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Repartido 2
Profesor Fernando Díaz
Matemática II
5to cient. I.D.A.L. 2016
Actividad 1
Recordando al teorema de la bisectriz interior demostrado en clase, podemos decir que en el
siguiente triángulo T(ABC)
𝐴𝐷 𝐵𝐷
=
𝐴𝐶 𝐵𝐶
Recordando la definición de bisectriz exterior, demuestra el siguiente teorema: En cualquier
triángulo T(ABC), la bisectriz exterior de uno de sus ángulos, determina en la prolongación del
lado opuesto dos segmentos proporcionales a los lados que forman el ángulo interior del ángulo
exterior en cuestión
Teorema de la bisectriz exterior
H)
T)
DMT)
𝐴𝐸
𝐴𝐶
=
𝐵𝐸
𝐵𝐶
Actividad 2
a) De un triángulo T(ABC) se sabe que b=4cm , a=3cm y la razón
𝐼𝐵
𝐼𝐶
3
2
= siendo I el punto de
intersección de la bz del ángulo A con el lado BC. Construir el T(ABC)
b) Dado el T(MNP) con MN=5cm NP= 7cm y MP= 3cm . siendo R y S los puntos de
intersección de las bisectrices interior y exterior del ángulo M con la recta NP. Calcular
las medidas de los segmentos MR, PS y RS
c) Dado el triángulo ABC con M punto medio de BC, se traza la bz del ángulo AMB, que
corta a AB en D. Luego la bz de AMC que corta a AC en E. Demuestra que DE es paralela
a BC
Actividad 3
Recordando la definición de Homotecia
a) Construir un triángulo T(ABC) equilátero, siendo M el punto medio de AB, determina su
baricentro y llámalo O.
i. construir H M,-2(ABC)=A’B’C’
i. sabiendo que H O,k(C)=M hallar el valor de k
¿Qué conclusión puedes sacar acerca de las homotecias inversas?
b) Dado el cuadrado (ABCD), tal que el punto medio de CD es M, y N el centro del cuadrado.
a. Hallar centro y razón de la homotecia que transforma al punto D en M y al punto
A en N
b. Hallar centro y razón de la homotecia que transforma al punto A en C y al punto
B en D. ¿ Cuál es la imagen de N en esa homotecia? ¿Y de M?
c) En la figura tienes un triángulo rectángulo ABC y su homotético A’B’C’.
i. Halla la razón de la homotecia y calcula todas las dimensiones de los
dos triángulos.
ii. ¿Qué relación hay entre los perímetros de figuras homotéticas?
d) En la figura tienes dos triángulos. Determina si son homotéticos y calcula, en su caso, el
centro, la razón de la homotecia y las dimensiones de los triángulos.
e) Siendo ABCD un rectángulo tal que AB= 2. BC. Sobre la recta AB, se determina un punto
E, exterior al segmento AB tal que BE=BC. Y la Cfa C1 que pasa por los cuatro vértices del
rectángulo.
a. Hallar la imagen del punto C, en la homotecia que transforma B en A y tiene
centro E
b. Construye la cfa homotética de la C1 y llamala C2 ¿qué relación hay entre el radio
de las circunferencias? ¿Y entre sus áreas?
Actividad 4
1) Considere la siguiente figura
Sabiendo que existe una Homotecia que
transforma A en H y B en F,:
a) Hallar E, la imagen de C en la misma
homotecia
b) Demuestra que la recta EF es
perpendicular a AC
2) Dados los puntos A y B tales que AB=8cm, C1 y C2 dos circunferencias de centro A y
radio 4, y centro B y radio 2 respectivamente.
a. Hallar centro y razón de las dos homotecias que transforman C2 en C1
b. Determinar la distancia entre los centros de dichas homotecias
Semejanza de triángulos
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados
homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de
semejanza.
ACTIVIDADES 5
1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un
poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
2.Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos
de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Criterios de semejanza de triángulos
1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
3)
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
4)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos igual.
ACTIVIDAD 6.
Razona si son semejantes los siguientes triángulos:
Criterios de semejanza de triángulos rectángulos
1)Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
2)Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
3)Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un
cateto.
Actividad 7
a) Demuestra que: en todo triángulo T(ABC), si llamamos D el pie de la altura del vértice
A, determina dos triángulos T(ABD) y T(ACD) semejantes
b) Encuentra los lados desconocidos:
i)
ii)
C)
Un cateto de un triángulo rectángulo mide 6 cm y su proyección sobre la hipotenusa mide 2 cm.
Determinar los otros dos lados y la altura sobre la hipotenusa.
d) Calcula h en la siguiente figura:
e) Encuentra los lados desconocidos:
i)
ii)