Download ejercicios-de-geometria

Juan Carlos Costa Lazcano
Profesor de matemática
Instituto Nacional
Liceo José Victorino Lastarria
Geometría I
Def.: Angulo es la unión de dos rayos su frontera común
∢ 𝐴𝑂𝐵 = ∢ 𝛼 Se lee “ángulo AOB ó ángulo Alfa
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ son los rayos que forman el ángulo llamados lados del ángulo
𝑂𝐴
Medir un ángulo es compararlo con otro que se considera como unidad.
El sistema más usado para la medición de ángulos es el llamado
SISTEMA SEXAGESIMAL.
Este sistema considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales,
cada parte forma un ángulo llamado grado sexagesimal.
Cada grado sexagesimal se divide en 60 ángulos iguales llamados minutos sexagesimales
Cada minuto sexagesimal se divide en 60 llamados segundos sexagesimales
1 ⊗ = 360°
Una circunferencia tiene 360°
1° = 60’ = 3600´´ Un grado tiene sesenta minutos y tres mil seiscientos segundos
1’ = 60´´
Un minuto tiene sesenta segundos
Bisectriz de un ángulo es el rayo que lo divide en dos ángulos de igual medida
En la figura:
1.-) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑇 es bisectriz del ángulo AOB
2.-) ∢ AOT = ∢ TOB
3.-) ∢ AOB = ∢ AOT + ∢ TOB
Dos rectas coplanares son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos iguales.
Ángulo recto: Es el ángulo formado por dos rectas perpendiculares y mide 90°
Ángulo agudo: Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°
Ángulo extendido: Es el ángulo cuyos lados forman una línea recta y mide 180°
Ángulo obtuso: Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°
Ángulo completo: Es aquel que mide 360°
Complemento de un ángulo: Es el ángulo que sumado con él completa 90°. Ambos ángulos son complementarios entre sí
𝛼 ∧ 𝛽 son complementarios ssi 𝛼 + 𝛽 = 90°
Suplemento de un ángulo: Es el ángulo que sumado con él completa 180°. Ambos ángulos son suplementarios entre sí
𝛼 ∧ 𝛽 son suplementarios ssi 𝛼 + 𝛽 = 180°
Ángulos contiguos: Son aquellos que tienen un lado común
Ángulos Adyacentes: Son los ángulos contiguos y suplementarios a la vez
Dos rectas paralelas cortadas por una transversal determinan ángulos especiales por la posición de uno respecto del otro.
1.-) Ángulos correspondientes: Son los ángulos ubicados al mismo lado
de la transversal T y al mismo lado de las
paralelas L 1 y L 2, en la figura:
∢1=
∢4=
∢3=
∢2=
∢5
∢8
∢7
∢6
2.-) Ángulos opuestos por el vértice: Son los ángulos ubicados de manera
que los lados de uno de ellos son
prolongaciones más allá del vértice
de cada lado del otro, en la figura:
∢1=
∢2 =
∢6=
∢5=
∢3
∢4
∢8
∢7
3.-) Ángulos alternos internos: Son aquellos que están ubicados a distinto lado de la transversal, a distinto lado de las
paralelas y dentro de la cinta formada por ellas, en la figura:
∢4= ∢6
∢3= ∢5
4.-) Ángulos alternos externos: Son aquellos que están ubicados a distinto lado de la transversal, a distinto lado de las
paralelas y fuera de la cinta formada por ellas, en la figura:
∢2= ∢8
∢1= ∢7
POLIGONOS
Poligonal: Es un conjunto ordenado de segmentos coplanares tales que, el extremo de uno de ellos coincide con
el origen del segmento que lo sigue.
Polígono: Es toda poligonal cerrada.
Los polígonos se clasifican en convexos y cóncavos.
Polígono convexo: Es aquel que al unir dos puntos cualquiera ubicados en la región interior del polígono, el trazo
que se forma queda totalmente incluido dentro de la región interior del polígono, y según sus
ángulos se dice que es aquel en que todos sus ángulos interiores miden menos de 180°.
Polígono cóncavo: Es aquel que al unir dos puntos cualquiera ubicados en la región interior del polígono, el trazo
que se forma NO queda totalmente incluido dentro de la región interior del polígono, y según
sus ángulos se dice que es aquel que tiene al menos un ángulo que mide más de 180°
Obs.: Al Polígono cóncavo también se le llama Polígono NO convexo.
Polígonos regulares: Son aquellos Polígonos convexos que tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir son
equiláteros y equiángulos.
Polígonos Irregulares: Son aquellos que tienen uno o más lados y ángulos desiguales.
Según el número de lados y ángulos que tienen algunos polígonos admiten un nombre especial:
n
Nombre
n
Nombre
3
Triángulo
9
Eneágono
4
Cuadrilátero
10
Decágono
5
Pentágono
11
Endecágono
6
Hexágono
12
Dodecágono
7
Heptágono
15
Pentadecágono
8
Octógono
20
Icoságono
La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo se calcula con la fórmula 180° ( n – 2 ) donde “n” es el número de
lados del polígono.
Si el polígono es regular, entonces cada ángulo interior mide ∢ 𝒊
=
𝟏𝟖𝟎° ( 𝒏 − 𝟐)
𝒏
La suma de los ángulos exteriores de un polígono es : 360°
Si el polígono es regular, entonces cada ángulo exterior mide
𝟑𝟔𝟎°
𝒏
Desde un vértice cualquiera de un polígono de “n” lados, se pueden trazar (n – 3 ) diagonales
El número total de diagonales de un polígono de “n” lados es:
En un polígono regular se pueden trazar
𝒏
𝟐
𝒏 ( 𝒏−𝟑 )
𝟐
diagonales distintas que pasen por el centro de él
TRIÁNGULO
Es un polígono que tiene 3 lados y 3 ángulos.
Para que exista un triángulo deben ocurrir dos condiciones:
1.-) Cada uno de sus lados debe ser menor que la suma de los otros dos.
En la figura:
a<b+c
b<a+c
c<a+c
2.-) Cada uno de sus lados debe ser menor que el valor absoluto de
la diferencia de los otros dos.
a < |𝒃 − 𝒄|
b < |𝒂 − 𝒄|
c < |𝒂 − 𝒃|
En todo triángulo se cumple que a mayor lado se opone mayor ángulo, análogamente a mayor ángulo se opone mayor lado
c>a⟺𝜹> 𝛼
a>b⟺𝜶> 𝛽
c>b⟺𝜹> 𝛽
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma
de los dos ángulos interiores no adyacentes a él
En la figura 𝜺
= 𝜷 + 𝜹
Según sus lados los triángulos se clasifican en:
a) Triángulo EQUILÁTERO: Es aquel que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos iguales, por lo tanto cada ángulo
interior mide 60°.
b) Triángulo ISÓSCELES: Es aquel que tiene dos lados iguales llamados lados y uno distinto llamado base, por tener dos
lados iguales también tiene dos ángulos iguales y que tienen como uno de sus lados a la base del triángulo, estos
ángulos reciben el nombre de ángulos basales.
c) Triángulo ESCALENO: Es aquel que tiene sus tres lados distintos y por ende sus tres ángulos interiores distintos.
Según sus ángulos los triángulos se clasifican en:
a) Triángulo ACUTÁNGULO: Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos, es decir, cada uno de ellos mide menos de 90°,
como sus ángulos interiores son agudos, los exteriores son obtusos.
b) Triángulo RECTÁNGULO: Es aquel que tiene un ángulo recto, por lo que los otros dos ángulos deben ser agudos ya
que deben sumar entre ambos 90°.
c) Triángulo OBTUSÁNGULO: Es aquel que tiene un ángulo obtuso, es decir, mayor de 90°, por lo que sus otros dos
ángulos deben ser agudos.
Elementos secundarios del Triángulo
Altura: Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo al lado opuesto o a su prolongación,
generalmente se denotan por ha, hb, hc.. Corresponde a la distancia desde un vértice al lado opuesto
Las tres alturas de un triángulo se interceptan en un punto llamado ORTOCENTRO y se denota por H
Bisectriz: Es el rayo que divide al ángulo en dos ángulos de igual medida.
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se designan
según el ángulo como 𝑏𝛼 , 𝑏𝛽 𝑦 𝑏𝛿
Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo
se interceptan en un punto llamado INCENTRO
y que corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo
y se denota por I.
El INCENTRO equidista de los tres lados del triángulo, 𝜌 (𝑟ℎ𝑜) = radio de la circunferencia inscrita
SIMETRALES 0 MEDIATRICES: Son las rectas perpendiculares en los puntos medios de los lados del triángulo.
Las tres simetrales o mediatrices se interceptan
en un punto llamado CIRCUNSCENTRO
y corresponde al centro de la circunferencia
ex inscrita o circunscrita en el triángulo
El circuncentro se designa por O
Las simetrales o mediatrices se designan por S con un
sub – índice, dependiendo el índice según el lado que
corresponda.
En la figura “r” es el radio de la circunferencia circunscrita,
por lo tanto el circunscent ro equidista de los tres vértices
del triángulo, ̅̅̅̅
𝑂𝐴 = ̅̅̅̅
𝑂𝐵 = ̅̅̅̅
𝑂𝐶 = 𝑟
TRANSVERSALES DE GRAVEDAD: Son los segmentos que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice
opuesto.
Las transversales de gravedad de un triángulo se designan
generalmente por 𝑡 𝑎 donde el subíndice indica el lado
que corresponde la transversal trazada.
𝑡 𝑎 es la transversal de gravedad que une
el punto medio del lado “a” con el vértice A
𝑡 𝑏 es la transversal de gravedad que une
el punto medio del lado “b” con el vértice B
𝑡 𝑐 es la transversal de gravedad que une
el punto medio del lado “c” con el vértice C
Las tres transversales de gravedad de un triángulo concurren a un mismo punto llamado centro de gravedad o
BARICENTRO, y se designa por G.
El centro de gravedad ( G ) de un triángulo divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos de modo que
el segmento que une el vértice con el centro de gravedad mide el doble que el segmento que une el centro de
gravedad con el punto medio del lado opuesto.
̅̅̅̅ ∶ 𝑮𝑬
̅̅̅̅ = 𝑩𝑬
̅̅̅̅ = 𝑪𝑭
̅̅̅̅ ∶ 𝑭𝑨
̅̅̅̅ ∶ 𝑬𝑪
̅̅̅̅ = 𝟐 ∶ 𝟏 y también
𝑨𝑮
̅̅̅̅
𝑨𝑮 =
𝟐
𝒕
𝟑 𝒂
; ̅̅̅̅
𝑮𝑬 =
𝟏
𝟑
𝒕 𝒂 ; ̅̅̅̅
𝑩𝑮 =
𝟐
𝟑
𝒕 𝒃 ; ̅̅̅̅
𝑮𝑭 =
𝟏
𝒕
𝟑 𝒃
; ̅̅̅̅
𝑪𝑮 =
𝟐
𝒕
𝟑 𝒄
; ̅̅̅̅
𝑮𝑫 =
𝟏
𝒕
𝟑 𝒄
MEDIANAS: Son los segmentos que unen los puntos medios de dos lados de un triángulo.
Cada mediana es paralela al lado opuesto
La medida de una mediana corresponde
a la mitad de la medida del lado opuesto
Por ser paralelas a los lados opuestos, las medianas
generan pares de ángulos correspondientes entre
paralelas.
Al trazar las tres medianas se forman 4 triángulos congruentes
∆ 𝐴𝑀𝑃 ≅ ∆ 𝑀𝐵𝑁 ≅ ∆ 𝑃𝑁𝐶 ≅ ∆ 𝑁𝑃𝑀
TEST
1.-) En la figura se tiene que L 1 // L 2
el ángulo “ z ” en función de los
ángulos “x” e “y” queda determinado por:
a)
b)
c)
d)
e)
x+y
180° − y
180° − x + y
180° − x
x + y – 180°
Ñ
2.-) En la figura se tiene que L 1 // L 2 y L 3 // L 4
Entonces el ángulo x mide:
a)
b)
c)
d)
e)
30°
65°
70°
100°
130°
Ñ
3.-) En la figura se tiene que L 1 // L 2 // L 3 ; L 4 // L 5
x : y = 2 : 3 entonces la medida del ángulo z es:
a)
b)
c)
d)
e)
62°
72°
90°
108°
540°
Ñ
4.-) En la figura se tiene que L 1 // L 2
L 3 bisectriz del ángulo formado
por L 1 y L 4 entonces la medida
del ángulo x es:
a)
b)
c)
d)
e)
35°
70°
90°
110°
145°
Ñ
5.-) En la figura se tiene que L 1 // L 2 , L 3 // L 4
L 5 es bisectriz del ángulo AOB, entonces
la medida del ángulo x es:
a)
b)
c)
d)
e)
50°
60°
80°
100°
130°
Ñ
6.-) El triángulo ABC de la figura es equilátero
̅̅̅̅
𝐶𝐷 bisectriz, ̅̅̅̅
𝐴𝐸 transversal, ̅̅̅̅
𝐵𝐹 altura
Entonces la medida del ángulo X es:
a)
b)
c)
d)
e)
30°
45°
60°
75°
90°
Ñ
̅̅̅̅ , se tiene que el ángulo BAC mide 70°, entonces la medida del ángulo BCA es:
7.-) En un triángulo ABC isósceles de base 𝐴𝐵
a)
b)
c)
d)
e)
20°
40°
50°
70°
140°
Ñ
8.-) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están en la razón 1 : 4, entonces la medida del ángulo mayor es:
a)
b)
c)
d)
e)
18°
40°
72°
80°
144°
Ñ
9.-) En la figura, ∡ BAE = 38°, ∡ DCB = 90°, ∡ AEB = 90°,
entonces la medida del ∡ BDC es:
a)
b)
c)
d)
e)
28°
38°
52°
62°
N. A.
Ñ
10.-) Los ángulos exteriores de un triángulo están en la razón 9 : 11 : 16 ¿Qué tipo de triángulo es?.
a)
b)
c)
d)
e)
Acutángulo
Obtusángulo
Rectángulo
Equilátero
N. A.
Ñ
11.-) En el triángulo ABC de la figura, se tiene,
̅̅̅̅
𝐷𝐴 ≅ ̅̅̅̅
𝐴𝐵. Si m(∡ 𝐴𝐵𝐶) − m(∡ 𝐴𝐶𝐵) = 30°,
Entonces la medida del ∡ DBC es:
a)
b)
c)
d)
e)
15°
Ñ
30°
45°
60°
No se puede determinar
12.-) En la figura ̅̅̅̅
𝐴𝐵 // ̅̅̅̅
𝐶𝐷 entonces
la medida del ángulo X es:
a)
b)
c)
d)
e)
20°
50°
70°
100°
120°
Ñ
13.-) El triángulo ABC de la figura es isósceles
̅̅̅̅ , entonces la medida del ∡ y es:
de base 𝐵𝐶
a)
b)
c)
d)
e)
50°
60°
85°
95°
130°
Ñ
14.-) En la figura ABCD es un rectángulo.
Δ APQ rectángulo en P, si ∡ QPB = 30°
Entonces la medida del ∡ PBC es:
a)
b)
c)
d)
e)
30°
45°
60°
70°
75°
Ñ
15.-) En la figura ̅̅̅̅
𝐴𝐷 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐵𝐷 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐶𝐷,
Entonces ∡ X − ∡ Y es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0°
8°
14°
22°
34°
Ñ
16.-) La suma de las medidas de las tres transversales de gravedad es:
a)
b)
c)
d)
e)
Igual al perímetro del triángulo
Igual a la mitad del perímetro del triángulo
Mayor que el perímetro del triángulo
Menor que el perímetro del triángulo .
Igual a un tercio del perímetro del triángulo
Ñ
17.-) Tres rectas concurrentes ( las tres se interceptan en el mismo punto) forman 6 ángulos consecutivos, si dos de ellos
miden 18° y 52°, ¿qué medida no corresponde a uno de los ángulos que genera la figura?.
a)
b)
c)
d)
e)
70°
110°
128°
144°
162°
Ñ
18.-) En la figura L ⊥ R y S // T
Entonces el ∡ X mide:
a)
b)
c)
d)
e)
25°
90°
115°
155°
165°
Ñ
19.-) Si el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos consecutivos mide 38°y dichos ángulos están en la razón “2:17”,
entonces el menor de ellos mide:
a)
b)
c)
d)
e)
8°
19°
20°
28°
68°
Ñ
20.-) El rectángulo DEFG está inscrito en el triángulo ABC.
Si ∡ BEF = 22° Y ∡ CDG = 65°, entonces ∡ BAC es igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
82°
87°
90°
93°
104°
Ñ
21.-) En el triángulo ABC, I es el incentro.
Si ∡ AIB = 100°. ¿Cuánto mide ∡ ACB?
a)
b)
c)
d)
e)
20°
40°
50°
80°
Faltan datos
Ñ
22.-) El punto O es el circunscentro del triángulo ABC.
Si ∡ OAB = 20° y ∡ COB = 80°.
La medida del ∡ ACO es:
a)
b)
c)
d)
e)
10°
20°
Ñ
50°
80°
Otro valor
23.-) En e l ∆ PQR , ∡PRQ = 80°,
̅̅̅̅ es mediana.
∡ EDQ = 55° y 𝐷𝐸
¿Cuánto mide el ∡ X?.
a)
b)
c)
d)
e)
35°
45°
50°
55°
60°
Ñ
24.-) En el ∆ SRT, ̅̅̅̅
𝑇𝐻 es altura, ∡ a = 110° y ∡ b = 140°.
¿Cuál es la medida del ∡ X?.
a)
b)
c)
d)
e)
20°
30°
50°
60°
70°
Ñ
25.-) En el ∆ SRT, ̅̅̅̅
𝑇𝑄 transversal, ∡ RQT = 120°.
El ∡ x mide:
a)
b)
c)
d)
e)
20°
30°
40°
60°
Falta información
Ñ
26.-) El ∆ ADB es isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐷
El ∆ CDE es equilátero, ∡ a + ∡ b = 110°
¿Cuánto mide el ∡ X?.
a)
b)
c)
d)
e)
80°
70°
65°
60°
50°
Ñ
27.-) En la figura ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ⊥ ̅̅̅̅
𝐴𝐷 , ̅̅̅̅
𝐴𝐶 // ̅̅̅̅
𝐷𝐸
̅̅̅̅
̅̅̅̅
∡ CAE ≅ ∡ EAB y 𝐴𝐵 ≅ 𝐵𝐶
¿Cuánto mide el ∡ AED?.
a)
b)
c)
d)
e)
20°
35°
40°
55°
70°
Ñ
̅̅̅̅
28.-) En el ∆ ABC, ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ 𝐵𝐶
̅̅̅̅
𝐷𝐵 bisectriz del ∡ ABC
Entonces la medida del ∡ X es:
a)
b)
c)
d)
e)
20°
40°
60°
80°
100°
Ñ
29.-) En la figura se tiene que L 1 // L 2
Entonces el valor de l ∡ X es:
a)
b)
c)
d)
e)
30°
45°
55°
65°
70°
Ñ
30.-) En la figura L 1 ⊥ L 2 y L 1 // L 3 // L 4 // L 5
Entonces el valor de ∡ x + ∡ y + ∡ z es:
a)
b)
c)
d)
e)
90°
120°
150°
170°
210°
Ñ
31.-) Si L 1 // L 2 , ∡ X = 4 ∡ y.
¿Cuánto mide el ∡ X?
a)
b)
c)
d)
e)
102° 30’
120°
135°
140°
180°
Ñ
32.-) En el ∆ ABC, ̅̅̅̅
𝐶𝐷 bisectriz del ∡ ACB
entonces la medida del ∡ X es:
a)
b)
c)
d)
e)
28°
30°
62°
64°
75°
Ñ
33.-) De acuerdo a la figura
¿Cuál es el valor de 6 X?.
a)
b)
c)
d)
e)
12°
24°
48°
60°
72°
Ñ
̅̅̅̅
34.-) En la figura el ∆ ABC isósceles de base 𝐴𝐵
entonces la medida del ángulo X es:
a)
b)
c)
d)
e)
68°
93°
111°
115°
136°
Ñ
35.-) De acuerdo a la figura
la medida de 2X es:
a)
b)
c)
d)
e)
12°
24°
36°
48°
62°
Ñ
36.-) Si ⃡⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 es una recta
¿Cuál es el valor del ∡ X?
a)
b)
c)
d)
e)
26°
72°
77°
78°
87°
Ñ
37.-) El ángulo exterior en un vértice de un triángulo es el doble de su ángulo adyacente. Entonces se trata de un triángulo:
a)
b)
c)
d)
e)
Equilátero
Isósceles
Rectángulo
Escaleno
Falta información
Ñ
38.-) El ángulo exterior en un vértice de un triángulo es el doble de su ángulo adyacente. Entonces, ¿cuál de los siguientes
triángulos no puede ser?.
a)
b)
c)
d)
e)
Equilátero
Isósceles
Rectángulo
Escaleno
Obtusángulo
Ñ
39.-) En la figura se tiene que:
̅̅̅̅
𝑇𝐻 es altura del ∆ SRT,
Entonces el ∡ X mide:
a)
b)
c)
d)
e)
15°
30°
35°
45°
Ñ
70°
40.-) El valor del ángulo que disminuido en su suplemento es igual al triple de su Complemento es:
a)
b)
c)
d)
e)
30°
45°
60°
75°
90°
Ñ.
41.-) Si al suplemento del suplemento de un ángulo, se le aumenta el complemento del complemento del ángulo, resulta el
cuádruplo del complemento del mismo. Entonces la medida del ángulo es:
a)
b)
c)
d)
a)
30°
45°
60°
75°
90°
Ñ
42.-) La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es seis veces la medida del ángulo. Entonces el
suplemento del complemento del ángulo es:
a)
b)
c)
d)
e)
30°
45°
60°
90°
105°
Ñ
43.-) Si al suplemento de un ángulo se le disminuye el séxtuplo de su complemento, resulta la mitad del valor del ángulo.
Entonces el suplemento del suplemento del suplemento del complemento del complemento del complemento del
ángulo es:
a)
b)
c)
d)
e)
90°
125°
170°
Ñ
185°
Otro valor
1
44.-) Si la sexta parte del suplemento del complemento de un ángulo es igual a 3 de 9º menos que su complemento.
Entonces el valor del ángulo es:
a)
b)
c)
d)
e)
12°
24°
36°
48°
N. A.
Ñ
45.-) Se tienen dos rectas paralelas XX’ e YY’. Sobre XX’ se toma un punto A y sobre YY’ un punto B, los cuales se unen con
un punto C situado entre las paralelas. Entonces la medida del ∢ ACB sabiendo que ∢ XAC = 60º ∧ ∢ Y’BC = 140º es:
a)
b)
c)
d)
e)
45°
50°
60°
100°
N. A.
Ñ
46.-) Alrededor de un mismo punto O, Se trazan los rayos ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐶 ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐷, formándose los ángulos
consecutivos (contiguos) ∢ BOA , ∢ COB , ∢ DOC ∧ ∢ AOD. Entonces la medida del ∢ DOC sabiendo que:
∢ 𝐵𝑂𝐴
∢ 𝐷𝑂𝐶
4
∢ 𝐶𝑂𝐵 =
=
∧ ∢ 𝐴𝑂𝐷 = ∢ 𝐵𝑂𝐴 es:
3
a)
b)
c)
d)
e)
45°
90°
120°
180°
N. A.
4
3
Ñ
47.-) Dados los ángulos consecutivos
∢ BOA ∧ ∢ COB ,
donde ∢ COA = 𝛼 ∧ ∢ 𝐶𝑂𝐵 = 𝛽
Entonces el valor del ∢ COM,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ bisectriz del ∢ BOA es:
siendo 𝑂𝑀
a)
b)
𝛼
2
𝛽
2
c) 𝛼 + 𝛽
d)
e)
𝛼+ 𝛽
Ñ
2
𝛼− 𝛽
2
48.-) Se tienen tres ángulos consecutivos
∢ BOA , ∢ COB ∧ ∢ DOC.
⃗⃗⃗⃗⃗ del ∢ COB.
Se traza la bisectriz 𝑂𝑃
Entonces la medida del ∢ BOA,
sabiendo que ∢ POA = 60º
y ∢ DOP − ∢ DOC = 20º es:
a)
b)
c)
d)
e)
10°
20°
30°
40°
N. A.
Ñ
49.-) Dados los ángulos consecutivos ∢ BOA , ∢ COB ∧ ∢ DOC
de tal modo que ∢ COA + ∢ DOB = 110º.
Entonces la medida del ∢ DOA
si ∢ BOA + ∢ DOC = 60º es:
a)
b)
c)
d)
e)
15°
35°
55°
75°
85°
Ñ
50.-) Se tienen los rayos consecutivos:
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐶 .
Entonces la medida del ángulo formado
por las bisectrices de ∢ COA ∧ ∢ BOA.
Sabiendo que éstos se diferencian en 50º
a)
b)
c)
d)
e)
25°
30°
45°
50°
N. A.
Ñ
51.-) Un ángulo duplicado es mayor a otro en 30º. Si los ángulos son conjugados internos comprendidos entre
paralelas. ¿En cuánto se diferencian estos ángulos?
a)
b)
c)
d)
e)
10°
15°
20°
35°
40°
Ñ
52.-) 𝐿 ∥ 𝐿1 ⇒ ∢ 𝑥 = ¿ … … … … ?
a)
b)
c)
d)
e)
20º
30º
50º
80º
110º
Ñ
53.-) En la figura ∆𝐸𝐵𝐶 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 𝐿1 // 𝐿 ⇒ ∢ 𝑥 = ¿ … … … . ?
a)
b)
c)
d)
e)
20º
40º
60º
80º
120º
Ñ
54.-) ABCD cuadrado y ∆ 𝐴𝐸𝐶 𝑖𝑠ó𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 ̅̅̅̅
𝐴𝐶
Entonces la medida del ángulo x es:
a)
b)
c)
d)
e)
15º
20º
35º
45º
90º
Ñ
55.-) ∆ 𝐴𝐶𝐸 rectángulo isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐸 y
̅̅̅̅
∆ 𝐵𝐸𝐶 isósceles de base 𝐵𝐸
Si ∢ 𝐶𝐵𝐸 = 55º, entonces ∢ 𝑥 = ¿ … … … … … . . ?
a)
b)
c)
d)
e)
55º
65º
105º
115º
125º
Ñ
56.-) 𝐿1 // 𝐿2 y ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ⇒ ∢ 𝑥 = ¿ … … … . ?
a)
b)
c)
d)
e)
5º
10º
15º
25º
30º
Ñ
57.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐵
̅̅̅̅ // 𝐴𝐵
̅̅̅̅
̅̅̅̅ , 𝐷𝐶
∆ 𝐷𝐶𝐵 isósceles de base 𝐷𝐵
Entonces ∢ 𝑥 = ¿………….?
a)
b)
c)
d)
e)
70º
40º
35º
15º
N A.
Ñ
58.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐵
∆ 𝐴𝐵𝐷 rectángulo en A
⇒ ∢ 𝑥 = ¿………………..?
a)
b)
c)
d)
e)
35º
50º
55º
65º
80º
Ñ
59.-) 𝐿1 // 𝐿2 ⇒ ∢𝑥 − ∢𝑦 = ¿……………?
a)
b)
c)
d)
e)
30º
40º
50º
60º
110º
Ñ
60.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐵
𝐿1 // 𝐿2 ∧ 𝛽 = 2𝛼 ⇒ ∢x = ¿………?
a)
b)
c)
d)
e)
25º
30º
50º
75º
N. A.
Ñ
61.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 ∧ ∆ 𝐴𝐷𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ∧ ̅̅̅̅
𝐴𝐷
respectivamente ⇒ ∢ x = ¿………………?.
a)
b)
c)
d)
e)
10º
30º
40º
50.º
70º
Ñ
̅̅̅̅
62.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles de base 𝐵𝐶
∆ 𝐴𝐷𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐷, ̅̅̅̅
𝐴𝐵 // ̅̅̅̅
𝐷𝐸
⇒ ∢ x = ¿……………..?
a)
b)
c)
d)
e)
25º
30º
35º
75º
100º
Ñ
63.-) En la figura la medida del ∢ x es:
a)
b)
c)
d)
e)
30º
45º
60º
75º
N. A.
Ñ
64.-) En la figura 𝐿1 // 𝐿2 ⇒ 𝛼 + 𝛽 = ¿…..?
a)
b)
c)
d)
e)
40º
50º
90º
180º
270º
Ñ
65.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 rectángulo en B ⇒ ∢ x = ¿…….?
a)
b)
c)
d)
e)
40º
50º
60º
90º
N. A.
Ñ
̅̅̅̅ ⇒ ∢ x = ¿………….?
66.-) ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ 𝐶𝐵
a)
b)
c)
d)
e)
20º
40º
50º
70º
90º
Ñ
67.-) ABCD cuadrado 𝛽 = 2 𝛼 ⇒ ∢ x = ¿……….?
a)
b)
c)
d)
e)
30º
45º
60º
90º
120º
Ñ
̅̅̅̅ son alturas del ∆ 𝐴𝐵𝐶 ⇒ ∢ x + ∢ y = ¿….?
̅̅̅̅ ∧ 𝐴𝐷
68.-) 𝐵𝐸
a)
b)
c)
d)
e)
20º
30º
40º
50º
70º
Ñ
69.-) En la figura se tiene que
𝐿1 // 𝐿2 ⇒ ∢ x = ¿……..?
a)
b)
c)
d)
e)
30º
40º
55º
110º
140º
Ñ
70.-) En la figura se tiene que
𝐿1 // 𝐿2 ⇒ ∢ x = ¿………….?
a)
b)
c)
d)
e)
20º
30º
50º
70º
80º
Ñ
̅̅̅̅
71.-) ∆ 𝐴𝐸𝐵 isósceles de base𝐴𝐸
∆ 𝐴𝐵𝐶 ∧ ∆ 𝐸𝐹𝐵 equiláteros
⇒ ∢ x = ¿………….?
a)
b)
c)
d)
e)
36º
82º
92º
102º
162º
Ñ
72.-) L es una recta ∆ 𝐴𝐵𝐶 rectángulo en A
y BDFE cuadrado ⇒ ∢ x = ¿……….?
a)
b)
c)
d)
e)
75º
85º
90º
95º
105º
Ñ
73.-) 𝐿1 // 𝐿2 ∧ 𝐿3 // 𝐿4 ⇒ ∢ x = ¿………….?
a)
b)
c)
d)
e)
10º
20º
40º
100º
110º
Ñ
74.-) El ∆ 𝐴𝐵𝐶 es rectángulo en A
̅̅̅̅
̅̅̅̅ son las bisectrices interior y exterior
𝐴𝐸 ∧ 𝐵𝐸
respectivamente del ∆ 𝐴𝐵𝐶 ⇒ ∢ x = ¿……..?.
a)
b)
c)
d)
e)
5º
10º
15º
20º
30º
Ñ
75.-) 𝐿1 // 𝐿2 ∧ ∆ 𝐴𝐵𝐶 rectángulo isósceles
̅̅̅̅ ⇒ ∢ x =¿…?
de base 𝐴𝐶
a)
b)
c)
d)
e)
5º
10º
15º
45º
75º
Ñ
76.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ∧ ̅̅̅̅
𝐶𝐸 // ̅̅̅̅
𝐴𝐵
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Si 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶 ⇒ ∢ 𝑥 = ¿……….?
a)
b)
c)
d)
e)
20º
40º
60º
80º
100º
Ñ
77.-) Según los datos de la figura ∢ 𝑥 + ∢ 𝑦 = ¿…..?
a)
b)
c)
d)
e)
180º
185º
190º
205º
210º
Ñ
̅̅̅̅ // 𝐴𝐵
̅̅̅̅
78.-) ABCD cuadrado 𝐶𝐸
Si 𝛽 = 2 𝛼 ⇒ ∢ 𝑥 = ¿ … … . ?
a)
b)
c)
d)
e)
30º
75º
85º
95º
105º
Ñ
79.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 equilátero, ∆ 𝐴𝐶𝐸 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐸 .
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Si 𝐸𝐷 ⊥ 𝐷𝐵 ⇒ ∢ 𝑥 = ¿…………?
a)
b)
c)
d)
e)
55º
65º
75º
80º
85º
Ñ
̅̅̅̅
80.-) ∆ 𝐴𝐷𝐶 isósceles de base 𝐴𝐶
∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐵
⇒ ∢ x = ¿……………?.
a)
b)
c)
d)
e)
10º
20º
25º
35º
40º
Ñ
̅̅̅̅ ∧ ̅̅̅̅
81.-) ∆𝐴𝐵𝐶 ∧ ∆𝐴𝐵𝐸 isósceles de bases 𝐴𝐵
𝐴𝐸 respectivamente
Si ∢ 𝐴𝐶𝐵 = 40º ∧ ∢ 𝐹𝐵𝐸 = 50º ⟹ ∢ x = ¿………?
a)
b)
c)
d)
e)
75º
85º
95º
105º
120º
Ñ
82.-) ∆𝐴𝐵𝐶 equilátero ∧ ∆𝐸𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐸𝐶
Si ∢ 𝐴𝐺𝐵 = 100º ⟹ ∢ x = ¿…………?
a)
b)
c)
d)
e)
5º
10º
15º
20º
25º
Ñ
83.-) ̅̅̅̅
𝐶𝐷 transversal de gravedad del ∆𝐴𝐵𝐶
⟹ ∢ 𝛼 = ¿……..,….,..?.
a)
b)
c)
d)
e)
30º
40º
50º
60º
80º
Ñ
84.-) 𝐿1 // 𝐿2 // 𝐿3 ∧ 𝐿4 // 𝐿5
∆𝐴𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐶
⟹ ∢ x = ¿………….?.
a)
b)
c)
d)
e)
20º
40º
50º
60º
80º
Ñ
85.-) ∆𝐴𝐵𝐶 ∧ ∆𝐶𝐸𝐹 rectángulos en
B ,y, E respectivamente.
Si ∢ 𝐶𝐹𝐸 = 40º ∧ EC = EA ⟹ ∢x = ¿….?
a)
b)
c)
d)
e)
5º
10º
20º
40º
60º
Ñ
86.-) ABCD cuadrado ∧ ∆𝐴𝐶𝐸 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐸
⟹ ∢x = ¿…….?
a)
b)
c)
d)
e)
15º
20º
22,5º
25º
30º
Ñ
87.-) ∆𝐴𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐵
̅̅̅̅ // ̅̅̅̅
𝐴𝐶
𝐷𝐸 . Si ∢ 𝐷𝐸𝐹 = 140º ∧ ∢ 𝐸𝐷𝑇 = 80º
⟹ ∢ x = ¿………….?
a)
b)
c)
d)
e)
80º
100º
110º
120º
140º
Ñ
88.-) 𝐿1 // 𝐿2 ∧ 𝐿3 // 𝐿4
̅̅̅̅
Si ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles de base 𝐴𝐵
⟹ ∢ 𝑥 = ¿………….?
a)
b)
c)
d)
e)
10º
20º
30º
40º
45º
Ñ
89.-) ABCD es un cuadrado
∆ 𝐷𝐶𝐸 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐸𝐶
⟹ ∢ 𝑥 = ¿…………….?.
a)
b)
c)
d)
e)
77º
96º
101º
106º
108º
Ñ
̅̅̅̅ // 𝐶𝐷
̅̅̅̅ ∧ ∢ 𝐷𝐴𝐵 mide 20º menos que el ∢ 𝐷𝐶𝐵
90.-) 𝐴𝐵
⟹ ∢ 𝐴𝐷𝐶 mide………
a)
b)
c)
d)
e)
5º
25º
30º
45º
60º
Ñ
̅̅̅̅ ⟹ ∢ 𝛼 =¿…….?
91.-) El ∆ 𝐴𝐵𝐶 es isósceles de base 𝐴𝐵
a)
b)
c)
d)
e)
20º
30º
40º
50º
70º
Ñ
92.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 equilátero ∧ BEDC es un cuadrado
⇒ ∢ 𝑥 = ¿…………?
a)
b)
c)
d)
e)
15º
30º
45º
60º
Falta información
Ñ
93.-) ABCD es un cuadrado y ∆ 𝐴𝐸𝐷 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐸
⇒ ∢ 𝑥 = ¿………….?
a)
b)
c)
d)
e)
35º
50º
55º
65º
75º
Ñ
94.-) ABCD rectángulo ⟹ ∢ 𝑥 = ¿…………?.
a)
b)
c)
d)
e)
28º
56º
124º
180º
N. A.
Ñ
95.-) ABCD cuadrado ⟹ ∢ 𝑥 = ¿………..?.
a)
b)
c)
d)
e)
30º
45º
60º
75º
150º
Ñ
96.-) ∆ 𝐴𝐵𝐶 isósceles de base ̅̅̅̅
𝐴𝐵
BEFC paralelogramo ⟹ ∢ 𝑥 = ¿….?.
a)
b)
c)
d)
e)
10º
30º
50º
80º
N. A.
Ñ
̅̅̅̅
97.-) ∆ 𝐴𝐶𝐸 isósceles de base 𝐴𝐶
ABCD rombo ⟹ ∢ 𝑥 = ¿…..?.
a)
b)
c)
d)
e)
70º
55º
30º
25º
N. A.
Ñ
98.-) ABCD rectángulo
̅̅̅̅
∆ 𝐴𝐸𝐶 isósceles de base 𝐶𝐸
⟹ ∢ 𝑥 = ¿……..?.
a)
b)
c)
d)
e)
17º
34º
42º
56º
Otro valor
Ñ
99.-) ABCD rombo ∢ 𝐶𝐴𝐵 = 25º ⟹ ∢ 𝑥 = ¿…?
a)
b)
c)
d)
e)
155º
130º
65º
25º
15º
Ñ
100.-) ABCD rombo ∆ 𝐴𝐷𝐸 rectángulo en D
⟹ ∢ 𝑥 = ¿………………..?.
a)
b)
c)
d)
e)
130º
70º
50º
40º
10º
Ñ
101.-) ABCD rectángulo ABEC paralelogramo
⟹ ∢ 𝑥 = ¿………………..?
a)
b)
c)
d)
e)
20º
70º
90º
110º
N. A.
Ñ
102.-) ABCD paralelogramo
̅̅̅̅ altura del paralelogramo
𝐷𝐹
⟹ ∢ 𝑥 = ¿……………….?
a)
b)
c)
d)
e)
22º
32º
48º
58º
80º
Ñ
103.-) ABCD rombo ∧ BEFC cuadrado ⟹ ∢ 𝑥 = ¿…….?.
a)
b)
c)
d)
e)
10º
70º
90º
110º
160º
Ñ
104.-) ABCD paralelogramo ⟹ ∢ 𝑥 =¿………?.
a)
b)
c)
d)
e)
30º
50º
150º
180º
N. A.
Ñ
105.-) ABCD rombo BECF paralelogramo
⟹ ∢ 𝑥 = ¿………………..?.
a)
b)
c)
d)
e)
25º
65º
90º
155º
N. A.
Ñ
̅̅̅̅ ∧ 𝐶𝐷
̅̅̅̅
106.-) ABCD trapecio isósceles de bases 𝐴𝐵
⟹ ∢ 𝑥 = ¿…………………..?
a)
b)
c)
d)
e)
20º
40º
80º
100º
120º
Ñ
107.-) ABCDEF hexágono regular
ABCD ¿Qué tipo de cuadrilátero es?
a)
b)
c)
d)
e)
Trapecio escaleno
Trapecio isósceles
Trapecio trisolátero
Trapecio rectángulo
Trapezoide
Ñ
108.-) ABCD paralelogramo. Según los datos de la figura
¿De qué paralelogramo se trata?
a)
b)
c)
d)
e)
Cuadrado
Rectángulo
Trapecio
Romboide
Rombo
Ñ
109.-) ABCDE pentágono regular ⟹ ∢ 𝑥 + ∢ 𝑦 + ∢ 𝑧 =¿..?
a)
b)
c)
d)
e)
36º
72º
108º
180º
216º
Ñ
110.-) En la figura la medida del ∢ 𝑥 es:
a)
b)
c)
d)
e)
50º
75º
85º
90º
95º
Ñ
111.-) ABCD cuadrado ∧ ̅̅̅̅
𝐷𝐸 bisectriz del ∢ADB ⟹ ∢ x = ¿…..?
a)
b)
c)
d)
e)
60º
62,5º
66,5º
67,5º
80º
Ñ
112.-) De acuerdo a la figura la medida del ∢es:
a)
b)
c)
d)
e)
70º
100º
110º
120º
150º
Ñ
113.-) ABCD es un paralelogramo ∧ ∆ 𝐴𝐷𝐸 isósceles
de base ̅̅̅̅
𝐴𝐸 . Si ∢𝐵𝐴𝐸 = 25º ⟹ ∢ 𝑥 =¿……..?.
a)
b)
c)
d)
e)
25º
50º
75º
130º
155º
Ñ
114.-) ABCD rectángulo ⟹ ∢ 𝑥 + ∢ 𝑦 = ¿………?
a)
b)
c)
d)
e)
60º
90º
Ñ
120º
150º
Falta información
115.-) En la figura   20     50    ¿....................?
a)
b)
c)
d)
e)
130°
110°
70°
45°
30°
Ñ
116.-) En la figura   2      40     ¿................?
a)
b)
c)
d)
e)
30º
60°
80°
100°
120°
Ñ
117.-) Si    50  M // N   x  ¿....................?
a)
b)
c)
d)
e)
30°
40°
50°
60°
90°
Ñ
118.-) En la figura ST // PR ; PR  RQ .
¿Cuál es la relación entre los ángulos    ?.
a)
b)
c)
d)
e)





 3
 90  3
 180  
 180  2
 180  3
Ñ
119.-) En la figura PQR es un  isósceles
de base PQ   x  ¿..............?
a)
b)
c)
d)
e)
130°
100°
80°
50°
N. A.
Ñ
120.-) En el  ABC de la figura
AD  DB  DC   CAB  50     ¿...................? .
a)
b)
c)
d)
e)
70°
60°
50°
45°
40°
Ñ
121.-) En la figura ABC es un  equilátero
AE , BF  CD transversales de gravedad   FHC  ¿..............?
a)
b)
c)
d)
e)
30°
45°
60°
75°
N. A.
Ñ
122.-) En la figura ABC es un  isósceles de base AC
BD  DC ; AD  DC  es ( son ) verdadera (s):
AB  DB
I)
II )  ABC  135
III)  CAB  22,5
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
Sólo II y III
Ñ
123.-) En la figura  ABC isósceles y rectángulo en C ,
BE bisectriz del  ABC , BF bisectriz del  EBD
entonces el ángulo DBF mide.....
a)
b)
c)
d)
e)
25,75°
55,75°
67,50°
70,25°
78,75 °
Ñ
124.-) En la figura  ABC rectángulo en C, CD altura
b c bisectriz del DCB   DCM  9    ¿........?
a)
b)
c)
d)
e)
18°
36°
45°
54°
72°
Ñ
125.-) En la figura AC  BC  AD
DE bisectriz de  CDB  BE  AB   x  ¿...........?
a)
b)
c)
d)
e)
126.-)
18°
36°
54°
72°
Ñ
82°
En la figura  ABC rectángulo en C , CE transversal de gravedad ,
AC  CB , CD  AB   x  ¿...............?
a)
b)
c)
d)
e)
40°
45°
50°
55°
60°
Ñ
127.-) En la figura la medida del ángulo “ x ” es:
a)
b)
c)
d)
e)
20°
30°
40°
50°
60°
Ñ
128.-) El valor de “x” en función  ,    es:
a)     
b)     
Ñ
c)     
d)     
e) N. A.
129.-) En la figura AC  BC   x  ¿...............?
a)
b)
c)
d)
e)
84°
72°
36°
24°
N. A.
Ñ
130.-) En el  ABC de la figura AE  CD alturas   x ¿............?
a)
b)
c)
d)
e)
105°
155°
160°
165°
170°
Ñ
131.-) En la figura,  ABC isósceles de base AB ,
CD bisectriz del  ECB 
DB bisectriz de  CBF   x  ¿......... ?
a)
b)
c)
d)
e)
55°
60°
65°
70°
75°
Ñ
132.-) En la figura  ABC rectángulo en C
BE
a)
b)
c)
d)
e)
36°
72°
117°
120°
127°
bisectriz del  B , CD  AB   x  ¿.............?
Ñ
133.-) En la figura AB  AC , CB  CD  CA  BA   x  ¿..................?
a)
b)
c)
d)
e)
60,5°
61,5°
62,5°
63,5°
64,5°
Ñ
134.-) En la figura se tiene que: M // N , AB  BC bisectrices de los ángulos en A y C respectivamente,
entonces la medida del ángulo x es:
a)
b)
c)
d)
e)
60°
70°
80°
90°
Ñ
No se puede determinar.
135.-) En la figura AD  BD bisectrices de los ángulos en A y en B respectivamente,  B   C  10
entonces la medida del ángulo x es;
a)
b)
c)
d)
e)
112°
150°
160°
165°
170°
Ñ
136.-) En la figura  ABC equilátero , DE  AB ,  :   1 : 2
  x   y  ¿..................?
a)
b)
c)
d)
e)
110°
115°
120°
130°
140°
Ñ
137.-) En la figura se tiene que: AD bisectriz de  CAB
 DB bisectriz de  CBE  x  y  ¿..............?
a)
b)
c)
d)
e)
100°
110°
120°
125°
150°
Ñ
138.-) En la figura se tiene que: BC  BD  CD  AC
 AC  BC  la medida del ángulo “ x ” es
a)
b)
c)
d)
e)
75°
70°
65°
60°
55°
Ñ
139.-) En la figura la medida del ángulo x es:
a)
b)
c)
d)
e)
10°
15°
20°
25°
30°
Ñ
140.-) El  ABC de la figura es equilátero y
el  ABD es isósceles y rectángulo en B
entonces la medida del ángulo “ x ” es:
a)
b)
c)
d)
e)
70°
75°
80°
90°
N. A.
Ñ
141.-) En la figura AD  BD  AC  BC   x  ¿.........?
a)
b)
c)
d)
e)
22°
22,5°
23°
45,5°
90°
Ñ
142.-) En la figura AC  AD ; AC // DE ;  CAE   EAB
 ABC  40  AB  BC   AED  ¿................?
a)
b)
c)
d)
e)
35°
40°
45°
55°
65°
Ñ
143.-) En la figura BC  CD ; AB  AD  CDB  20 ,
entonces la medida del ángulo “ x ” es:
a)
b)
c)
d)
e)
15°
35°
45°
50°
60°
Ñ
144.-) Triángulo ABC equilátero,  ABD isósceles con base AD
entonces la medida del ángulo “ x ” es :
a)
b)
c)
d)
e)
20°
30°
40°
60°
80°
Ñ
145.-) Triángulo ABC rectángulo en C, CD  tc ( transversal de gravedad )
CE  hc ( altura )  la medida del ángulo “ x ” es:
a)
b)
c)
d)
e)
10°
15°
20°
30°
N. A.
Ñ
146.-) Triángulo ABC isósceles de base AB
entonces la medida del ángulo “ x ” es:
a)
b)
c)
d)
e)
36º
72º

Ñ
90  
N. A.
147.-) En la figura ABC es un  rectángulo en C
L // CM , CM  tc ( transversal )   x  ¿.......?
a)
b)
c)
d)
e)
30°
40°
50°
65°
N. A.
Ñ
148.-) Triángulo ABC rectángulo en C ,  BAC   ,
AD bi sec triz   x  ¿...........?
a) 90  

 45
b)
2
c) 90  

 45
d)
2
e) N. A.
Ñ
149.-) En la figura se tiene que: BE  BD  CD ;  EAB  30
 ABE  50   x   y  ¿.................?
a)
b)
c)
d)
e)
100°
120°
140°
440°
460°
Ñ
150.-) Sea ABCD un cuadrado , CE  BC ¿Cuál ( es ) de
las siguientes expresiones es ( son ) verdadera (s )?
I )     180
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
Todas
II )   
III )     4 
Ñ
151.-) En la figura  ABC equilátero. Si AE  DE son bisectrices de los ángulos BAC y AEB
respectivamente. ¿Cuál ( es ) de las siguientes expresiones es ( son ) verdadera (s )?.
I )  BDE   CAE   AED
II )  BED   CAE  30
III )  AEC   ACB   BAE
a)
b)
c)
d)
e)
152.-)
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
Ñ
Sólo II y III
Todas.
En  ABC de la figura se tiene que : CD  AE son alturas ,  FBC  110 . ¿Cuál ( es ) de las
siguientes expresiones es ( son ) falsa (s )?.
I )  FAE   BCD
II )  FBC   FAE  180
III )  FBC   BCD  90
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
Sólo II y III
Ñ
153.-) En el  ABC de la figura se tiene que: CD es bisectriz del  ACB , AC  AB   DCB   BAC
¿Cuál ( es ) de las siguientes expresiones es ( son ) verdadera (s )?.
I ) AD  CD
II )  DBC es equilátero
III )  ADC  3  ACD
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
Todas.
Ñ
154.-) En la figura se tiene que: A , B ,y, C son puntos colineales y AE // BD , de acuerdo a esto. ¿Cuál
( es ) de las siguientes expresiones es ( son ) siempre verdadera (s )?.
I )  EBD   CBD
II )  EBD   AEB
III )  CBD   EBD   CAE   AEB
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
Todas
Ñ