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0.1.
LOS NÚMEROS IRRACIONALES
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LOS NÚMEROS REALES
0.1.
Los números irracionales
Hipaso de Metaponto: Filósofo presocrático, miembro de la Escuela pitagórica. Nació
en torno al año 500 a. C. en Metaponto, ciudad griega de la Magna Grecia situada en el
Golfo de Tarento, al sur de lo que ahora es Italia.
Se cree también que Hipaso de Metaponto fue también maestro de Heráclito de Efeso,
y como éste, pensaba que el arché o principio de todas las cosas, era el fuego, metáfora
del cambio, a diferencia de los pitagóricos, que situaban ese principio de todo en los
números. Además de los trabajos sobre matemáticas, que incluyen el descubrimiento de
la irracionalidad de la raíz de 2, hizo estudios sobre acústica y resonancia, de él se tiene
constancia de que realizó experimentos con discos de bronce del mismo diámetro, pero de
diferente grosor (el grosor del primero era un tercio mayor que el del segundo, una vez y
media mayor que el del tercero, y el doble que el del cuarto disco), que al ser golpeados
sonaban con cierta armonía.
Se cree que fue quien probó la existencia de los números irracionales, en un momento
en el que los pitagóricos pensaban que los números racionales podían describir toda la geometría del mundo. Hipaso de Metaponto habría roto la regla de silencio de los pitagóricos
revelando en el mundo la existencia de estos nuevos números. Eso habría hecho que éstos
lo expulsaran de la escuela y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para
ellos, él estaba muerto.
Los documentos de la época dan versiones diferentes de su nal. Parece ser que murió en
un naufragio de circunstancias misteriosas; algunos dicen que se suicida como autocastigo,
dejando así libertad a su alma para ir a buscar la puricación en otro cuerpo; otros dicen
que un grupo de pitagóricos lo mataron, e incluso está la teoría que dice que Pitágoras en
persona lo condenó a muerte.
Concretamente, se le atribuyen tres importantes descubrimientos: La construcción de
un dodecaedro inscrito en una esfera, el descubrimiento de la inconmensurabilidad y la
determinación de las relaciones numéricas de las consonancias básicas a través de experimentos de sonido.
Se sabe también de él, que en su momento, sintió mucha admiración por Pitágoras,
2
a quien llamaba el gran hombre. Dentro de los pitagóricos, se crearon dos grupos: el
de los matemáticos, que eran los que realmente conocían la doctrina pitagórica, y eran
dirigidos por Pitágoras, y el grupo de los acusmáticos, que sólo conocían los rudimentos
de la doctrina, y eran dirigidos por el propio Hipaso de Metaponto.
Euclides, en su famosa obra titulada ELEMENTOS, demuestra que el número que
multiplicado por sí mismo es igual a
2
no es un número racional, es decir, no puede
a
expresarse como el cociente de dos enteros b , en donde
b 6= 0, esto en una época posterior
al descubrimiento de Hipaso.
0.2.
Necesidad de los números irracionales
Desde siempre, diversas culturas como los sumerios, babilonios, chinos, árabes, griegos,
y otros, siempre han tenido una fascinacón particular por los números, su interés en estos
se dió ya sea por una razón práctica o bien por una razón relacionada con el estudio de
los astros e incluso por razones aún más ocultas como la adivinación y el esoterismo.
Entre todos ellos destacaron particularmente los griegos, sobretodo en el personaje de
Euclides, estos llegaron a desarrollar una teoría de números pura guiada por criterios
estrictamente matemáticos en el sentido moderno de la palabra. Los griegos descubrieron
las leyes básicas de la aritmética, ellos conocían entre otras cosas:
1. La división euclídea.
2. La descomposición prima de los números.
3. La innitud de los números primos.
4. El cálculo del máximo común divisor.
5. El cálculo del mínimo común múltiplo.
Los razonamientos geométricos de los griegos fueron extraordinarios, sin embargo tuvieron
avances desde el punto de vista aritmético que también fueron notables. Lo que hicieron
los griegos al desarrollar la aritmética elemental fue simplemente descubrir el lenguaje de
los números, lo cuál no equivale a entender lo que se lee en ese lenguaje, pues algunos de
los resultados que lograron determinar no eran aceptados pues no resultaban del gusto de
los mismos. Es así que por ejemplo no aceptaban la existencia de los números irracionales.
0.2.
3
NECESIDAD DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
El sistema de los números reales (que estudiaremos en este capítulo), constituye el
sistema central de la matemática, de este analizaremos sus axiomas, que constituyen los
pilares de la matemática moderna; este a su vez contiene como subsistema al sistema de
los números racionales.
El conjunto de los números reales se denota por el símbolo
R
. Si con el símbolo
mos denotado al conjunto de los números racionales, entonces podemos escribir:
lo cuál indica que
Q
está contenido propiamente en
R,
Q
he-
Q ⊂ R;
es decir, que todo número racio-
nal es un número real pero no todo número real es un número racional, es decir existen
números en
R
que no son racionales, y de ellos nos ocuparemos con especial atención en
este capítulo.
Los números en
R
que no son racionales se denominan números irracionales. El con-
junto de los números irracionales se representa con el símbolo
El conjunto de los números racionales
Q
I.
y el conjunto de los números irracionales
I
constituyen dos conjuntos disjuntos (conjuntos cuya intersección es vacía), cuya unión o
reunión es el conjunto de los números reales. Estos últimos son conjuntos complementarios. Tenemos así que:
1.
Q∪I=R
2.
Q∩I=∅
De lo anterior implica que un número real es un número racional o bien un número
irracional pero no podría ser racional e irracional simultáneamente.
4
0.3.
Prueba de la existencia de los números irracionales.
√
Teorema: El número
2
no es un número racional.
El teorema anterior lo que nos indica es que no existe ningún par de números enteros
tales que la fracción que tenga por numerador y por denominador tales enteros sea igual
a
√
2.
Demostración:
Supóngase que
√
2=
a
donde tanto a como b son números enteros, considérese la fracción
b
a
como canónica (simplicada al máximo).
b
Si
√
2=
√
a
=⇒ b 2 = a
b
√
=⇒ (b 2)2 = a2
=⇒ 2b2 = a2
=⇒ a2 es par
=⇒ a es par (1)
=⇒ a = 2w, w ∈ Z
=⇒ 2b2 = (2w)2
=⇒ 2b2 = 4w2
=⇒ b2 = 2w2
=⇒ b2 es par
=⇒ b es par (2)
De
(1)
y
(2)
a
se observa que la fracción b no es canónica, tal como se había supuesto
inicialmente, esta reducción al absurdo solo puede implicar la falsedad de lo supuesto y
a
por ende se puede armar que no existe ninguna fracción b donde tanto a como b sean
√
números enteros tal que
2 = ab .
de tenerse que
√
2 6∈ Q
√
2 ∈ I.
Esto signica que
y como los conjuntos
Q
e
I
son complementarios, entonces ha
Esta elegante prueba aparece en los libros de Euclides, escritos tres siglos antes de
nuestra era (hace 23 siglos). Basta leerla un par de veces para descubrir la belleza que
0.4.
5
LA RAÍZ CUADRADA DE 2.
encierra esta prueba.
Nota:
1. También se puede probar que
2. En general si
a∈N
y
a
√
3
no es un número racional.
no es el cuadrado de un número natural, entonces
√
a
no es
un número racional.
Ejercicio 1
Demuestre que el cuadrado de un número par es par y que el cuadrado de
un número impar es impar
0.4.
√
El número positivo cuyo cuadrado es
2.
2
2 se dene como la raíz cuadrada de 2 y se escribe
Tratemos de escribir en notación decimal el número cuyo cuadrado es
número
√
La raíz cuadrada de 2.
√
2.
2,
es decir, el
Quiere decir que si elevamos al cuadrado el número que representamos por
debemos obtener el número
2.
√
√
√
( 2) · ( 2) = ( 2)2 = 2
Con el propósito de hallar la representación de
√
2,
ser igual a
1
y vemos que eso no es posible pues
prueba si
2
es igual a
2,
√
2,
12 = 1
que es menor que
vemos que tampoco es posible pues
de lo anterior concluimos que:
partes a saber:
investigamos al tanteo, si
1<
√
2<2
22 = 4
2;
2
puede
y si se
que es mayor que
Si dividimos el intervalo entre
1; 1, 1; 1, 2; 1, 3; 1, 4; 1, 5; 1, 6; 1, 7; 1, 8; 1, 9; 2
√
1
y
2
en las
y elevamos cada uno de estos
6
al cuadrado se obtiene:
(1, 0)2 = 1
(1, 1)2 = 1, 21
(1, 2)2 = 1, 44
(1, 3)2 = 1, 69
(1, 4)2 = 1, 96
(1, 5)2 = 2, 25
(1, 6)2 = 2, 56
(1, 7)2 = 2, 89
(1, 8)2 = 3, 24
(1, 9)2 = 3, 61
(2, 0)2 = 4
Vemos que de los resultados obtenidos, el número que más se aproxima a
1, 96
y por exceso es
2, 25,
2
por defecto es
así:
1, 4 <
Subdividiendo el intervalo de
1, 4
a
1, 5
√
2 < 1, 5
en partes iguales y elevando al cuadrado nueva-
mente, se obtiene:
(1, 40)2 = 1, 9600
(1, 41)2 = 1, 9881
(1, 42)2 = 2, 0164
(1, 43)2 = 2, 0449
(1, 44)2 = 2, 0736
(1, 45)2 = 2, 1025
(1, 46)2 = 2, 1316
(1, 47)2 = 2, 1609
(1, 48)2 = 2, 1904
(1, 49)2 = 2, 2201
(1, 50)2 = 2, 2500
0.4.
7
LA RAÍZ CUADRADA DE 2.
Vemos que de los resultados obtenidos, el número que más se aproxima a
1, 9881
y por exceso es
2, 0164,
2
por defecto es
así:
1, 41 <
√
2 < 1, 42
Continuando de la misma forma con el proceso anterior se obtendría eventualmente que
1, 4142135 <
√
2 < 1, 4142136
Entonces podemos escribir que:
√
2 = 1, 4142135...
Este número cuenta con siete decimales, o sea existe una incertidumbre de diez millonésimas. ¾Podremos nalmente escribir un número decimal que sea igual a
√
2?
La respuesta
es NO, incluso la situación es peor aún, pues no hay modo alguno de anticipar el siguiente
número decimal. Con los números racionales no sucede lo mismo, pues si un número tiene
una expansión decimal innita, esta expansión es periódica.
Ejercicio 2
Use el método de exhausión descrito anteriormente para determinar por de-
fecto y por exceso el valor en decimales del número
√
72.
(con tres decimales de exactitud)