 Aproximación Lineal Este modelo utiliza una aproximación lineal de la curva B/H. Hay que tener en cuenta que con esta aproximación no se está teniendo en cuenta el fenómeno de la saturación, por lo que solo se podrá utilizar en aquellos casos en los que la inducción se prevea reducida. La fórmula matemática utilizada para la resolución del programa es la siguiente, (III.10) 44 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos donde, es la permeabilidad en el vacío, 4π· [H/m] es la permeabilidad relativa del material. Figura III.4 Aproximación lineal de la curva B/H [7]. III.3.2.3.2.2.2 Aproximación Analítica Este modelo utiliza una aproximación no lineal de la curva B/H teniendo en cuenta los niveles de saturación del material. Para la resolución del problema utiliza dos aproximaciones, la función lineal que define la zona lineal de la característica magnética, más otra función que define la zona en que el material se satura. La fórmula matemática completa usada para aproximar la curva B/H es la siguiente[, (III.11) donde, Js es el nivel de saturación magnética alcanzado [T] Figura III.5 Aproximación analítica curva B/H [7] 45 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.3.2.3.2.2.3 Aproximación Analítica y Coeficiente de Ajuste. Este modelo utiliza una aproximación analítica no lineal y un coeficiente para ajustar el codo de la curva B/H, por lo tanto, tiene en cuenta la saturación del material. La fórmula matemática que emplea este modelo es la siguiente, (III.12) (III.13) donde, a es el coeficiente de ajuste del codo de la curva B/H TablaIII.6 Aproximación analítica + coeficiente de ajuste [7] III.3.2.3.2.2.4 Curva B/H real. Este modelo permite introducir los valores de la inducción e intensidad de campo magnético que generan la curva de magnetización. El programa permite visualizar dicha curva una vez introducidos todos los valores. Figura III.7 Valores de la curva B/H [7]. 46 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.3.2.3.2.3 Magnetismo remanente alto. Los materiales ferromagnéticos con alto magnetismo remanente, son los comúnmente llamados imanes permanentes. El Flux dispone de una amplia variedad de modelos para su configuración mediante distintos parámetros. En la tabla siguiente se presentan los modelos disponibles. Material anisotrópico: aproximación lineal B=[µ]H+Br Imán descrito por el módulo de Br unidireccional Imán descrito por un vector cartesiano de Br Imán descrito por un vector cilíndrico de Br vectorial Imán descrito por un vector esférico de Br Tabla III.4 Aproximación lineal imanes permanentes [7]. Material anisotrópico: aproximación no lineal B=[µ(H)]·H+Br Imán descrito por el módulo de Hc y Br Imán descrito por el módulo de Hc y Br y un coeficiente de ajuste unidireccional Imán descrito por curva de valores Tabla III.5 Aproximación no lineal imanes permanentes [7] La magnetización es un vector de cantidad que puede ser definido por el módulo y dirección o por sus componentes polares. Para modelos unidireccionales (Dirección en el plano XY) Módulo de Br Unidireccional Radial Ortorradial Un único material puede ser usado para definir varias regiones Tabla III.6 Modelos unidireccionales [7]. Para modelos vectoriales Componentes cartesianas de Br Componentes cilíndricas de Br Componentes esféricas de Br Es necesario crear el mismo número de materiales y ejes de coordenadas en cada región del problema. Tabla III.7 Modelos vectoriales [7]. 47 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.3.2.3.2.3.1 Aproximación lineal de un imán (unidireccional) Este modelo define la desmagnetización lineal del material. La fórmula que define el modelo es la siguiente, (III.14) donde, Br es la densidad de flujo remanente [T]. Figura III.8 Aproximación lineal de un imán [7]. El Flux permite escoger entre varias direcciones de magnetización. unidireccional Radial positivo Radial negativo Ortoradial positivo Ortoradial negativo Figura III.8 Direcciones de magnetización unidireccional [7]. III.3.2.3.2.3.2 Aproximación lineal de un imán (vectorial) Este modelo define la desmagnetización lineal del material. La fórmula que define el modelo es la siguiente, (III.15) donde, es la densidad de flujo remanente definida por las tres componentes del espacio, [µr] es la permeabilidad relativa expresada también por las tres componentes del espacio. 48 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos En este modelo, el Flux permite escoger entre vectores con coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Radial Ortoradial Coordenadas esféricas axial Figura III.9 Direcciones de magnetización vectorial [7]. III.3.2.3.2.3.3 Curva de Desmagnetización (Hc, Br) Este modelo define una dependencia no lineal de la curva B-H durante la desmagnetización. En la dirección de magnetización el modelo lo define una línea recta combinada con una línea tangente a la asíntota que formaría la curva B-H real. Este modelo viene definido por la siguiente fórmula, (III.14) donde, Hc es la intensidad de campo magnético coercitivo en A/m. Figura III.10 Curva de desmagnetización (Hc, Br) [7]. 49 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos III.3.2.3.2.3.4 Curva de Desmagnetización (Hc, Br) + Coeficiente de Ajuste. Este modelo define una dependencia no lineal de la curva B-H durante la desmagnetización. En la dirección de magnetización el modelo lo define una línea recta combinada con una línea tangente a la asíntota que formaría la curva B-H real y un coeficiente de ajuste para una mejor aproximación a la curva real. Este modelo viene definido por las siguientes fórmulas, (III.14) (III.15) (III.16) (III.17) (III.18) donde, a es el coeficiente de ajuste, (0 < a ≤ 0.5). Figura III.11 Curva de desmagnetización (Hc, Br)+ coeficiente de ajuste [7]. III.3.2.3.2.3.4 Curva de Desmagnetización (B, H) Real. Este modelo permite introducir los valores de la inducción e intensidad de campo magnético obtenido por métodos experimentales, que generan la curva de desmagnetización. El programa permite visualizar dicha curva una vez introducidos todos los valores. 50 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos Figura III.12 Curva de desmagnetización (B, H) real [7] III.3.2.3.3 Bobinas El Flux 3D permite la posibilidad de crear fuentes de campo magnético sin la necesidad de mallarlas, el Flux las denomina “non-mesh coils”. El usuario puede introducir bobinas circulares, rectangulares u otras geometrías definidas por él mismo. Del mismo modo se puede definir la sección de la bobina, pudiendo escoger entre rectangular y circular. Para la aparición del campo magnético se debe someter a los conductores de la bobina al paso una determinada corriente eléctrica, esta corriente debe ser introducida en amperios. III.3.2.3.4. Definición del intervalo de cálculos El Flux denomina “scenario” al intervalo de posiciones que el usuario quiere que el programa simule. Para la creación de un “scenario”, el usuario debe definir el número de posiciones, así como la distancia entre ellas. III.3.3 Procesador Es en este apartado donde el programa realiza todos los cálculos necesarios para alcanzar la solución. Previamente a iniciar los cálculos y habiendo configurado los parámetros de malla necesarios se procede a la creación de la malla. Al finalizar el mallado de la geometría el programa muestra automáticamente la cantidad de nodos, caras y volúmenes obtenidos, así como un porcentaje de la calidad de los elementos obtenidos. Una vez obtenida la malla y definido el “scenario” Flux resolverá el problema. El tiempo empleado por el programa en resolver el problema, dependerá de la cantidad de nodos que contiene, que como ya se ha mencionado en apartados anteriores, dependerá de la mida de malla utilizada. III.3.4 Post- Procesador Permite visualizar los distintos datos obtenidos durante el procesado. A continuación se muestran algunos de los resultados que el usuario podrá visualizar con el Flux. 51 CAPÍTULO III: Método de los elementos Finitos Visualización gráfica de los valores de densidad de flujo magnético en los volúmenes seleccionados. Visualización de las líneas de campo magnético. Visualización de los vectores que indican dirección y magnitud del flujo magnético. Visualización y representación de los valores de densidad de flujo magnético que se producen en una determinada sección del dispositivo estudiado. También permite visualizar los resultados en representaciones gráficas en dos y tres dimensiones. En la siguiente tabla se exponen algunos de los cálculos que el Flux 3D puede realizar. Unidades Fuerza Magnética: Fm N Par Magnético: Γm N/m Energía Magnética: Wm J Flujo a través de la bobina: ΦB Wb Intensidad de campo magnético: H A/m Densidad de flujo magnético: B T Densidad de flujo magnético remanente: Br T Campo magnético coercitivo: Hc A/m Permeabilidad: µ H/m Permeabilidad relativa: µr - Densidad de corriente: Js A/m2 Densidad energía Magnética: dWm J/m3 Tabla III.8 Cálculos con FLUX 3D [7]. 52 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos CAPÍTULO IV ESTUDIO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTROIMÁN POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS IV.1 Descripción del electroimán a estudiar. IV.2 Análisis con FEMM 2D 4.2. IV.3 Análisis con el FLUX 3D 10.4. IV.4 Comparación de los resultados obtenidos con FEMM 2D y FLUX 3D. 53 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos IV.1 Descripción del Electroimán a Estudiar. Con el fin de comparar los resultados obtenidos con distintos programas de elementos finitos, así como para familiarizarse con el uso de estos programas para el posterior estudio de un motor lineal de reluctancia conmutada, se procederá a la simulación de un electroimán con los software FEMM 4.2 y FLUX 3D 10.4. En la figura IV.1 y IV.2 se puede apreciar la geometría del dispositivo a estudiar. Se trata de un electroimán formado por dos piezas, una en forma de herradura, la cual tiene arroyada una bobina, y una pieza móvil. Figura IV.1 Vista 2D, dimensiones en cm. Figura IV.2. Vista 3D. El material ferromagnético está formado por chapa magnética tipo 270-50(UNE-EN10106) de 0.5 mm de espesor y pérdidas específicas de 2.7.W/kg para una inducción de 1.5 T a la frecuencia de 50Hz. En la figura IV.3 se muestra la característica magnética B=f(H) de la chapa utilizada. 54 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.3 Característica magnética de la chapa 270-50. Las simulaciones se realizarán para un entrehierro comprendido entre 1 y 30 mm con intervalos de 1 mm. Para cada distancia de entrehierro se calculará la fuerza que ejerce el campo magnético sobre la pieza superior, flujo concatenado en la bobina, energía e inductancia. IV.2 Análisis con FEMM 2D 4.2. En este aparatado se realiza una descripción de la forma en que se ha construido el electroimán mediante el software FEMM. En primer lugar, al abrir el FEMM se escoge la opción “magnetic problema”, por ser objetivo del estudio el cálculo de inductancias, fuerzas, energías, así como visualizar la distribución del campo magnético y la inducción en la pieza a analizar. En la figura 5.4 se muestran los diferentes tipos de problemas que se pueden resolver con el FEMM. Figura IV.4 Tipos de problemas resueltos por FEMM A continuación se ha creado la geometría en dos dimensiones del electroimán con AUTOCAD y se ha exportado al FEMM en formato .dxf. Una vez se dispone de la geometría se introducen una serie de parámetros necesarios para definir correctamente el 55 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos dispositivo que se quiere simular. En la figura IV.5 se muestra la ventana “problem definition” donde se especifica el tipo de problema, unidades de distancia utilizadas, frecuencia, profundidad de la figura, precisión en la resolución y ángulo mínimo en los triángulos de la malla. Figura IV.5 Definición del problema. Una vez definidas las propiedades principales del problema a estudiar, se definen los materiales utilizados. En este caso, se introduce el material ferromagnético tipo 270-50 (M19), del que ya se ha presentado la característica magnética en la figura IV.3, el aire y el cobre que formarán las bobinas. La figura IV.6 muestra los materiales creados para la simulación del electroimán. Figura IV.6 Materiales creados. El electroimán deberá estar bordeado por un contorno que limite el dominio a estudiar, en este caso se elige la opción “Prescibed”, de modo que se impone un flujo magnético cero en dicho contorno. 56 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.7 Condición de contorno. Los conductores de la bobina se modelizan mediante cobre de conductividad 58MS/m. La intensidad que circulará por los conductores de la bobina se muestra en la figura IV.8, donde se crea la Fase A y se especifica que los conductores de la bobina están en serie. Figura IV.8 Propiedades del circuito. Una vez creados todos los parámetros necesarios para definir el electroimán, se deberá asignar cada material, circuito, contorno, etc. a la región o segmento al que pertenezca. La figura IV.9 muestra la asignación del contorno a los segmentos que forman el perímetro exterior, la fig. IV.10 la asignación de la región de aire, la fig. IV.11 la asignación de la bobina y la fig. IV.12 la asignación del material ferromagnético a las dos partes que forman el electroimán. Es durante la asignación de estos parámetros, donde se especifica la mida de malla que se quiere utilizar en cada región. 57 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.9 Asignación de contorno. Figura IV.10 Asignación región de aire. Figura IV.11 Asignación región de la bobina. 58 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.12 Asignación material ferromagnético. Estando todos los parámetros que definen el electroimán introducidos en el programa se puede proceder a la realización de los cálculos. En primer lugar, se deberá mallar toda la geometría. Figura IV.13 Mallado de la geometría. Para automatizar el cómputo del flujo, inductancia, fuerza en función del desplazamiento (y) se implementa un código LUA mediante el algoritmo mostrado en la figura IV.14. LUA es un código de licencia libre desarrollado por el equipo Tecgraf (Grupo de Tecnología en Computación Gráfica, PCU-Rio-Brasil). 59 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.14 Diagrama de flujo para el cálculo automático. En la tabla IV.1 siguiente se muestran las distribuciones de flujo magnético, así como los niveles de inducción para algunas de las posiciones en las que se ha realizado el cálculo. Figura 5.15 Escala de colores para representar los niveles de inducción magnética. 60 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos y = 1 mm y = 5 mm y = 10 mm 61 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos y = 15 mm y = 20 mm y = 25 mm 62 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos y = 30 mm Tabla IV.1 Distribución del flujo magnético y niveles de inducción. La tabla IV.1 sólo contiene 7 posiciones de las 30 para las que se computan los parámetros. La tercera etapa de simulación mediante el FEMM es la presentación y visualización de los resultados obtenidos. A partir del algoritmo de la figura IV.14 se obtienen 30 resultados, teniendo en cuenta que este algoritmo lo hemos repetido para cuatro dimensiones de malla distintas, se obtiene una matriz de 30x4 para cada uno de los parámetros estudiados. En el apartado IV.4 se compararán todos los resultados obtenidos mediante el análisis del electroimán con el FEMM 2D y los obtenidos con el FLUX 3D. 63 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos IV.3 Análisis con el FLUX 3D 10.4. En este apartado se presenta una descripción de la forma en que se ha construido el electroimán presentado en el apartado IV.1 con el software FLUX 3D 10.4. En primer lugar, al ejecutar el programa se escogerá la opción “Magneto-estatic 3D aplication”. La figura IV.16 muestra la ventana que aparece en pantalla una vez seleccionada la opción. Figura IV.16 Aplicación magneto-estática 3D. El programa permite escoger polinomios de primer y segundo orden para la realización de los cálculos. En el caso que nos ocupa, para el estudio del electroimán se han utilizado los dos tipos de polinomios para poder realizar una comparación entre los resultados obtenidos y tiempos de cómputo. A continuación se introducirán en el programa los parámetros necesarios para describir geométricamente el electroimán. Puesto que se trata de un análisis en tres dimensiones y es sabido que los tiempos de cálculo de estos programas son bastante prolongados, se ha tratado de reducir al máximo las dimensiones del dominio. Para ello, se han utilizado dos planos de simetría. Las figuras IV.17 y IV.18 muestran los planos de simetría utilizados para la modelización del electroimán. Figura IV.17 Plano de simetría YZ 64 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.18 Plano de simetría ZX. A la hora de definir los planos de simetría, se especifica también la dirección que va tener el campo magnético en dichos planos. En este caso, en el plano YZ se considera que el campo magnético es normal a dicho plano, y en el XZ se considera tangente. Siguiendo con la definición geométrica del electroimán, se crean ejes de coordenadas distintos para cada pieza del dispositivo. De esta forma, se podrán variar el entrehierro y comparar las diferencias que puedan existir en los diferentes cálculos realizados. Para el estudio del electroimán se han utilizado tres ejes de coordenadas distintos, los cuales están referidos al eje de coordenadas XYZ que lo crea el programa por defecto. La figura IV.19 muestra la ventana donde se crea el eje de la bobina. Figura IV.19 Eje de coordenadas para la bobina. 65 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Una vez creados los ejes de coordenadas necesarios, se procederá a la creación de los puntos y líneas. La figura IV.20 muestra los puntos, líneas y ejes de coordenadas que forman el electroimán. Figura IV.20 Puntos, líneas y ejes de la figura completa. Al tratarse de un estudio electromagnético, se debe establecer un contorno exterior que limite la región de aire a estudiar. Como ya se mencionó en anteriores apartados, el programa impone un flujo magnético cero a través de las caras de dicho contorno. La definición del contorno es un requisito indispensable para poder mallar el problema y alcanzar una solución. El Flux, a diferencia del FEMM, dispone de una función específica para la creación de contornos, el programa la denomina “infinite box”. La figura IV.21 muestra las dimensiones en milímetros que tienen la mitad de cada lado del paralelepípedo. Figura IV.21 Contorno exterior del problema. 66 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Una vez se dispone de toda la geometría que define el electroimán, se debe asignar a cada volumen creado el material de que está constituido y las dimensiones de malla que se quieren utilizar en cada volumen. Para especificar las dimensiones de malla se crean unos parámetros denominados por el programa “mesh point”, donde se introduce la mida de malla. En el estudio del electroimán se han utilizado los cuatro parámetros que aparecen en la tabla 4.8. “MESH POINT” Contorno exterior Volumen del contorno exterior 10 (mm) Contorno interior Volumen del contorno interior 10 (mm) Pieza fija Volumen pieza fija 1.5, 2, 5, 10 (mm) Pieza móvil Volumen pieza móvil 1.5, 2, 5, 10 (mm) Tabla IV.8 Dimensiones de malla. En el caso que nos ocupa, el electroimán está formado por chapas apiladas de material ferromagnético tipo 270-50 (M-19). Al no encontrarse este material en la librería de materiales disponible del programa, se procede a la creación del material. En este caso, se introduce la característica magnética, densidad,… La figura IV.22 muestra los datos pertenecientes a la curva B/H introducidos en el programa. Figura IV.22 Creación M-19 en el FLUX 3D. 67 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Disponiendo de todos los materiales necesarios para definir el problema, se debe asignar a cada volumen el material que le corresponde. Para el estudio del electroimán, se dispone de dos volúmenes metálicos y dos más de aire, que será el que se encuentre entre las piezas metálicas y el contorno exterior. Además de definir el tipo material del que está formada cada pieza, se deben especificar unas condiciones mecánicas que el programa denomina “mecanical sets”. Para el estudio del electroimán se han utilizado tres tipos diferentes de condiciones mecánicas. La primera de ellas, condiciona la pieza a la que está enrollada la bobina, se asigna como pieza fija. La segunda condición, es la de pieza móvil, se asigna a la pieza superior. La condición de pieza móvil se asigna a esta pieza, ya que para el estudio del dispositivo se realizarán mediciones de los distintos parámetros con varios entrehierros. La última condición, comprensible, es la que se asigna a los volúmenes de aire, de modo que al mover la pieza móvil el volumen de aire ocupe de nuevo todo el espacio disponible. Otros parámetros importantes en el problema son las características de la bobina y la corriente que circulará por los conductores que la forman. En este caso, se ha elegido una bobina de sección rectangular con 1000 conductores en serie. La figura IV.23 muestra las dimensiones y parámetros introducidos en el programa para definir dicha bobina. Figura IV.23 Características de la bobina. Introducidos todos los parámetros que definen el electroimán, se malla toda la geometría. La figura IV.24 muestra la diferencia de malla entre la pieza metálica y el aire. 68 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.24 Pieza mallada sin las simetrías visibles. Para automatizar el cómputo del flujo, inductancia, fuerza en función del desplazamiento (y) se crean una serie de sensores. Estos sensores obtendrán un dato para cada posición de la pieza móvil. La figura IV.25 muestra el sensor 5 que calcula el flujo concatenado a través de la bobina. Figura IV.25 Sensor de flujo concatenado. Del mismo modo, se automatiza el desplazamiento de la pieza metálica superior, para ello se crea una función donde se introduce el número de movimientos a realizar, así como la distancia que se mueve en cada paso. Para el estudio del comportamiento del electroimán se ha variado el entrehierro de 1mm a 30mm en intervalos de 1 mm. El siguiente paso es la resolución del problema. Una vez resuelto se obtienen los datos calculados para cada posición de la pieza móvil. El Flux permite representar gráficamente 69 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos estos datos o exportarlos en formato archivo de texto. También se puede representar gráficamente la inducción, flujo magnético, etc. Figura IV.26 Distribución de la inducción en 3D Figura IV.27 Líneas de inducción magnética constante 70 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.28 Distribución de flujo magnético en 2D. Figura IV.29 Distribución de flujo magnético en 3D. 71 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos IV.4 Comparación de los Resultados Obtenidos con FLUX 3D. FEMM 2D y Las simulaciones se han realizado con las mismas dimensiones de malla y las mismas dimensiones de contorno para poder comparar los resultados obtenidos en dos y tres dimensiones. Para las simulaciones con el FEMM 2D se han utilizado cuatro dimensiones de malla distintas, por lo que se han obtenido cuatro resultados para cada parámetro estudiado, mientras que con el FLUX 3D se ha simulado con las mismas cuatro dimensiones de malla, y para cada dimensión de malla se han realizado cálculos con elementos de primer y segundo orden, de modo que han resultado un total de ocho datos para cada parámetro estudiado. Se han utilizado diferentes medidas de malla y distinto orden en los polinomios para comprobar los cambios en los resultados obtenidos. De esta forma se obtendrá un conocimiento de la precisión de los cálculos y el tiempo que tarda cada programa en la resolución de los mismos. IV.4.1 Flujo Magnético Concatenado en la Bobina FiguraIV.30 Flujo magnético concatenado. 72 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.31 Leyenda representación FEMM 2D y FLUX 3D. En la figura IV.30 se puede ver como el flujo que concatena la bobina disminuye a medida que el entrehierro va aumentando. Al tratarse de un circuito magnético en serie, el flujo magnético que circula a través del material ferromagnético es constante en todas las partes para el mismo entrehierro. Del este modo, a medida que se aumenta el entrehierro aumenta la reluctancia magnética del aire, con lo que por la ley de Ohm magnética, siendo la fuerza magneto-motriz constante, el flujo deberá disminuir. (IV.1) (IV.2) En los resultados obtenidos, igual con el FEMM 2D que con el FLUX 3D, se observa cómo se reduce el flujo concatenado a medida que aumenta el entrehierro, pero existe una diferencia importante al comparar los resultados de los dos programas. Los datos obtenidos con el FEMM 2D son ligeramente inferiores a los obtenidos con FLUX 3D. Esto se debe a la influencia de las cabezas de las bobina. Mediante el estudio del dispositivo en dos dimensiones no se tiene en cuenta la influencia de las cabezas de bobinas, es decir, se desprecia el campo magnético que crean los conductores en esta parte de la bobina. Existen estudios realizados para accionamientos de reluctancia conmutada [1], [2], donde el estudio del efecto de las cabezas de bobinas llega a suponer un incremento de entre un 20% a un 40% en la permeancia del circuito magnético. Figura IV.32 Detalle entre simulación 2D y 3D de la bobina. 73 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos La figura IV.32 muestra las partes de la bobina que tienen en cuenta los programas de dos y tres dimensiones a la hora de realizar las simulaciones. Como se indica en la figura, los programas en dos dimensiones usan la sección y la profundidad de la bobina, de manera que desprecian el campo magnético que se produce en los conductores que forman la cabeza de cada bobina. Los programas en 3D modelizan completamente la bobina para ser idéntica a la realidad, de forma que al comprar los resultados obtenidos en 2D y 3D es lógico que el flujo magnético concatenado que resultará del cálculo 3D sea mayor al resultado ofrecido por el 2D. IV.4.2 Inductancia en la Bobina. Figura IV.33 Inductancia en la bobina del electroimán. En la figura IV.33, de la misma forma que ocurre en la representación del flujo concatenado en la bobina, las soluciones aportadas por el FEMM 2D y por el FLUX 3D son semejantes, siendo más reducidas las inductancias calculadas en dos dimensiones. La inductancia ha sido calculada como cociente entre el flujo magnético concatenado en la bobina y la corriente eléctrica que circula a través de los conductores de dicha bobina. Del mismo modo que en la comparación del flujo magnético concatenado, la diferencia entre los valores de las inductancias mostradas por los dos programas de elementos finitos se debe a la consideración de la influencia de las cabezas de las bobinas. 74 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos IV.4.3 Fuerza de Atracción Magnética. Figura IV.34 Fuerza de atracción ejercida por la pieza móvil. La figura IV.34 muestra la fuerza con la que es atraída la pieza móvil del electroimán para las diferentes dimensiones del entrehierro. Se puede apreciar, como a medida que entrehierro va aumentando, la fuerza de atracción ejercida disminuye. Esto se debe al incremento de la reluctancia del aire a medida que aumenta el entrehierro, este hecho hace disminuir el flujo magnético, como se ha mostrado en la figura IV.30, y en consecuencia se reduce la fuerza de atracción entre las dos piezas metálicas. Los resultados obtenidos con las simulaciones en 2D y 3D son bastante similares, aunque a diferencia de las gráficas de inductancia y flujo concatenado, los resultados en tres dimensiones han resultado inferiores. Esto se debe a las diferencias existentes en el cálculo del campo magnético por medio de programas en 2D y 3D. Las figuras IV.35 y IV.36 muestran los niveles de inducción magnética que presenta el electroimán para una posición determinada de la pieza móvil. La distribución de la inducción en programas 2D se representan mediante un plano. Estos programas realizan los cálculos para una sección determinada del dispositivo y a continuación superponen los resultados según la profundidad de dicho dispositivo para obtener unos datos completos y orientativos de la pieza que se estudia. Por otra parte, los programas en tres dimensiones, al poder reproducir la pieza idéntica a la realidad se puede estudiar en todas sus dimensiones, de forma que, el programa al realizar la simulación está teniendo en cuenta la morfología completa del dispositivo. Comparando las distribuciones de la inducción magnética en las dos figuras se observan las diferencias en cuanto a la forma de obtener los resultados. Por ejemplo, si cortáramos la figura IV.35 en varios planos verticales, en cada plano visualizaríamos una distribución de la inducción magnética diferente, en cambio, el programa en 2D consideraría la misma distribución de la inducción para todos los planos. 75 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.35 Distribución de la inducción en 3D. Figura IV.36 Distribución de la inducción en 2D. IV.4.4 Energía Las gráficas que a continuación se muestran corresponden a la energía calculadas en los diferentes volúmenes que se han estudiado en las simulaciones del electroimán mediante los programas ya mencionados anteriormente. 76 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.37 Energía en la parte móvil. Figura IV.38 Energía en la parte fija. 77 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.39 Energía en el aire. Figura IV.40 Energía en todo el dominio estudiado. La energía del campo magnético en la parte fija y móvil del dispositivo disminuye a medida que aumenta el entrehierro, hecho que se debe a la disminución del flujo magnético que también disminuye al aumentar dicho entrehierro. Para estos dos volúmenes, la diferencia entre los datos obtenidos mediante las simulaciones con FEMM 2D y Flux 3D 78 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos son grandes en el intervalo de entrehierro entre 1mm y 10 mm. Para un entrehierro entre 11 mm y 30 mm los resultados son similares. También se ha calculado la energía que contiene el volumen de aire creado. Para ello, como se explicó en apartados anteriores, se ha dimensionado el contorno exterior de los problemas con las mismas dimensiones, aunque existen unas pequeñas diferencias. El contorno creado para la simulación en dos dimensiones es un cuadrado. Al calcular la energía que contiene el volumen de aire, el programa realiza los cálculos para el plano y luego estima el resultado para toda la figura según la profundidad que el usuario ha introducido para el dispositivo electromagnético. De este modo, se entiende que el programa desprecia dos volúmenes de aire respecto del volumen que utiliza del Flux 3D. Dichos volúmenes son los que existen entre las cabezas de bobina y el contorno exterior. Aun despreciando los volúmenes de aire citados, los datos obtenidos con el FEMM 2D para la energía en el aire y todo el dominio resulta bastante superior a los datos obtenidos con el Flux 3D. Como ya se ha mencionado antes, esta diferencia entre los resultados puede deberse a la estimación que realiza el FEMM 2D para obtener los resultados de un volumen a partir de los datos pertenecientes a un plano. IV.4.5 Dimensiones de Malla y Tiempos de Cálculo. Hasta el momento, se han mostrado los resultados de las fuerzas, inductancias, flujos magnéticos, energías obtenidas en las simulaciones mediante los software FEMM 2D y Flux 3D. Como se ha podido observar existen algunas diferencias entre los resultados aportados por los dos programas para un mismo estudio. En el presente apartado, se muestran los tiempos de cálculo, así como la cantidad de nodos que se han creado según la mida de malla utilizada y el orden de los polinomios. Figura IV.41 Nodos para distintas dimensiones de malla del FEMM 2D. 79 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Los número de nodos que utiliza el FEMM 2D para simular el problema electromagnético viene determinado por la mida de malla utilizada. Cuanto más reducida sea la mida de malla, más nodos contendrá el problema, y por lo tanto más fiables serán los resultados obtenidos. Figura IV.42 Nodos para distintas dimensiones de malla del FEMM 2D y Flux 3D. En la figura IV.42 se muestra la comparación entre el número de nodos obtenido con las simulaciones de la misma pieza con FEMM 2D y con Flux 3D. Existe una gran diferencia de la cantidad de nodos estudiados en cada programa. Estas diferencias se deben claramente al condicionamiento del estudio en dos y tres dimensiones. Mientras que el Flux 3D malla la totalidad del volumen, el FEMM 2D únicamente malla un plano, cuyos datos, posteriormente son utilizados para realizar una estimación de la pieza entera. Un ejemplo de la diferencia que existe entre ambos programas en cuanto al número de nodos generados, para una mida de malla de 1,5 mm, con el FEMM 2D se han generado casi 14.000 nodos, mientras que para la mismo problema con el Flux 3D utilizando polinomios de 2º orden se han generado más de 1,9 millones de nodos y con polinomios de 1º orden 245.000 aproximadamente. En este caso los nodos generados por el FEMM 2D representan aproximadamente el 0.74% respecto los generados por el Flux 3D con polinomios de 2º orden y el 5.71% respecto los generados con polinomios de 1º orden. Una vez comparados los nodos generados por cada programa, y según el tipo de malla utilizada, dadas las importantes diferencias obtenidas, es necesario observar los tiempos de cálculo que ha requerido cada software. Para la realización de todos los cálculos existentes en el presente proyecto se ha utilizado un PC con microprocesador Intel Core TM i7@860 2.80 GHz con 16 GB de RAM. 80 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos Figura IV.43 Tiempo de cómputo para distintas dimensiones de malla con FEMM 2D. Figura IV.44 Tiempo de cómputo para distintas dimensiones de malla con Flux 3D y FEMM 2D. Como se puede apreciar en las dos gráficas anteriores, las diferencias en los tiempos de cálculo empleados por cada programa son importantes. Este resultado era de esperar al ver la diferencia existente entre el número de nodos que ha generado cada programa. Para un mida de malla de 1,5 mm el FEMM 2D ha empleado 82 segundos en realizar los cálculos de las 30 posiciones del electroimán, mientras que el Flux 3D ha tardado 234 minutos en realizar los mismos cálculos utilizando polinomios de 1º orden y 828 minutos en realizarlos con polinomios de 2º orden. Por otro lado, la influencia de las midas de malla y el factor de polinomio utilizado ha quedado reflejada principalmente en los tiempos de cálculo empleados por los programas, 81 CAPÍTULO IV: Estudio Electromagnético de un Electroimán por el Método de los Elementos Finitos mientras que apenas se aprecian algunas diferencias en los resultados obtenidos de fuerzas, flujos, inductancias y energías. 82 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 CAPÍTULO V ESTUDIO ELECTROMAGNÉTICO DE UN LSRM CON FLUX 3D 10.4 V.1 Dimensiones y parámetros principales del LSRM 4-2 8/6 V.2 Construcción del LSRM 4-2 8/6 con FLUX 3D. V.3 Análisis de resultados. 83 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.1 Dimensiones y Parámetros Principales del LSRM 4-2 8/6 Las dimensiones del LSRM 4-2 8/6 que se simulará mediante el programa de elementos finitos Flux 3D se exponen en la siguiente tabla. SÍMBOLO VALOR Numero de fases m 4 Ancho polo estator bp 6 mm Ancho ranura estator cp 6 mm Paso polar primario Tp 12 mm Nº de polos activos Np 8 Longitud sección estatórica lp 30 mm Ancho polo translator bs 7 mm cp 9 mm Paso polar secundario Ts 16 mm Nº de polos inactivos Ns 6 Ls 7 mm Lw 30 mm Ancho ranura translator Longitud sección translator Ancho motor Entrehierro g 0.5 mm Paso PS 4 mm Nº de espiras por polo N1 11 Diámetro espira dc 2.1 mm Ancho yugo estator hy 8 mm Tabla V.1 Dimensiones LSRM 4-2 8/6 [7] Figura V.1 Dimensiones LSRM 4-2 8/6. 84 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.2 Construcción del LSRM con FLUX 3D. V.2.1 Aplicación Magneto-estática Para la simulación del LSRM con el programa de elementos finitos Flux 3D, en primer lugar al abrir la aplicación escogeremos la opción “magneto-estatic 3D aplication”. Con el estudio del motor mediante esta aplicación se pretende realizar una comparación de los resultados obtenidos a partir del prototipo real y de esta forma conocer las variaciones que aporta el programa respecto la realidad. V.2.2 Simetrías El estudio del LSRM con Flux 3D se ha realizado con polinomios de 2º orden, por ello, al ser la cantidad de datos que el programa debe calcular más voluminosos, se han utilizado las simetrías en el plano XY, de forma que solo se ha construido media figura. Como se puede apreciar en la figura V.2 se ha definido el campo magnético normal al plano de simetría. Figura V.2 Plano de simetría XY. V.2.3 Ejes de Coordenadas Definido el plano de simetría que se va a utilizar (fig. V.2), se procede a la creación de los ejes de coordenadas necesarios para definir la geometría del motor. Se ha creado un eje de coordenadas para el estátor superior, otro para el rotor y uno para cada bobina del estator superior. Puesto que se ha definido el plano de simetría, no es necesario crear ejes de coordenadas ni para la parte inferior del estator ni para las bobinas que se alojarán en dicha parte. Las figuras que se presentan a continuación muestran la creación de ejes de coordenadas para el estátor, rotor y una bobina. Todos estos ejes de coordenadas se han creado respecto el eje de coordenadas XYZ que el Flux 3D crea por defecto. 85 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.3 Ejes de coordenadas para a) Estator. b) Rotor. c) Bobina. Figura V.4 Ejes de coordenadas. V.2.4 Geometría Creados los ejes de coordenadas, se introducen las coordenadas de los puntos que formarán la figura. Una vez creados todos los puntos se unirán mediante líneas conformando la geometría. La figura V.5 muestra la geometría en el plano XZ del LSRM conformada a partir de los puntos y líneas. 86 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.5 Geometría del LSRM en el eje XZ. A continuación para crear la figura completa, el Flux 3D dispone de un comando “extrusion” en el que se le introduce la anchura del motor, en este caso Lw, y automáticamente el programa crea todos los puntos y líneas que conforman la geometría completa de la figura. Figura V.6 Geometría de una parte del LSRM. Una vez creada la geometría de una parte del LSRM y en consecuencia toda la figura al estar trabajando con simetrías, se crean las caras y volúmenes. Figura V.7 Caras y volúmenes del LSRM. 87 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.2.5 Contorno Exterior Como ya se mencionó en capítulos anteriores, al realizar un estudio electromagnético es necesario limitar la región de aire a estudiar. Para ello se crea un contorno exterior que el Flux denomina “infinite box”. Flux impone un flujo de campo magnético cero a través de las caras que forman dicho contorno. La figura V.8 muestra las dimensiones del contorno exterior que se ha utilizado en la simulación del LSRM. Figura V.7 Dimensiones que se introducen para crear el contorno exterior. Figura V.8 Dimensiones del contorno exterior. Figura V.9 Detalle “infinite box” 88 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.2.6 Midas de Malla Creada la geometría completa del LSRM se debe asignar a cada volumen el material del que está formado y las dimensiones de la malla que se quieren utilizar para realizar la simulación. Para especificar las dimensiones de malla se crean unos parámetros denominados por el programa “mesh point”. Las figuras que a continuación se presentan, muestran la mida de malla utilizada en el estator, rotor, aire y caras de los polos del estator y rotor. Figura V.10 Mida de malla “infinite box”. Figura V.11 Mida de malla estator y rotor. Figura V.12 Mida de malla para caras del estator y el rotor. 89 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.13 a) LSRM mallado. b) Detalle de los polos del rotor. La mida de malla de las caras de los polos del estator y del rotor es reducida debido a que es aconsejable utilizar midas de malla reducidas donde las variaciones de los campos magnéticos sean importantes, como sucede en este caso al mover el rotor desde la posición de los polos no alineada a alineada. V.2.7 Asignación de Regiones y Materiales El motor lineal de reluctancia conmutada que se quiere simular con el Flux 3D está formado por dos partes fijas (estator superior e inferior) y una parte móvil (rotor). Estas tres partes están formadas por chapas apiladas de material ferromagnético tipo 270-50 (M19). Como ocurrió en el capítulo IV, este material no se encuentra en la librería de materiales, por ello se crea a partir de su curva de magnetización. Disponiendo de todos los materiales que forman parte del motor, se asigna a cada volumen el material que corresponda. Las figuras V.14 muestra la asignación de aire al volumen que existe entre el LSRM y el contorno exterior, y la figura V.15 muestra la asignación del material ferromagnético al rotor. Figura V.14 Asignación del volumen de aire. 90 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.15 Asignación del material ferromagnético al volumen del rotor. V.2.8 Asignación de Partes Móviles, Fijas y Compresibles El Flux denomina “mecanical sets” la asignación de los distintos volúmenes que constituyen el motor y el aire que lo rodea para definirlos como fijos, móviles o compresibles. Para ello, asigna las dos partes del estator como fijas, el rotor móvil y el aire que lo rodea compresible. Las figuras siguientes muestran la asignación de “mecanical sets”. Figura V.16 asigna al aire como volumen comprensible. Figura V.17 Asigna los dos estatores como partes fijas. 91 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.18 Asigna el rotor como volumen fijo. V.2.9 Bobinas Las dimensiones de las bobinas, igual como las dimensiones del circuito magnético, son muy importantes que se asemejen lo máximo posible a la realidad, ya que se realizará una comparación de los datos obtenidos y cualquier variación en las dimensiones de algún parámetro podría hacer que los resultados obtenidos no fuesen acordes a los esperados. El LSRM simulado con el Flux 3D dispone de 16 bobinas todas iguales, divididas en 4 fases. La figura V.19a muestra el LSRM con todas sus bobinas, mientras que la figura V.19b muestra las bobinas activas durante la alineación de los polos B. Figura V.19 a) LSRM completo. b) LSRM con las bobinas de la fase B. Las figuras 20 a, b y c muestran los parámetros que modelizan las bobinas. 92 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.20 Dimensiones de la bobina. Figura V.21 Simetrías, conductividad, espiras y densidad. 93 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.2.10 Corriente en las Bobinas Para el estudio del LSRM se han realizado simulaciones con densidades de corriente de 5, 10, 15, 20 A/mm2. Se ha tenido en cuenta las direcciones de las corrientes en las bobina para el flujo magnético creado por cada bobina sea en la misma dirección. La figura V.22 muestra la dirección del flujo mediante la representación de vectores de densidad de flujo magnético. Figura V.22 Flujo magnético para los polos A alineados. V.2.11 Automatización del Movimiento Para automatizar el movimiento del rotor se crea lo que el Flux denomina un “scenario”. Se trata de un intervalo de posiciones en las que el rotor se moverá y en cada una de estas posiciones se tomarán los valores de fuerza, inductancia, energía,… Para el estudio del LSRM se toman las distancias que comprenden la posición de no alineamiento y alineamiento. Esta distancia es de 8 mm y los movimientos se han hecho a intervalos de 0.25 mm. La figura V.23 muestra la creación del intervalo de movimiento. Figura V.23 Intervalo de posiciones. 94 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.2.12 Sensores Flux permite la posibilidad de crear sensores para medir la fuerza, energía, flujo magnético concatenado en la bobina, etc., en cada posición definida por el intervalo de posiciones. Para el estudio del LSRM se han creado sensores para medir la fuerza del rotor, flujo magnético concatenado en las bobinas y energía que contiene el campo magnético en todo el dominio, en el rotor y en el estator. Las figuras siguientes muestran el sensor creado para el cálculo del flujo magnético concatenado en la bobina nº1 y el sensor para el cálculo de la energía contenida en el campo magnético del rotor. Figura V.24 Sensor para el cálculo del flujo magnético concatenado. Figura V.25 Sensor para el cálculo de la energía del campo magnético en el rotor. V.2.13 Resolución del Problema. Estando creados todos los parámetros que definen el LSRM se puede simular. Se han realizado simulaciones para las cuatro intensidades citadas en el presente capítulo y para el alineamiento de las cuatro fases del motor, de modo que se han realizado un total de 16 simulaciones, teniendo en cuenta que para cada simulación se ha empleado un promedio de 16 horas, hacen un total de 256 horas. 95 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.2.14 Resultados El flux permite representar los resultados obtenidos en gráficas en dos y tres dimensiones de los parámetros estudiados, además de representaciones en escalas de colores de la inducción, flujo magnético, etc. También permite exportar los resultados en formato archivo de texto. V.3 Análisis de Resultados V.3.1 Fuerzas Las fuerzas se han calculado para la posición de polo desalineado hasta la de alineamiento, para cada fase y para cada densidad de corriente. A continuación se muestran las gráficas de fuerzas estáticas obtenidas con Flux 3D y se compara con datos reales de fuerzas medidas en estudios anteriores [3] Figura V.26 Leyenda para las gráficas de comparación entre fuerzas medidas y calculadas con Flux 3D. Figura V.27 Comparación de los resultados experimentales de la fuerza de propulsión con los resultados por elementos finitos (Flux 3D) para la fase A. 96 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.28 Comparación de los resultados experimentales de la fuerza de propulsión con los resultados por elementos finitos (Flux 3D) para la fase B. Figura V.29 Comparación de los resultados experimentales de la fuerza de propulsión con los resultados por elementos finitos (Flux 3D) para la fase C. 97 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.30 Comparación de los resultados experimentales de la fuerza de propulsión con los resultados por elementos finitos (Flux 3D) para la fase D. Figura V.31 Comparación de los resultados experimentales de la fuerza de propulsión para las cuatro fases 98 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.32 Comparación de los resultados de la fuerza de propulsión obtenida con el flux 3D para las cuatro fases. Figura V.33 Fuerzas para la fase A obtenidas con Flux 3D en función de la densidad de corriente y la posición del rotor. 99 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.34 Fuerzas para la fase B obtenidas con Flux 3D en función de la densidad de corriente y la posición del rotor. Como se puede apreciar en las figuras V.27, V.28, V.29, V.30 los datos obtenidos con el Flux 3D se asemejan bastante a los obtenidos experimentalmente. Se debe tener en cuenta que los datos experimentales poseen un nivel de error debido a los aparatos de medida. También puede influir el posicionamiento del rotor ya que es difícil realizar las medidas con precisión con intervalos de 0.5 mm. La figura V.31 muestra los resultados de las fuerzas experimentales existentes para cada fase y cada densidad de corriente. Se aprecia que existe una pequeña variación entre las distintas fases para las mismas densidades de corriente. Esto se puede deber, como en el caso anterior a errores debidos a los aparatos de medida o a pequeños errores en el posicionamiento del rotor, ya que las variaciones son reducidas. Del mismo modo, la figura V.32 muestra la misma comparación pero de fuerzas obtenidas con Flux 3D. En este caso, para las densidades de corriente de 5 A/mm2 y 10 A/mm2 las fuerzas coinciden para las cuatro fases, mientras que para densidades de corriente de 15 A/mm2 y 20A/mm2 coinciden las fuerzas de la fase A y D, y las de las fases B y C. Estas coincidencias se deben a que el motor es simétrico y existe una pequeña variación del circuito magnético cuando se excitan las fases A y D o B y C. 100 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.3.2 Flujo Magnético Concatenado en la Bobina Figura V.35 Flujo magnético concatenado por fases y densidades de corriente medido en la bobina superior izquierda de cada fase obtenido con Flux 3D. Figura V.36 Flujo magnético concatenado por fases y densidades de corriente medido en la bobina superior derecha de cada fase obtenido con Flux 3D. 101 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.37 Flujo magnético concatenado en la fase A en función de la posición y de la densidad de corriente obtenido con Flux 3D. Figura V.38Flujo magnético concatenado en una bobina de la fase A en función la posición y de la densidad de corriente. 102 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.39Flujo magnético concatenado en una bobina de la fase B en función la posición y de la densidad de corriente. Figura V.40 Flujo magnético concatenado en la fase B en función de la posición y de la densidad de corriente obtenido con Flux 3D. 103 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.3.3 Energía del Campo Magnético en el Estátor Figura V.41 Energía del campo magnético en el estátor por fases y densidades de corriente obtenido con Flux 3D. Figura V.42 Energía del campo magnético en el estátor excitándose la fase A en función de la posición y la densidad de corriente. 104 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.43 Energía del campo magnético en el estátor excitándose la fase B en función de la posición y la densidad de corriente. V.3.3 Energía del Campo Magnético en el Rotor Figura V.44 Energía del campo magnético en el rotor por fases y densidades de corriente obtenido con Flux 3D. 105 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.45 Energía del campo magnético en el rotor excitándose la fase A en función de la posición y la densidad de corriente. Figura V.46 Energía del campo magnético en el estátor excitándose la fase B en función de la posición y la densidad de corriente. 106 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 V.3.4 Energía del Campo Magnético en el Estátor, Rotor y Aire Figura V.4 Energía del campo magnético en el rotor, estátor y aire por fases y densidades de corriente obtenido con Flux 3D. Figura V.48 Energía del campo magnético en el rotor, estátor y aire excitándose la fase A en función de la posición y la densidad de corriente. 107 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.49 Energía del campo magnético en el rotor, estátor y aire excitándose la fase B en función de la posición y la densidad de corriente. V.3.5 Inducción Magnética Figura V.50 Inducción en el LSRM estando alineada la fase A para una densidad de corriente de 15 A/mm2. 108 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 Figura V.50 Inducción en el LSRM estando alineada la fase B para una densidad de corriente de 15 A/mm2. x=0 mm x=0.25 mm x=0.5 mm x=0.75 mm x=1 mm x=1.25 mm x=1.5 mm x=1.75 mm 109 x=2 mm CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 x=2.25 mm x=2.5 mm x=2.75 mm x=3 mm x=3.25 mm x=3.5 mm x=3.75 mm x=4 mm x=4.25 mm x=4.5 mm x=4.75 mm x=5 mm x=5.25 mm x=5.5 mm x=5.75 mm x=6 mm x=6.25 mm x=6.5 mm 110 CAPÍTULO V: Estudio Electromagnético de un LSRM con Flux 3D 10.4 x=6.75 mm x=7 mm x=7.25 mm x=7.5 mm x=7.75 mm x=8 mm Tabla V.2 Inducción magnética excitándose la fase B con 15 A/mm2 para las 33 posiciones. 111 REFERENCIAS REFERENCIAS [1] J. Fraile Mora, Máquinas eléctricas, Mc Graw Hill, 2003. [2] M. Torrent Burgues, Aportaciones al diseño y caracterización del motor de reluctancia autoconmutado, Tesis doctoral 2002. [3] J. Garcia Amorós, Aportaciones al diseño y caracterización del motor lineal de reluctancia autoconmutado, Tesis doctoral 2010. [4] R. krishnan, Switched reluctance motor drives, CRC, 2001. [5] http://www.directindustry.es/prod/[dunkermotoren], 2012. [6] User’s manual Finite elements method magnetic, [email protected], D. Meeker, 2010. [7] User’s guide Flux 10, Cedrat, 2010, http://www.cedrat.com [8] J. Sarraté i R. Clarisó, El método de los elementos finits en problemas electromagnéticos: planteamiento y aplicaciones, Revista internacional de métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniería, vol 17, 219-248, 2001. [9] A. Michaelides, C. Pollock, “Effect of End Core Flux onthe Performance of the Switched Reluctance Motor” IEEProceedings Electric Power Applications, vol. 141, no. 6,pp. 308316, 1994. 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