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MODULO 08
Investigar el porqué la distribución binomial es simétrica cuando p=0.5, en caso contrario es
asimétrica a la izquierda o a la derecha, según el valor de p sea inferior o superior a 0.5. Ver
gráfico:
Ejemplo: Se sabe que el 20% de la cartera de una empresa está vencida, se toma una muestra al
azar de 15 cuentas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a. Haya cuatro ó menos cuentas vencidas?
b. Haya menos de cuatro cuentas vencidas?
c. Haya más de dos cuentas vencidas.
d. Haya más de dos pero menos de cinco cuentas vencidas?
e. Haya exactamente 3 cuentas vencidas?
f. No haya cuentas vencidas?
g. Cuál es valor esperado de cuentas vencidas?
h. Cuál es la desviación estándar para el número de cuentas vencidas?
Solución:
Sea X: número de cuentas vencidas.
Éxito: Cuenta vencida.
Probabilidad de éxito : p=0.2
Número de pruebas n=15
a. En las tablas de distribuciones binomiales,
consultamos
b.
c.
d.
e.
f.
.
, en la intersección x=4 y p=0.2,
g.
h.
*. Un cajero de un banco atiende en promedio 7 personas por hora, cual es la probabilidad de que
un una hora determinada:
a. Atienda menos de 5 personas
b. Atienda más de 8 personas
c. Atienda más de 5 pero menos de 8 personas
d. Atienda exactamente 7 personas
Consultando la tabla para la distribución de Poisson:
a.
b.
c.
d4.
*. En cierto núcleo poblacional, el 0.5% es portador del V.I.H. En una muestra de 80 personas, cual
es la probabilidad:
a. De que haya alguna persona portadora.
b. No haya personas portadoras.
Solución:
a.
b.
Probabilidades de Poisson Acumuladas
*. La probabilidad de que un visitante efectúe una compra en un almacén, durante un día dado es
0.8. Si al negocio entran 20 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que el almacén realice:
a Exactamente 16 ventas?
b Menos de 17 ventas?
c Más de 14 ventas?
d Exactamente 5 ventas?
e ¿Cuál es el número esperado de ventas?
*. Si un almacén tiene en promedio 5 ventas por hora. ¿Cual es la probabilidad de que en una hora
determinada:
a Haya exactamente 4 ventas?
b Haya más de 3 ventas?
c No se efectúen ventas?
*. Una de cada 10 personas mayores de 40 años de una comunidad, sufren de hipertensión. Se
toma una muestra de 50 personas mayores de 40 años. Utilizando primero la distribución binomial
y luego la aproximación a la distribución de Poisson, responder y comparar los resultados:
a ¿Cuál es la probabilidad que haya más de 4 hipertensos?
b ¿Cuál es la probabilidad que haya exactamente 5 hipertensos?
*. Un lote de arandelas tiene un diámetro normal con media 10 milímetros y desviación típica 0.5
milímetros. Se toma una arandela al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un diámetro:
a Superior a 10.5 milímetros?
b Entre 9 y 11 milímetros?
c Menos de 9 milímetros?
*. Investigar las funciones de distribución y sus aplicaciones con ejemplo: Weibull, Beta,
Geométrica, Gumbel, Pareto
DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Ejemplo, el precio medio del litro de gasolina durante el próximo año se estima que puede oscilar
entre 140 y 160 pesos. Podría ser, por tanto, de 143 pesos., o de 143,4 pesos., o de 143,45
pesos., o de 143,455 pesos, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.
Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del
intervalo, viene definida por:
1
f (x) 
ab
Donde, b: es el extremo superior (en el ejemplo, $160, y a: es el extremo inferior (en el ejemplo,
140 pesos). Por lo tanto, la función de distribución del ejemplo sería:
1
f (x) 
 0.05
160  140
,
es decir, que el valor final esté entre 140 pesos y 141 pesos tiene un 5% de probabilidad, que esté
entre 141 y 142, otro 5%, etc.
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Ejemplo, Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al
aire y considerar la variable aleatoria X=(Número de caras obtenidas), en cuyo caso X=0 si q=1/2,
y X=1 si p=1/2
Para una variable aleatoria de Bernouilli, tenemos que sus funciones de probabilidad y de
distribución son,
si x  0
q

f ( x )  p
0

si x  1
otro caso
0

F( x )  q
1

si x  0
si 0  x  1
si x  1
Su función característica y momentos son,
 x (t ) 
e
x i 0,1
E(X)  p
itxi
f (x i )  q  p  e it
V(X)  p  q
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ejemplo, se tira una moneda 10 veces: ¿cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable
toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable
toma el valor 10. La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente
modelo,
P( X  x ) 
n!
P k Q nk
k! (n  k )!
PQ 1
Ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?. k es el
número de aciertos. En este ejemplo k igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el
valor 1: como son 6 aciertos, entonces k=6), n es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son
10, P es la probabilidad de éxito, es decir, que salga cara al lanzar la moneda. Por lo tanto P=0,5.
Entonces,
P( X  6) 
10!
0.5 6 0.510 6  0.205
6! (10  6)!
Luego, P(x=6) = 0,205, es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar
10 veces una moneda.
Ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho
veces?, siendo k (número de aciertos) toma un valor de 4, y n toma el valor 8
La probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado es 1/6, entonces,
P( X  4) 
8!
0.166 4 (1  0.166) 4  0.026
4!4!
Luego, P(x=4)=0,026, es decir, se tiene una probabilidad del 2,6% de obtener cuatro veces el
números 3 al tirar un dado 8 veces.
Ejemplo, Un médico aplica un test a 10 alumnos de un colegio para detectar una enfermedad cuya
incidencia sobre una población de niños es del 10%. La sensibilidad del test es del 80% y la
especificidad del mismo es del 75%. ¿Cual es la probabilidad de que exactamente a cuatro
personas le de un resultado positivo? Si en la muestra hay cuatro personas a las que el test le da
positivo, ¿cuál es la probabilidad de que entre estas, exactamente dos estén sanas? Calcular la
probabilidad de que el test suministre un resultado incorrecto para dos personas. Calcular la
probabilidad de que el resultado sea correcto para más de 7 personas.
Solución: Los datos de que disponemos son: P(E)=0.10, P(T +/E)=0.80, y P(T-/E)=0.75, donde E,
T+, y T- tienen el sentido que es obvio. Si queremos saber a cuantas personas el test le dará un
resultado positivo, tendremos que calcular P(T +), para lo que podemos usar el teorema de la
probabilidad total (estar enfermo y no estarlo forman una colección exhaustiva y excluyente de
sucesos):
P(T+)=P(T+/E)*P(E)+P(T+/E-)*P(E-)=0.80*0.10+0.25*0.90=0.305
Sea X1 la variable aleatoria que contabiliza el número de resultados positivos. Es claro que
llamando p1=P(T+), se tiene que X sigue una distribución binomial
10 
10 
x
X1  B(10,0.305)  P(X1  x )   p1x q10
   * 0.305 4 * 0.695 6  0.2048
1
x 
4 
Ahora bien, si queremos calcular a cuántas personas les dará el test positivo aunque estén sanas,
hemos de calcular previamente P(E-/T+)
P( E  / T  ) 


P ( E   T  ) 1  P (T  / E  ) * P ( E  )

 0.7377
P (T  )
P (T  )
LECCIÓN 18. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Ejemplo, La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se
realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad P es menor que 0,1, y el producto n*P es menor que 10, entonces aplicamos
el modelo de distribución de Poisson,
P( X  3)  e 6
63
 0.0892
3!
Por tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%
Ejemplo, La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de
que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?
P( X  5)  e 9.6
9.6 5
 4.602
5!
Por tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recién nacidos es del 4,6%
Ejemplo, En un taller, el número de accidentes a la semana es X=P(), el cual sigue una
distribución (2,4). Cual es la probabilidad de que en el taller ocurran 3 accidentes ala semana?
P(3)=?
Luego la función marginal de X
Cambio de variable (a+1)=t
Por otra parte,
, entonces,
La probabilidad de 3 accidentes es, finalmente,
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Ejemplo, en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad
de que 3 sean blancas?
N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4, entonces,
 7  5 
  
3 1
P( X  3)      0.354
12 
 
4 
Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.
Ejemplo, en una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar
¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?
 7 14 
  
3 0
P( X  3)      0.0175
 20 
 
3 
Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan sólo del 1,75%.
DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
Ejemplo de distribución binomial: a unas elecciones se presentaron 2 partidos políticos: el LALA
obtuvo un 70% de los votos y el JEJE el 30% restante. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 5
ciudadanos al azar, 4 de ellos hayan votado al JEJE?
Ejemplo de distribución multinomial, a esas elecciones se presentaron 4 partidos políticos: el LALA
obtuvo un 40% de los votos, el JEJE el 30%, el MUMU el 20% y el LALA el 10% restante. ¿Cuál es
la probabilidad de que al elegir 5 ciudadanos al azar, 3 hayan votado al LALA, 1 al MUMU y 1 al
LALA?
Ejemplo, En una fiesta, el 20% de los asistentes son españoles, el 30% franceses, el 40% italiano
y el 10% portugueses. En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados: ¿cual es la probabilidad
de que 2 sean españoles y 2 italianos?
P( X1  2, X 2  0, X 3  2, X 4  0) 
4!
0.2 2  0.3 0  0.4 2  0.10  0.0384
2!0!2!0!
Luego, la probabilidad de que el grupo esté formado por personas de estos países es tan sólo del
3,84%
DISTRIBUCIÓN MULTIVARIADA
Ejemplo, en una urna hay 7 bolas blancas, 3 verdes y 4 amarillas: ¿cuál es la probabilidad de que
al extraer 3 bolas sea cada una de un color distinto?
 N1 
N 
      4 
x
 x4 
P( X1  x 1, X k  x k )   1 
N
 
n 
Donde X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que una de las bolas sea
blanca), N1 indica el número de bolas blancas que hay en la urna (en el ejemplo, 7 bolas), N es el
número total de bolas en la urna (en el ejemplo, 14 bolas), n es el número total de bolas que se
extraen (en el ejemplo, 3 bolas)
Entonces,
7 3  4
       
1
1
1
P( X1  1, X 2  1, X 3  1)         0.2307
14 
 
3 
Es decir, que la probabilidad de sacar una bola de cada color es del 23,07%.
LECCIÓN 19. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIÓN GAMAM Y EXPONENCIAL
Ejemplo, En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de Polonio radiactivo. Sabiendo
que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, Cuántos idas transcurrirán
hasta que haya desaparecido el 90% del material?
Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de
210
84
Po es una variable aleatoria de
distribución exponencial, Como el número de átomos existentes en una muestra de 10 gramos es
enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada
uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo
modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su
función de distribución F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el 90% del material
radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribución exponencial, es decir
F( t 90 )  0.90  e at 90  1  0.90,
entonces ,
1
t 90   Ln 0.10  322 días
a
Ejemplo, Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una
distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la
que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el
marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente,
Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona.
20
P(T  20)   f (t )dt  1  e 20 / 16  0.7135
0
LECCIÓN 1-21. MÁS SOBRE FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
VALORES EXTREMOS
Ejemplo típico de esta función es la GUMBEL, en la cual, si   0.577 es la constante de Euler,


2
y y 
son los valores medio y varianza. Haciendo f Y ( y)  0

6 2
se ve claramente que u es la moda y  la mediana y son sus medidas de dispersión.
entonces m y  u 
Ejercicio, a) Dibuja la función de densidad de la N(0,1). Seguidamente añade la N(0,0.5). Por
último añade la N(0,3) ¿Qué observas?
b) Dibuja ahora la función de distribución de una N(25,1), añade N(25,3.5) y N(25,21). Modifica los
límites del eje x a: -35, +85. ¿Qué observas?
c) Utilizando la función de distribución de N(25,21) anota el valor aproximado de F(40) y F(10).
Ejercicio, a) Dibuja la función de probabilidad de un modelo de Poisson de medias 2, 5, 10. ¿Qué
ocurre al aumentar la media?
b) Compara que una Poisson de media 25 se aproxima a una N(25,5). ¿Qué ilustra ese resultado?
Ejercicio, a) Dibuja una Bi(10,0.1), Bi(10,0.5) y Bi(10,0.9). Idem para n = 50. ¿Qué ocurre al ir
aumentando el tamaño de n?
b) Calcula aproximadamente para Bi(50,0.1): p(X2) y p(X9).
c) Comprueba que Bi(50,0.1) se aproxima a una Po(5).
Ejercicio. a) Dibuja la función de densidad de los siguientes modelos uniformes: U(0,1), U(0,5) y
U(4,6). ¿Qué observas?
b) Haz lo mismo para las exponenciales: exp(0.5), exp(1) y exp(2). ¿Qué observas?
Ejercicio, Calcula el valor de xo para:
a)
b)
c)
d)
e)
X
X
X
X
X





N(0,1), p(Xxo) = 0.95, p(Xxo) = 0.05, p(X>xo) = 0.05
220, p(X>xo) = 0.05, p(X>xo) = 0.95
t15, p(X>xo) = 0.01, p(X>xo) = 0.99
U(8,12), p(Xxo) = 0.35
Exp(5.3), p(Xxo) = 6