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UNIDAD N° 2 TEORÍA DE CONJUNTOS ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ TEORÍA DE CONJUNTOS El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemática pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito. El concepto de conjunto está presente, aunque de manera informal, desde los primeros años de formación del hombre, desde el momento en que el ser humano tomó entre sus manos un puñado de piedras u observó un grupo de animales, tomó también conocimiento del "conjunto". La Teoría de Conjuntos es un sistema matemático que relaciona conceptos básicos, definiciones, operaciones, propiedades y teoremas. ¿POR QUÉ ESTUDIAR TEORÍA DE CONJUNTOS? Estudiaremos Teoría de Conjuntos porque el razonamiento deductivo es su base metodológica, lo que permite sistematizar el razonamiento y contribuye al desarrollo de la capacidad de análisis. Además su aprendizaje facilita notablemente el estudio de temas matemáticos más avanzados, tales como funciones, probabilidad, muestreo y optimización, entre otros. Por ello, es que estudiaremos los principales conceptos de la Teoría de Conjuntos, de las relaciones y operaciones entre ellos y su representación gráfica para, finalmente, abordar el producto cartesiano y las técnicas de conteo. Al estudiar las relaciones y operaciones entre conjuntos utilizaremos la terminología y simbología aprendidas en la unidad de Lógica Simbólica. CONJUNTOS: DEFINICIÓN Y NOTACIÓN Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan por algo común. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 54 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto. La colección de elementos debe estar bien definida: esto es, la pertenencia al conjunto de un elemento no debe ofrecer dudas. Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, es decir, los elementos deben ser distintos. El orden en que se enumeren esos elementos, carece de importancia. Los conjuntos se simbolizan por medio de una letra mayúscula y los elementos que forman el conjunto se encierran entre llaves. Por ejemplo, la letra A puede representar al conjunto formado por las tres primeras letras del alfabeto. La notación que se adoptaría sería entonces: A = {x / x es una de las tres primeras letras del alfabeto} A cada elemento que forma parte de un conjunto se lo simboliza con letra minúscula y se separan esos elementos utilizando punto y coma (;), entonces, siguiendo con el ejemplo anterior, tenemos que A = {a;b;c} . Si queremos simbolizar que un elemento es integrante de un conjunto, usaremos el símbolo de pertenencia, ∈ , y diremos, por ejemplo, b ∈ A . Si no pertenece a él, utilizamos el símbolo ∉ para indicarlo. Así, por ejemplo, m∉A . Para verificar si se comprendió lo referente a la relación de pertenencia, completa con V o F según lo afirmado sea verdadero o falso. a) 6 ∈ {2; 4; 5; 6; 9} ( ) b) y ∈ {o; p; q; x} ( ) c) x ∉ {o; p; q; y} ( ) _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 55 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ d) Perú ∈ {x / x es un país de Europa} ( ) e) 11∈ {x / x es un número primo menor que 15} ( ) RTA: a) V b) F c) V d) F e) V DEFINICIÓN DE CONJUNTOS Hay dos formas de definir conjuntos: por comprensión y por extensión (o enumeración). DEFINICIÓN POR COMPRENSIÓN DEFINICIÓN Nº 1: Se dice que un conjunto está definido por comprensión, cuando se da una propiedad inherente a todos los elementos del conjunto, de forma tal que todo objeto que cumpla dicha propiedad pertenece al conjunto y recíprocamente. Los siguientes conjuntos están definidos por comprensión: A = {x / x es una vocal} B = {x / x es un número natural par menor que 10} C = {x / x es una letra de la palabra conjuntos} D = {x / x ∈ ℕ ∧ x < 8} _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 56 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ DEFINICIÓN POR EXTENSIÓN DEFINICIÓN Nº 2: Se dice que un conjunto está definido por extensión (o enumeración), cuando se mencionan a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos, sin repetir ningún elemento. Definiremos por extensión los conjuntos especificados anteriormente por comprensión: A = {a; e; i; o; u} B = {2; 4; 6; 8} C = {c; o; n; j; u; t; s} D = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Simbolizamos mediante # A el número de elementos del conjunto A. Para los ejemplos analizados: # A=5 # B=4 # C=7 # D=7 Obviamente, cuando el conjunto tiene infinitos elementos, es imposible definirlo por extensión; de todos modos es usual simbolizar algunos de estos conjuntos, los naturales por ejemplo, de la siguiente forma: ℕ = {1;2;3;4;...} donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente” y con ellos representamos todos los números naturales omitidos:. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 57 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Teniendo en cuenta las dos formas de definir un conjunto, resuelve los siguientes ejercicios 1) Define por extensión los siguientes conjuntos: a) A = {x / x es un mes del primer cuatrimestre del año} b) B = {x ∈ ℕ / x < 11} c) C = {x / x es par y 15 < x < 25} d) D = {x ∈ ℕ / x < 5} e) E = {x ∈ ℤ / x es impar y − 5 ≤ x < 3} f) F = {x ∈ ℕ / x < 8 y x es el doble de un número natural primo} g) G = {2x / 2 < x < 10 ∧ x ∈ ℕ} h) H = {3x / x ∈ ℤ ∧ − 2 ≤ x < 4} i) I = {2x − 3 / x ∈ ℕ ∧ x < 5} j) J = {x 2 − x / x ∈ ℤ ∧ } −3 ≤ x < 0 RTA : a) A = {enero, febrero, marzo, abril} b) B = {1;2;3; 4;5;6;7;8;9;10} c) C = {16; 18; 20; 22; 24} d) D = {1; 2; 3; 4} e) E = {−5; − 3; − 1; 1} f) F = {4; 6} g) G = {6; 8; 10; 12; 14; 16; 18} h) H = {−6; − 3; 0; 3; 6; 9} i) I = {−1; 1; 3; 5} j) J = {2; 6; 12} 2) Definir por comprensión los siguientes conjuntos: a) A = {4; 8; 12; 16; 20; 24} b) B = {8; 10; 12; 14;16; 18; 20} c) C = {5; 7; 11; 13} d) D = {−8; − 7; − 6; − 5; − 4} e) E = {2; 5; 8; 11} f) F = {−8; − 1; 0; 1; 8; 27} RTA: a) A = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 4 y 4 ≤ x ≤ 24} b) B = {2x / x ∈ ℕ ∧ 4 ≤ x ≤ 10} c) C = {x ∈ ℕ / x es un número primo y 5 ≤ x ≤ 13} d) D = {x ∈ Z / −8 ≤ x ≤ −4} e) E = {3x − 1/ x ∈ ℕ ∧ x ≤ 4} f) F = x 3 / x ∈ ℤ ∧ − 2 ≤ x ≤ 3 { } _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 58 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ CONJUNTO UNIVERSAL Y CONJUNTO VACÍO Cuando definimos un conjunto, en el sentido de precisar a cuál aludimos, tenemos un marco referencial o conjunto universal de donde elegimos los elementos que conformarán el conjunto definido. Así por ejemplo, si definimos el conjunto de alumnos que cursan Álgebra I, en él se incluirán sólo algunos alumnos del Instituto: los que se han inscripto para cursar esta materia y lo están haciendo. El Universal o referencial será todos los alumnos del I.S.F.D Joaquín V. González, aunque podríamos restringir el conjunto universal a los alumnos del Profesorado en Matemática del Instituto ya que es materia de su plan de estudios y no del plan de otras carreras. DEFINICIÓN Nº 3: Definimos el CONJUNTO UNIVERSAL, como aquel conjunto constituido por todos los elementos dentro de una aplicación particular. Lo simbolizamos con la letra U. DEFINICIONES Nº 4: Un CONJUNTO es FINITO si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el CONJUNTO es INFINITO. Entre los conjuntos finitos, destacamos aquellos conjuntos que están formados por un único elemento. Estos reciben el nombre de CONJUNTOS UNITARIOS. Existen también conjuntos que no tienen elemento alguno. Estos conjuntos se denominan CONJUNTOS VACÍOS y se simbolizan ∅ o { }. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 59 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Veremos algunos ejemplos que nos permitirán clarificar los conceptos anteriores. 1) Sean los conjuntos: • A = {x / x es un ave} • B = {x / x es un pez} • C = {x / x es un conejo} • D = {x / x es un mono} Existe otro conjunto que incluye o contiene a los conjuntos A, B, C y D. Este es el conjunto U = {x / x es un animal} 2) Sean los conjuntos: • E = {x / x es director del ISFD "Joaquín V. González"} • F = {x / x es docente del ISFD "Joaquín V. González"} Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Este es U = {x / x es personal del ISFD "Joaquín V. González"} . Además, podemos afirmar que el conjunto E es un conjunto unitario, puesto que una sola persona ejerce el cargo de Directora del Instituto. 3) G = {x / x ∈ ℕ ∧ x < −2} es un conjunto vacío pues no hay ningún número natural negativo. Podemos indicar entonces que G = ∅ o que G = { } . Establece si los siguientes conjuntos son finitos o infinitos. a) A = {Las rectas paralelas a una dada} _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 60 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ b) B = {x / x es una letra del alfabeto} c) C = {x / x es un país del Mercosur} d) D = {x / x es una materia que integra el plan de estudios del Profesorado en Matemática} e) E = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 10} f) F = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 10 y x < 50} g) G = {x ∈ R / 1 < x < 2} h) H = {x / x es un día de la semana} i) J = {x ∈ ℤ / x es un número impar} j) L = {x ∈ ℕ / x > 15} RTA: Finitos: b, c, d, f, h, i Infinitos: a, e, g, j RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Cuando dos conjuntos se comparan entre sí, pueden definirse distintas relaciones, entre las cuales consideraremos las relaciones de igualdad y de inclusión, en sentido amplio y estricto. IGUALDAD DE CONJUNTOS DEFINICIÓN Nº 5: Dos CONJUNTOS son IGUALES si y sólo si todos los elementos de A son elementos de B y todos los elementos de B son elementos de A (no importa el orden de aparición de los elementos). Simbólicamente, A = B ⇔ ∀ a ∈ A ⇒ a ∈ B ∧ ∀ b ∈ B ⇒ b ∈ A . _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 61 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Por ejemplo igual a {−1;1} {x ∈ ℝ / x 2 } { } = 1 es igual a x ∈ ℝ / x 4 = 1 , e aunque aparezcan expresados en diferentes formas. INCLUSIÓN DE CONJUNTOS – SUBCONJUNTOS DEFINICIÓN Nº 6: Un conjunto A se dice SUBCONJUNTO de otro B, si todo elemento de A es también elemento de B. Simbólicamente, A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B . A partir de esta definición, podemos señalar que todo conjunto es subconjunto de sí mismo: A está incluido en A. Si se contempla esta posibilidad, la inclusión se dice que es amplia y la denotamos A ⊆ B y por el contrario, si B contiene elementos que no pertenecen a A, se dice que A está INCLUIDO ESTRICTAMENTE en B y se simboliza A ⊂ B . En este caso, decimos que A es un SUBCONJUNTO PROPIO de B. Por ejemplo… a) ℕ ⊂ ℤ; ℤ ⊂ ℚ; ℚ ⊂ ℝ; ℝ ⊂ ℂ o lo que es lo mismo ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ⊂ ℝ ⊂ ℂ. b) {x / x ∈ ℝ ∧ x > 1} ⊂ {x / x ∈ ℝ ∧ x ≥ 1} ⊂ {x / x ∈ ℝ ∧ x > 0} A través de los siguientes ejercicios, trabajaremos las relaciones de inclusión e igualdad de conjuntos. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 62 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 1) Determinar si los siguientes conjuntos son iguales: a) A = {x / x ∈ ℕ ∧ x 2 < 10} b) A = {x / x ∈ ℕ ∧ 2x < 16} B = {1;2;3} B = {1;2;3;4;5;6;7;8} C = {x / x ∈ ℕ ∧ x < 4} b) A ≠ B RTA: a) A = B = C 2) Dados los conjuntos A = {1,2,3} , B = {1,3,5} , C = {2,4,6} , D = {1,2,3,4,5} y E = {1,2,3,4,5,6,7} , determinar cuáles de los enunciados siguientes son verdaderos y cuáles son falsos. Justificar aquellos que sean falsos. a) A ⊂ B b) A ⊂ D c) B ⊂ B d) A ⊂ E e) B ⊄ D RTA: VERDADEROS: b, c, d 3) Sea el conjunto f) ∅ ⊄ C FALSOS: a, e, f A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} ⊂ ℤ . Determinar los siguientes subconjuntos de A: a) {x : x 2 } ∈A b) {x : 1 + x ∈ A} c) {x : x es cuadrado perfecto en A} d) {x : x es impar} e) {x : x es primo} f) {x : 3x = 1} g) {x : x 2 < 16} h) {x : x es divisible por 4} i) {x : x es producto de primos distintos} j) {x : 1 − x es múltiplo de 4} k) {x : x es divisible por 2 ó por 3} l) {x : 3x < 3} m) {x : 1 + x + x 2 ∈ A} n) x : ( x + 1) = x 2 + 2x + 1 o) {x : x = 2k ,k ∈ ℕ} p) {x : x 3 < 100} 1 q) x : ⋅ x ⋅ ( x + 1) ∈ A 2 r) {x : x 2 = 0} s) {x : x − 1∉ A} t) {x : 10 ≤ x 2 ≤ 20} u) {x : 2x < x} v) {x : x 2 + 3x + 2 = 0} { 2 } _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 63 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ w) {x : x 2 − 3x − 10 = 0} x) {x : x 2 − 3x − 10 < 0} 1 y) x : ⋅ x ∈ ℤ 2 z) x : ( −1) ∈ ℕ { RTA: a) {0;1;2;3} } x b) {0;1;2;3; 4;5;6;7;8} c) {0;1;4;9} d) {1;3;5;7;9} e) {2;3;5;7} f) ∅ g) {0;1;2;3} h) {0; 4;8} i) {6} j) {1;5;9} k) {0;2;3; 4;6;8;9} l) {0} m) {0;1;2} n) A o) {1;2;4;8} p) {0;1;2;3;4} q) {0;1;2;3} r) {0} s) {0} t) {4} u) ∅ v) ∅ w) {5} x) {0;1;2;3;4} y) {0;2; 4;6;8} z) {0;2; 4;6;8} La inclusión amplia nos permite definir la igualdad de conjuntos de una forma aparentemente distinta a la dada: A =B⇔ A ⊆B ∧ B⊆ A ya que si todo elemento de A lo es de B, y todo elemento de B lo es de A, necesariamente estos conjuntos poseen los mismos elementos. Esta equivalencia es usada con frecuencia como técnica de demostración para probar que dos conjuntos son iguales. PROPOSICIÓN Nº 1: Dados los conjuntos A, B y C, se verifica: a) A ⊂ A . b) Si A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B . c) Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C . DEMOSTRACIÓN: a) y b) son consecuencias triviales de las definiciones de ⊂ e = c) Se debe demostrar que A ⊂ C , es decir, que ∀ x ∈ A, x ∈ C . Sea x ∈ A . Como A ⊂ B , entonces x ∈ B . Luego, como B ⊂ C , entonces x ∈ C . Por lo tanto, A ⊂ C . _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 64 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ COROLARIO Nº 1: Dados los conjuntos A, B y C, se verifica: a) A = A . b) Si A = B ⇒ B = A . c) Si A = B ∧ B = C ⇒ A = C . DEMOSTRACIÓN: a) y b) son consecuencias triviales de las definiciones de ⊂ e = c) Se debe demostrar que A = C , es decir, que A ⊂ C ∧ C ⊂ A (por b de la proposición nº 1) Por hipótesis, A = B , entonces, A ⊂ B y B ⊂ A . También por hipótesis, B = C , entonces B ⊂ C y C ⊂ B . Luego, por c) de la proposición anterior, A ⊂ B y B ⊂ C implica A ⊂ C . Por su parte, C ⊂ B y B ⊂ A implica C ⊂ A . Como A ⊂ C ∧ C ⊂ A , entonces A = C . DIAGRAMAS DE VENN Para visualizar las relaciones entre conjuntos, es útil el uso de los diagramas de Venn. Los diagramas son empleados para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica. Los conjuntos se representan por medio de recintos planos cerrados, en cuyo interior se ubican los elementos de cada conjunto simbolizados por puntos. Si A ⊂ B se podría representar así: B A o también: _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 65 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ U A B donde B ⊂ U y A ⊂ B ( A ⊂ U ). ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Ya hemos aprendido a definir conjuntos y a compararlos. Trataremos ahora de operar con ellos, así como operamos con los números reales, mediante la suma y el producto. En efecto, las operaciones que definiremos para conjuntos tendrán ciertas propiedades formales, algunas de las cuales (leyes conmutativa, asociativa y distributiva) serán las ya conocidas para la suma y el producto de números reales. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Supongamos en todos los casos, fijado un conjunto universal U. INTERSECCIÓN DEFINICIÓN Nº 7: Se denomina INTERSECCIÓN de A con B al conjunto A ∩ B formado por los elementos que pertenecen a A y que pertenecen a B, es decir, que ambos conjuntos tienen en común. En símbolos, A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B} Es decir que x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B . _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 66 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ En el diagrama de Venn, la intersección queda representada por medio del área sombreada: Hay, como vemos, una correspondencia entre la operación lógica conjunción y la operación intersección entre conjuntos. DEFINICIÓN Nº 8: Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común, es decir, si A ∩ B = ∅ entonces se dice que A y B son CONJUNTOS DISJUNTOS. Veamos los siguientes ejemplos a través de los cuales clarificaremos las dos definiciones anteriores. a) Los conjuntos A = {2;4;6} y B = {1;3;5} son disjuntos pues no tienen ningún elemento en común, es decir, A ∩ B = ∅ . U B A •2 •1 •4 •3 •6 •5 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 67 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ b) Si consideramos los conjuntos A = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 2 y x < 9} y B = {x ∈ ℤ / x es múltiplo de 3 y − 2 ≤ x < 8} y buscamos su intersección, para ello deberemos previamente tener en claro cuáles son sus elementos. Para esto, definiremos los conjuntos por extensión. A = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 2 y x < 9} = {2;4;6;8} B = {x ∈ ℤ / x es múltiplo de 3 y − 2 ≤ x < 8} = {0;3;6} U A B •2 •4 •6 •8 •0 •3 UNIÓN DEFINICIÓN Nº 9: Se denomina UNIÓN de A con B al conjunto A ∪ B formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. En símbolos, A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} Es decir que x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B En el diagrama de Venn, la unión queda representada por medio del área sombreada: _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 68 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Hay, como vemos, una correspondencia entre la operación lógica disyunción y la operación unión entre conjuntos. Por ejemplo, si A = {2;4;6} y B = {1;3;5} , entonces A ∪ B = {1;2;3;4;5;6} . COMPLEMENTACIÓN DEFINICIÓN Nº 10: Se denomina COMPLEMENTO del conjunto A al conjunto A formado por todos aquellos elementos de U que no pertenecen a A. Se denota también A' o A C . En símbolos, A = {x ∈ U / x ∉ A} Es decir que x ∈ A ⇔ x ∉ A . En el diagrama de Venn, el complemento del conjunto A queda representado por medio del área sombreada: En los siguientes ejemplos veremos cómo calcular los complementos de algunos conjuntos. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 69 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 1) Si U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} y A = {x ∈ ℕ / 4 ≤ x < 7} entonces el complemento de A, formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A, es el conjunto A = {1,2,3,7,8,9,10} . U A •7 •1 •4 •2 •5 •3 •6 •8 •9 • 10 2) Si U = ℤ y A = {x ∈ ℤ / x es par} , entonces A = {x ∈ ℤ / x es impar} Determina, en cada caso, el complemento del conjunto A, respecto del universal U a) U = ℤ ∧ A = ℕ b) U = ℕ ∧ A = {x / x ∈ ℕ ∧ 2x < 16} c) U = ℕ ∧ A = {x / x ∈ ℕ ∧ x 2 = 5} d) U = ℕ ∧ A = {x / x ∈ ℕ ∧ x es múltiplo de 5} RTA: a) A = ℕ − ∪ {0} c) A = ℕ b) A = {x ∈ ℕ / 8 ≤ x} d) A = {x / x ∈ ℕ ∧ x no es múltiplo de 5} DIFERENCIA DEFINICIÓN Nº 11: _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 70 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Se denomina DIFERENCIA de A con B al conjunto A − B formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B. En símbolos, A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B} Es decir que x ∈ A − B ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B . En el diagrama de Venn, la diferencia queda representada por medio del área sombreada: Veamos los siguientes ejemplos… 1) Si A = {x ∈ ℕ / 4 ≤ x < 7} y B = {2,4,6,8,10} , entonces la diferencia entre A y B, es decir, el conjunto que resulta de quitarle a A aquellos elementos que tiene y que también pertenecen a B es A − B = {5} . Por su parte, B − A = {2,8,10} _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 71 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 2) Si A = {x ∈ℕ / x es par} y B = {2,4,6,8,10} , entonces la diferencia entre A y B es el conjunto A − B = {x ∈ ℕ / x es par ∧ 12 ≤ x} y B − A = ∅ . ¿Cómo podríamos completar los siguientes enunciados de tal manera que resulten verdaderos? a) La diferencia U − A es igual a ______________________ b) La diferencia A − U es igual a ______________________ c) La diferencia A − B ________igual a la diferencia B − A . DIFERENCIA SIMÉTRICA DEFINICIÓN Nº 12: Se denomina DIFERENCIA SIMÉTRICA de A con B al conjunto A∆B formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B o por los elementos de B que no pertenecen a A. . En símbolos: A∆B = ( A − B ) ∪ (B − A ) = {x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ (x ∈B Es decir que x ∈ A∆B ⇔ ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ∧ x ∉ A )} (x ∈B ∧ x ∉ A) _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 72 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ En el diagrama de Venn, la diferencia simétrica queda representada por medio del área sombreada: Si bien para fijar las ideas es útil hacer uso de los diagramas de Venn, es importante tener en cuenta que estos diagramas tienen, por única utilidad ayudar a la intuición y en modo alguno pueden ser empleados como métodos de demostración de proposiciones matemáticas concernientes a conjuntos. En los siguientes ejemplos analizaremos como aplicar las operaciones para algunos conjuntos dados. 1) Sea U = {a;b;c;d} , A = {a;c;d} y B = {b;c} . Entonces: i A ∩ B = B ∩ A = {c} i A ∪ B = B ∪ A = {a;b;c;d} = U i A ' = {b} y B ' = {a;d} i A − B = {a;d} y B − A = {b} U A B •a •d •c •b i A∆B = B∆A = {a;b;d} _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 73 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 2) Sea U como en el ejemplo anterior, A = {b;c} y B = {a} . Entonces: i A ∩B = B ∩ A = ∅ U i A ∪ B = B ∪ A = {a;b;c} A B i A ' = {a;d} y B' = {b;c;d} •b i A − B = {b;c} y B − A = {a} •c i A∆B = B∆A = {a;b;c} •a •d 3) Si U = ℕ , A = {x ∈ ℕ / x es divisible por 2} y B = {x ∈ ℕ / x es divisible por 3} , entonces: i A ∩ B = B ∩ A = {x ∈ ℕ / x es divisible por 6} i A ∪ B = B ∪ A = {x ∈ ℕ / x es divisible por 2 o por 3} i A ' = {x ∈ ℕ / x es impar} y B' = {x ∈ ℕ / x no es divisible por 3} i A − B = {x ∈ ℕ / x es un número par no divisible por 3} i B − A = {x ∈ ℕ / x es un núm ero divisible por 3 impar} 4) Si U = R , A = {x ∈ R / x > −1} y B = {x ∈ R / x ≤ 1} , entonces: i A ∩ B = B ∩ A = {x ∈ ℝ / −1 < x ≤ 1} i A ∪B = B ∪ A = R i A ' = {x ∈ ℝ / x ≤ −1} y B ' = {x ∈ ℝ / x > 1} i A − B = {x ∈ ℝ / x > 1} i B − A = {x ∈ ℝ / x ≤ −1} Resuelve los siguientes ejercicios. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 74 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 1) Sean A y B dos conjuntos. Responde las siguientes preguntas justificando la respuesta. a) si a ∈ A , ¿debe ser entonces a elemento de A ∪ B ? b) si a ∈ A , ¿debe ser entonces a elemento de A ∩ B ? c) si a ∈ A ∩ B , ¿debe ser entonces a elemento de B? d) si a ∈ A ∩ B , ¿debe ser entonces a elemento de A ∪ B ? e) si A ⊄ B y a ∈ A , ¿debe ser entonces a elemento de B? RTA: a) Sí b) No c) Sí d) Sí e) No 2) Dados los conjuntos: • A = {x / x ∈ ℕ ∧ 0 < x < 6} • B = {z / z ∈ ℕ ∧ z = 2x + 1 ∧ x ∈ A} a) Define por extensión cada uno de ellos. b) Halla A ∪ B . RTA: a) A = {1;2;3; 4;5} , B = {3;5;7;9;11} b) A ∪ B = {1;2;3;4;5;7;9;11} 3) Dados los siguientes conjuntos: i A = {1;2;3;4;5} i B = {3;5;7;9;11} i C = {2;5;8;11;12} i U = {x ∈ ℕ / x ≤ 12} a) Representa los conjuntos mediante un diagrama y ubica en él sus elementos. b) Efectúa las siguientes operaciones y representa gráficamente el sector correspondiente a cada una de ellas en diferentes gráficos: RTA: a) b1) A ∪ B ∪ C b2) B − ( A ∪ B ) b3) A ∩ B ∩ C b4) ( A ∩ B ) ∪ C b5) ( A ∩ C ) − B ∪ A ∪ B ∪ C b6) ( A∆B ) ∩ C b) b1) {1;2;3;4;5;7;8;9;11;12} b4) {2;3;5;8;11;12} b2) ∅ b3) {5} b5) {2;6;10} b6) {2;11} _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 75 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 3) Señalar en un diagrama de Venn de tres conjuntos A, B y C los conjuntos resultantes de aplicar las siguientes operaciones: a) A ∩ (B ∪ C ) b) ( A ∩ B ) ∪ C ( c) A ∩ B ∪ C ) ( ) d) A ∩ B ∩ C 4) Indicar qué operación entre los conjuntos A, B y C representan las áreas sombreadas. a) b) c) d) e) f) RTA: a) B ∩ C d) C ∪ ( A ∩ B ) b) ( A ∪ B ) − C c) A ∪ B ∪ C ∪ ( A ∩ B ∩ C) e) ( A ∪ B ∪ C) − (B ∩ C) f) ( A ∪B∪C) − (B∩C) − A _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 76 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ PROPIEDADES DE LA UNIÓN, LA INTERSECCIÓN Y LA COMPLEMENTACIÓN En el siguiente teorema aparecen enunciadas todas las propiedades relativas a la unión, la intersección y la complementación entre conjuntos. TEOREMA Nº 1: Para todo subconjunto A, B, C y D de U son válidas las siguientes propiedades: a) Conmutativa de la intersección: A ∩ B = B ∩ A Conmutativa de la unión: A ∪ B = B ∪ A b) Asociativa de la intersección: A ∩ (B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C Asociativa de la unión: A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C c) Idempotencia de la intersección: A ∩ A = A Idempotencia de la unión: A ∪ A = A d) Distributiva de la intersección con respecto a la unión: A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) Distributiva de la unión con respecto a la intersección: A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) e) Leyes cónicas: A∪A =U A∩A =∅ f) U es el elemento neutro de la ∩ : A ∩ U = A ∅ es el elemento neutro de la ∪ : A ∪ ∅ = A g) Involutividad del complemento: A = A _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 77 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ h) U = ∅ ; ∅ = U i) Leyes de De Morgan: A ∩B = A ∪B A ∪B = A ∩B DEMOSTRACIÓN: En todos los casos en que debamos demostrar igualdades entre conjuntos utilizaremos lo ya demostrado en la proposición 1, ítem b, es decir que si A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B. Las demostraciones de las propiedades a, b, c, e, f, g y h son triviales, por lo tanto, quedan como ejercicio para el lector. A continuación, demostraremos las propiedades d e i. d) Distributiva de la intersección con respecto a la unión: debemos demostrar que A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) . A ∩ (B ∪ C ) ⊂ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ Sea y que Por lo tanto, probaremos que ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ A ∩ (B ∪ C ) . x ∈ A ∩ (B ∪ C ) , entonces x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C ) , es decir, x ∈B ∨ x ∈C . x ∈B , Si como también x∈A, entonces x ∈ ( A ∩ B) . Luego, también x∈A, entonces x ∈ ( A ∩ C) . Luego, x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) . x ∈C , Si como x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) . Como podemos observar, en cualquier caso dado x ∈ A ∩ (B ∪ C ) se termina verificando que x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) . ∴ A ∩ (B ∪ C ) ⊂ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊃ Sea x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , entonces x ∈ ( A ∩ B ) ∨ x ∈ ( A ∩ C ) . _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 78 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Si x ∈ ( A ∩ B ) , entonces x ∈ A ∧ x ∈ B , con lo cual x ∈ (B ∪ C ) . Luego, x ∈ A ∩ (B ∪ C ) . Si x ∈ ( A ∩ C ) , entonces x ∈ A ∧ x ∈ C , con lo cual x ∈ (B ∪ C ) . Luego, x ∈ A ∩ (B ∪ C ) . Como podemos observar, en cualquier caso dado x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) se termina verificando que x ∈ A ∩ (B ∪ C ) . ∴ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ A ∩ (B ∪ C ) . Por lo demostrado anteriormente, A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) . Distributiva de la unión con respecto a la intersección: debemos demostrar que A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) . Por lo tanto, probaremos que A ∪ (B ∩ C ) ⊂ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) y que ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ⊂ A ∪ (B ∩ C ) . ⊂ Sea x ∈ A ∪ (B ∩ C ) , entonces x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C ) . x∈A, Si se verifica que x ∈ ( A ∪ B) ∧ x ∈ ( A ∪ C) . Luego, x ∈ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) . x ∈ (B ∩ C ) , Si entonces x ∈B ∧ x ∈C , con lo cual x ∈ ( A ∪ B ) ∧ x ∈ ( A ∪ C ) . Luego, x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) . Como podemos observar, en cualquier caso dado x ∈ A ∪ (B ∩ C ) se termina verificando que x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) . ∴ A ∪ (B ∩ C ) ⊂ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ⊃ Sea x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) , entonces x ∈ ( A ∪ B ) ∧ x ∈ ( A ∪ C ) . Como x ∈ ( A ∪ B ) , entonces x ∈ A ∨ x ∈ B . (∗) Como x ∈ ( A ∪ C ) , entonces x ∈ A ∨ x ∈ C . (∗) _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 79 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Hay dos posibilidades: que x pertenezca a A o que no pertenezca a A. Si x ∈ A , entonces x ∈ A ∪ (B ∩ C ) y si x ∉ A , por (∗) se tiene que x ∈ B ∧ x ∈ C . Luego, x ∈ (B ∩ C ) , lo cual implica que x ∈ A ∪ (B ∩ C ) . Como podemos observar, en cualquier caso dado x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) se termina verificando que x ∈ A ∪ (B ∩ C ) . ∴ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ⊂ A ∪ (B ∩ C ) . Por lo demostrado anteriormente, A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) . i) Leyes de De Morgan. Demostraremos primero que A ∩ B = A ∪ B . Para ello deberemos probar que A ∩ B ⊂ A ∪ B y que A ∪ B ⊂ A ∩ B . ⊂ Sea x ∈ A ∩ B , entonces por definición de complemento de un conjunto se tiene que x ∉ A ∩ B . Esto nos indica que x ∉ A ∨ x ∉ B Consideramos las dos posibilidades: • Si x ∉ A, entonces x ∈ A . Esto implica que x ∈ A ∪ B . • Si x ∉ B, entonces x ∈ B . Esto implica que x ∈ A ∪ B . Podemos observar que en cualquiera de los casos, dado x ∈ A ∩ B , puede verificarse finalmente que x ∈ A ∪ B . ∴A ∩B ⊂ A ∪B ⊃ Sea x ∈ A ∪ B , entonces x ∈ A ∨ x ∈ B . Si x ∈ A entonces x ∉ A . Por lo tanto x ∉ A ∩ B , lo cual implica que x ∈ A ∩ B . Si x ∈ B, entonces x ∉ B . Por lo tanto x ∉ A ∩ B, lo que implica que x ∈ A ∩ B . Podemos observar que en cualquiera de los casos, dado x ∈ A ∪ B , puede verificarse finalmente que x ∈ A ∩ B . ∴A ∪B ⊂ A ∩B . Queda entonces demostrado que A ∩ B = A ∪ B . _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 80 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Demostraremos ahora que A ∪ B = A ∩ B . Para ello deberemos probar que A ∪ B ⊂ A ∩ B y que A ∩ B ⊂ A ∪ B . ⊂ Sea x ∈ A ∪ B . Por definición de complemento de un conjunto x ∉ A ∪ B . Esto implica que x ∉ A ∧ x ∉ B (pues si perteneciera a alguno de los dos conjuntos estaría en la unión de ambos). Como x ∉ A ∧ x ∉ B , x ∈ A ∧ x ∈ B . Por lo tanto x ∈ A ∩ B . Podemos observar que en cualquiera de los casos, dado x ∈ A ∪ B , puede verificarse finalmente que x ∈ A ∩ B . ∴A ∪B ⊂ A ∩B ⊃ Sea x ∈ A ∩ B . Entonces x ∈ A ∧ x ∈ B . Por definición de complemento de un conjunto, esto último indica que x ∉ A ∧ x ∉ B . Por lo tanto x ∉ A ∪ B , entonces x ∈ A ∪ B . Podemos observar que dado x ∈ A ∩ B , hemos logrado probar finalmente que x ∈ A ∪B. ∴A ∩B ⊂ A ∪B Queda entonces demostrado que A ∪ B = A ∩ B . No olvides probar los ítems que faltaron del teorema 1. Además, demuestra las siguientes proposiciones: A ∩ B ⊂ A a) A ∩ B ⊂ B b) Si C ⊂ A ∧ C ⊂ B ⇒ C ⊂ A ∩ B A ⊂ A ∪ B c) B ⊂ A ∪ B _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 81 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ d) Si A ⊂ C ∧ B ⊂ C ⇒ A ∪ B ⊂ C e) A − B = A − ( A ∩ B ) f) A = ( A ∩ B ) ∪ ( A − B ) APLICACIÓN: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A continuación trabajaremos con una situación problemática para cuya resolución nos será muy útil trabajar con diagramas de Venn. Una cátedra universitaria realiza anualmente una encuesta a los alumnos, al comienzo de las clases. Desean comparar los resultados recogidos en la actualidad con aquellos obtenidos en el año 1992. De la encuesta correspondiente a 1992, realizada a 744 alumnos, se extrajeron los siguientes datos referidos a sexo, título secundario y áreas de interés: • 334 alumnos son mujeres (M) • 269 alumnos son Peritos Mercantiles (P) • 320 alumnos se interesan por el área de Economía (E) • 123 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles (M y P) • 44 alumnos son mujeres que se interesan por el área de Economía (M y E) • 98 alumnos son Peritos que se interesan por Economía (P y E) • 13 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles que se interesan por el área de Economía (M, P y E) En primer lugar disponen organizar la información en un diagrama de Venn, colocando en cada sector del gráfico los valores correspondientes a la cantidad de personas que integran ese sector. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 82 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Iremos mostrando paso por paso la manera en la que efectúan esta construcción. • Como 13 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles que se interesan por el área de Economía, entonces # (M ∩ P ∩ E ) = 13 • Como 123 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles, si restamos a esa cantidad las 13 mujeres Perito Mercantiles e interesadas en el área de Economía que ya habíamos colocado, resulta que # (M ∩ P ) − E = 123 − 13 = 110 . • Como 44 alumnos son mujeres que se interesan por el área de Economía, si restamos a esa cantidad las 13 mujeres Perito Mercantiles e interesadas en el área de Economía que ya habíamos colocado, resulta que # (M ∩ E ) − P = 44 − 13 = 31 . _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 83 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ • Como 98 alumnos son Peritos que se interesan por Economía, si restamos a esa cantidad las 13 mujeres Perito Mercantiles e interesadas en el área de Economía que ya habíamos colocado, resulta que # (P ∩ E ) − M = 98 − 13 = 85 . • Como 334 alumnos son mujeres, si restamos a esa cantidad los valores ya colocados correspondientes a la cantidad de personas en común que tiene M con P y con E, obtenemos que # M − (P ∪ E ) = 334 − 110 − 13 − 31 = 180 . • Como 269 alumnos son Peritos Mercantiles, si restamos a esa cantidad los valores ya colocados correspondientes a la cantidad de personas en común que tiene P con M y con E, obtenemos que # P − (M ∪ E ) = 269 − 110 − 13 − 85 = 61. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 84 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ • Como 320 alumnos se interesan por el área de Economía, si restamos a esa cantidad los valores ya colocados correspondientes a la cantidad de personas en común que tiene E con M y con P, obtenemos que # E − (M∪P) = 320 − 31−13 − 85 = 191 • Teniendo en cuenta que la cantidad total de alumnos de la cátedra es 744, entonces # U − (M ∪ P ∪ E ) = 744 − (180 + 110 + 61 + 31 + 13 + 85 + 191) = 73 , resultando el gráfico final de la siguiente manera: A partir de este último gráfico es más sencillo poder responder algunas preguntas referentes a los datos que nos brinda la encuesta. Veamos algunas de ellas… 1) ¿A cuántas mujeres no les interesa Economía? La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto M − E . No les interesa Economía a 290 = 180 + 110 mujeres. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 85 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 2) ¿Cuántos alumnos son Peritos Mercantiles o les interesa Economía? La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto P ∪ E . Son Perito Mercantiles o les interesa Economía a 491= 110 + 61+ 31+13 + 85 +191 personas. 3) ¿Cuántos alumnos son varones? La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto M . Son varones 410 = 61 + 85 + 191 + 73 de los 744 estudiantes de la cátedra. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 86 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 4) ¿Cuántos alumnos varones son Perito Mercantiles y les interesa Economía? La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto (P ∩ E ) − M . Son varones Perito Mercantiles e interesados por Economía 85 alumnos. 5) ¿Cuántos alumnos varones son Perito Mercantiles o les interesa Economía? La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto (P ∪ E ) − M . Son varones Perito Mercantiles o interesados por Economía 337 = 61 + 85 + 191 alumnos. 6) ¿Cuántos alumnos varones no son Perito Mercantiles ni les interesa Economía? La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto M ∪ P ∪ E . No son Perito Mercantiles ni les interesa la Economía a 73 alumnos varones. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 87 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Pondremos en práctica lo aprendido resolviendo los siguientes problemas… 1) En una escuela con 100 alumnos, el número total de ellos estudiando varios idiomas es el siguiente: • Español: 28 • Alemán: 30 • Francés: 42 • Alemán y español: 8 • Español y francés: 10 • Alemán y francés: 5 • Los tres idiomas: 3 Responde las siguientes preguntas indicando la cantidad que se solicita y el sector del gráfico en el cual se haya representada esa cantidad: a) ¿Cuántos alumnos de la escuela no estudian ningún idioma? b) ¿Cuántos estudian solamente francés? c) ¿Cuántos estudian español y alemán? d) ¿Cuántos no estudian español? e) ¿Cuántos no estudian alemán y francés? f) ¿Cuántos estudian español o francés? g) ¿Cuántos estudian sólo dos idiomas? RTA: a) # A ∪ E ∪ F = 20 e) # A ∩ F = 95 b) # F − ( A ∪ E ) = 30 c) # A ∩ E = 8 f) # E ∪ F = 60 g) # F − ( A ∪ E ) ∪ A − (F ∪ E ) ∪ E − ( A ∪ F ) = 14 d) # E = 72 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 88 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 2) En un reconocimiento de bases matemáticas de 50 alumnos inscriptos en Estadística, se encontró que el número de estudiantes que habían hecho distintas materias del área era como sigue: • Álgebra: 23 • Análisis Matemático: 13 • Geometría: 18 • Álgebra y Análisis Matemático: 6 • Álgebra y Geometría: 3 • Geometría y Análisis Matemático: 3 • Las tres materias: 1 Responde las siguientes preguntas indicando la cantidad que se solicita y el sector del gráfico en el cual se haya representada esa cantidad: a) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Álgebra? b) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Análisis Matemático? c) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Geometría? d) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo una de las tres materias? e) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Álgebra y Análisis Matemático? f) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Álgebra y Geometría? g) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Geometría y Análisis Matemático? h) ¿Cuántos alumnos cursaron Álgebra, Análisis Matemático o ambas? i) ¿Cuántos alumnos no cursaron Análisis Matemático? j) ¿Cuántos alumnos no cursaron ninguna materia? RTA: a) # A − ( G ∪ M) = 15 b) # M − ( G ∪ A ) = 5 e) # ( A ∩ M) − G = 5 d) # A − ( G ∪ M) ∪ G − ( A ∪ M) ∪ M − ( G ∪ A ) = 33 f) # ( A ∩ G ) − M = 2 2 g) # ( G ∩ M) − A = 2 2 h) # A ∪ M = 30 i) # M = 37 j) # A ∪ M ∪ G = 7 c) # G − ( A ∪ M) = 13 3) Una encuesta realizada a 200 personas acerca del consumo de 3 productos A, B y C reveló los siguientes datos: • 76 personas consumían A. • 144 personas consumían B. • 126 personas consumían C. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 89 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ • nadie consumía sólo el producto A. • 100 consumían B y C. • 56 consumían A y B. • 40 consumían los tres productos simultáneamente. Responde indicando la cantidad de elementos de qué conjunto hay que tener en cuenta para dar la respuesta: a) ¿Cuántas personas no consumen ninguno de los tres productos? b) ¿Cuántas personas consumen A y C, pero no B? c) ¿Cuántas personas consumen A o C? d) ¿Cuántas personas consumen sólo B? e) ¿Cuántas personas no consumen B? RTA: a) # A ∪ B ∪ C = 30 b) # ( A ∩ C ) − B = 20 c) # A ∪ C = 142 d) # B − ( A ∪ C ) = 28 e) # B = 56 PRODUCTO CARTESIANO DEFINICIONES Nº 13: Un PAR ORDENADO consiste en dos elementos que se denominan PRIMERA COMPONENTE o primer elemento y SEGUNDA COMPONENTE o . segundo elemento. Los elementos del par ordenado se colocan entre paréntesis, separados por punto y coma. Para que dos PARES ORDENADOS sean IGUALES es condición necesaria y suficiente que los componentes homólogos sean iguales entre sí. ( a;b ) = ( c;d) ⇔ a = c ∧ b=d Si en los pares se cambia el orden de las componentes, se obtienen pares ordenados diferentes, salvo que los dos elementos del par sean iguales. Con esto queremos decir que ( x;y ) ≠ ( y;x ) ⇔ x ≠ y . _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 90 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ DEFINICIÓN Nº 14: El PRODUCTO CARTESIANO es una operación entre conjuntos que arroja un nuevo conjunto cuyos elementos son pares ordenados. El producto cartesiano entre los conjuntos A y B se simboliza A × B y es el . conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A y cuya segunda componente pertenece al conjunto B. En símbolos: A × B = {( x;y ) / x ∈ A e y ∈ B} Como resultado de la definición de producto cartesiano, podemos decir que si el conjunto A tiene “m” elementos y el conjunto B tiene “n” elementos, el producto cartesiano entre ellos tendrá mxn elementos. De acuerdo a la definición, si A = {1;2;3} y B = {a;b} , entonces: • AxB = {(1;a ) ; (1;b ) ; ( 2;a ) ; ( 2;b ) ; ( 3;a ) ; ( 3;b )} ⇒ # ( AxB ) = 6 = 3 ⋅ 2 • BxA = {( a;1) ; ( a;2 ) ; ( a;3 ) ; ( b;1) ; ( b;2 ) ; ( b;3 )} ⇒ # (BxA ) = 6 = 2 ⋅ 3 • AxA = {(1;1) ; (1;2 ) ; (1;3 ) ; ( 2;1) ; ( 2;2 ) ; ( 2;3 ) ; ( 3;1) ; ( 3;2 ) ; ( 3;3 )} ⇒ # ( AxA ) = 9 = 3 ⋅ 3 • BxB = {( a;a ) ; ( a;b ) ; ( b;a ) ; ( b;b )} ⇒ # (BxB ) = 4 = 2 ⋅ 2 Halla el producto cartesiano A × B , A × A , B × A y B × B siendo: • A = {x / x ∈ ℕ ∧ x < 3} • B = {x / x ∈ ℕ ∧ x es un número impar ∧ 3 < x ≤ 7} RTA: A × B = {(1;5 ) ; (1;7 ) ; ( 2;5 ) ; ( 2;7 )} B × A = {( 5;1) ; ( 5;2 ) ; ( 7;1) ; ( 7;2 )} A × A = {(1;1) ; (1;2 ) ; ( 2;1) ; ( 2;2)} B × B = {( 5;5 ) ; ( 5;7 ) ; ( 7;5 ) ; ( 7;7 )} _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 91 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ ANÁLISIS COMBINATORIO El hecho de incluir la Combinatoria en esta unidad se debe principalmente a dos razones. En primer lugar, es un tema que casi no requiere de conocimientos matemáticos previos. El bagaje técnico exigido no va mucho más allá de saber sumar y multiplicar. En ese sentido es un tema elemental, aunque no por ello menos rico y estimulante. Por otro lado, en el análisis de los problemas combinatorios está presente la esencia misma de la Matemática: su función ordenadora del pensamiento, su misión de enseñar a abstraer y generalizar, de encontrar lo común en lo aparentemente distinto, su finalidad primordial de desarrollar métodos y estrategias para resolver problemas. El objetivo será entonces, no tanto presentar una lista de fórmulas y teoremas, sino más bien tratar de lograr una familiaridad con algunas ideas y formas de razonar. Nos preguntamos entonces… ¿qué es la Combinatoria? Sin entrar en encuadrarla en una definición rígida, podríamos describirla brevemente como una técnica, habilidad o arte de contar sin enumerar. Esto implica el desarrollo de aptitudes que nos permitan conocer, por ejemplo, el número de elementos de un conjunto, el número de casos posibles de una situación, el número total de resultados que puede arrojar una experiencia, etc., sin la exposición detallada de los mismos En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer la cantidad de formas o maneras en que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. En primer lugar veremos una técnica de carácter general: es sencilla y se la conoce como el principio multiplicativo. Derivadas de este principio luego consideraremos las permutaciones, que son ordenaciones de todos los elementos de un conjunto y son un caso particular de las variaciones, que también estudiaremos. Por último analizaremos las combinaciones. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 92 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra. Para hacerlo puede optar por viajar en avión, ómnibus o tren, y en cada uno de estos medios puede elegir viajar en primera o en clase turista. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? ¿Cómo haces para contarlas? Después de que hayas hecho tus propios intentos por resolver el problema, ahora sí… lo pensemos juntos! Por cada posible elección del medio de transporte, las opciones del turista son siempre dos: primera clase o clase turista. Puesto que son tres los medios de transporte disponibles, la cantidad de formas en que puede viajar de una ciudad a otra será igual a 3 ⋅ 2 = 6 . Situaciones como las planteadas en el problema anterior pueden representarse mediante “árboles” o “diagramas de árbol”, que facilitan el análisis brindando una visualización del problema que apoya nuestros razonamientos. Por ejemplo, en este caso, el diagrama de árbol sería el siguiente: Avión OPCIONES DE VIAJE Ómnibus Tren Primera Clase turista Primera Clase turista Primera Clase turista _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 93 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Sigamos resolviendo problemas… ¿Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse con los dígitos impares? ¿Cómo haces para contarlos? Registra el procedimiento. Una solución rudimentaria sería escribirlos todos, es decir, enumerarlos y luego contarlos. Para hacerlo, es necesario tener algún método, una forma sistemática de enumeración, pues de otra manera nos quedaría al final la incertidumbre de haber olvidado alguno. Aún si lográramos escribir todos los números esta forma de trabajo no sería útil para otros problemas en los que la cantidad de elementos a contar sea demasiado grande como para poder efectuar una enumeración en un tiempo razonable. ¿Cómo podemos hacer entonces? Sabemos que el número que buscamos tiene tres cifras, es decir, es de la forma “abc” en donde a representa la cifra de las centenas, b la de las decenas y c la de las unidades. Cada uno de estos dígitos debe ser impar, o sea, tomará los valores 1, 3, 5, 7 o 9. Además no puede haber dígitos repetidos, es decir, no se permite que a sea igual a b o que b sea igual a c o que a sea igual a c. Hechas estas aclaraciones pensemos cómo hallar la cantidad solicitada. Para elegir la cifra a tenemos las cinco posibilidades mencionadas (1, 3, 5, 7 o 9). Para cualquier elección de ésta, tenemos ahora cuatro formas de elegir b, puesto que los dígitos no pueden repetirse y entonces b no podría tomar el mismo valor que a. Por lo tanto, habrá 5 ⋅ 4 = 20 maneras de ubicar las dos primeras cifras. Para determinar la última, disponemos aún de tres dígitos. Razonando en forma idéntica a la anterior, concluimos que hay 20 ⋅ 3 = 60 números de tres cifras distintas que emplean los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 94 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Si para hallar la cantidad solicitada hiciste un listado de los números, es posible que los hayas encontrado a todos o que no hayas logrado tu cometido. Esto dependerá, seguramente, de la utilización de alguna forma sistemática para generarlos. Una buena manera sería, 5 por 3 ejemplo, pensar en que la cifra de las 9 centenas sea 1. En ese caso, la cifra de 5 las decenas podría ser 3, 5, 7 o 9. Una vez seleccionada la decena, en 7 9 1 cada caso quedarían 3 opciones para las 3 7 7 unidades. 3 5 9 Esto podría organizarse mediante un árbol como el que se muestra a la 9 3 5 7 derecha. Podemos observar que hay 12 números que comienzan con 1 y tienen todos sus dígitos impares y diferentes. Estos son: 135, 137, 139, 153, 157, 159, 173, 175, 179,193, 195 y 197. Razonando de la misma manera, podemos decir que habrá otros 12 que comiencen con 3, 12 más que empiecen con 5, 12 que tengan a 7 como cifra de las centenas y 12 que se inicien en 9. Podríamos escribirlos o no, pero de cualquier manera, esto nos llevaría a contabilizar un total de 12 ⋅ 5 = 60 números en total, cifra que habíamos obtenido inicialmente sin necesidad de enumerarlos. Nos detenemos un instante a reflexionar… Si resolvemos los problemas sin enumerar, ¿cuál es la operación que usamos en ambos? Está claro, que la operación utilizada es la multiplicación. La clave consiste en observar que, en todos los casos, cada vez que se elige una opción se abre el mismo número de posibilidades para elegir la siguiente. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 95 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Resulta claro entonces que el número de elecciones conjuntas es el producto de los números de opciones disponibles en cada etapa. En el primer problema… MEDIO DE TRANSPORTE CLASE ↓ ↓ 3 ⋅2 =6 posibilidades posibilidades posibilidades En el segundo… CENTENA DECENA UNIDAD ↓ ↓ ↓ 5 ⋅4 ⋅3 = 60 posibilidades posibilidades posibilidades posibilidades A partir de lo anterior podemos llegar a la siguiente definición: DEFINICIÓN Nº 15: Supongamos que una experiencia E1 puede arrojar m resultados y, por cada uno de estos, una experiencia E2 puede arrojar n resultados. Entonces la . realización conjunta de E1 y E2 puede arrojar m ⋅ n resultados. El principio anterior puede extenderse, por aplicación reiterada, al caso de tres o más experiencias, siempre que el número de resultados que puede arrojar cada experiencia sea el mismo para cada realización conjunta de las anteriores. Este principio se conoce con el nombre de PRINCIPIO MULTIPLICATIVO. Es importante tener en cuenta que, para poder aplicar el principio, cada vez que se elija una opción, se debe abrir el mismo número de posibilidades para elegir la siguiente. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 96 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ ¿Qué queremos decir con esto? Por ejemplo, en el segundo problema, para cada cifra que yo elija para las centenas, habrá 4 posibilidades para las decenas y 3 para las unidades, independientemente de que la cifra de las centenas haya sido 1, 3, 5, 7 o 9. Distinta sería la situación si en el ejercicio se impusiera la condición de que la segunda cifra sea mayor que la primera. En este caso, si la primera cifra fuese 1, para la segunda habría 4 posibilidades (3, 5, 7 o 9); si fuese 3, habría 3 posibilidades (5, 7 o 9); si fuese 5 habría 2 opciones (7 o 9), si fuese 7 habría una (9) y, por otro lado, ningún número podría comenzar con 9, puesto que todos los dígitos impares son menores que él y, entonces, no habría ninguna cifra para ocupar el lugar de las decenas. Esto nos muestra que la elección de una cifra hace que varíen las posibilidades para las restantes. Practicamos lo aprendido respecto del principio multiplicativo. Resuelve los siguientes problemas. 1) Un menú turístico permite seleccionar una entrada entre cuatro, una comida caliente entre tres, y un postre entre cinco. a) ¿De cuántas formas puede elegir su menú un turista? b) ¿De cuántas formas podrá hacerlo si desea que el salpicón de ave y la suprema de pollo no aparezcan en el mismo menú? RTA: a) 60 b) 55 2) Responde: a) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse a partir de 0, 1, 2, 3? b) ¿Cuántos números menores que 100 pueden formarse a partir de los dígitos 1, 3, 9? c) ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse a partir de 1, 2, 3, 4, todos terminados en 3? d) ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras hay (no pueden comenzar con cero)? RTA: a) 48 b) 12 c) 16 d) 900 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 97 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 3) ¿Cuántas parejas de baile pueden formarse a partir de un conjunto de 10 hombres y un conjunto de 8 mujeres? RTA: 1.814.400 4) ¿Cuántos pares (presidente; vicepresidente) pueden formarse en un club con 70 socios si ninguna persona puede desempeñar ambos cargos? RTA: 4.830 5) Justifica la respuesta: a) ¿Cuántos números de cinco dígitos pares hay? b) ¿Cuántos números impares de cinco dígitos hay? c) ¿Cuántos números terminados en 8 de cinco dígitos hay? RTA: a) 2.500 b) 45.000 c) 9.000 6) Se envían señales mediante banderas izadas en un mástil en un determinado orden. a) Si se dispone de 5 banderas de colores diferentes, ¿cuántas señales pueden emitirse izando 4 de ellas? b) ¿En cuántas de ellas la bandera azul estará por encima de la roja? RTA: a) 120 b) 36 7) El Dr. Arístides Pistado olvidó, como de costumbre, el número de código de la tarjeta magnética que utiliza en el cajero automático. Sabe que se trata de un número de cinco cifras formado por 2, 3, 4, 5 y 6, pero no recuerda el orden en que figuran esos dígitos. a) ¿Con cuántos números debe a lo sumo probar para dar con el correcto? b) Más tarde recuerda que el número es impar, ¿con cuántos números debe probar ahora? c) Su esposa le avisa que el código comienza con un número primo impar. ¿Cuántos intentos debe hacer con esta nueva información? d) Encuentra en el cajón un papel en el que alguna vez quiso dejar pistas para recordar el número: “El número de código de la tarjeta magnética es múltiplo de 5 y _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 98 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ la cifra que ocupa el lugar de las centenas es primo”. ¿Cuántas pruebas debe realizar? e) ¿Cuál es el número de código si finalmente recuerda que la cifra que ocupa el lugar de las decenas es mayor que la que ocupa el de las unidades? RTA: a) 120 b) 48 c) 12 d) 2 e) 34265 8) Un mensaje telegráfico consiste en una sucesión de puntos y rayas. ¿Cuántos mensajes de longitud a lo sumo 10 pueden enviarse? RTA: 2.046 PERMUTACIONES Camila compró 5 libros para leer durante las vacaciones y quiere establecer un orden de lectura. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? Si tenemos en cuenta la forma en que veníamos resolviendo los problemas anteriores, habremos podido argumentar que para seleccionar el primer libro que leerá, Camila tiene 5 opciones. Cualquiera haya sido su elección, tiene 4 posibilidades para seleccionar el segundo libro, y así sucesivamente. Por lo tanto, y nuevamente de acuerdo con el principio multiplicativo, la cantidad de formas en que puede organizar su lectura es igual a 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 . Un grupo musical grabó 11 canciones con las que editará un nuevo disco. ¿De cuántas maneras pueden elegir la secuencia de temas? _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 99 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ En este caso, debemos hallar la cantidad de formas en que pueden ser ordenadas las 11 canciones. Siguiendo el mismo razonamiento anterior, obtenemos que el número de maneras es igual a 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 39.916.800 . ¿Cómo podemos generalizar lo anterior? ¿De cuántas formas podrá ordenarse un conjunto de n elementos u objetos distintos? Si observamos los problemas anteriores, en el primer caso, n = 5 y en el segundo, n = 11. Esto nos induce a tratar de resolver esta situación general mediante un razonamiento análogo al utilizado en los casos particulares. Si tenemos n objetos, para seleccionar el primero de ellos hay, evidentemente, n opciones, y cualquiera sea nuestra elección tendremos n − 1 formas de elegir el segundo. Luego, hay n ⋅ ( n − 1) maneras de elegir primero un objeto y luego otro. Por cada elección de los dos primeros tendremos n − 2 posibilidades para el próximo y así sucesivamente. Entonces, por aplicación reiterada del principio multiplicativo, concluimos en que la cantidad de maneras de ordenar n objetos es n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1, es decir que la cantidad buscada es el producto de los n primeros números naturales. Este último número recibe el nombre de factorial de n y, para abreviar la escritura, se lo indica con el símbolo n!. Así, al resolver los problemas anteriores, hemos calculado 5! = 120 y 11! = 39.916.800 . También utilizamos un término especial para designar a las formas de ordenar una colección de n objetos distintos. Cada una de ellas se llamará una permutación de los mismos. Podemos resumir lo anterior en la siguiente definición: _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 100 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ DEFINICIÓN Nº 16: A la cantidad de maneras distintas de ordenar un conjunto de n elementos se las llama PERMUTACIONES de orden n y se las indica por Pn donde Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 )⋯ 2 ⋅ 1 = n! que se lee factorial de n. . Se define 0! = 1 Es importante tener en cuenta que en una permutación: Se ordena la totalidad de los elementos. Interesa el orden en que se ubican los elementos, es decir que una permutación difiere de otra únicamente en el orden de sus elementos. ¿Qué significa esto último? Significa que, por ejemplo, si se me pide que indique cuántos números de tres cifras diferentes pueden formarse con 4, 6 y 8, deberé utilizar todos estos dígitos y los números que armaré, que serán 468, 486, 648, 684, 846 y 864, si bien todos están compuestos por los mismos dígitos son diferentes entre sí por el orden en el que éstos se encuentran. A continuación veremos un ejemplo en el que se aplican las permutaciones combinadas con el principio multiplicativo. Para confeccionar un examen se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de Estadística y 2 de Álgebra. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva? _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 101 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ En este caso, debemos tener en cuenta dos cosas: cómo ordenar los bloques de problemas según el área de la Matemática a la que pertenezcan y cómo ordenarlos dentro de cada uno de esos bloques de acuerdo a su cantidad. Si denominamos con la letra G a Geometría, con la E a Estadística y con la A a Álgebra, para determinar el orden de los bloques, debemos calcular la cantidad de permutaciones de estas tres letras. Estas son 3! = 6 formas de disponer los temas (AEG, AGE, EAG, EGA, GAE, GEA). Debemos ahora elegir, dentro de cada tema, la secuencia de problemas. Lo podemos hacer de 3! maneras para los de Geometría, de 4! maneras para los de Estadística y de 2! formas para los de Álgebra. Aplicando el principio multiplicativo tenemos que, para cada ordenamiento de temas, habrá 3!⋅ 4!⋅ 2! = 288 secuencias distintas de problemas. En definitiva, se cuenta con un total de 6 ⋅ 288 = 1728 maneras de armar el examen. SECUENCIA TEMA POR TEMA ↓ ↓ 3! = 6 3!⋅ 4!⋅ 2! = 288 TOTAL = 1728 posibilidades posibilidades posibilidades Resuelve los siguientes problemas. 1) Se desea organizar una gira presidencial a Chile, Perú, Bolivia, Paraguay y Brasil. ¿Cuántos itinerarios posibles hay sin repetir países? RTA: 120 2) ¿De cuántas maneras se pueden colorear con 9 colores los casilleros de la grilla si todos deben quedar pintados de diferente color? _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 102 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ RTA: a) 362.880 3) Durante un día de visita a una ciudad, un turista decide recorrer tres museos, dos parques y un teatro. a) ¿De cuántas maneras puede organizar su itinerario? b) ¿De cuántas maneras puede hacerlo, pero debiendo comenzar por un museo y seguir por un parque? c) ¿De cuántas formas si el día debe concluir en el teatro? RTA: a) 720 b) 144 c) 120 4) ¿Cuántos números impares de cinco cifras se obtienen permutando los dígitos de 17.283? RTA: a) 72 5) Seis excursionistas deben atravesar, en fila india, un puente angosto. a) ¿De cuántas maneras pueden hacerlo? b) ¿En cuántas de ellas Daniel cruzará inmediatamente después de Juan? RTA: a) 720 b) 120 6) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 chicas y 4 chicos en el cine, en 10 asientos consecutivos, si: a) Todas las chicas desean sentarse juntas y lo mismo sucede con los varones. b) Las chicas quieren estar juntas y a los varones les da igual. c) Micaela y Joaquín no quieren estar juntos. RTA: a) 34.560 b) 86.400 c) 2.903.040 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 103 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ PERMUTACIÓN CIRCULAR ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa circular un padre y sus dos hijos? ¿Por qué este problema es de naturaleza diferente a los anteriores? ¿No se trata acaso de contar todas las formas posibles de ordenar a las 3 personas, en cuyo caso, el número de tales formas sería igual a 3!? Examinemos un poco mejor el problema… Supongamos que hemos enumerado las sillas y que los comensales se han sentado aleatoriamente en ellas como se muestra en la figura. Padre Hijo 1 Hijo 2 Les pedimos ahora a todos que se corran hacia la derecha un lugar. Hijo 1 Hijo 2 Padre Esta nueva disposición, ¿es distinta de la anterior? El sentido común nos dice que no, pues cada uno de los tres integrantes de la mesa tiene a su derecha y a su izquierda a las mismas personas que antes. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 104 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Sin embargo, como permutaciones son distintas, si pensamos a éstas como todas las formas posibles de hacer corresponder a cada persona un número entre 1 y 3. Ahora, si en vez de hacerlos correr un lugar, los hubiéramos desplazado cualquier número de lugares entre 1 y 3, la conclusión hubiera sido exactamente la misma. Esto significa que si contamos las permutaciones de 3 elementos, estamos contando 3 veces cada una de las disposiciones que nos interesan. Debemos entonces dividir el resultado por 3, y, por lo tanto, el número de formas de sentarse será igual a 3! 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = = 2! = 2 . 3 3 Estas dos únicas formas serán las siguientes: Padre Hijo 1 Padre Hijo 2 Hijo 2 Hijo 1 DEFINICIÓN Nº 17: Dados n objetos distintos, cada ordenamiento de los mismos alrededor de un círculo se denomina PERMUTACIÓN CIRCULAR. El número de permutaciones circulares que se pueden formar con n elementos diferentes de un conjunto es PCn = ( n − 1) ! . ¿De cuántas maneras pueden 10 chicas formar una ronda, si 3 de ellas deben estar juntas y 2 de las 7 restantes no quieren ocupar posiciones contiguas? _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 105 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ En este caso tenemos dos requerimientos: • 3 de las 10 chicas deben estar juntas sí o sí • 2 de las 7 restantes no quieren ocupar posiciones contiguas. Si pensáramos en conjuntos, como lo hemos venido haciendo en esta unidad, podríamos definir: U = {x / x es una ronda conformada por 10 chicas} A = {x / x es una ronda en donde 3 de las 10 chicas están juntas} B = {x / x es una ronda en donde 2 de las 7 restantes chicas no están juntas} U A B Comenzaremos calculando la cantidad de rondas que satisfacen el primer requerimiento, es decir la cantidad de elementos del conjunto A. Para ello podemos pensar a las 3 chicas que no se separarán como un bloque y contar la cantidad de rondas que pueden formarse con él y las 7 chicas restantes. Por lo tanto, debemos considerar permutaciones circulares de 8 objetos distintos, cuyo número total es 7! = 5040 . Ahora bien, en cada una de esas rondas, las 3 niñas que fueron consideradas como un solo bloque pueden también intercambiar sus posiciones de 3! maneras distintas, de donde se concluye que el número de rondas que satisfacen la primera condición es igual a 7!⋅ 3! = 30.240 , es decir # A = 30.240 . Para completar la resolución del problema, debemos dilucidar en cuántas de estas rondas las otras dos chicas no ocupan posiciones contiguas, es decir la cantidad de elementos de A ∩ B . Ahora, si nosotros logramos contar la cantidad de elementos de A − B , es decir, la cantidad de rondas en las que estas dos chicas están juntas, por descarte, sabremos restando del total, en cuántas están separadas. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 106 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Para ello, contamos las permutaciones circulares de 7 personas, puesto que consideramos un bloque de 3, otro de 2 y las 5 chicas restantes. La cantidad de ellas es 6! . Luego multiplicamos sucesivamente por el número de permutaciones internas de cada bloque. Obtenemos entonces el resultado 6!⋅ 3!⋅ 2! = 8.640 . Esta sería la cantidad de elementos de A − B . Por lo tanto, el número buscado ( # A ∩ B ) es 30.240 − 8.640 = 21.600 . Resuelve los siguientes problemas. 1) Ocho amigos se reúnen periódicamente a cenar. Lo hacen siempre en el mismo restaurante, en la misma mesa redonda. En una oportunidad, Gabriel, gran memorioso, advierte sorprendido que es anoche cada comensal tiene a su derecha la misma persona que la vez anterior. Comenta que es una gran casualidad, pues siempre se sientan al azar y son muchas las formas que tienen de ubicarse. ¿Cuántas son? RTA: 5.040 2) Cuatro bailarines y cuatro bailarinas interpretan una danza que consiste en formar una ronda tomados de la mano. ¿De cuántas formas pueden ubicarse si en la figura deben aparecer alternativamente hombres y mujeres? RTA: 144 3) En un coloquio sobre enseñanza de la ciencia, se sientan alrededor de una mesa circular 3 matemáticos, 3 físicos, 3 químicos y 2 biólogos. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo si los miembros de una misma disciplina deben estar juntos? RTA: 2.592 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 107 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN ¿Cuántos números de cinco dígitos podemos formar reordenando las cifras del número 73.313? Si se nos hubiese planteado un problema similar, pero con cinco cifras distintas, entonces la cantidad de números que podríamos formar sería 5! = 120 , pues, en ese caso, permutaciones distintas determinarían números distintos. La diferencia entre las dos situaciones radica, obviamente, en que en nuestro problema tres de las cifras son iguales entre sí. A efectos de estudiar convenientemente la cuestión, por un momento las supondremos diferentes y les asignaremos símbolos distintos, por ejemplo 3a , 3b y 3c . Si consideramos ahora los cinco símbolos 7, 3a , 3b , 1 y 3c sabemos que hay 120 formas de permutarlos. Sin embargo, habrá ordenaciones diferentes que estaremos considerando que determinan el mismo número, por ejemplo 13a73b3c y 13c 73b3a corresponden ambas al número 13.733. Luego, lo que debemos averiguar es cuántas veces repetimos un mismo número en las 120 permutaciones. Para ello, observemos que cada número lo contamos tantas veces como formas tenemos de permutar los símbolos 3a , 3b y 3c , es decir, 3! = 6 veces. En consecuencia, la cantidad de números que podemos formar es 5! = 20 . 3! Si quieres convencerte de este resultado, escribe los 20 números diferentes que puedes formar: _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 108 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ ¿Cuántas palabras diferentes, aunque sin sentido, pueden formarse con las letras de la palabra LAVARROPA? Si, como antes lo hicimos con los números, distinguimos ahora las letras repetidas llamando A1, A 2 y A 3 a las tres letras A, y R1 y R2 a las dos letras R, tendremos 9 símbolos distintos ( A1, A 2 , A 3 , L, O, P, R1, R2 y V) que podremos permutar de 9! maneras. Nuevamente, lo que debemos determinar es cuántas veces contamos así una misma palabra. Para ello, observemos que, fijada una ordenación de los nueve símbolos, si permutamos arbitrariamente entre sí los símbolos A1, A 2 y A 3 , lo mismo hacemos con R1 y R2 , y no movemos los cuatro símbolos restantes, obtenemos una ordenación que determina la misma palabra que la anterior. Por lo tanto, cada palabra es contada es contada 3!⋅ 2! = 12 veces. En consecuencia, para saber cuántas palabras diferentes podemos formar, es preciso dividir el total, 9!, por 12. De esta manera, la cantidad de palabras diferentes, aunque sin sentido, que pueden formarse con las letras de la palabra LAVARROPA, es 9! = 30.240 . 3!⋅ 2! A ordenaciones como las descriptas en los dos problemas anteriores se las llama PERMUTACIONES CON REPETICIÓN. La generalización de esta situación puede enunciarse de la siguiente manera: DEFINICIÓN Nº 18: Se denomina PERMUTACIONES CON REPETICIÓN DE n ELEMENTOS, no todos distintos, a todas las agrupaciones de n elementos, formadas por aquellos, dispuestos linealmente y sin que ninguno falte. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 109 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ . Dados n objetos, de los cuales n1 son idénticos entre sí, otros n2 son idénticos entre sí, …, y finalmente nk son idénticos entre sí, la cantidad de ordenaciones de ellos es PRn = n! n1 !⋅ n2 !⋅ … ⋅ nk ! Practicamos lo aprendido… Resuelve los siguientes problemas. 1) ¿Cuántas palabras, aunque sin sentido, pueden formarse con las letras de la palabra CASUALIDADES? RTA: 19.958.400 2) Dada la palabra REPETIDAMENTE… a) ¿Cuántas palabras, aunque sin sentido, pueden formarse con las letras que la componen? b) ¿En cuántas de ellas no aparecen consecutivamente las dos letras T? RTA: a) 129.729.600 b) 109.771.200 3) Dado el número 23.814.425… a) ¿Cuántos números diferentes pueden formarse con sus dígitos? b) ¿En cuántos de ellos los dos números 4 van uno junto a otro? RTA: a) 10.080 b) 2.520 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 110 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ VARIACIÓN SIN REPETICIÓN En una carrera de 400 metros participan 12 atletas. ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? Para la medalla de oro hay 12 posibilidades. Una vez entregada ésta, hay 11 atletas que podrían recibir la de plata. Por último, la medalla de bronce puede ser obtenida por 10 atletas. Aplicando el principio multiplicativo podemos observar que hay 12 ⋅ 11⋅ 10 = 1.320 formas de premiar a los participantes de la carrera. MEDALLAS Oro Plata Bronce ↓ ↓ ↓ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 1.320 posibilidades posibilidades posibilidades posibilidades En este caso se han seleccionado todos los subconjuntos posibles de 3 elementos del conjunto de 12 elementos disponibles y se han formado todas las permutaciones posibles de ellos. Para intervenir en un torneo de tenis de dobles mixtos, es necesario formar un equipo de tres parejas, debiéndose elegir los jugadores entre los integrantes de un grupo constituido por 6 hombres y 3 mujeres. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse el equipo? _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 111 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Designaremos a las tres mujeres con las letras A, B y C. Puesto que ellas deben formar parte del equipo, lo que hay que determinar es quiénes serán sus respectivos compañeros de juego. Para elegir quién jugará con A se tienen 6 opciones. Una vez hecha esta elección, hay 5 posibilidades para el compañero de B y, finalmente, 4 para elegir quién jugará con C. Por lo tanto, puede armarse el equipo de 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 maneras posibles. En ambos problemas tenemos situaciones similares: debemos elegir subconjuntos de un conjunto dado. Vayamos ahora al planteo y resolución del caso más general posible… Dado un conjunto de n objetos y un número m, menor o igual que n, ¿de cuántas maneras pueden elegirse ordenadamente m objetos entre los n del conjunto dado? Para elegir el primer objeto tenemos n opciones; una vez elegido éste, tenemos n − 1 opciones para el segundo, luego n − 2 para el tercero, y así sucesivamente. Al disponernos a elegir el último, observamos que ya fueron seleccionados m − 1 objetos y, por lo tanto, el número de elecciones posibles para el mismo es igual a n − ( m − 1) = n − m + 1. Por simple aplicación reiterada del ya conocido principio multiplicativo concluimos que el número total de elecciones ordenadas es: n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ … ⋅ ( n − m + 1) Al sólo efecto de tener una notación más cómoda, expresaremos este último número en forma más compacta. Para ello, observemos que podemos obtenerlo a partir del factorial de n, suprimiendo una parte del producto. n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ … ⋅ ( n − m + 1) ⋅ ( n − m ) ⋅ ( n − m − 1) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1 es lo que deberíamos suprimir _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 112 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Observamos que lo que debemos suprimir no es ni más ni menos que ( n − m ) ! Tenemos entonces: n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ … ⋅ ( n − m + 1) = n! ( n − m )! Podemos llegar entonces a la siguiente definición: DEFINICIÓN Nº 19: Cada una de las formas distintas en que se pueden seleccionar m elementos (sin repetirlos) de una colección que tiene n elementos es denominada VARIACIÓN SIN REPETICIÓN de n elementos, tomados de a m de ellos y se denota por Vn,m o por Vmn en donde: . Vn,m = n! = n ⋅ ( n − 1)⋯ ( n − m + 1) (n − m )! Es importante tener en cuenta que en una variación sin repetición: No se utilizan necesariamente todos los elementos. Interesa el orden en que se ubican los elementos, es decir que una variación difiere de otra aún cuando teniendo los mismos elementos, éstos se encuentren en distinto orden. ¿Qué ocurre en la situación estudiada cuando m es igual a n? _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 113 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ En tal caso, las variaciones de n tomadas de a n no son otra cosa que las permutaciones de n elementos, y ya sabemos que el número de las mismas es n! . Esto también encaja en la fórmula general de acuerdo a lo convenido en definir 0! = 1. En este caso particular, en vez de la notación V nn emplearemos el símbolo Pn . V nn = n! n! n! = = = n! = Pn ( n − n )! 0! 1 Es importante tener en cuenta que conocer una fórmula y una determinada terminología puede ser útil, pero no es imprescindible. Un error frecuente es, frente a un problema, buscar la fórmula que se le acomode, sin efectuar previamente un análisis que nos permita entender perfectamente sus características particulares. Sigamos practicando… Resuelve los siguientes problemas. 1) Tres personas suben a un colectivo en el cual hay seis asientos libres. ¿De cuántas maneras pueden ocuparlos? RTA: 120 2) Mauro, Santiago, Pedro, Joaquín y Andrés fueron preseleccionadas para cubrir un puesto de vendedor y otro de cadete, y se presentan a una entrevista, en la cual sólo se elegirá a dos de ellos. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección y cuáles son esas maneras? RTA: 20 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 114 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 3) Para representar una tragedia griega, se requiere un actor principal, un segundo actor masculino, y 30 integrantes del coro, cuyos roles, distinguibles, pueden ser desempeñados por hombres o mujeres. Para una prueba de selección, se presentan 12 hombres para los roles protagónicos, y 50 hombres y 45 mujeres para el coro. a) ¿De cuántas maneras puede integrarse el elenco? b) ¿De cuántas, si el papel masculino principal está reservado al postulante X? c) ¿De cuántas maneras puede integrarse el elenco con la condición de que todos los miembros del coro sean del mismo sexo? RTA: a) 12!⋅ 95! 10!⋅ 65! b) 11⋅ 95! 65! c) 12! 50! 45! + 10! 20! 15! 4) Con los dígitos 1, 2, …, 9, ¿cuántos números de tres cifras distintas podemos formar, con la condición de que la suma de sus cifras sea par? RTA: 264 VARIACIÓN CON REPETICIÓN ¿Cuántos números de dos dígitos podemos formar reordenando las cifras del número 2.379? En este caso, se nos pide armar números de dos cifras utilizando los dígitos 2, 3, 7 y 9. No se menciona que el número a construir tenga sus dígitos diferentes. Por lo tanto, pueden contarse aquellos casos de números con dígitos repetidos. Para la cifra de las decenas se tienen 4 posibilidades. Igual cantidad de opciones hay para las unidades. Aplicando el principio multiplicativo obtenemos que hay 4 ⋅ 4 = 16 números posibles. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 115 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ NÚMERO Decenas Unidades ↓ ↓ 4 ⋅4 = 42 = 16 posibilidades posibilidades posibilidades DEFINICIÓN Nº 20: Al número de selecciones ordenadas de un conjunto de n elementos tomados de a m de ellos, pudiendo repetirlos, se lo denomina VARIACIÓN CON REPETICIÓN y se denota por VRn,m o por VRnm donde VRn,m = nm . Es importante tener en cuenta que en una variación con repetición: No necesariamente se efectúan ordenaciones de la totalidad de los elementos disponibles. Interesa el orden en que se ubican los elementos. Los elementos pueden repetirse dentro de una misma ordenación. En el ejemplo, la cantidad total de números de dos cifras que se pueden formar con los dígitos 2, 3, 7 y 9 se obtiene calculando: VR 24 = 42 = 16 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 116 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ COMBINACIONES Una señora tiene 4 frutas: manzana, banana, durazno y naranja. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con dos de estas frutas? En este caso estamos interesados en el número de subconjuntos de 2 elementos que podemos formar con los 4 elementos de los que disponemos. Sabemos que la cantidad de elecciones ordenadas de los mismos que podemos realizar es V4,2 . Sin embargo, obtendremos el mismo jugo colocando las frutas en un orden o en otro. Por ejemplo, el jugo de naranja – durazno, es exactamente igual al de durazno – naranja. Por lo tanto, si consideramos V4,2 jugos, estamos contando 2! = 2 veces cada uno. Luego, la cantidad total de jugos que pueden elaborarse con las cuatro frutas es V4,2 2! = 4! = 6. 2!⋅ 2! ¿Podrías enumerar los 6 posibles jugos que preparará la señora? Observemos que lo que realmente se ha hecho en este problema es contar la cantidad de formas posibles de elegir 2 elementos entre un conjunto de 4 elementos, sin que nos importe el orden de la elección. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 117 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Pensemos en la situación general… Dado un conjunto de n objetos, y siendo m un número menor o igual a n, ¿de cuántas maneras pueden elegirse m objetos entre los n del conjunto dado? La respuesta la obtendremos argumentando como en la resolución del problema anterior. La totalidad de formas de elegir ordenadamente m elementos, tomados entre los n del conjunto dado es Vn,m . Ahora bien, fijados m elementos, la cantidad de elecciones ordenadas distintas que podemos hacer de los mismos es m! . Luego, al considerar variaciones, estamos contando m! veces cada selección de m elementos. Debemos entonces dividir por este último número, y obtenemos que la cantidad buscada es; Vn,m m! = n! (n − m )!⋅ m! Esto nos permite llegar a la siguiente definición: DEFINICIÓN Nº 21: Al número de selecciones no ordenadas de un conjunto de n elementos tomados de a m de ellos se las denomina COMBINACIONES de n elementos n tomados de a m y se indican por Cn,m , por Cnm o por donde m . Cn,m = n! (n − m )!⋅ m! En una combinación no nos interesa el orden de los elementos, es decir que dos combinaciones que tengan los mismos elementos pero en distinto orden, son iguales. _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 118 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Es fundamental entender perfectamente la diferencia entre variaciones y combinaciones. Una variación es una elección ORDENADA de m elementos entre n, mientras que en una combinación sólo elegimos m elementos, sin que nos interese el orden de dicha elección. Dicho de otro modo, Cmn es exactamente la cantidad de subconjuntos de m elementos que hay en un conjunto de n elementos. Para integrar una comisión se deben elegir 4 personas entre un grupo formado por 8 hombres y 5 mujeres. a) ¿De cuántas maneras puede hacerse la elección? b) Y si imponemos la condición de que por lo menos dos de los miembros deben ser mujeres, ¿de cuántas maneras puede elegirse la comisión? a) Puesto que no se especifica nada sobre los cargos a ocupar, es decir, no se establece un orden en los mismos, se trata evidentemente de un problema de combinaciones. Se deben elegir 4 personas entre 13 y esto podrá hacerse de C13,4 = 715 maneras. b) En este caso se impone la condición de que la comisión esté conformada por lo menos por 2 mujeres. Esto significa que tenemos tres diferentes tipos de composiciones para las comisiones. Estos son: dos mujeres – dos hombres tres mujeres – 1 hombre cuatro mujeres Analizamos cada uno de los casos: dos mujeres – dos hombres _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 119 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ Las dos mujeres pueden ser elegidas entre 5, es decir, de C5,2 = 10 maneras. Los dos hombres pueden ser elegidos entre 8 y, por tanto, habrá C8,2 = 28 formas de seleccionarlos. Aplicando el principio multiplicativo obtenemos que el número de comisiones posibles compuestas por dos hombres y dos mujeres será 10 ⋅ 28 = 280 . tres mujeres – 1 hombre Argumentando como en la situación anterior, las tres mujeres pueden ser elegidas de C5,3 = 10 maneras. El único hombre que participará puede ser seleccionado de C8,1 = 8 formas. Aplicando el principio multiplicativo obtenemos que el número de comisiones posibles compuestas por un hombre y tres mujeres será 10 ⋅ 8 = 80 . cuatro mujeres Aquí, sencillamente debemos elegir 4 mujeres entre 5. Lo podemos hacer de C5,4 = 5 maneras. Puesto que los tres casos anteriores se excluyen mutuamente, el número total de formas de armar la comisión será la suma de las cantidades halladas, es decir, 280 + 80 + 5 = 365 . Vamos llegando a las últimas actividades… Resuelve los siguientes problemas... 1) Un estudiante quiere rendir tres de las seis materias que tiene pendientes. ¿De cuántas formas puede elegir el grupo de materias a rendir? RTA: 20 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 120 ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________ 2) Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas. ¿De cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película? RTA: 35 3) Dados 10 puntos en una circunferencia: a) ¿cuántas rectas se pueden formar con ellos? b) ¿cuántos triángulos con vértices en esos puntos se pueden formar? RTA: a) 45 b) 120 4) Un estudiante tiene que contestar ocho de diez preguntas en un examen. a) ¿Cuántas maneras tiene de elegir las preguntas a contestar? b) ¿Cuántas si tiene que contestar sí o sí las tres primeras preguntas? c) Si no sabe responder a la pregunta número 10, ¿cuántas maneras tiene de elegir para contestar las ocho preguntas que se le solicita? RTA: a) 45 b) 21 c) 9 5) ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5 biólogos, de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos? RTA: 150 6) Un equipo científico consta de 25 miembros, de los cuales 4 son doctores. Hallar el número de grupos de 3 miembros que se puede formar, de manera que en cada grupo haya por lo menos un doctor. RTA: 970 _________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 121