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Instituto de Formación Docente N.º 9
Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
Cartilla del Taller Propedéutico
del Campo de la Formación Específica
Año lectivo 2017
Profesores a cargo:
• Lorena Herrera
• Domingo Becker
• Daniel Lopez
•
Juán Gallego
I.F.D. N.º 9 - Profesorado de Educación Secundaria en Matemática
Cartilla de Ingreso de Formación Específica
Símbolos matemáticos de uso frecuente
Algunas letras del alfabeto griego
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CONJUNTOS NUMERICOS
Introducción
Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un
símbolo. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral.
Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la
temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc…
A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la
actualidad aún se usa, el sistema de numeración romana, que se desarrollo en la antigua
Roma y se utilizó en todo su imperio. Era un sistema de numeración no posicional en el que
se usan letras mayúsculas como símbolos para representar a los números: I, V, X, L, C , D ,
M
El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el
Sistema de Numeración Decimal.
Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el
número diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3); cuatro (4);
cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina
números árabes.
Objetivos
 Definir a los conjuntos numéricos
 Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo
 Recordar la aritmética de los números reales y complejos
 Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemática
Conceptos previos
 Conceptos básicos de lógica proposicional.
 Teoría de Conjuntos
Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la
anterior y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones. Están
representadas en el siguiente mapa conceptual
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Definición
Los números Naturales son los números que usamos para contar u ordenar los elementos de
un conjunto no vacio
Simbólicamente: N = {1, 2, 3, 4, 5,....n, n+1,.....}
Operaciones
La suma y el producto de números naturales son siempre naturales. En cambio la
diferencia no siempre es otro natural. Simbólicamente:
Si a €N y b € N, entonces a + b € N (a y b se llaman términos o sumandos) Si a
€N y b € N, entonces a . b € N (a y b se llaman factores)
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NUMEROS ENTEROS
Para dar solución al problema que se presenta al restar números naturales donde el
minuendo es igual o menor al sustraendo, se crearon otros números que amplia al
conjunto de números naturales.
Se agregan el número cero y los números opuestos a los naturales De
ese modo 3 – 3 = 0 y 3 – 7 = -4
Definición
El conjunto de los números Enteros está formado por la unión de los naturales, el cero y los
opuestos de los naturales
Simbólicamente se expresan Z= {...... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....}
Los números enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores
o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas
sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a
0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc…).
En un gráfico de conjuntos se aprecia claramente que
Se representa a los números enteros en una recta graduada, donde se elige un punto
arbitrario para representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento
como unidad y la convención de que para la derecha estarán los números enteros positivos
(naturales) y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los naturales).
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Operaciones en Z
La suma y el producto de enteros es siempre otro entero.
La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del
sustraendo a – b = a + ( -b ) donde a es el minuendo y b es el sustraendo
La división entre los enteros a y b, con b≠ 0, arroja como resultados dos números enteros
llamados cociente (q) y resto)
A ase le dice dividendo y a b se le dice divisor.
Caso particular: Si r = 0, entonces a = b.q
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Se dice que la división es exacta, que “a es múltiplo de b”, que “a es divisible por b”, que
“b es factor de a” o que “b es divide a a”
La división por 0 no está definida.
Ejemplos: 2: 0 y 0: 0 no existen!!!!!
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En el caso de tener expresiones algebraicas (expresiones que combinan números y letras)
puede aplicarse, de ser necesario, la definición de potenciación y así encontrar una expresión
algebraica equivalente
Productos notables
Las siguientes expresiones resultan de aplicar la definición de potenciación y las
propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables
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NUMEROS RACIONALES
Dividir es repartir en partes iguales!!!
Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de
52cartas.
El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el
centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada uno?
¿Cuántas cartas quedan en el centro?¡Tu puedes deducir la
respuesta!¿Y si se quiere repartir pero el dividendo es menor que el
divisor? Por ejemplo
Ejemplo:
Juana quiere repartir 1 barra de chocolate entre sus 3 amigos.
Entonces Juana da un tercio de chocolate a cada uno.
Definición
Los Números Racionales son los números que se pueden
escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se
pueden expresar como fracción. En símbolos
Los números racionales representan partes de un todo
Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números
Racionales
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Q es un conjunto denso
Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría
justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro
racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos.
Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números
racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por más
próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso
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NUMEROS IRRACIONALES
Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica pero,
¿todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La respuesta es
NO!!! Existen otros números que junto a los racionales completan a la recta numérica. Ellos
son los números irracionales
Definición
Los Números Irracionales son los números que no se pueden expresar como fracción. En
símbolos
Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas
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Operando con números irracionales
Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de números
Irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los
resultados son racionales!!
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¿Y si necesitáramos expresar a los números irracionales en forma decimal?
Usamos las primeras cifras decimales. De ese modo se obtienen valores aproximados de los
números irracionales. Entonces siempre se comete un error al tomar la notación decimal de un
número irracional y el error cometido es menor que 1 unidad del orden de la última cifra
conservada.
Racionalización
Si las raíces aparecen en el denominador, en muchos casos es necesario eliminarla. A este
proceso se lo conoce con el nombre de Racionalización de denominadores
Primer Caso: Un único término con raíz cuadrada en el denominador
Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador
Segundo Caso: Un único término con raíz mayor que 2 en el denominador
Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador elevada a un exponente
conveniente
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Tercer Caso: En el denominador suma o resta de términos que contienen raíces
cuadradas. Se multiplica y divide por el conjugado del denominador
NUMEROS REALES
Entre los racionales y los irracionales se completa la recta numérica. Es decir ya no queda
ningún punto sobre la recta al que no le corresponda ya sea un número racional o un número
irracional. Es por ello que se considera que si se unen los dos conjuntos, esto es, Racionales
más Irracionales se forma un nuevo conjunto Definición
El conjunto de los Números Reales es la unión del conjunto de los Racionales al conjunto de
los Irracionales. Simbólicamente
A la recta numérica se le dice recta real pues en ella se representan a todos los números
reales y, viceversa, todo punto de la recta es la representación de un real.
El conjunto R también tiene la propiedad de ser denso. De acuerdo a la definición se tiene el
siguiente cuadro:
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En un diagrama de Venn, se observa la relación entre los conjuntos
Notación científica
Cuando manejamos números muy grandes o muy pequeños tenemos dificultad para
interpretarlos y para introducirlos en algunas calculadoras. Es usual, para ellos,
representarlos mediante notación científica. Se dice que un número está expresado en
notación científica cuando se escribe como el producto de un número mayor que 1 y menor
que 10, multiplicado por una potencia entera de diez.
El conjunto R tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo
El conjunto R tiene estructura de Campo o Cuerpo pues las operaciones de suma y
producto de números reales cumplen los siguientes axiomas:
Si x, y, z € R, entonces: La suma y el producto son operaciones cerradas
X+y€ R
(x.y) € R
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La suma y el producto son operaciones conmutativas
x + y =y + x
x.y = y.x
La suma y el producto son operaciones asociativas
(x+y) + z = x + (y+z)
(x.y). z = x. (y.z)
El producto es distributivo respecto a la suma x.
(x+z) = x.y + x.z
Existen números reales que son neutros respecto de la suma y el producto 0 es
el neutro respecto de la suma pues x+0 = x
1 es el neutro respecto del producto pues x.1 = x
Todos los números reales tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco
– x se dice inverso aditivo u opuesto de x
1/x se dice inverso multiplicativo o recíproco de x
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Orden en el conjunto R
R es un conjunto ordenado. Esto es, dados dos números reales ha y b vale una y
solo una de las siguientes afirmaciones
a <b, a > b o a = b
Propiedades de la Igualdad en R
1) Si sumamos o multiplicamos a ambos miembros de una igualdad una misma
constante se obtiene otra igualdad
Si a = b, entonces a + c = b + c
Si a = b, entonces a.c = b.c
2) Si sumamos o multiplicamos miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra
igualdad
Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d
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Si a = b y c = d, entonces a. c = b. d
Propiedades de la desigualdad
1) Si a ambos miembros de una desigualdad se suma una misma constante , la
desigualdad se mantiene
Si a < b, entonces a+c < b+c
2) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante
positiva la desigualdad se mantiene
Si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c
3) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante
negativa la desigualdad cambia de sentido
Si a < b y c < 0, entonces a.c>b.c
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NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son combinaciones algebraicas de
números reales con números imaginarios.
¿Por qué surgen los números imaginarios?
Las raíces de índice par de radicando negativo no tienen
respuesta en R. Para dar solución a este problema se crea el
número j.
Definición:
Potencia enésima de la unidad imaginaria
Si n Є N, al dividir n en 4 puede expresarse como n = 4. q + r, donde q es el cociente y r es
el resto. Entonces 0 ≤ r < 4 y la potencia enésima de j se calculan como:
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Definición
Se define al conjunto de los Números Complejos como
C = { z / z = a + bj , a Є R y b Є R }
a se dice componente real y b se dice componente imaginaria
El conjunto C también tiene estructura de Campo, respecto de la suma y el producto
Las relaciones entre los conjuntos numéricos estudiados se muestran en las siguientes
Figuras:
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Todo número complejo está asociado a otros llamados opuesto y conjugado
Igualdad en C
Dos números complejos son iguales si y solo si sus componentes respectivas son iguales.
Esto es: a + bj = c + dj ; a = c ˄ b = d
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Operaciones en c:
Propiedades del conjugado:
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Representación gráfica de los números complejos
Todo número complejo z = a+bj se representa en el plano mediante el punto (a,b).
Sobre el eje horizontal se representa a la componente real del complejo, por lo que a este eje
se lo llama eje real. Sobre el eje vertical se representa a la componente imaginaria y por ello
se lo llama eje imaginario 0.
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C tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo
El conjunto C tiene estructura algebraica de Campo respecto de las operaciones de Suma y
Producto pues en él se cumplen las propiedades de:
∀z1 ,z2 ,z3 € 1 C
La suma y el producto son operaciones cerradas
La suma y el producto son operaciones conmutativas
La suma y el producto son operaciones asociativas
El producto es distributivo respecto a la suma
Existen números complejos que son neutros respecto de la suma y el producto 0
es el neutro respecto de la suma pues z + 0 = z
1 es el neutro respecto del producto pues z.1= z
Todos los números complejos tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco
–z se dice inverso aditivo u opuesto de z
1/z se dice inverso multiplicativo o recíproco de z
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ECUACIONES
Introducción
En casi todas las ramas de la Matemática las ecuaciones aparecen como protagonistas
centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situación problemática o el
fenómeno del que se esté hablando.
En esta Unidad nos limitaremos a rever todos los tipos de ecuaciones y los métodos de
resolución vistos en la escuela secundaria, preparándolos para poder enfrentar los temas de
mayor complejidad en los que aparecerán otros tipos de ecuaciones definidos en nuevos
conjuntos. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se podrían resolver si
no se manejan las ecuaciones sencillas y los métodos más simples de cálculo.
Objetivos
Conceptos previos
Una ecuación es una igualdad donde figuran una o más incógnitas.
Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de las incógnitas que verifican la
igualdad. A dichos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación. Ejemplos:
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Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las soluciones
De acuerdo a las soluciones las ecuaciones se clasifican en:
Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las expresiones
El siguiente cuadro representa la clasificación de las ecuaciones, correspondiéndose
exactamente con la clasificación de las expresiones
A su vez se dan ejemplos de las que se verá en este curso.
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Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que
intervienen una o varias incógnitas.
Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signo
igual. Así, se llama primer miembro a la de la izquierda y segundo miembro al de la
derecha.
Ejemplo:
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Verificación de las soluciones
Un valor es solución si se verifica ala ecuación. Esto es, si se sustituyen las soluciones en
lugar de la/s incógnitas, convierten ala ecuación en identidad.
Ejemplo:
Se llama así al proceso de hallar la/las solución/es de una ecuación.
Para resolverla se transforma la ecuación dada, aplicando propiedades, en una ecuación
equivalente de la forma x = K, cuya solución es inmediata.
La ecuación equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuación original.
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Propiedades que se aplican en la resolución de una ecuación
1) Propiedad simétrica: Los miembros de una igualdad pueden conmutarse entre si
Esto es: Si a = b entonces b = a
Se aplica esta propiedad para que la incógnita aparezca en el 1er miembro de la ecuación.
Ejemplo: si -3 =2 - 5y →2 - 5y = - 3
2) Propiedad uniforme para la suma: Si se suma una constante, positiva o negativa, a
ambos miembros de una igualdad, la misma se mantiene.
Esto es: Si a = b, entonces a + c = b + c
Se usa cuando se quiere eliminar un término de un miembro de la ecuación,
posteriormente se aplica el axioma de los elementos opuestos
Ejemplo: Si 2x + 3 = - 1 →2x + 3 - 3 = - 1 - 3 →2x = - 4
3) Propiedad cancelativa para la suma: Si una constante, positiva o negativa, esta
sumando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse
Esto es: Si a + c = b + c, entonces a = b
4) Propiedad uniforme para el producto: Si se multiplica una constante no nula,
positiva o negativa, a ambos miembros de una ecuación, se mantiene la igualdad.
Esto es: Si a = b y c ≠ 0, entonces a.c = b.c
Se usa cuando se quiere eliminar un factor de un miembro de la ecuación, posteriormente se
aplica el axioma de los elementos recíprocos
5) Propiedad cancelativa para el producto: Si una constante no nula, positiva o negativa,
está multiplicando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse
Esto es: Si a.c = b.c con c≠0, entonces a = b
1) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se les
extrae una misma raíz, siempre que este definida, la igualdad subsiste.
Se aplica cuando se quiera eliminar una potencia o un radical de algún miembro de una
ecuación:
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RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
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ANGULOS
Ángulo plano es la porción de plano determinada por la rotación de una semirrecta desde una
posición inicial hasta una posición final. El origen de la semirrecta es llamado vértice del
ángulo.
Sea O el origen de la semirrecta y sean P y Q dos puntos cualesquiera de la semirrecta en
posición inicial y final respectivamente.
Denotaremos con Q O ˆ P al ángulo, o con cualquier letra griega, por ejemplo θ,
O al vértice y OP y OQ a las semirrectas inicial y final respectivamente.
La medida del ángulo Q O ˆ P es la “cantidad de rotación”, respecto al vértice requerida para
mover la semirrecta OP sobre la semirrecta OQ en sentido contrario a las agujas del reloj. Es
en definitiva cuanto se “abre” el ángulo.
Ángulos especiales
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Sistemas de medición
Sistema Sexagesimal Unidad: Grado sexagesimal Ej.: 30º 20' 35''
Sistema Circular Unidad: Radian Ej.: 2 rad.
Sistema Centesimal Unidad: Grado centesimal Ej.: 100ºc
Los sistemas de medición de ángulos mas usados son Sexagesimal y Circular.
Sistema Sexagesimal
La unidad es el grado, que es la 180 ava parte de un ángulo llano giro. Los submúltiplos son:
minutos y segundos que a su vez son 60 avas partes de su anterior.
De la definición se deduce que:
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Conversión de un ángulo en grados minutos y segundos a grados y viceversa
Sistema Circular y Longitud de Arco
En el sistema Circular o Radial la unidad de medida es el radian.
Para precisarlo recordemos que todo ángulo con vértice en el centro de cualquier
circunferencia determina un arco sobre la misma. Llamemos α al ángulo, r al radio de la
circunferencia y s al arco determinado por el ángulo.
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Se define al ángulo de 1 radian como el ángulo que determina un arco de circunferencia
cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.
Para medir cualquier otro ángulo, usando como unidad de medida el radian, se debe
contar la cantidad de veces que el arco determinado en la circunferencia lo contiene al
radio de la circunferencia.
En este caso el arco determinado por α contiene 3 radios entonces diremos que Α =
3 radianes = 3 rad.
Responde: .Si consideramos otra circunferencia con el mismo centro, la
medida del ángulo cambia?
El sistema Circular es el que se trabaja generalmente en la práctica ya que permite operar con
los números Reales abstractos.
Podemos dar el valor de los ángulos medidos en radianes usando la abreviatura rad o no
Relación entre arco, radio y ángulo
En una circunferencia de radio “r”, la longitud “s” de un arco que subtiende un ángulo
central de α radianes es:
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Relaciones de equivalencias entre los dos sistemas
De la definición de radian y de grado se desprende que:
Para realizar equivalencias entre los sistemas usamos proporcionalidad directa:
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De este modo se deducen los siguientes valores, también muy frecuentes:
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Triángulo
Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres segmentos que
determinan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dado
pertenece a dos segmentos.1 Los puntos comunes a cada par de
segmentos se denominan vértices del triángulo2 y los segmentos de
recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos
forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es
una figura estrictamente convexa.
Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de
ángulos exteriores,3 tres lados y tres vértices entre otros elementos.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos
común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina
triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo
geodésico.
Clasificación según los lados y los ángulos
Los triángulos acutángulos pueden ser:
• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro
distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura sobre el lado distinto.
• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene
eje de simetría.
• Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales. Las tres
alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).
Los triángulos rectángulos pueden ser:
• Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada
uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente
es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo
recto.
• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son
diferentes.
Los triángulos obtusángulos pueden ser:
• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los
que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos.
• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
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Las rectas notables de un triángulo son:
Mediatriz
Mediana
Altura
Bisectriz
Mediatrices:
La MEDIATRIZ de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado
que pasa por su punto medio.
Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue: La
mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por Ma
La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb La
mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por Mc
Construcción geométrica:
Mediatriz del lado "a"
Mediatriz del lado "b"
Mediatriz del lado "c"
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Propiedad 5:
"Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que
definen dicho lado"
Ejercicio 4:
Con ayuda de una regla y un compás:
a. Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
b.
Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres
mediatrices de tu triángulo.
c.
Elige un punto cualquiera de la mediatriz del lado AB y, con ayuda de la regla o el
compás, toma la distancia de dicho punto al vértice A y compárala con la distancia de dicho
punto al vértice B. ¿Cómo son esas distancias?
d. Repite el apartado anterior con otros puntos de esa misma mediatriz.
e. Repite los dos apartados anteriores con las otras dos mediatrices.
Ejercicio 5:
Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 5.
Alturas:
La ALTURA de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta
perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto.
Todo triángulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue: La
altura respecto del lado 'a'=BC, se denota por ha
La altura respecto del lado 'b'=AC, se denota por hb
La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por hc
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Construcción geométrica:
Altura respecto del lado "a"=BC
Altura respecto de "b"=AC
Altura respecto de "c"=AB
Propiedad 6:
Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de
sus lados (según el tipo de triángulo):
Si el triángulo es RECTÁNGULO:
"La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los
catetos del triángulo"
Si el triángulo es ACUTÁNGULO:
"Las tres alturas son interiores al triángulo"
Si el triángulo es OBTUSÁNGULO:
"La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas
exteriores al triángulo"
Propiedad 7:
"En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado desigual divide el triángulo
en dos triángulos iguales"
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Ejercicio 6:
1. Con ayuda de una regla y un compás:
a. Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
b. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres
alturas de tu triángulo.
c. Observa si son interiores o exteriores al triángulo, y mira si concuerdan tus
resultados con la propiedad 6.
2. Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.
3. Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.
Ejercicio 7:
Utilizando los criterios de igualdad de triángulos, demuestra la propiedad 7.
Medianas:
La MEDIANA de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta
que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice) que denotaremos como sigue:
Mediana correspondiente al vértice A, se denota por mA
Mediana correspondiente al vértice B, se denota por mB
Mediana correspondiente al vértice C, se denota por mC
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Construcción geométrica:
Mediana correspondiente al vértice A
Mediana correspondiente al vértice B
Mediana correspondiente al vértice C
Propiedad 8:
"Las tres medianas de un triángulo son interiores al mismo, independientemente del
tipo de triángulo que sea"
Propiedad 9:
"Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos de igual área"
Ejercicio 8:
Con ayuda de una regla y un compás:
 Dibuja un triángulo acutángulo y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.

Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres
medianas de tu triángulo.
 Observa si coincide tu resultado con la propiedad 8.

Calcula el área de los dos triángulos en que la mediana m A divide al triángulo
ABC y comprueba que se cumple la propiedad 9.
Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.
Repite el mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.
Ejercicio 9:
Demuestra la propiedad 9.
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Bisectrices:
La BISECTRIZ de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta
que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.
Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo) que denotaremos como sigue:
 Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bA
 Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bB
 Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bC
Construcción geométrica:
Bisectriz correspondiente al vértice A
Bisectriz correspondiente al vértice B
Bisectriz correspondiente al vértice C
Propiedad 10:
"Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo"
Es decir: si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados, los segmentos que se forman
son de la misma longitud.
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Ejercicio 10:
Con ayuda de una regla y un compás:
2) Dibuja un triángulo cualquiera y etiqueta sus vértices con las letras A, B y C.
3)
Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres
bisectrices de tu triángulo.
4) Comprueba sobre tu dibujo que se cumple la propiedad 10.
Construcción de las alturas:
CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA ALTURA "ha"
Para trazar la altura respecto del lado "a"=BC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer
lo siguiente:
1. Localizas el vértice A.
2. Con origen en el vértice A, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que
corte al lado BC (o su prolongación) en dos puntos que llamaremos N y M.
3. Trazas la mediatriz del segmento NM, y la prolongas hasta que corte o incida en el vértice A
4. La recta así obtenida es la altura que buscábamos.
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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA ALTURA "hb"
Para trazar la altura respecto del lado "b"=AC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer
lo siguiente:
1. Localizas el vértice B.
2. Con origen en el vértice B, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que
corte al lado AC (o su prolongación) en dos puntos que llamaremos N y M.
3. Trazas la mediatriz del segmento NM, y la prolongas hasta que corte o incida en el vértice
B.
4. La recta así obtenida es la altura que buscábamos.
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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA ALTURA "hc"
Para trazar la altura respecto del lado "c"=AB de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer
lo siguiente:
1. Localizas el vértice C.
2. Con origen en el vértice C, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que
corte al lado AB (o su prolongación) en dos puntos que llamaremos N y M.
3. Trazas la mediatriz del segmento NM, y la prolongas hasta que corte o incida en el vértice C
4. La recta así obtenida es la altura que buscábamos.
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Construcción de las bisectrices:
CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA BISECTRIZ "bA"
Para trazar la bisectriz del ángulo A de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo
siguiente:
1. Localizas el vértice A.
2.
Con origen en el vértice A, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera
pero tal que corte los lados AB y AC en dos puntos que llamaremos N y M
3. Con origen en N, y radio cualquiera, traza un arco de circunferencia..
4.
Con origen en M, y el mismo radio, traza otro arco de circunferencia que
interseque con el anterior, en un punto.
5. Une este punto con el vértice A mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz del
ángulo A.
6. Etiqueta con "bA"
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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA BISECTRIZ
"bB"
Para trazar la bisectriz del ángulo A de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo
siguiente:
1. Localizas el vértice B.
2.
Con origen en el vértice B, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera
pero tal que corte los lados BA y BC en dos puntos que llamaremos N y M
3. Con origen en N, y radio cualquiera, traza un arco de circunferencia..
4.
Con origen en M, y el mismo radio, traza otro arco de circunferencia que
interseque con el anterior, en un punto.
5. Une este punto con el vértice B mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz del
ánguloB..
6. Etiqueta con "bB"
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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA BISECTRIZ
"bC"
Para trazar la bisectriz del ángulo A de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo
siguiente:
1. Localizas el vértice C.
2.
Con origen en el vértice C, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera
pero tal que corte los lados CA y CB en dos puntos que llamaremos N y M
3. Con origen en N, y radio cualquiera, traza un arco de circunferencia..
4.
Con origen en M, y el mismo radio, traza otro arco de circunferencia que
interseque con el anterior, en un punto.
5. Une este punto con el vértice C mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz del
ángulo C.
6. Etiqueta con "bC"
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Construcción de las medianas:
CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIANA "mA"
Para trazar la mediana con respecto al vértice B, tienes que hacer lo siguiente:
1. Localizas el vértice A
2. Calculas el punto medio del lado BC (lado opuesto al vértice A)
3. Trazas la recta que pasa por el vértice A y el punto medio del lado BC.
4. Le pones la etiqueta mA, para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vértice
A.
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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIANA
"mB"
Para trazar la mediana con respecto al vértice B, tienes que hacer lo siguiente:
1. Localizas el vértice B
2. Calculas el punto medio del lado AC (lado opuesto al vértice B)
3. Trazas la recta que pasa por el vértice B y el punto medio del lado AC.
4. Le pones la etiqueta, mB, para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vértice
B.
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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIANA
"mC"
Para trazar la mediana con respecto al vértice C, tienes que hacer lo siguiente:
1. Localizas el vértice C
2. Calculas el punto medio del lado AB (lado opuesto al vértice C)
3. Trazas la recta que pasa por el vértice C y el punto medio del lado AB
4. Le pones la etiqueta, mC, para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vértice
C.
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Construcción de las mediatrices:
CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIATRIZ "Ma"
Para trazar la mediatriz del lado "a"=BC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo
siguiente:
1. Localizas el lado "a" (segmento que une los vértices B y C del triángulo)
2. Con origen en el vértice B, y el radio que quieras, trazas dos arcos de circunferencia (uno
a cada lado del lado BC)>
3. Con origen en el vértice C, y el mismo radio, trazas dos arcos de circunferencia hasta
que se corten con los anteriores.
4. Trazas la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que trazaste con
origen en los vértices B y C.
5. Pones a la recta la etiqueta Ma para indicar que se trata de la mediatriz del lado "a" del
triángulo.
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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIATRIZ "Mb"
Para trazar la mediatriz del lado "b"=AC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo
siguiente:
1. Localizas el lado "b" (segmento que une los vértices A y C del triángulo)
2. Con origen en el vértice A, y el radio que quieras, trazas dos arcos de circunferencia (uno a
cada lado del lado AC)
3. Con origen en el vértice C, y el mismo radio, trazas dos arcos de circunferencia hasta que se
corten con los anteriores.
4. Trazas la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que trazaste con origen
en los vértices A y C.
5. Pones a la recta la etiqueta Mb para indicar que se trata de la mediatriz del lado "b" del
triángulo.
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CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA MEDIATRIZ "Mc"
Para trazar la mediatriz del lado "b"=AC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo
siguiente:
1. Localizas el lado "c" (segmento que une los vértices A y B del triángulo)
2. Con origen en el vértice A, y el radio que quieras, trazas dos arcos de circunferencia (uno a
cada lado del lado AC)
3. Con origen en el vértice B, y el mismo radio, trazas dos arcos de circunferencia hasta que se
corten con los anteriores.
4. Trazas la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que trazaste con origen
en los vértices A y B.
5. Pones a la recta la etiqueta Mc para indicar que se trata de la mediatriz del lado "c" del
triángulo.
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