Download Numeros Primos y Compuestos.

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
SEMILLERO INTEGRADO
Universidad de
Grado 6
Comuna 5
Taller # 4
Matemáticas
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Antioquia
Eratóstenes: Nacido en Cirene, la actual Shahhat (Libia), era hijo de Aglaos, según Suidas,
de Ambrosio según otros escritores. Estudió en Alejandría y, durante algún tiempo, en
Atenas y fue discípulo de Aristón de Chíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco y
gran amigo de Arquímedes. En 236 adC Ptolomeo Evergetes le llamó a Egipto para que se
hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días,
ocurrido durante el gobierno de Ptolomeo Epífanes. Suidas afirma que tras perder la vista,
desesperado, se dejó morir de hambre a la edad de ochenta años, sin embargo, Luciano
afirma que llegó a la edad de ochenta y dos y Censorio sostiene que falleció cuando
contaba ochenta y uno. Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio.
Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, fue apellidado Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en
las cinco luchas de los Juegos Olímpicos. Suidas afirma que también era conocido como el segundo Platón y
diversos autores dicen que se le llamaba además por el sobrenombre de Beta porque ocupó el segundo lugar en
todas las ramas de la ciencia.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Los criterios de divisibilidad nos permiten encontrar
con rapidez divisores de un número. Algunos
números como el siete, trece, diecinueve, solo
tienen dos divisores: la unidad y el mismo. Estos
números se llaman números primos. Los números
que no son primos se llaman números compuestos.
IDENTIFICACIÓN DE NÚMEROS PRIMOS
Haga lo siguiente:
a) Divida un número por los números primos 2, 3, 5,
7, ... hasta que se llegue a una división exacta o a
una división en el que el cociente del cual sea igual
o más pequeño que el divisor.
b) Si en alguna de las divisiones el residuo es cero.
El número es COMPUESTO.
c) Si en todas las divisiones el residuo es diferente
de cero. El número es PRIMO.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Antes hemos visto que un número es divisible por
otro si cuando dividimos el primero entre el
segundo, el resto es cero. Cuando los números son
grandes hay reglas que permiten reconocer
directamente que un número es divisible por otro; se
llaman criterios de divisibilidad. Veremos algunos
de estos criterios:
DIVISIBILIDAD POR 2: Cuando termina en cero
o en cifra par.
DIVISIBILIDAD POR 3: Cuando la suma de sus
cifras es múltiplo de tres.
DIVISIBILIDAD POR 4: Cuando las dos últimas
cifras. Son ceros o múltiplo de 4.
DIVISIBILIDAD POR 5: Cuando termina en cero
o en cinco.
DIVISIBILIDAD POR 6: Cuando es divisible por
2 y por 3.
DIVISIBILIDAD POR 9: Cuando la suma de sus
cifras es múltiplo de nueve.
DIVISIBILIDAD POR 10: Cuando termina en
cero. De manera similar es divisible por 100,
cuando termina en doble cero.
DIVISIBILIDAD POR 11: Cuando la diferencia
entre la suma de las cifras que ocupan la posición
par y la suma de las cifras que ocupan la posición
impar son múltiplo de once.
Actividad 1: Indique cuáles de los siguientes
números son divisibles por dos y cuales lo son por
cinco: 3925, 492, 305, 690, 884 y 9998.
Actividad 2: Indique cuáles de los siguientes
números son múltiplos de tres: 354, 975, 9560,
3789, 973 y 1026.
Actividad 3: Escriba cinco números de seis cifras
que sean múltiplos de once.
Actividad 4: Complete la cifra que falta para que el
número resultante sea múltiplo de nueve. Escriba
todas las posibilidades para cada caso: 1_4 , 27_ ,
6_ , 2_0 y 70_1.
Actividad 5: Escriba los números naturales primos
menores que 30. Es 43 un número primo? Justifique
su respuesta. Es 69 un número primo? Justifique su
respuesta. Cuáles número naturales pares son
números primos?
Actividad 6: La doctora Numerati era una de esas
personas que siempre andan buscando relaciones
entre números. Por ejemplo, un buen día se dió
cuenta de que los números de su casa y la de sus
amigas eran tres números primos consecutivos tales
que multiplicados los tres daban su número de
teléfono.
La doctora Numerati vivía entre sus dos amigas y
tenía un número de teléfono de cinco cifras que
empezaba por 6.
Averigüe el número de la casa de la doctora
Numerati, así como su número de teléfono.
a) El número de la casa es el 37 y su teléfono el
56321
b) El número de la casa es el 41 y su teléfono el
65231
c) El número de la casa es el 23 y su teléfono el
23155
d) El número de la casa es el 13 y su teléfono el
31356
e) El número de la casa es el 29 y su teléfono el
35621
Actividad 7: Evariste Galois, nacido en 1811, fue
un gran matemático francés, de vida tormentosa y
poco afortunada, que murió muy joven a
consecuencia de un duelo amoroso. A pesar de
haber vivido tan pocos años sus hallazgos sobre el
Álgebra fueron de gran profundidad y utilidad.
Sabemos que la suma de las cifras del año de su
muerte es 2/3 de la cantidad de años que vivió.
¿Puedes averiguar cuántos fueron?
a) 20
b) 21
c)22
d) 23
e)24
exactas? ¿A qué se debe que el cociente final sea el
que es?
Actividad 10: ¿Cuántos divisores tienen los
números 36, 50, 100, 360, 540? ¿Qué números de
los anteriores será divisible por otro observando
sólo su descomposición en números primos?
Actividad 11: ¿De cuántas maneras se pueden
colocar 24 árboles en rectángulos de varias filas? ¿Y
30 árboles? ¿Y 42 árboles?.
Actividad 12: Un número de tres cifras y las tres
iguales ¿puede ser múltiplo de 11? Explíquelo.
Actividad 13: El número 247.742 es capicúa. ¿Es
divisible por 11? ¿Todos los números capicúas son
divisibles entre 11?
Actividad 14: Consideramos el número 528. Se
separan tantos grupos de dos cifras como se pueda
empezando por la derecha, lo que da lugar a dos
grupos (5 y 28). Se suman (5 + 28 = 33). Como el
resultado de la suma es divisible entre 11, el número
528 también lo es. ¿Es cierto el procedimiento en
general? ¿Por qué?
Actividad 15: Dos números son ‘amigos’ si la suma
de los divisores de cada uno, excluyendo el propio
número, nos da el otro. Comprobar que la pareja
(220, 284) son amigos.
Actividad 16: Un número es perfecto si es igual a la
suma de sus divisores excluyendo al propio número.
Comprobar que los números 6, 28 y 496 son
perfectos.
Actividad 17: Los soldados de un cuartel no pasan
de 500 y se pueden formar en grupos de 16, 20 y 25
sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos soldados
son?
Páginas de Internet:
http://docencia.udea.edu.co/cen/semillero
Actividad 8: Si un número a es divisible por otro b,
¿lo es también por todos los divisores de b?
Compruébelo para 180 y 30.
Actividad 9: Escriba un número de tres cifras (abc).
Vuelva a escribirlo a continuación (abcabc). Divida
el número resultante por 13, luego el cociente
obtenido por 11. Finalmente, el nuevo cociente lo
divide por 7. ¿Por qué todas las divisiones son
http://matematicas.udea.edu.co/~olimpic
e-mail: [email protected]
Teléfonos: 2105648 - 2105649