Download Unidad 3 Geometria Semejanza y Angulos en la Circunferencia

Área de Texto San Mateo 2º Medio
PROGRAMACIÓN DEL ALUMNO.
SECTOR DE FORMACIÓN
MATEMÁTICA
ÁREA TEMÁTICA
MATEMÁTICA
NIVEL
SEGUNDO AÑO MEDIO
PROFESOR
MARCIA MEDINA TORRES
o
UNIDAD DIDÁCTICA N 3
MANOS A LA OBRA
TIEMPO
40 a 45 hrs
APRENDIZAJES ESPERADOS:
Los alumnos:
1. Dividirán armónicamente un segmento dado en una razón dada usando regla y compás.
2. Trazarán la circunferencia de Apolonio en un segmento dado.
3. Comprenderán el Teorema de Thales y lo aplicarán en la resolución de problemas.
4. Realizarán conjeturas y demostraciones de propiedades geométricas asociadas a las
proporcionalidad de trazos.
5. Conocerán los criterios de congruencia de triángulos y los aplicarán en el análisis de
diferentes polígonos y en la resolución de problemas.
6. Conocerán los criterios de semejanza de triángulos y los aplicarán en el análisis de diferentes
polígonos y en la resolución de problemas.
7. Aplicarán la semejanza de triángulos para deducir los teoremas de Pitágoras y Euclides.
8. Aplicarán los teoremas de semejanza para deducir otros relacionados con los segmentos
proporcionales en el círculo.
9. Valorarán la influencia de la geometría en expresiones artísticas.
ACTIVIDADES SUGERIDAS:

Realizan construcciones geométricas necesarias como introducción al tema.

Aprecian la importancia de las construcciones geométricas con regla y compás para comprobar
los resultados.

Dividen interior y exteriormente un segmento en una razón dada.

Usan los métodos de división interior y exterior en forma simultánea para dividir un segmento
armónicamente.

Trazan la circunferencia de Apolonio.

Aplican el teorema de Thales y de la bisectríz.

Identifican figuras congruentes.

Aplican los criterios de congruencia en demostración de teoremas sobre triángulos y polígonos

Diferencian figuras semejantes de las figuras congruentes.

Aplican los criterios de semejanza en demostración de teoremas sobre triángulos y polígonos.

Deducen los teoremas de Euclides y de Pitágoras usando semejanza de triángulos.

Aplican los teoremas de Euclides y de Pitágoras.

Investigan y profundizan los contenidos en la bibliografía sugerida:
Matemática 2 , Gonzalo Riera Lira, del Ministerio de educación, Cap.4 pág. 136 –163
Álgebra Arrayan ,Editores
Cap. 3 pág. 151 – 174

Realizan un constante trabajo individual y grupal.

Trabajan en los apuntes de Unidad 3.
CONTENIDOS :
1. División de un trazo en una razón dada.
2. División interior y exterior de un trazo en una razón dada.
3. División armónica.
4. La circunferencia de Apolonio
5. Teorema de Thales
6. Coingruencia de triángulos
7. Semejanza de triángulos
8. Teorema de Pitágoras
9. Teorema de Euclides
10. Segmentos proporcionales en el círculo.
11. Sección Aurea o divina
Área de Texto San Mateo 2º Medio
I.
DIVISIÓN EN
“ DEDANS ”
PERO
ANTES…
Y
EN
“ DEHORS ”
Presentaré la importancia de dividir
segmentos en geometría. Más aún, el
aporte que dejaron algunos matemáticos
en esta parte de la geometría… la
Geometría de Proporciones…
Lagrange, matemático francés dio nombre de división interior a la división por defecto
porque “ el producto del divisor por el cociente cae dentro ( en dedans ) del dividendo.
Y dio nombre de división exterior a la división por exceso porque “ el producto del
divisor por el cociente cae fuera ( en dehors ) del dividendo…. ¿ qué otras cosas realizó
Lagrange ?
CONTENIDO
I
:
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO.
Se ve interesante el tema... Y
es Geometría… será más
entretenido . Ahora comenzaré
a investigar de qué se trata
SEGMENTOS PROPORCIONALES.
La razón entre dos trazos es el cuociente entre los números que expresan sus
longitudes, si se han medido en la misma unidad.
B
A
d
Ejemplo :
Los trazos AB y CD están en la razón de 3 : 4 , porque la
C
D
unidad “d” cabe 3 veces en AB y 4 veces en CD .
“ Dos trazos son proporcionales a otros dos , cuando la razón que existe entre las dos
primeras , es igual a la razón entre las dos últimas “ .
a
b
c
Ejemplo : Si se dan los 4 trazos siguientes :
a = 4 cm
;
b = 2 cm
c = 6 cm
;
d = 3 cm
a
4
=
= 2
La razón entre los dos primeros trazos es :
b
2
La razón entre los dos últimos trazos es :
c
6
=
= 2
d
3
d
Área de Texto San Mateo 2º Medio
Se dice , entonces que los trazos “a” y “b” son PROPORCIONALES con “c” y “d” , es
a
c
decir :

b
d
DIVIDIR UN TRAZO EN UNA RAZON DADA.
Problema:
Dividir un trazo AB en un número cualquiera de partes iguales.
A
Solución : Sea AB , el segmento.
Lo dividimos en 5 partes iguales.
Se traza un rayo indefinido AC ( línea auxiliar ).
A partir del punto
“A” , AC se divide en 5
partes de igual longitud arbitraria.
Se une C con B.
Por los puntos de división de AC ,se trazan
B
paralelas a CB .
Estas paralelas , que determinan partes iguales
sobre AC , determinan también partes iguales sobre
C
AB .
Teorema :
En un trazo AB existe un sólo punto
extremos A y B del trazo , están en una razón dada.
Ejemplo : Dado el trazo AB
y sea C ese punto.
AC
Supongamos que
CB
Se dice en este caso que “ C

C
A
cuyas
distancias
C
B
3
4
divide interiormente al trazo AB “ en la razón 3 : 4.
PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO INTERIORMENTE.
Problema : Dividir un trazo AB interiormente en la razón
Solución :
Sea
2 : 3.
AB el trazo dado .
E
Por los extremos del segmento AB se trazan
L1 y L2 tales que L1 // L2
Se hace :
AE = 2 unidades arbitrarias
BF = 3 unidades arbitrarias
Se une E con F y se obtiene el punto C
AC 2
=
Resulta :
CB 3
A
B
C
L1
F
L2
Teorema : Sobre la prolongación de un trazo AB , existe un sólo punto cuyas
distancias a los extremos del trazo están en una razón dada.
A
B
C
a
los
Área de Texto San Mateo 2º Medio
Sea D el punto dado en la prolongación de AB .
Supongamos que
AC
BC
=
4
3
Se dice que “ D divide exteriormente al segmento AB “ en la razón de 4 : 3 .
PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN TRAZO EXTERIORMENTE.
L1
Problema : Dividir exteriormente un trazo AB
en la razón de 3 : 2 .
Solución :
Sea
L2
E
F
AB el trazo dado.
Por los extremos del segmento AB se trazan
L1 y L2 tales que L1 // L2
A
Se hace : AE = 3 unidades arbitrarias.
D
B
BF = 2 unidades arbitrarias.
Se une E con F y se prolonga hasta intersectar la proyección de AB en D.
Resulta :
AD
DB
=
AF
BE

3
2
DEFINICIÓN: Dividir un trazo armónicamente, es dividirlo interior y exteriormente en
una razón dada
PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR UN SEGMENTO ARMÓNICAMENTE EN UNA
RAZÓN DADA
Problema : Dividir un trazo dado AB , armónicamente , en la razón de 5 : 3 .
Solución :
-
Se dibuja el segmento AB .
-
En
ambos
extremos
copiamos
segmentos paralelos las longitudes
dando origen a los puntos R y T .
-
L1
L2
R
sobre
5 y 3
S
Uniendo R y T se determina el punto P de
división interior de AB
A
D
-
Así , P divide interiormente al trazo
AP 5
la razón 5 : 3 es decir :
=
PB 3
-
En dirección opuesta a BT dibujamos BS de longitud 3.
-
Se une R con S y se prolonga hasta intersectar la proyección de AB en D y
encontramos el punto exterior D .
-
Así, D divide exteriormente al trazo AB en la razón 5 : 3 , es decir : AD  5
-
AB
en
B
P
T
BD
Luego , resulta :
AP
AD
5
=

PB
BD 3
3
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LA CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
Es la circunferencia que tiene por diámetro el segmento o trazo formado por el punto
de división INTERIOR y el punto de división EXTERIOR de un trazo divido
armónicamente .
L1
Ejemplo :
Sea AB un trazo dado.
M es el punto de división interior en la razón
m : n.
N es el punto de división exterior en la razón
m : n.
Por lo tanto, el trazo AB está dividido
armónicamente, en una razón dada, m : n ,
por M y N .
Así ,
AM
MB
=
AN
BN

L2
A
B
M
N
O
T
m
n
Así , MN es el diámetro de la circunferencia de APOLONIO , cuyo centro es O .
E J E R C I C I O S.
I.
Divide en la forma indicada :
149. Divide el segmento dado en cinco partes iguales
150. Divide interiormente el trazo dado en la razón
3:5
151. Divide exteriormente el trazo dado en la razón
5:4
II.
Divide armónicamente los segmentos dados en la razón dada y además traza la
circunferencia de Apolonio :
152.
4:5
153.
5:3
TEOREMA DE THALES
40 cm
d
Teorema 1 : Si varias paralelas determinan segmentos
iguales en una de dos rectas transversales, determinan
también segmentos iguales en
la otra transversal.
t
t’
d
d
d
d
A
Es decir, según la figura :
B
Si
AA' // CC' ;
transversales y
A' B' = B' C'
si
t
y
AB = BC
t’
son dos
entonces
C
A’
B’
C’
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t
Teorema 2 : ( Teorema de Thales )
A
Si varias paralelas cortan a dos transversales
entonces estas determinan en ellas segmentos
correspondientes proporcionales.
Es decir :
BC
=
A’
B
Si t y t’ son dos transversales, y si
AB = BC entonces
AA' // BB' // CC' si
AB
t’
B’
C’
C
A' B'
B' C'
A
Teorema 3 : Si una recta es paralela a uno
de los lados de un triángulo, entonces los
otros dos lados quedan divididos en
segmentos proporcionales.
E
D
Es decir, en el triángulo ABC :
Si DE // BC
entonces AD = AE
DB
EC
B
C
Teorema 4 : ( Recíproco ) Si una recta divide dos lados de un triángulo en
segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado.
Es decir , en el triángulo ABC , anterior si
Si
AD
DB
=
AE
EC
entonces
DE // BC
A
Teorema 5 : El segmento que une los puntos
medios de un triángulo, es paralela al tercer lado
e igual a su mitad.
Es decir , en el triángulo ABC :
Si M y N son los puntos medios de AB y AC
BC
entonces MN // BC y
MN =
2
B
C
A
Teorema 6 : La bisectríz de un ángulo de un
triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos
proporcionales a los lados que forman ese ángulo.
Es decir, en el triángulo ABC :
Si AD biseca al ángulo A entonces
AB BD
=
AC DC
N
M
B
D
C
Área de Texto San Mateo 2º Medio
E J E R C I C I O S.
154. En la fig., si DE // BC
A
x
, AC = 12
155.
Si AB // EF // CD
A
5
D
E
B
2x+1
D
C
B
Para la siguiente figura,
C
7
5x–4
F
X+4
156.
E
4
L1 // L2 .
Determina el valor de “x” en cada caso :
AE = 2x - 1 , AB = x + 3
DE = x + 4 , BC = x - 1
D
E
A
157.
AB = 2x
, AC = 3x
EB = x + 1
,
B
CD = 2x - 1
C
L1
158.
En el triángulo ABC , BD biseca el 159.
ángulo B , entonces x = ?
B
Encuentra CD
L2
, si DE // AB
AD = 9 , CE = 2 , BC = 8
C
E
D
A
D
2x
C
3x - 1
A
B
En los ejercicios 160 y 161, la recta que intersecta a dos de los lados del triángulo es
paralela al tercer lados. Encuentra la medida que falta
160.
161.
9
6
x
4
4
3
A
A
C
A
162.
AD es bisectriz
163.
C
x
9
C
AD es bisectriz
X+1
2x - 5
X+1
12
D
x-3
B
1
D
3
C
A
15
B
Área de Texto San Mateo 2º Medio
164.
AB // CD
A
10
C
x+4
4
x + 13
B
D
Congruencia
de
triángulos.
De que somos
figuras, sí...
Pero...
¿
seremos
congruentes?
Oye...¿crees tú
que somos
figuras
congruentes ?
ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES
Área de Texto San Mateo 2º Medio
ESTAS
NO
SON FIGURAS CONGRUENTES
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño,
es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales :
C
C’
AB  A' B' ;
A  A'
AC  A' C' ;
B  B'
BC  B' C' ;
A
B
C  C'
B’
A’
La notación de que un triángulo es congruente con otro lo anotamos
 ABC
  A’B’C’
Reconoce las figuras congruentes y pinta de un mismo color aquellas que los sean:
Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes :
1.
CRITERIO ANGULO - LADO - ANGULO ( A . L .A)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos
adyacentes a él :
C
C’
A :   =  ’
L : AB = A' B'
A :   =  ’

A

’
B
A’
’
B’
Área de Texto San Mateo 2º Medio
2. CRITERIO LADO - ANGULO - LADO ( L . A .L )
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo
comprendido entre ellos :
C’
C
L : AC = A' C'
A :   =  ’
L : AB = A' B'


A
’
’
B
B’
A’
3. CRITERIO LADO - LADO - ANGULO
( L . L. A . )
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo
opuesto al mayor de ellos :
C
C’
L : AC = A' C'

’
L : BC = B' C'
A :   =  ’


A
’
’
B
B’
A’
4. CRITERIO LADO - LADO - LADO
( L . L. L . )
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales :
C’
C
L : AC = A' C'

L : BC
’
= B' C'
L : AB = A' B'


A
’
’
B
B’
A’
EJEMPLOS DE APLICACIÓN :
C
TEOREMA : La bisectriz correspondiente al ángulo basal de
un triángulo isósceles es perpendicular a la base y la biseca.
Hipótesis :
Tesis :
 ABC es isósceles
1 2
CD es bisectríz
 ADC =  CDB = 90º
AD = DB
Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de
la hipótesis en la figura para luego darse cuenta cuál es el
criterio a utilizar , así :
L :
A:
AC = BC
1=2
L :
CD = CD
Por tanto :
 ADC

A
D
B
(lados iguales de un triángulo isósceles )
(por ser CD bisectríz )
( lado común a los dos triángulos )
 DBC
( por criterio L.A.L.)
Ahora, si dos triángulos son congruentes, entonces todos sus elementos respectivos
son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales) , así :
Área de Texto San Mateo 2º Medio
 ADC +  CDB = 180º
( son ángulos adyacentes )
y como éstos son iguales, cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los
opuestos a lados iguales ).
Además :
AD = DB
( por ser elementos homólogos )
Q . E . D.
( Queda Esto Demostrado )
E
F
2) En la figura :
Hipótesis :
AF = AD
Tesis :
i)
 ACF
y

 CFA =  EDA
A
 ADE
ii) A es el punto medio de CE
Demostración :
A :  CFA =  EDA
( por hipótesis )
( por hipótesis )
C
( ángulos opuestos por el vértice )
L :
AF = AD
A :  CAF =  EAD
por tanto :
i)
 ACF

 ADE
( por criterio L.A.L.)
AC = AE
ii)
D
( lados homólogos )
Q . E . D.
C
3) En la figura :
AC = AD
Hipótesis :
Tesis
:
y

i)
 ABC
 ABD
 ACB =  ADB
ii)
Demostración :
L : AC = AD
A
( por hipótesis )
L : AB = AB
( por hipótesis )
i)
 ABC
B
( por hipótesis )
= BD
L : BC
Así :
BC = BD
  ABD
ii)  ACB =  ADB
D
( por criterio L.L.L.)
( ángulos homólogos )
E J E R C I C I O S.
Considera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o
respectivamente congruentes. ¿ En qué casos se puede asegurar la congruencia del
par de triángulos ? Indica el criterio utilizado en cada caso :
E
F
B
C
165.
166.
D
A
E
C
D
AB  DE
AC  FE
BC  DF
A
B
AC  DF
AB  DE
CAB  EDF
F
Área de Texto San Mateo 2º Medio
167.
168.
D
A
C
D
B
B
A
AB  AB
C
AB  BC  AC
DAB  CBA
E
DE  DF  FE
DBA  CAB
F
Señala en qué condiciones serían congruentes ( Realiza un dibujo )
169. Dos trazos o segmentos.
170. Dos rectángulos
171. Dos cuadrados
172. Dos circunferencias
Responde , EN EL CUADERNO ,las siguientes preguntas ( Justifica tus respuestas )
173. ¿Pueden dos triángulos ser congruentes sin ser coplanares?
174. ¿Pueden dos artículos manufacturados en serie llamarse congruentes en el más
estricto sentido matemático ?
175. Un cuadrado tiene un lado igual a uno de los lados de otro cuadrado. ¿ Son los
cuadrados necesariamente congruentes ?
176. Un cubo tiene igual arista a una arista de otro cubo. ¿ Son los cubos
congruentes ?
En los casos siguientes demuestra lo que se indique :
177. Hipótesis : 1 =  2 ;  3 =  4
Tesis
:  RZS
R

178. Hipótesis : 3 =  4 = 90º
RS  RT
 RZT
Tesis
: RZS
  RZT
T
1 2
3
R
4
Z
3 4
T
179.
Z
S
S
Hipótesis : D =  Y
180.
DZ  FY
Tesis
DE  EF ; XY  XZ
Tesis
: DEF
181.
  EBC
X
Z
F
Y
Hipótesis : BD  AC
Tesis
CD  CE
:  ACD
C
  XYZ
E
D
Hipótesis :
AC  BC
B es punto medio de AC
: 1=2
D
A
E
D
B
182. Hipótesis :  ABC es isósceles, AC = BC
D y F puntos medios de AC y BC
Tesis
: AF  BD y  1 =  2
C
Área de Texto San Mateo 2º Medio
Usando congruencia de triángulo demuestra las siguientes propiedades de los
paralelógramos :
183. Los lados opuestos de los
paralelógramos son iguales.
AB = CD
184. Los ángulos opuestos de los
paralelógramos son iguales.
 ABC =  ADC y
 DAC =  BCD
y AD = BC
D
C
D
C
E
A
B
A
Las diagonales de un
paralelógramo se dimidian :
AE = EC y BE = DE
185.
Hipótesis : AD
186.
D
B
Tesis
:  ACD
BC
y AB

 ACB
D
C
DC
C
E
A
A
B
187. Hipótesis : AB = DC y 2 = 4
Tesis
:  ACD   ACB y
AD = BC
D
B
188. Las diagonales de un rombo son
perpendiculares entre sí.
Hipótesis : ABCD es rombo
Tesis
C
:
AC  DB
D
4
C
2
A
189.
A
B
Las diagonales de un rectángulo
son iguales.
Hipótesis : ABCD es rectángulo
AC = DB
Tesis
:
B
D
C
A
B
Área de Texto San Mateo 2º Medio
CONTROL FORMATIVO 5
1. Divide el segmento AB dado en 3 partes iguales.
A
B
2. Dibuja un segmento AB = 4cm y determina, en él, un punto D tal que D divida al
segmento AB en la razón
3 : 5.
Además indica la medida de los segmentos AD
y DB .
3. Divide el trazo AB en partes proporcionales a
de los segmentos obtenidos ?
1 : 4 : 5 . ¿ Cuánto mide cada uno
A
B
4. Divide armónicamente el segmento dado en la razón
son los segmento que se indican.
m: n ,
si “m” y “n”
m
n
5. Dibuja la circunferencia de Apolonio que se obtiene al dividir armónicamente el
segmento dado PQ en la razón
3: 1
P
6. En la figura , L3 // L4 // L5
AC = 2x
CE = x+7
A
L2
C
B
E
D
Determina
- el valor de x
-
L1
L4
L5
BD = 3
DF = 5
Q
L3
F
D
el valor del segmento AE
7. En la figura
B
AB // DE ; AB = x + 2 , DE = 3x+10
Determina los valores de los segmentos AB y DE
C
3
A
12
8. El perímetro de un triángulo es 30 cm . Los lados del ángulo  miden 12 cm y
13 cm , calcular la longitud de los segmentos que forma la bisectriz del ángulo 
sobre el lado opuesto.
D
Congruencia:
A
C
B
E
Área de Texto San Mateo 2º Medio
9. Demuestra que: “Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales”.
Hipótesis: ABCD paralelogramo
AB // CD
AD // CB
AC diagonal
Tesis
C
: AB = CD
AD = CB
10.
Demuestra que: “En todo triángulo isósceles los ángulos
basales son iguales”
Hipótesis: ABC isósceles
Tesis
tc
CD = tc
: =
Objetivo transversal.
A


D
Para pavimentar las
calles
con
hormigón
armado,
los
albañiles
diseñan previamente una
serie
de
rectángulos
congruentes entre sí.
En muchas ciudades
de Chile las calles de las
poblaciones más pobres no
están pavimentadas; esto
trae como consecuencia
una mayor contaminación,
producto del polvo en suspensión, y grandes dificultades en el
invierno, puesto que las calles se transforman en un barrial por
donde es muy difícil transitar.
Para solucionar estos problemas el Ministerio de Vivienda y
Urbanismo ha desarrollado un programa de pavimentación
comunitario.
Este programa consiste en que los vecinos presentan a la
Municipalidad su solicitud y entre ellos deben poner al menos el
10% del costo de la obra si se trata de una calle, y al menos el
20% si se trata sé un pasaje.
Cuando ya está reunido el dinero y se cumplan otros
requisitos, el Ministerio aporta el resto de los recursos y se
encarga de la obra.
El costo aproximado de 100 metros de calle es de
$12.000.000, si en ella viven 24 familias que deben aportar el
10% del total, ¿cuánto aporta cada familia?. Si los vecinos tienen
un año de plazo para juntar el dinero, ¿cuánto deben juntar
mensualmente?.
Si los rectángulos tienen 5 metros de largo, y con dos de
ellos se cubre el ancho de la calle :
-
¿Cuántos rectángulos son necesarios para pavimentar los 100
metros?
B
Área de Texto San Mateo 2º Medio
-
Investiga en tu Municipalidad qué porcentaje de calles están sin pavimentar.
Compara este porcentaje con otras ciudades de la décima Región.
¿Qué problema ocasiona una calle sin pavimento?
¿Qué otras posibles soluciones se te ocurren?
PARECIDOS,
-
PERO .... NO IGUALES.
Dos figuras son semejantes si tienen la misma
forma, no necesariamente el mismo tamaño.
-
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente
congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. ( lados homólogos
son los opuestos a ángulos iguales ) Es decir :
C
C’
b
a
a’
b’
A
 ABC
ssi :
B
c

 A’B’C’
i)
B’
c’
( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ )
 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’
ii)
Ejemplo :
A’
a
b
c
=
=
a'
b'
c'
B
Los triángulos siguientes son semejantes :
10
En efecto :
6
 A =  A’ ;  B =  B’ ;  C =  C’
C
B’
a
b
c
=
= =2
a'
b'
c'
5
3
C
C’
4
A’
Postulado : en el triángulo ABC :
A’
A
B’
B
8
A
Área de Texto San Mateo 2º Medio
Si
A' B' // AB , entonces :
AB
BC
AC
=
=
A' B' B' C' A' C'
W
Ejemplo :
En el triángulo GAW , QK // GA
Encuentra
Q
K
AK = 4 , KW = 8 , GQ = 5
WQ =
A
G
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
C
CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A )
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a
dos ángulos de un segundo triángulo, entonces
estos dos triángulos son semejantes.
Es decir , en los triángulos ABC y DEF : A = D
y B=E
Entonces  ABC

 DEF
F
D
Ejemplo :
B
 ABC   DCE ?
¿ es
Si AB // DE , entonces
 D=  B
( alternos internos entre paralelas )
y
B
A
AB // DE ,
Según la figura, si
A
E
C
 E =  A ( alternos internos entre paralelas)
por lo tanto :
 ABC

D
E
 DCE
A
CRITERIO lado - ángulo - lado ( L .A .L )
Dos triángulos son semejantes si tienen
dos lados proporcionales y congruentes
el ángulo comprendido entre ellos.
decir , en los triángulos ABC y DEF ,
Si
A=D y
Entonces
 ABC
AC
DF


B
C
D
AB
DE
 DEF
E
F
Ejemplo : ¿ Son semejantes los triángulos ?
como
15 12

10
8
y ademas
C
 R =  B = 35º
B
15
8
Q
35º
10
entonces
 CRJ   LBQ
R
35º
L
12
J
Área de Texto San Mateo 2º Medio
A
CRITERIO lado - lado - lado ( L . L . L . )
Dos triángulos son semejantes si tienen sus
tres lados respectivamente proporcionales.
B
Es decir , en los triángulos ABC y DEF :
Si
AB

DE
Entonces
BC
EF

C
D
AC
DF
 ABC

 DEF
E
Ejemplo :
¿ son semejantes los triángulos TMQ y CJX ?
18 12 15


12
8
10
como
entonces
T
F
18
12
10
8
C
15
Q
 ABC   DEF
J
M
X
12
E J E R C I C I O S.
190. Encuentra el valor de AD , AC = 25
191. Se sabe que
PQ = PR
biseca  QPR .
A
Demostrar que  QPX
 QPR
P
D
15

y que PX
3
B
C
E
Q
¿Para cuáles de los siguientes ángulos , el
 RNQ es semejante al  VBX ?
Q
192.  R = 62º
;
 N = 73º
 V = 62º
;
 B = 73º
193.
 Q = 80º
 V = 71º
;
;
 R = 71º
 X = 70º
R
X
X
R
N
V
194. Dado que
 T =  NGV
Demostrar que
 NGV
B
195. Dado que
  NTX
R=W
Demostrar que  JYW
N
R
  JMR
N
J
V
G
X
T
Y
W
Área de Texto San Mateo 2º Medio
196. Dado que LK
CB .
Demostrar que:  LKM
J
197.
  BCM
Según la fig.
NK  JL ; ML  JL
NK = 4 , ML = 6 ,
JM = 15 , JN =?
C
L
N
K
M
L
K
M
B
198. Hipótesis : WZ= XY ; WX= ZY

Tesis :  WTZ
199. Hipótesis : CF  AB ;
 VWX
Tesis :  FBE
Z
W
BD  AC
  DEC
C
D
X
Y
V
E
T
¿ En qué casos el
200.
201.
AB
DE
AB
BC


BC
EF

DE
EF
 ABC

 DEF
B
?
C
CA
FD
;
B=E
E
D
A
202.
BC
EF

AC
DF
203.  A =  D
A
F
,
,
B
B=D
 C=E
F
204. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un
triángulo dado es semejante al triángulo dado.
Área de Texto San Mateo 2º Medio
206. Según la figura,
RQ  PQ ; PQ  PT y ST  PR
205. En el triángulo GHK ,
GK = HK ; PR  GK y PQ  HK
Demostrar que GR  PQ = PR  HQ
Demostrar que : ST  RQ = PS  PQ
T
K
R
Q
R
S
G
P
H
P
Q
homotecia
La proyección de una diapositiva es un buen modelo físico del concepto de
homotecia.
La homotecia puede usarse para realizar copias de dibujos y hacerlos más grandes
o más pequeños:
Área de Texto San Mateo 2º Medio
O
G’
J’
H’
G
F’
E’
D’
K’
B’
A’
H
J
F
E
C’
K
D
B
A
C
La figura se construyó de modo que AB // A' B' ; BC // B' C' ; CD // C' D' ; DE // D' E' ;
EF // E' F' ; FG // F' G' ; GH // G' H' ; HJ // H' J' ; JK // J' K' ; AK // A' K' .
Por lo tanto  OAK   O’A’K’;  OKJ   O’K’J’ , ¿Qué otras parejas de triángulos
son semejantes?.
Al ser los triángulos semejantes se tiene que sus lados homólogos son
proporcionales, luego todos los lados correspondientes se encuentran en una misma
razón.
Como los segmentos de cada polígono son paralelos a los segmentos
correspondientes del otro polígono, los ángulos correspondientes son congruentes.
Por lo tanto las figuras son semejantes
Una homotecia es una transformación en el plano que permite obtener un polígono
semejante a un polígono conocido. Esta depende de un punto O, llamado centro de
homotecia y de una constante k, llamada escala o factor de conversión.
Ejercicio:
207. Encuentra el centro de homotecia O y el factor de conversión k =
C
A
OA '
OA

A' B'
AB
C’
B
A’
208. Copia en tu cuaderno la figura y el punto H y realízale una homotecia (H,5).
H

B’
Área de Texto San Mateo 2º Medio
209. Dibuja una figura y realízale una homotecia de factor de conversión 3,6
210. Una homotecia con factor de conversión menor que uno y mayor que cero nos
permite obtener una figura más pequeña. Dibuja una figura y realízale una
1

homotecia  O , 
3

III.
PITAGORAS
&
EUCLIDES.
Teorema 1 :
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura
correspondiente a la hipotenusa , se verifica que
los triángulos así formados son semejantes, es
decir :
dado  ABC , rectángulo en C y CD = hc ,
altura correspondiente sobre la hipotenusa
c , entonces se cumple que :
 ABC

 ADC

C
hc
A
B
D
 BDC
Teorema de Euclides . ( Referente a la Hipotenusa )
En todo triángulo rectángulo, la altura
correspondiente a la hipotenusa es media
proporcional entre los segmentos que determina
sobre la hipotenusa , es decir :
dado
con
 ABC
AD = p
p hc

hc
q
C
hc
, rectángulo en C , CD = hc ,
,

BD = q
, entonces :
2
hc = p  q
A
p
Ejemplo :
En el triángulo ABC, rectángulo en C,
determinar la medida de BD .
B
12
hc2 = AD  BD
Así :
q
C
Solución :
144
D
= 5  BD
BD = 28,8
Teorema de Euclides . ( Referente al cateto ).
A
5
D
x
B
Área de Texto San Mateo 2º Medio
En todo triángulo rectángulo, cada cateto es
media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella , es decir :
C
hc
dado  ABC , recto en C , CD = hc
c a
=
a q

c b
=
b p

A
a2 = c  q
p
D
B
q
c
b2 = c  p
Ejemplo :
 ABC rectángulo en C , con las medidas
C
indicadas, determinar los valores de AC y BC
b
Solución :
a
hc
1) b2 = 6  13
b2 = 78
b = 8,83
A
2) a2 = 7  13
6
D
B
7
a = 9,54
Aplicaciones de los Teoremas de Euclides :
C
211. En el triángulo ABC , rectángulo en C :
a)
p = 8 cm
y
b)
hc = 6 m
y
hc = 12 cm
, calcula
q = 0,9 m ,
q.
hc
calcula p.
A
212. En un  ABC , “p”
hc = 12 cm.
p
B
q
D
mide 7 cm más que “q” . Determina la medida de
“q” si
213. Las medidas de los catetos de un triángulo  ABC , rectángulo en C , son a =
9cm,
y b = 12 cm . Calcula las medidas de las proyecciones de “a” y “b” sobre
la hipotenusa.
214. En un triángulo
ABC , rectángulo en C , la proyección del cateto “b” sobre la
25
hipotenusa mide 2 cm menos que él . Si la hipotenusa mide
cm , entonces
3
calcula la medida de “b”.
C
Teorema de Pitágoras .
a
b
A
c
B
Área de Texto San Mateo 2º Medio
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos
es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa, es decir :
Si
 ABC es rectángulo y a ,b = catetos
c = hipotenusa
c 2 = a2 + b 2
NOTA :
Vale tener presente que , en un triángulo en que c es el lado mayor, y a,
b son los otros dos lados , se tiene que :
a) si
b) si
c) si
c 2 = a 2 + b2
c 2 > a 2 + b2
c 2 < a 2 + b2
, entonces el triángulo es rectángulo
, entonces el triángulo es obtusángulo
, entonces el triángulo es acutángulo.
Aplicaciones del Teorema de pitágoras :
215.
Clasifica los triángulos para los lados que se dan :
6
a)
;
c)
0,3 ;
e)
10
216.
;
8
;
10
b)
15 ;
36
;
36
0,4
;
0,5
d)
6
4
;
7
13
f)
12
;
2
;
;
2,1
Calcula la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son
;
15
2,9
y
8 m.
217. Calcula el área de un rectángulo si la base mide 15 cm y una diagonal miden 36
cm.
218. Una de las diagonales de un rombo mide 20 m de largo . Un lado mide 26 m .
Encuentra la medida de la longitud de la otra diagonal.
219. En un  ABC rectángulo en C , se conocen las medidas de “p” y “q” . Calcula ,
en cada caso , la altura hc del triángulo :
a)
p = 5 cm
;
q = 20 cm
b)
p  8 2 cm
;
q = 2 cm
220. Comprobar que las expresiones a = 2x , b = x 2 - 1
y c = x2 + 1
corresponden a las medidas de los lados de un  ABC rectángulo en C , si x>1.
221. En un  ABC rectángulo en C , la proyección del cateto “a” mide 12 cm más
que la proyección del cateto “b” sobre la hipotenusa. Calcula la altura h c si mide
el doble que la menor de las proyecciones de los catetos.
222. Calcula la medida de la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide :
2
3 cm
a) 5 cm
b) 6 3 cm
c)
3
223. Calcula la medida del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide :
2 3
a) h = 3 3 cm
b)
h = 6 cm
c)
h=
cm
3
224. En un triángulo rectángulo tal que la hipotenusa mide 20 y un cateto mide 16 ,
calcula el perímetro de cada uno de los triángulos en que la altura divide al
triángulo dado.
Área de Texto San Mateo 2º Medio
225. En un triángulo equilátero la altura mide
perímetro del triángulo.
226.
3 3
. Determina cuánto mide el
227. Dado : TC  CN ; TC  TQ
Demostrar :
Dado : JH  XB
Demostrar :
( TN )2 - ( CN )2 = ( CQ )2 - ( TQ )2
( XJ )2 + ( HB )2 = ( XH )2 + ( JB )2
J
C
X
N
W
B
Q
T
H
Objetivo transversal.
Las reducciones son copias a escala que permiten
obtener una gran cantidad de información en una menor
cantidad de hojas usando menos tinta; lo que reduce los
costos. Muchos alumnos sacan fotocopias de los cuadernos
de sus compañeros ya sea porque faltaron a clases o
porque no quisieron copiar.
¿Cuánto
sirve
sacar
fotocopias ?
¿Qué crees tú que le pasa a
los alumnos que fotocopian la materia y apenas la leen?.
¿Aprenden mejor los alumnos que escriben la materia en
el cuaderno?.
Si ahora piensas en los libros, ¿quién crees tú que sale
perjudicado al fotocopiarlo?.
¿Existe alguna forma de evitar la reproducción ilegal de
textos?
CONTROL
FORMATIVO
6
En cada caso , encuentra el valor que se indique :
1.
Sea ABC triángulo rectángulo en C.
Determina los valores de p y hc
2.
Sea ABCD rombo, AC = 12 ; BD =
16 . Determina el valor de AB
C
D
C
a
16
hc
p
A
3.
c
12,8
D
A
ABCD es cuadrado de perímetro 24
cm. Determina el valor de DE
A
B
B
B
4.
ABC triángulo rectángulo en C.
Determina los valore de p, q, hc y c.
A
P
D
E
3
q
Área de Texto San Mateo 2º Medio
5.
Clasifica el triángulo si la medida de sus lados son 45 cm , 51 cm y 24 cm
Resuelve los problemas :
6.
El  ABC rectángulo en C , la hipotenusa mide 10 cm . Calcular el perímetro
del
triángulo si los otros lados son números pares consecutivos.
7.
En un triángulo rectángulo que tiene un cateto igual a 16 cm , la proyección de
éste sobre la hipotenusa tiene 5,6 cm más que la proyección del otro cateto
sobre la hipotenusa. Hallar el cateto que falta y la hipotenusa del triángulo
dado.
PROGRAMACIÓN DEL ALUMNO.
SECTOR DE PORMACIÓN
MATEMÁTICA
ÁREA TEMÁTICA
MATEMÁTICA.
NIVEL
SEGUNDO AÑO MEDIO
PROFESOR
MARCIA MEDINA TORRES
UNIDAD DIDÁCTICA Nº 3
CIENCIA DE LA EXTENCIÓN II
TIEMPO
20 A 25 HORAS
APRENDIZAJES ESPERADOS:
Los alumnos:
 Desarrollarán cortes en cuerpos redondos (cilindros, conos y esferas) para establecer las
condiciones para que estos cortes generen círculos e interpreten curvas de nivel como
representación plana de algunos cuerpos.
 Conocerán y demostrarán los teoremas relacionados con los ángulos del centro y de los
ángulos inscritos en una circunferencia .
 Aplicarán los teoremas relativos a los ángulos formados por los elementos lineales de la
circunferencia ( radio , tangente, cuerda , secante)
 Analizarán propiedades y relacionarlos en figuras geométricas que se pueden inscribir o
circunscribir a una circunferencia.
 Aplicarán los teoremas relativos a ángulos en loa circunferencia para deducir otros
relacionados con los segmentos proporcionales en el círculo.
 Determinarán áreas y perímetros de figuras planas.
 Determinarán áreas y volúmenes de cuerpos geométricos
Área de Texto San Mateo 2º Medio
ACTIVIDADES SUGERIDAS:
Demuestran teoremas relativos a los ángulos formados por los elementos lineales de la
circunferencia.
Analizan y establecen las condiciones para que un cuadrilátero se pueda inscribir en una
circunferencia.
Demuestran los teoremas sobre segmentos en la circunferencia usando semejanza de triángulos.
Aplican los teoremas sobre segmentos en la circunferencia.
Calculan áreas y perímetros de figuras planas.
Imaginan o realizan diversos cortes en cuerpos redondos ( cilindro , cono y esfera )
estableciendo las condiciones para que estos cortes generen círculos; caracterizan la
circunferencia.
Construyen curvas de nivel como representación plana de algunos cuerpos.
Calculan áreas y volumen de cuerpos geométricos básicos
Investigan y profundizan los contenidos en la bibliografía sugerida:
Matemática 2 , Gonzalo Riera Lira, del Ministerio de educación, Cap.7, pág. 243- 289
Álgebra y Geometría II , Santillana.
Cap. VI, y IX, pág 135 - 144 y 199 –220
Realizan un constante trabajo individual y grupal.
Trabajan en los apuntes de Unidad 3.
CONTENIDOS :
1.
Elementos lineales en la circunferencia.
2.
Ángulos formados por dos radios
3.
Ángulo inscrito y semi-inscrito.
4.
Ángulo formado por dos cuerdas.
5.
Ángulo formado por dos tangentes.
6.
Ángulo formado por dos secantes.
7.
Ángulo formado por una tangente y una secante.
8.
Arcos que forman dos rectas paralelas.
9.
Áreas y perímetros de figuras planas.
10. Áreas y volumen de cuerpos geométricos.
“SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS“
1. Enuncia algunos elementos que
conoces sobre la circunferencia.
2. ¿ Qué tipos de ángulos se
Antes de
podrían formar con estos
comenzar la
elementos ?
unidad deseo
proponerte lo 3. ¿ Cuáles son sus posibles
combinaciones de tal modo que
siguiente...
se puedan formar ángulos ?
4. ¿Dónde se ubicarán los vértices
de éstos ángulos?
“ BUSQUEMOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA “
Área de Texto San Mateo 2º Medio
Se ve interesante el tema... Ahora
voy a investigar de que se trata
esto para luego aplicar lo que haya
aprendido.
ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN :
228. Imagina un cono recto en el que se hacen diversos cortes ;analiza qué condiciones
debe satisfacer un corte para que genere un círculo. Supone que un cono se
coloca dentro de una caja (ojalá de paredes
transparentes ) en la que se va poniendo agua.
Grafica la relación entre la altura del nivel del agua
y el radio de los círculos correspondientes. Te
recomiendo que esto lo hagas con regla y compás,
si es necesario, y toma las medidas de los radios y
r
altura como se ve en la figura que se muestra.
h
Varía los radios y sus respectivas alturas y anota los
valores en una tabla.
R
229. ¿ Qué formas se obtienen si se hicieran diversos
cortes a un cilindro recto? Supone, en forma similar
al ejemplo anterior, que se coloca este cilindro en una caja que se va llenando con
agua : ¿ qué forma se genera por la intersección de la superficie del agua con las
paredes del cilindro ? , ¿ cuál es el gráfico que relaciones en nivel de agua con el
radio del círculo correspondiente a cada corte ?
230. Hace cortes imaginarios, en diversos sentidos, en una esfera. Se puede utilizar
esferas de plumavit. Si se colocan dos alfileres en puntos cualesquiera de la esfera
y se unen por medio de un elástico se marca un arco que es parte de un círculo
mayor. Caracteriza el corte que permite obtener el círculo de mayor radio ( círculo
máximo). Traza cortes que generen círculos menores. Determina el rango de
variación de los radios de los diversos círculos que se pueden obtener.
231. Traza, en un mismo dibujo, los círculos que se generan al hacer cortes
equidistantes, paralelos a la base de un cono recto. Describe el dibujo e
interprétalo.
232. Dibuja las curvas de nivel de una semiesfera, de una pirámide recta de base
cuadrada o de otros cuerpos geométricos.
I. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA :
A
L2
D
C
O
B
E
L1 O = centro de la circunferencia
OA = OB = OC = radio de la circunferencia
AB = diámetro de la circunferencia
L1 = recta tangente a la circunferencia
L2 = recta secante a la circunferencia
DE = cuerda de la circunferencia
H
Área de Texto San Mateo 2º Medio
Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy
importantes en su aplicación. Estos tienen una relación con los arcos que forman:
a) Angulo formado por dos radios.
b) Angulo formado por dos cuerdas
B
B

Ox
C

Ox
A
A
Relación entre el ángulo y el arco :
Relación entre el ángulo y el arco :


= AB


AC
2
c) Los dos ángulos anteriores en una misma e) Varios ángulos inscritos formando el
circunferencia :
B
mismo arco
C


Ox

x
O

A
Relación entre los ángulos:
d)
Relación entre los ángulos:
 = 2
Angulo formado por dos cuerdas
C
f)
==
Angulo formado por dos secantes
A
B
D

Ox
Ox

D
B
A
C
Medida del ángulo 
=
Medida del ángulo 

BC +
AD

AC -
BD
=
2
g) Angulo formado por dos tangentes

D
Ox
2
h) Angulo formado por una cuerda y una
A
C
P
tangente
P
A

Ox
B
Medida del ángulo
 
B
:
Medida del ángulo

:
Área de Texto San Mateo 2º Medio
ACB - ADB
2
=
=
i) Angulos que forma una
semicircunferencia :
A
AB
2
j) Angulo formado por una secante y una
tangente :
C
A


Ox
Ox
P
B
C
B
Medida del ángulo
=
:
Medida del ángulo
90°
=
k) Arcos formados por rectas paralelas que
cortan a una circunferencia
2
l) Angulos opuestos de un cuadrilátero
inscrito :
D
A
A
Ox

AC -
AB
:
D

Ox
C
C

B
B
Relación entre arcos
Relación entre ángulos :

AB = 
CD
 +  = 180°
ejercicios
233. Hallar  BAC
234.  y = 112º
x=
A
C
A
B
O x46º
yx
O
x
C
B
Área de Texto San Mateo 2º Medio
235.  x = 75º
y=
236.
60º
A
x=
y=
D
65º
y
A
y
Ox
D
x
C
Ox
C
x
B
B
237.  = 72º
x=
y=
238.
C
A
x
Ox
y = 140º
 BDC =
A
y

Ox
B
B
D
y
C
239.  y = 115º
x=
240.  x = 40º
y=
C
Oxx
A
D
200º
y B
Ox
E
x
y
B
A
C
241.  x = 61º
y=
A
242.
x=
y=
E
25º
D
x
y
x
B
A
Ox
C
70º
Ox
y
C
243. x =
y=
B
D
2x
A
244. x =
y=
y
E
y
D
2x
x
C
A
Ox
C
Ox
3x+10º
3x+6
3x
B
245. Dado: AB diámetro del círculo O, BC
es un diámetro del círculo O’, círculo O
B
246. AC bisectriz  BAD
 BAC =
A
B
A
x
x
x
C
E
Ox
160º
Área de Texto San Mateo 2º Medio
es tangente al círculo O’ en B.
Demuestra que  x =  y
 AEB =
 BDC =
 ADB =
Objetivo transversal.
Hoy, la humanidad está más consciente que
nunca de la necesidad de tener paz; una paz que no
significa solamente ausencia de guerra, sino también
tranquilidad, lo que implica saber comunicarnos, ser
tolerantes y aceptar a los demás con
sus diferencias, ya que no somos ni
tenemos que ser todos iguales ;
evitar descalificar a las personas y
saber resolver nuestras diferencias sin intentar derrotar al otro
sino más bien aceptando y valorando nuestros acuerdos y
aprendiendo de nuestros desacuerdos.
Organícense para desarrollar dinámicas grupales y
reflexionar sobre este tema y que de ello surjan propuestas para
comunicar o crear espacios de vivencias de paz en los grupos o
comunidades a las que ustedes pertenecen (familia, barrio, curso,
colegio, iglesia, otros)
Averigua qué aporte a la paz hicieron los premio nobel
Mahatma Gandhi, Teresa de Calcuta y Adolfo Pérez Esquivel.
¿Conoces otro premio nobel cuya vida al servicio de la paz sea un testimonio
admirable, por ejemplo, por su valentía, humildad, etc.?
CONTROL
FORMATIVO
7
Realiza, la autoevaluación de la página 286, del libro del ministerio. Gonzalo Riera Lira
IV.
SEGMENTANDO
EL
CÍRCULO .
Teorema 1 :
Los dos segmentos tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior son congruentes y
determinan ángulos iguales con el segmento que
une el punto exterior al centro.
A
OX
A
AP , BP segmentos tangentes :
AP = BP
,
P
B
B
 OPA =  OPB
OX
P
C
D
Área de Texto San Mateo 2º Medio
Teorema 2 :
Si se trazan dos rectas secantes desde un punto exterior a una circunferencia , entonces :
AP  BP = PD  PC
A
Teorema 3 :
Si desde un punto exterior a una circunferencia
se traza una recta tangente y una recta secante,
entonces :
OX
P
B
AP 2 = PC  BP
C
Teorema 4 :
Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una
circunferencia , entonces :
D
A
OX
AE  BE = CE  DE
E
C
B
EJERCICIOS
247. Según la figura :
248. Según la figura :
Si AP = 6 ; BP = 15 y PC = 8 ,
Si
determinar PD .
determina AP
BP = 5
y
PC = 20
B
A
A
OX
P
C
D
OX
C
B
P
Área de Texto San Mateo 2º Medio
249. En la figura
:
250. En la figura :
DE = 5 ; EB = 2 AE ; CD = 15 ;
OD = 10 ;
OE = 8 ;
Determina AE
Determina AB
C
B
D
A
B
E
OX
OX
E
C
A
D
251. En la figura:
252. En la figura:
AB = 6 , AD = 3
Determina AC
AB = 12 , AC = 18 ,
,
Determina CD
A
B
D
OX
OX
C
D
C
A
B
253. En la figura:
254. En la figura :
AD = DB , EC = 14 , AE = 4
OC = 5 , AE = 6 , BD = 4 ,
,
Determina AD
Determina AD
B
B
D
C
OX
D
O
X
A
E
E
A
C
255.
En la figura:
256.
PT = 4 6 , AO = 5 ,
BP = 5 , AB = 3 BP ,
Determina PT
Determina BP
T
B
O
X
OX
B
En la figura:
A
P
B
P
Área de Texto San Mateo 2º Medio
257. Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan. Las longitudes de los segmentos
de una cuerda son 4 y 6 . Si la longitud de un segmento de la otra cuerda es 3.
¿ Cuál es la longitud del otro segmento ?
258. Dos cuerdas
AB y EF se cortan en H . Calcular la medida del segmento EH
sabiendo que AB , EF y AH miden 146 , 142 y 90 cm , respectivamente.
259.
En la figura:
1
CD =
DP , BP = 4 , CP = 21 ,
2
Determina AP
P
260.
En la figura:
AP = 90, AB : BP = 7 : 8, DP = 16
Determina CP
C
B
A
D
OX
D
OX
P
A
B
C
LA
SECCIÓN
AUREA
O
DIVINA
Una aplicación del teorema de la tangente y la secante a una circunferencia es
la construcción geométrica que nos permite encontrar un punto interior de un trazo, de
modo que entre el trazo completo y sus segmentos se puede establecer una proporción
especial llamada sección áurea o divina.
La razón entre el segmento completo y el trazo mayor es la misma que hay
entre los segmentos mayor y menor determinados por el punto interior.
Desde el renacimiento (1500 d. de C.) se consideraba que la sección áurea
estaba presente en muchas manifestaciones de la naturaleza, como sello de armonía
que Dios imprimía a sus creaturas. De allí derivaría su nombre : proporción áurea o
divina.
Sea PQ el segmento dado y D el punto de división interior del mismo.
PQ
PD

PD
DQ
P
D
Q
PD representa los términos medios de la proporción.
Sea PQ = a , PD = x , entonces al reemplazar ocurre que :
a
x
-aa

 x2 + ax - a2  0  x =
x
ax
2
5
descartamos el valor negativo de la raíz y queda :
x=
-1+ 5 
- a+ a 5

 a


2
2


5 1
 a  0,6180339  a
2
Entonces el segmento mayor , llamado áureo o divino mide aproximadamente
0,6180339 veces la longitud de “a” .
Área de Texto San Mateo 2º Medio
Así, el cálculo de la medida “x” del segmento áureo se reduce al producto
Ahora, la razón áurea PQ : PD
está dada por
PQ
PD

a
0,618 a

0,618 a.
1,6180338
Ejemplo : Calcular la medida del segmento áureo que se obtiene al dividir un trazo
que
mide 3,24 cm.
Sea PD = x
y
PQ = 3,24 cm
,
entonces PD = x = 0,618 3,24 = 2 cm.
EJERCICIOS
261. Realiza geométricamente la división o sección áurea del segmento AB dado en
cada caso :
a) AB = 40 cm
b) AB = 30 cm
c) AB = 15 cm
262. Encuentra algebraicamente un punto D que divida en sección áurea o divina
al trazo
AB :
a) AB = 12 cm
b) AB = 8 cm
c) AB = 32 cm
Objetivo transversal.
La sección áurea es una proporción que interesó mucho a los griegos
y a los renacentistas. Se decía que toda obra artística debía tener la
proporción áurea o divina.
El punto C divide al segmento AB , en la proporció áurea, pues
A
C
AB
AC

AC
CB
B
Al resolver cierta ecuación de segundo grado se obtiene que si un
AC es:
segmento tiene longitud “a”, su sección áurea (en el ejemplo


a 1 5
2
Investiga:
- Acerca de la presencia de la sección áurea en el arte griego.
- Acerca de la razón áurea presente en algunas pinturas realizadas por
Miguel Angel.
CONTROL
FORMATIVO
8
1.
Desde un punto A situado fuera de la circunferencia, se traza un segmento
secante
de 16 cm que determina una cuerda de 5 cm . Si el radio de la
circunferencia
es 7 cm . ¿ Cuál es la distancia de A al centro de la
circunferencia ?
2.
El radio de una circunferencia es de 15 cm . Hallar :
a) la distancia del centro a una cuerda cuya longitud es de 18 cm.
b) la longitud de una cuerda que dista 9 cm del centro.
Área de Texto San Mateo 2º Medio
3.
En una circunferencia, una cuerda que mide 16 cm está a la distancia de 6 cm
del centro. Hallar la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es de 8 cm.
4.
En
la
centro
circunferencia
O,
BE  8 cm
;
AE  6 cm
;
E
de
D
BC  9 cm ;
CD  10 cm . ¿Cuánto mide
DE ?
x
O
A
5.
En
la
circunferencia
A
de
C
D
centro O, BQ  EF  8 cm ;
EQ  6 cm
;
G
CD  4 cm ;
x
O
AD  DG  6 cm.
¿Cuánto mide AB ?
6.
C
B
F
B
Q
E
Realiza geométricamente la división o sección áurea del segmento AB dado en
cada caso :
b) AB = 20 cm
I.
b) AB = 12 cm
PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.:
Perímetro de una figura plana es la medida de la longitud del contorno que conforma
la figura.
Area de una figura es la medida de la superficie que encierra dicha figura.
RESUMEN DE FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS.
POLÍGONO
DIBUJO
PERÍMETRO
C
P = AB + BC + CA
h
A
D c
B
ÁREA
Área de Texto San Mateo 2º Medio
TRIÁNGULO
A=
a
CUADRADO
P = 4a
hc
2
A = a2
a
b
RECTÁNGULO
P = 2a + 2b
A=ab
a
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
a
a
A=
P = 3a
a
a
h
ROMBO
a
a
P = 4a
D
a2
4
3
A = ah
C
AB  e
BD  f
2
P = 2 e f
2
A=
ef
2
B
A
b
ROMBOIDE
a
h
a
P = 2(a + b)
A=bh
b
c
TRAPECIO
a
d
h
P=a+b+c+d
A=
(a + c)  h
2
A=
  r2
A=
  r2  
360 º
b
CIRCUNFERENCIA
SECTOR
CIRCULAR
O
P = 2
r
r
O
r
P = 2r +

 r  
180º
r
SEGMENTO
CIRCULAR
A
r
O
P = AB +

  r 
180 º
A=
AABC
r
B
  r2  
360º
Área de Texto San Mateo 2º Medio
ejercicios :
Calcula el área y el perímetro de la parte sombreada de las siguientes figuras :
263.
24 cm
A
B
264.
10 cm
10
D
4
C
265.
266.
6
O
267.
16
6
8
268.
8
269.
270.
4
4
5
4
12
271.
272.
16
0x
3
9
x0’
5
8
x
Área de Texto San Mateo 2º Medio
273.
274.
x
16
16
12
275.
276.
12
x4
277.
A
10
B
4
D
3
C
E
III. ÁREAS Y VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS.
CUERPO
FIGURA
ÁREA
VOLUMEN
A = 6a2
V = a3
a
CUBO
a
a
PARALELEPIPEDO
a
c
b
Área de Texto San Mateo 2º Medio
RECTO
A= 2ab+2bc+2ac
V = a·b·c
A = a2 3
TETRAEDRO
REGULAR
AB =
0x
2
a
3
1
AB · h
3
V=
4
r
Alateral= 2··r·h
CILINDRO
RECTO
V = ·r2·h
h
Atotal= 2··r·(h+r)
CONO
RECTO
g
V=
Atotal= ·r·(g+r)
h
1
  r2  h
3
r
A = 4 ·  · r2
r
ESFERA
Alateral= ·r·g
V=
4
 · r3
3
ejercicios
Resuelve ahora los siguientes problemas :
278. Un estanque de agua mide 6 cm de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad.
Se deja caer una esfera de 50 cm de radio que flota a la mitad. ¿ Cuánto sube el
nivel del agua ?
279. Calcula el volumen y el área de la superficie esférica de un globo cuyo círculo
máximo tiene un radio de 3,2 cm.
280. En una cilindro recto de altura 8 m se ha inscrito una esfera :
a) ¿ Cuál es el volumen del cilindro ?
b) ¿ Cuál es el volumen de la esfera ?
c) ¿ Cuál es la diferencia entre los dos volúmenes ?
d) ¿ Cuál es la razón entre el volumen de la esfera y el del cilindro ?
e) ¿ Cuál es el volumen de aire contenido en un globo de 45 cm de diámetro ?
281. Un macetero tiene forma de semiesfera, cuyo diámetro interior es de 30 cm.¿
cuál es la cantidad de tierra que se necesita para llenar el macetero ?
282. Un cilindro , una semiesfera y un cono tiene el mismo radio 6 cm . La altura del
cilindro y del cono vale 10 cm. :
a) Calcula el volumen de cada uno
b) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen del cono en el volumen del cilindro ?
c) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen del cono en el volumen de la
semiesfera?
d) ¿ Cuántas veces está contenido el volumen de la semiesfera en el volumen del
cilindro ?
283. Calcula el volumen del prisma
2cm
6cm
4cm
2cm
Área de Texto San Mateo 2º Medio
Objetivo transversal.
El velocímetro de un automóvil
funciona mediante un mecanismo que
consiste en una “piola” que gira en
correspondencia al giro del eje de la
rueda.
Si a un vehículo, se le colocan
neumáticos más grandes, la medición
que marca el instrumento puede estar
distorsionada.
a) Averigua con un mecánico cómo y
por qué se puede distorsionar la
medida del kilometraje y velocidad
de un auto al cambiar el tamaño de
los neumáticos.
Si el radio de los neumáticos aumenta en un 25% , ¿en cuánto se altera la
velocidad y el kilometraje?
c) ¿Qué velocidad marca el velocímetro cuando éste alcanza una velocidad de 100
km
km
? , ¿ y cuando va a 60
?.
h
h
d) Si los neumáticos de un auto se van desgastando de modo que el radio ha
disminuido en un 1 % ¿Cómo de expresa la variación de la velocidad y el
kilometraje en sus instrumentos?. ¿Qué velocidad real tiene cuando el velocímetro
km
marca 100
?
h
e) ¿Por qué no es bueno alterar el tamaño de las ruedas ?. Establece y redacta tus
conclusiones.
b)
CONTROL
FORMATIVO
9
Calcula el área y el perímetro de la parte sombreada en las siguientes figuras:
1.
ABCD cuadrado de lado 18 cm.
E, F, G, H puntos medios.
D
G
2. ABC triángulo equilátero de lado 6 cm,
QRST
cuadrado
circunscrito
a
la
circunferencia.
C
Q
T
C
F
H
A
A
E
B
R
B
S
Área de Texto San Mateo 2º Medio
3.
AB = 30 cm
4. O, O’, O’’, O’’’ centro de circunferencias
tangentes de radio 3 cm
O’’
x
x
O
x
O’
10 cm
O’’’
x
5. ABC triángulo rectángulo
C
A
Calcula el área total y el volumen de la
5 cm
6.
4 cm
10 cm
siguiente figura:
B