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FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Usando las frecuencias relativas, se tiene:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
SEGUNDO EXAMEN FINAL
SOLUCIÓN
b)
La variancia está dada por:
Semestre: 2007-2
1.-
Para la siguiente tabla de datos agrupados:
Fronteras
de
clase
sustituyendo la información de la tabla:
Marca
de
clase
Frecuencia
Absoluta
Frecuencia
Acumulada
Frecuencia
Relativa
Frecuencia
Acumulada
Relativa
10
20
15
121
121
0.1092
0.1092
1815
125967.34
20
30
25
160
281
0.144
0.2536
4000
79319.28
30
40
35
182
463
0.1643
0.4179
6370
27379.83
40
50
45
170
633
0.1534
0.5713
7650
872.40
50
60
55
140
773
0.1264
0.6977
7700
8375.49
60
70
65
126
899
0.1137
0.8114
8190
39629.28
70
80
75
112
1011
0.1011
0.9125
8400
86151.65
80
90
85
97
1108
0.0875
1
8245
138118.72
52370
505813.99
1108
1
Obtener:
a)
La media.
b)
La variancia y la desviación estándar.
c)
El coeficiente de variación.
d)
La mediana.
15 Puntos
Resolución
a)
La media se define como:
entonces:
Usando las frecuencias relativas, se sabe que:
de la tabla se sustituye:
O bien:
sustituyendo los valores dados de la tabla:
sustituyendo:
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la variancia, entonces:
Por lo tanto, al sustituir de la tabla:
por lo que:
O bien, para:
Probabilidad y Estadística 2
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
si
c)
, sustituyendo:
El coeficiente de variación está definido como:
despejando, se obtiene:
sustituyendo, se tiene:
2.entonces:
En el otro caso, se tiene:
sustituyendo los valores obtenidos:
por lo tanto:
d)
La mediana es para el
clase cuatro. Los datos a considerar son:
Frontera
superior
Frecuencia
acumulada
relativa
40
0.4179
, el cual está en la
En cierta fábrica las máquinas A, B y C producen el mismo tipo de tornillo. El
porcentaje de tornillos defectuosos es: máquina A 2%, máquina B 3% y
máquina C 1%. La producción se distribuye de la siguiente manera: la máquina
A produce el triple que la B mientras que la máquina C produce sólo la tercera
parte de la máquina A. Si se toma un tornillo del almacén y resulta que es
defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina B?
15 Puntos
Resolución
Sea el evento que representa a los tornillos producidos por la máquina .
Sea el evento que representa a los tornillos producidos por la máquina .
Sea el evento que representa a los tornillos producidos por la máquina .
Sea el evento que representa a los tornillos defectuosos.
Del enunciado se tienen los datos:
Con respecto de
0.5
50
0.5713
Realizando una interpolación con la información anterior:
se sabe que:
sustituyendo, se tiene:
sustituyendo:
entonces:
se tiene:
Probabilidad y Estadística 3
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
sustituyendo, en cada caso:
Del Teorema de Probabilidad Total:
o bien:
sustituyendo los datos:
representar que los atletas tomaron una vitamina y dos minerales y asignando
la misma probabilidad a cada evento del espacio muestral. Determinar:
a)
La distribución de probabilidad y la función de distribución
acumulativa para la variable aleatoria , que representa el número de
vitaminas y minerales que consume un atleta.
b)
La media y la desviación estándar.
c)
Las probabilidades
,
y
.
15 Puntos
Resolución
La dieta requiere tres vitaminas y dos minerales, que se debe tomar cuando
mucho, se tiene que considerar el comportamiento del ejemplo dado en el
enunciado, esto es,
que significa que un atleta toma una vitamina y dos
minerales.
Se define como la variable aleatoria que representa el número de vitaminas
y minerales que toma un atleta, el recorrido de la variable aleatoria, es:
El espacio muestral del experimento aleatorio es:
cada evento simple tiene una probabilidad de
Se quiere calcular la probabilidad que si un tornillo es defectuoso, haya sido
producido por la máquina , entonces:
a)
.
La distribución de probabilidad queda como:
0
1
2
3
4
5
el numerador se escribe como:
La función de distribución acumulada se define como:
sustituyendo el resultado y los datos:
entonces se tiene:
0
b)
3.-
La dieta de los atletas requiere cuando mucho el consumo de tres vitaminas y
dos minerales. Usando un sistema de pares ordenados, por ejemplo ( 1,2 ) para
1
2
3
4
Para determinar la media y la desviación estándar:
La media se define por:
5
Probabilidad y Estadística 4
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
c)
sustituyendo:
Para calcular las probabilidades pedidas en este inciso, se puede usar
la función de probabilidad determinada en el inciso a):
c1)
c2)
sustituyendo los valores de
Para calcular la desviación estándar se tiene que determinar la
variancia, la cual está definida por:
c3)
:
Por último, se quiere hallar:
sustituyendo los valores:
sustituyendo los valores correspondientes:
En forma compacta la variancia está dada por:
Para calcular las probabilidades anteriores, también se puede usar la
función de distribución acumulativa.
Se obtiene el segundo momento con respecto del origen:
sustituyendo:
La variancia queda como:
entonces la desviación estándar en ambos casos es:
4.-
Indicar el tipo de distribución que representa cada uno de los siguientes
enunciados, justificar su respuesta.
a)
Número de familias con ingresos mayores a $30000 de cuatro familias
seleccionadas al azar______________________________________
b)
Analizar 125 muestras de agua antes de detectar la primera muestra
contaminada_____________________________________________
c)
En una hora determinada llegan a una tienda en promedio ocho
personas_________________________________________________
d)
La caída al azar de una bomba A sobre una carretera de 1000 [km] de
longitud_______________________________________________
e)
El número de tiros que deben realizar los jugadores de un equipo de
fútbol para anotar dos goles_________________________________
20 Puntos
Probabilidad y Estadística 5
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
ya que se quiere determinar:
Resolución
a)
Binomial
b)
Geométrica
c)
Poisson
d)
Uniforme continua
e)
Pascal
La justificación es a criterio del profesor.
5.-
Considerar la siguiente función de densidad conjunta:
entonces:
b)
La región para calcular la probabilidad pedida es:
Obtener:
a)
b)
c)
La covariancia.
20 Puntos
Resolución
La región donde la función es de densidad de probabilidad es:
porque se va a determinar:
a)
La región para calcular la probabilidad es:
que es igual que calcular:
c)
La covariancia está dada por:
sobre la región donde
es función de densidad, se calculan
los valores esperados con la definición:
Probabilidad y Estadística 6
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
sustituyendo la función y los valores esperados correspondientes:
costos de afinación es:
300
b)
sustituyendo para obtener la covariancia:
6.-
Los costos de afinación en un taller mecánico son de 300 pesos para un auto de
cuatro cilindros, 360 para uno de seis y 420 para uno de ocho. De los registros
de ventas se sabe que el 50% de las afinaciones se hacen para autos de cuatro
cilindros, 40% para los de seis y 10% para los de ocho. Se seleccionan al azar
dos autos para la afinación.
a)
Calcular la distribución muestral para el promedio de los costos del
servicio.
b)
Determinar la media, variancia y desviación estándar para la muestra.
c)
¿Cuál es la probabilidad de que al llevar un auto al servicio el costo de
este sea de 390 pesos?
15 Puntos
Resolución
Sea la variable aleatoria que representa los costos de afinación para autos.
El recorrido de la variable aleatoria es
, con función
330
360
390
420
Se quiere hallar la media y la desviación estándar de la media
muestral:
La media se define como:
sustituyendo valores:
Pesos
Para la desviación estándar se requiere el segundo momento con
respecto del origen, por lo que:
sustituyendo valores:
de probabilidad dada por:
300
360
420
La variancia en términos de momentos con respecto al origen está
definida por:
sustituyendo los valores obtenidos:
El espacio muestral para el promedio de los costos del servicio de afinación, es:
Otra forma para calcular la variancia, es como segundo momento con
respecto de la media:
entonces los promedios de los costos de afinación son:
a)
La distribución de probabilidad muestral de los promedios de los
sustituyendo los valores de la función de probabilidad muestral y la
media muestral:
Probabilidad y Estadística 7
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Entonces la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la
variancia es:
c)
La probabilidad pedida es: