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Criterios de no clasicidad
Un aspecto crucial de la teoría cuántica es la existencia de sistemas en estados no
clásicos que manifiestan propiedades incompatibles con cualquier teoría clásica. Su
interés es entendible puesto que justifican la existencia de la propia teoría cuántica. Por
tanto, un área siempre de interés en cuántica es la detección y caracterización de
sistemas en estados no clásicos, en óptica cuántica en particular.
En este punto es conveniente tener en cuenta que en física cuántica los llamados estados
cumplen dos papeles muy distintos pero complementarios.
A) Ofrecen información completa sobre todas las propiedades del sistema en cuestión.
B) Determinan la estadística de una medida por proyección sobre el estado del sistema.
Para distinguir estas dos funciones podemos hablar de estados medidos (caso A) y
estados medidores (caso B).
En física cuántica la estadística p(B) del resultado B de una medida suele venir dada
por una fórmula del tipo
p( B)   B  A
2
  AB
2
,
que es un producto escalar entre un estado en la función A y otro estado en la función B.
Puede observarse en esta fórmula la enorme simetría entre estados medidos y
medidores, a pesar de su radical diferencia.
Es conveniente enfatizar que la no clasicidad de estados medidores (es decir la no
clasicidad de observables) apenas ha sido estudiada, puesto que todo el esfuerzo
investigador se ha puesto en las propiedades no clásicas de estados medidos.
Puesto que en física cuántica por principio los resultados de la medida de cualquier
observable tienen una componente aleatoria, la detección de la no clasicidad de un
estado depende de la evaluación de un estimador estadístico. Generalmente se trata de la
varianza como ocurre con la compresión de cuadraturas o el carácter sub-Poissoniano de
la estadística de fotones. La varianza X del observable X es
X 2   x j  x 2 P( j )
j
x   x j P( j )
j
donde x j son los valores posibles del observable X con probabilidades P ( j ) para el
observable X que se han supuesto discretos por sencillez.
Aunque la varianza es un estimador con muy buenas propiedades no deja de tener
inconvenientes. Los principales problemas prácticos de un estimador como la varianza o
similar es que requieren cálculos más o menos complejos, que en general amplifica las
incertidumbres inherentes a cualquier medida experimental. Por ejemplo en la varianza
los resultados con valores elevados de | x j  x | están muy sobrevalorados ya que
multiplican por pesos muy altos las probabilidades P ( j ) de resultados muy poco
probables y por lo tanto generalmente determinadas con errores relativos elevados. Esto
da lugar a resultados paradójicos de estados con distribuciones P ( j ) concentradas en
torno a un valor pero con varianzas divergentes.
En este contexto nuestro objetivo ha sido doble:
i) Descubrir los criterios de clasicidad más sencillos posibles
ii) Aplicar los criterios del punto anterior tanto a estados medidos como medidores.
La versión clásica de la fórmula anterior para p(B) es de la forma
p( B)   dzPA ( z ) PB ( z )
donde z representa coordenadas en el espacio de fase (conjunto de variables que
especifican unívocamente el estado clásico del sistema), y PA, B son distribuciones de
probabilidad sobre el espacio de fase asociadas a los estados A, B del sistema,
cualesquiera que estos sean. Al ser distribuciones de probabilidad clásicamente
PA, B ( z )  0
y
 dzPA, B ( z )  1 .
Si PA ( z)  0 se tiene que PA ( z ) PB ( z )  PA ( z ) PB max donde PB max es el máximo de
PB (z ) por lo que finalmente, usando que  dzPA ( z )  1 concluimos que
p( B)   dzPA ( z ) PB ( z )  PB max .
Análogamente como PB ( z)  0 se tiene que PA ( z ) PB ( z )  PB ( z ) PA max donde
PA max es el máximo de PA (z ) por lo que finalmente, usando que  dzPB ( z )  1
concluimos que
p( B)   dzPA ( z ) PB ( z )  PA max .
Estas ecuaciones establecen cotas para la probabilidad del suceso B que son ciertas
siempre que PA ( z)  0 y PB ( z)  0 respectivamente. Por lo tanto la violación de
alguna de estas cotas significaría que se incumple un requisito básico de la teoría clásica
como es PA, B ( z )  0 y que por lo tanto estamos frente a un estado no clásico. La
primera cota será violada por estados medidos no clásicos mientras que la segunda será
incumplida por estados medidores no clásicos.
Como comentario hay que notar que la definición de PA, B ( z ) en el caso cuántico no es
un problema sencillo. No obstante cuando se tiene en cuenta el problema en toda su
complejidad siguen siendo válidas las conclusiones derivadas con los sencillos
razonamientos expuestos.
Las principales propiedades de estos criterios de no clasicidad y que lo distinguen
favorablemente de otros criterios son:
▪ La comprobación de estos criterios no requiere ningún cálculo ni análisis de datos.
Sólo hay que hacer la medida y comparar el número de veces que se repite el suceso B
con la correspondiente cota.
▪ Esta sencillez se traduce en que los criterios son enormemente robustos frente a
imperfecciones de carácter práctico como pérdidas de luz, detección ineficiente y un
bajo número de repeticiones del experimento. De hecho, justo al contrario de lo que
ocurre con otros criterios, en este caso la violación de los criterios clásicos puede verse
favorecida por imperfecciones prácticas.
▪ Estos criterios son enormemente generales en el sentido de que se aplican exactamente
igual para cualquier observable y para cualquier sistema. Valen exactamente igual para
estados medidos como medidores.
▪ Estos criterios son independientes de otros criterios propuestos con anterioridad.
Nonclassicality of states and measurements by breaking classical bounds on statistics
A. Rivas y A. Luis, Phys. Rev. A 79, 042105 (2009)
Como hemos comentado anteriormente la definición de las distribuciones sobre el
espacio de fase PA, B ( z ) en el caso cuántico no es sencilla. La complejidad del
problema se traduce en que pueden plantearse diversas definiciones atendiendo a
diversos criterios. El análisis anterior se ha basado en las definiciones conocidas como
funciones P y Q definidas en términos de los estados coherentes cuadratura.
En otro trabajo hemos analizado efectos no clásicos PA, B ( z )  0 cuando la definición
de PA, B ( z ) es la de Terletsky-Margenau-Hill-Kikwood. Esta definición aparece de
forma natural cuando se realizan medidas débiles, en las que la medida de cierto
observable se hace con la mínima perturbación posible sobre el sistema observado.
Un resultado importante es que de acuerdo con este criterio los estados coherentes
cuadratura manifiestan comportamientos no clásicos con PA, B ( z )  0 . Este es relevante
puesto que los estados coherentes cuadratura son presentados siempre como ejemplo
fundamental y universal de estado clásico.
Nonclassicality in weak measurements
Lars M. Johansen, A. Luis, Phys. Rev. A 70, 052115 (2004)