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Problemas de
demostración
AUTOR: Begoña Soler de Dios1
Máster en Profesor de Educación Secundaria Esp. Matemáticas
Universidad de Valencia
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[email protected]
Geometría
Noviembre 2013
Problemas de demostración
1.
Dados una circunferencia, un triángulo
cualquiera ABC inscrito en la circunferencia y la
recta r tangente a la circunferencia en A, discute
la relación entre los ángulos ACB y BAN.
Demuestra que tu conjetura es correcta.
Si nos paramos a observar diversos casos del mismo
problema podemos observar que los ángulos ACB y BAN serán iguales.
¿Cómo lo podemos demostrar?
Empezaríamos demostrando la relación entre un ángulo inscrito y su arco. Lo que
correspondería en nuestro caso a la relación entre el ángulo ACB y su arco ( ̂ ).
Relación:
El ángulo KQP es sumplementario de MQP por lo que
ambos sumados formarán un ángulo de 180°=KQP+MQP. Al
ser el triángulo MPQ isósceles tendrá dos ángulos iguales
QMP=MPQ por lo que 2QMP+MQP=180° debido a la suma
de los ángulos internos del triángulo MPQ. Juntando la
primera ecuación MQP=180-KQP con la de la suma de los
ángulos del triángulo obtenemos que 2QMP+180-KQP=180,
es decir, 2QMP=KQP → QMP=KQP/2 → El ángulo inscrito
QMP mide la mitad del arco ̂ .
Traducido a nuestra situación diríamos que el ángulo ACB es la mitad del arco ̂ .
También se puede encontrar la relación entre un arco y un ángulo semi-inscrito en él. Lo que
correspondería en nuestro problema a la relación entre el arco ̂ y el ángulo BAN.
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Geometría
Noviembre 2013
Los ángulos DBC y DAB miden 90°. Por
lo
tanto
ADB+DBA=90°=DBC
y
DBC=DBA+ABC.
Juntando
ambas
relaciones → DBA+ABC=ADB+DBA, es
decir ADB=ABC. De la demostración
anterior obtenemos que ADB=AOB/2 y
por lo tanto, como ADB=ABC →
ABC=ACB/2.
Traducido a nuestra situación diríamos que el ángulo BAN es la mitad del arco ̂ . Recordando
la demostración anterior de que el ángulo ACB es también la mitad del arco ̂ podemos
concluir que BAN=ACB.
Podemos demostrar la misma afirmación basándonos en la representación gráfica:
A partir de la demostración anterior el ángulo AOB será dos veces el ángulo ACB por lo que el
ángulo AOD tendrá de valor ACB. Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos interiores de
un triángulo es 180° y que AOD=ACB, podemos obtener el valor del ángulo OAD que será →
ACB+90+OAD=180 → OAD=90-ACB. Como OAF=90=OAD+BAN → BAN=90-OAD=9090+ACB=ACB, es decir, BAN=ACB.
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2.
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¿Cuánto vale la suma de los ángulos de un polígono de n lados? Demuestra tu
respuesta.
Como sabemos, la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
Un cuadrilátero, por su parte, se puede descomponer en dos triángulos (trazando todas las
diagonales que salen de uno de los vértices del polígono), por lo que la suma de sus ángulos es
180·2=360° (180°·el número de triángulos que lo forman).
Utilizando el mismo procedimiento descomponemos en tres triángulos un pentágono y
obtenemos que la suma de sus ángulos interiores es 180·3=540°.
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Geometría
Noviembre 2013
Haciendo este procedimiento para más polígonos demostramos el valor de la suma de los
ángulos interiores de un polígono de n lados.
Lados
Diagonales
Triángulos
3
4
5
6
7
…
n
n+1
0
1
2
3
4
…
n-3
n-2
1
2
3
4
5
…
n-2
n-2
Suma de los ángulos
interiores
180·1=180°
180·2=360°
180·3=540°
180·4=720°
180·5=900°
…
180°·(n-2)
180°·(n-1)
Es decir, un polígono de n lados tiene n vértices y a partir de uno de ellos podemos trazar n-3
diagonales para dividir el polígono en triángulos. Esto es debido a que hay que excluir los dos
vértices adyacentes y el propio vértice desde el cual se trazan las diagonales.
Mediante el trazo de diagonales obtendremos los triángulos, formando cada diagonal uno
excepto la última que forma dos. Por lo que el número de triángulos que se formarán a partir
de las diagonales será uno más que el número de diagonales trazadas desde un vértice, es
decir, se formarán n-2 triángulos.
Por lo tanto, como la suma de los ángulos interiores de todos los triángulos creados a partir de
las diagonales que salen de un vértice es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono,
si multiplicamos 180° (suma de los ángulos interiores de un triángulo) por el número de
triángulos, n-2, obtendremos la suma de los ángulos interiores del polígono: (n-2)·180°.
Podemos hacer la demostración por inducción:
(
)
(
( )
(
)
)
( )
(
)
(
)
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En el caso de los ángulos exteriores, su suma es siempre 360°. Teniendo en cuenta que el
ángulo exterior de un polígono está formado por un lado cualquiera y la prolongación del que
está a continuación podemos deducir que el ángulo interior más el exterior formarán 180°. Por
lo tanto, en un triángulo, la suma total de los ángulos interiores y exteriores es 180·3=540°
(180° por cada uno de sus vértices) y que si a este número le restamos la suma de los ángulos
interiores, nos queda la suma de los ángulos exteriores. Como en todo triángulo la suma de los
ángulos interiores es 180°, se obtiene que la suma de los ángulos exteriores será 540180=360°. Este método se puede extender para polígonos con más lados, obteniendo siempre
que la suma de los ángulos exteriores será 360°.
Lados
Suma de los ángulos
exteriores e interiores
Suma de los ángulos
interiores
Suma de los ángulos
exteriores
(S. ángulos ext.+int. Menos
S. ángulos interiores)
3
4
5
6
7
…
n
180·3=540°
180·4=720°
180·5=900°
180·6=1080°
180·7=1260°
…
180°·n
180°
360°
540°
720°
900°
…
180°·(n-2)
540-180=360°
720-360=360°
900-540=360°
1080-720=360°
1260-900=360°
…
180n-180(n-2)=
180n-180n+180·2=
180·2=360°
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3.
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Sea ABCD un paralelogramo. Por un punto cualquiera de su diagonal AC
trazamos dos segmentos paralelos a los lados de ABCD (ver la figura). Demuestra que
las superficies sombreadas tienen la misma área.
Ya que ABCD es un paralelogramo y AC es su diagonal, ABC y ACD serán dos triángulos con la
misma área. Este razonamiento se basa en el hecho de que al ser paralelos los lados dos a dos,
ambos triángulos tendrán la misma base y la misma altura, por lo que al calcular su área
obtendremos la misma. Es decir, en todo paralelogramo los ángulos y los lados opuestos son
iguales y la diagonal divide el área en dos partes iguales, por lo que los triángulos ABC y ACD
tendrán la misma área.
(
)
(
)i
Si observamos ABCD podemos ver que AEOH es también un paralelogramo con diagonal AO y
que igualmente OFCG es otro con diagonal OC. Por el mismo razonamiento anterior, el área
del triángulo AEO es igual a la del triángulo AOH y el área del triángulo OFC será la misma que
la del triángulo OCG.
(
)
(
)
(
)
(
)
A partir del razonamiento anterior podemos deducir que el área del triángulo AEO junto el
área del triángulo OCG es igual al área del triángulo AOH junto con el área del triángulo OFC.
(
)
(
)
(
)
(
)
Finalmente, como el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo ACD, y que las áreas
AEO=AOH y OFC=OCG, concluimos que el área del paralelogramo HOGD es igual a la del
paralelogramo OEBF. (Restando los triángulos obtendremos el área del paralelogramo
coloreado).
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(
)
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)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
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4.
Noviembre 2013
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados? Demuestra tu respuesta.
Partimos definiendo el concepto de diagonal de un polígono. Una diagonal de un polígono es
un segmento que une dos vértices no consecutivos.
Podemos ver algunos ejemplos:
En un triángulo no hay diagonales.
Un cuadrilátero tiene 2 diagonales.
Un pentágono tiene 5 diagonales.
Es decir, teniendo en cuenta que n es el número de lados y que por lo tanto n será también el
número de vértices, podremos trazar desde cada vértice n-3 diagonales. Esto es debido a que
hay que excluir los dos vértices adyacentes (las diagonales solamente unen vértices no
consecutivos) y el propio vértice desde el cual se trazan las diagonales. De este modo
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obtendremos las diagonales que salen de un vértice. Si esta cantidad la multiplicamos por el
número de vértices que tiene el polígono obtendríamos el número de diagonales que saldrían
de todos los vértices. Finalmente necesitaríamos dividir el resultado por dos para no contar
dos veces cada diagonal (ya que cada diagonal contiene dos vértices), obteniendo con este
procedimiento el número de diagonales del polígono.
Lados
3
4
(
(
5
(
6
7
(
)
)
)
(
)
)
(
(
(
Diagonales
0
) (
)
)
)
(
(
(
)
)
)
…
n
(
(
(
)
(
)
)
)
(
(
(
)
)
)
(
(
)
)
(
)
…
(
(
n+1
)
)(
)
Podemos comprobarlo por inducción:
(
)
(
)
( )
i
( )
(
(
(
)
)(
)
)
Se hace uso de la notación (MNC) para referirse al área del triángulo MNC.
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