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Complementariedad
La complementariedad y las relaciones de incertidumbre son características distinguidas de la
física cuántica. Ambas implican que los sistemas cuánticos poseen propiedades que se
excluyen mutuamente: el conocimiento preciso de una de ellas es incompatible con el
conocimiento preciso de la otra. Un ejemplo clásico es la dualidad onda corpúsculo: el
conocimiento de la ruta seguida por una partícula en un interferómetro es incompatible con la
existencia de interferencia.
doble
rendija
pantalla
D2
D1
A pesar de tener un origen común (el principio de superposición) la relación entre ambas
ideas ha sido controvertida desde los comienzos de la teoría cuántica hasta nuestros días. Los
ejemplos clásicos de complementariedad se suelen explicar como consecuencia de las
relaciones de incertidumbre posición-momento verificadas por el aparato de medida: la
destrucción de la interferencia sería debida a la perturbación aleatoria de la trayectoria
producida por el mecanismo de detección.
Sin embargo recientemente se han propuesto y realizado experimentalmente ejemplos sutiles
de complementariedad donde las relaciones de incertidumbre usuales parecen no jugar ningún
papel. Lo que es más, el mecanismo de detección no modifica en absoluto las trayectorias en
el interior del interferómetro.
Este tipo de experiencias ha conducido a muchos autores a proponer que la idea
complementariedad está más allá de cualquier posible explicación en términos de la
perturbación causada por los mecanismos de detección y de cualquier relación de
incertidumbre. La complementariedad sería una consecuencia de las correlaciones cuánticas
(“entanglement”) establecidas entre aparato detector y sistema observado durante el proceso
de detección, sin involucrar nunca fluctuaciones, indeterminaciones o relaciones de
incertidumbre.
A pesar de esto, parece que la perturbación del sistema observado durante una medida es un
hecho claro en la teoría cuántica, siendo precisamente las correlaciones sistema-aparato
evidencia y causa de la misma. De acuerdo con esta idea, la demostración del origen de la
complementariedad como consecuencia de fluctuaciones y relaciones de incertidumbre se
reduce a buscar las variables del sistema observado que resulten perturbadas por la
observación (quizás no evidentes a primera vista). y a encontrar las relaciones de
incertidumbre adecuadas (quizás distintas de las relaciones de incertidumbre de Heisenberg
estándar para posición-momento). Siguiendo esta línea de razonamiento hemos podido
demostrar que siempre es posible explicar la complementariedad mediante relaciones de
incertidumbre adecuadas aplicadas a las variantes relevantes.
Los ejemplos de complementariedad que parecen desafiar la explicación en términos de
relaciones de incertidumbre tienen lugar en espacios de Hilbert de dimensión finita,
usualmente de dimensión dos (las dos trayectorias internas en un interferómetro de doble
haz). Para espacios de dimensión finita las relaciones de incertidumbre del tipo de Heisenberg
en términos de varianzas son siempre triviales, AB  0 , donde como siempre
(A)2  A2    A 2 . Esta relación es trivial porque A y B son mayores que cero por
definición. En el origen de esta circunstancia está el hecho de que para dimensión finita se
tiene que A y B son siempre finitas. Por lo tanto si A  0 entonces inevitablemente
AB  0 . La igualdad a cero se consigue para los autoestados de A o B. En el contexto
cuántico la situación se agrava puesto la relación anterior no excluye el caso A  0 y
B  0 , situación prohibida si A, B  0 .
Para evitar esta dificultad hemos propuesto otra medida distinta de fluctuaciones cuánticas
mejor comportada que la varianza en este contexto. Dicha medida se basa en el módulo de la
función característica, que es la transformada de Fourier de la distribución de probabilidad.
Hemos visto que esta medida representa el grado de certidumbre que se tiene respecto al valor
de la magnitud correspondiente, por lo que nos referimos a ella como certidumbre. Hemos
demostrado que con esta medida es posible derivar auténticas relaciones de certidumbre que
demuestran que nunca es posible tener certidumbre completa de dos variables
complementarias simultáneamente. Con la ayuda de estas relaciones hemos podido demostrar
que también en espacios de dimensión finita es posible explicar el origen de la
complementariedad como resultado de las relaciones de certidumbre verificadas por las
variables del aparato, que perturban las variables del sistema observado haciendo decrecer sus
certidumbres. También hemos investigado los estados de máxima certidumbre. Finalmente
hemos generalizado las relaciones de certidumbre para involucrar un número arbitrario de
observables complementarios simultáneamente, en lugar de sólo dos.
Complementarity and certainty relations for two-dimensional systems
A. Luis, Phys. Rev. A. 64, 012103 (2001)
Complementarity and duality relations for finite-dimensional systems
A. Luis, Phys. Rev. A. 67, 032108 (2003)
Las relaciones de complementariedad descubiertas en los trabajos anteriores han sido
aplicadas satisfactoriamente al análisis de la coherencia y visibilidad de la interferencia de un
número arbitrario de ondas clásicas, como se detalla en otro apartado de esta página web.
Quantum-classical correspondence for visibility, coherence, and relative phase for
multidimensional systems
A. Luis, Phys. Rev. A 78, 025802 (2008)
Hemos abordado un estudio de la complementariedad lo más fiel posible al fundamento de
este concepto. Las ideas básicas que distinguen esta formulación de otras son:
i) Se plantean medidas simultáneas de los dos observables complementarios en cada
realización del sistema observado, siempre bajo las mismas condiciones experimentales en
todas las realizaciones,
ii) Se trata la información obtenida del experimento sin ninguna hipótesis a priori respecto
a la relación entre los resultados de las medidas y los observables complementarios
estudiados. La estadística de la medida nos sirve directamente para inferir el estado del
sistema por métodos Bayesianos por ejemplo. Sólo a partir de esta estimación se derivan
conclusiones sobre los observables complementarios investigados.
El resultado son relaciones de completentariedad de carácter totalmente práctico que
reproducen las conclusiones de otras formulaciones más teóricas y además incluyen los
detalles del procedimiento experimental
Operational approach to complementarity and duality relations
A. Luis, Phys. Rev. A 70, 062107 (2004)
Siguiendo con la idea práctica del trabajo anterior hemos investigado la complementariedad
cuando se tiene una única realización del sistema observado, esto es cuando podemos hacer
sólo una observación del sistema en cuestión. El resultado de esa única observación nos
permite hacer una inferencia de estado del sistema siguiendo estrategias Bayesianas y derivar
conclusiones respecto a la estadística de los observables complementarios en cuestión.
Un primer resultado es que para sistemas únicos se obtienen auténticas relaciones de
complementariedad. Formalmente son las mismas que se obtienen cuando la medida se repite
un número arbitrario de veces. Sólo difieren en que las de sistemas únicos son más restrictivas
Hemos repetido el análisis en el dominio clásico aplicando exactamente la misma estrategia
obteniendo resultados extraordinariamente similares. Esto es auténticas relaciones de
complementariedad en todo análogas a las cuánticas incluso cuando la medida es exacta y sin
ruido en ambos observables. Son menos restrictivas que las de sistemas únicos cuánticos pero
perfectamente compatibles con las relaciones cuánticas cuando la medida se repite un número
arbitrario de veces.
Parece que en el caso clásico estas relaciones de complementariedad reflejan la idea de que es
imposible obtener información completa con una sola medida. Es de esperar que los
resultados clásicos y cuánticos difieran en cuanto se considere un número mayor de medidas.
No obstante nos parece un resultado interesante que para sistemas únicos existan relaciones
de complementariedad tanto en el dominio clásico como cuántico.
Quantum and classical operational complementarity for single systems
A. Luis, Phys. Rev. A 72, 014106 (2005)
En muchos de los ejemplos paradójicos de complementariedad las variables relevantes
perturbadas por la observación no son las usuales posición y momento. De hecho hemos
demostrado que en la mayor parte de los casos la variable que resulta claramente perturbada
por los aparatos de detección es la diferencia de fase. Además, la alteración que sufre la
distribución de probabilidad de la diferencia de fase P ( ) durante la observación en estos
montajes es particularmente sencilla de expresar mediante una convolución
Pob ( )   d P(   )( ) ,
donde ( ) es la distribución de probabilidad de cambios aleatorios de la diferencia de fase.
Esto demuestra que la detección de la trayectoria aumenta las fluctuaciones en la diferencia de
fase, fluctuaciones que, de forma natural, acaban con la interferencia. La complementariedad
es el resultado de fluctuaciones de fase causadas por la interacción con los detectores.
Complementarity enforced by random classical phase kicks
A. Luis y L. L. Sánchez-Soto, Phys. Rev. Lett. 81, 4031 (1998)
Randomization of quantum relative phase in welcher Weg measurements
A. Luis y L. L. Sánchez-Soto, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 1, 668 (1999)
Reply to “Comment on ‘Complementarity enforced by random classical phase kicks’ ”
A. Luis y L. L. Sánchez-Soto, Phys. Rev. Lett. 84, 2041 (2000)
Usualmente en física cuántica los observables se representan mediante operadores Hermíticos.
Sin embargo esta no es la posibilidad más general. Realizar una medida significa establecer
una correspondencia entre estados cuánticos (matrices densidad  ) y probabilidades P(s) .
Para establecer tal correspondencia no se necesita un operador Hermítico. Lo que se necesita
es una familia de operadores reales y positivos ( s)  0 de tal forma que P(s)  tr(s).
Cuando se tienen en cuenta estas precisiones en la definición cuántica de observable aparecen
resultados inesperados e interesantes en el contexto de la complementariedad.
Si nos restringiéramos a observables describibles por operadores Hermíticos tendríamos que
la complementariedad sería una propiedad simétrica (si A es complementario de B entonces B
es complementario de A) que existiría para cualquier observable independientemente de la
medida de fluctuaciones que usáramos. Estas tres propiedades desaparecen en el caso general
en el que consideramos medidas generalizadas no describibles por operadores Hermíticos (y
hay observables muy comunes y corrientes que caen dentro de esta categoría, como la fase del
campo electromagnético por ejemplo). En primer lugar hemos demostrado que la idea de
complementariedad depende de la medida de fluctuaciones usada: dos observables pueden ser
complementarios o no serlo dependiendo de cómo se midan las fluctuaciones. En segundo
lugar, hemos demostrado que la complementariedad no es una propiedad simétrica: A puede
ser complementario de B sin que B lo sea de A. Finalmente hemos demostrado que hay
observables sin observable complementario.
En el fondo de este comportamiento hemos encontrado un hecho sorprendente y llamativo. En
general, los estados que determinan la estadística de una medida cuántica (por proyección
sobre el estado problema) no coinciden con los estados de fluctuaciones mínimas para ese
mismo observable. Dicho de otra forma, los estados que representan un observable cuando se
hace una medida no son los estados que conllevan máxima información sobre ese mismo
observable.
Complementarity for Generalized Observables
A. Luis, Phys. Rev. Lett. 88, 230401 (2002)
Se ha demostrado experimentalmente que en interferómetros en los que se superponen más de
dos ondas (interferómetros de haz múltiple) es posible realizar medidas de la trayectoria
seguida por la partícula en el interior del interferómetro sin destruir la interferencia. Incluso es
posible que la observación de la trayectoria aumente la visibilidad. Hemos demostrado que,
en contra de lo que se pudiera anticipar intuitivamente, la diferencia de fase relevante en
dicho experimento y las trayectorias en el interior del interferómetro no son observables
complementarios en interferómetros de haz múltiple. Por lo tanto, las reglas propias de la
complementariedad no son de aplicación en estos montajes.
Complementarity in multiple beam interference
A. Luis, J. Phys. A: Math. Gen. 34, 8597 (2001)