Download Página 109- Trabajo Completo - Facultad de Ciencias Exactas y

Algunas concepciones de alumnos que ingresan a la F.A.C.E.N.
acerca del estudio de las ecuaciones
Olmedo, Nora; Galindez, Marcela
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. UNCa.
E-mail: [email protected]
RESUMEN
Los alumnos que ingresan al Profesorado en Matemática de la FACEN
se enfrentan con una matemática distinta a la conocida, con un
Álgebra caracterizada por justificaciones, abstracciones y
demostraciones. Se produce en ellos un desequilibrio entre lo que
“saben” y cómo usarlo para comprender “lo nuevo”; pues, los
objetos familiares “no funcionan” de la misma manera.
Este trabajo propone descubrir aquellas concepciones que tienen
estos alumnos acerca de un elemento fundamental del álgebra, las
ecuaciones lineales, que provocan dificultades para avanzar en sus
aprendizajes algebraicos superiores
Bajo los conceptos brindados por Starf de Concepción y su
clasificación en Operacionales y Estructurales se pretende distinguir,
en el estudio de las ecuaciones, rasgos esenciales del aprendizaje del
álgebra: el lenguaje simbólico, leyes y técnicas de resolución, el
significado de los símbolos, la formulación y justificación de
propiedades, que indican algunas dimensiones útiles para interpretar
las concepciones acerca de este objeto matemático
La metodología utilizada es cualitativa y la recolección de datos
consiste en el estudio de trabajos prácticos, observaciones en clase
y de entrevistas posteriores a algunos alumnos para completar lo
interpretado de sus trabajos.
Las conclusiones se refieren a la descripción de las formas de
concebir el concepto de ecuación, al significado que le proporcionan
a las letras, al signo igual, al uso de paréntesis y a los métodos de
resolución que nos permiten inferir la prevalencia de la concepción
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operacional del álgebra y de las condiciones cognitivas en que se
encuentran estos alumnos ingresantes
Palabras Clave: Concepciones – Alumnos – Ecuaciones –
Aprendizaje - Matemática
Some concepts about the study of equations in student entering
the F.A.C.E.N
ABSTRACT
Students entering the Faculty of Mathematics of FACEN have to face
a different math to the one already known, algebra characterized by
justifications, abstractions, and demonstrations.
It produces in them a mismatch between what they "know " and how
to use it in order to understand what is "new" ,since the objects they
know "do not work " in the same way .
The present paper intends to discover those concepts students have
about linear equations, which is a key element of algebra and causes
them difficulties to advance to a higher level in algebraic learning.
Provided concepts by Starf about Conception as well as its
Operational and Structural classification this paper attempts to
distinguish, in the study of equations, essential features of learning
algebra: symbolic language, laws and resolution techniques, the
meaning of the symbols , the formulation and justification of
properties that indicate some useful dimensions in understanding
the concepts of mathematical object
Qualitative methodology is used and data collection consists in the
study of practical work, classroom observations and interviews to
students in order to complete their work.
The Conclusions refer to the description of the ways of
understanding the equation concept, the meaning we give to the
letters, the equal sign , the use of brackets and methods of resolution
that allow us to infer the prevalence of algebra operational concept
and cognitive conditions entering students are .
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Keywords: Concepts - Students - Equations - Learning Mathematics
INTRODUCCIÓN
Los alumnos que ingresan a la universidad deberían poseer ciertas
competencias, indispensables para asegurar su permanencia en ella y la
consecución de sus aprendizajes. Se espera que los alumnos sean competentes
para pensar matemáticamente,
resolver problemas, saber argumentar,
representar y comunicar, saber usar técnicas matemáticas e instrumentos y saber
modelar (Niss, 1992). En nuestra facultad (F.A.C.E.y N), diversos estudios
(Olmedo,2010) indican que para
muchos
alumnos ingresantes
estudiar
matemática reside en el manejo de algoritmos de forma rutinaria, que si no es
aplicado a diario, se olvidan fácilmente del procedimiento utilizado, dificultando
la apropiación de aprendizajes más complejos, además, tratan a los objetos
matemáticos de manera mecánica, sin considerar contexto alguno ni justificación
o reflexión acerca del significado que tienen, impidiéndoles avanzar hacia la
descontextualización y generalización.
Otras investigaciones enuncian que los alumnos que terminan la escuela
secundaria han utilizado los procedimientos algebraicos desligados de situaciones
en las cuales pudieran justificar esa aplicación, entonces, al comenzar los estudios
universitarios se ven confrontados con “otra matemática” caracterizada por las
justificaciones, abstracciones y demostraciones. Es ahí donde se produce una de
las rupturas en el paso de un nivel a otro. Hay un desequilibrio entre lo que sabe y
cómo se usa eso que sabe, pues hay objetos familiares, pero “no funcionan” de la
misma manera (Saldivia, F; Sessa, C 2010). Los alumnos “creen” que en el
secundario no le enseñaron nada como una consecuencia de que los profesores
universitarios “confirman su mala base por la ausencia de eficiencia operatoria y
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de hábitos de estudio” (Olmedo, N; Di Bárbaro, M, 2006), provocando, en muchos
casos, la deserción y el abandono de sus estudios.
Al preguntarnos ¿por qué los estudiantes recurren a memorizar los
procedimientos y algoritmos del álgebra?, podemos afirmar, por un lado, que el
aprendizaje del álgebra no es una tarea sencilla, pues los objetos que se manejan
son abstracciones que requieren de un gran esfuerzo cognitivo y metacognitivo
que exige un cambio en las estrategias de aprendizaje (Olmedo,2011) y en el
pensamiento por parte de los estudiantes, incluso durante el aprendizaje de un
concepto conocido y muy aplicado como las ecuaciones. Por otro lado, que las
concepciones que traen consigo respecto a este concepto influyen, seguramente,
en la construcción de conceptos fundamentales del álgebra como la
interpretación del significado de los símbolos, de las letras y de las formas de
resolver ecuaciones.
G. Vergnaud (1990) sostiene que las concepciones previas de los alumnos
contienen teoremas y conceptos en acción que no son verdaderos teoremas
y conceptos científicos, pero que pueden evolucionar hacia ellos. Atento a
ello, y en el marco del proyecto “Concepciones de los Alumnos que ingresan a la
FACEN respecto de la enseñanza y el aprendizaje del Algebra”, en este trabajo
interesa investigar aquellas concepciones que tienen los alumnos de primer año
del profesorado en matemática de la FACEyN en relación
al concepto de
ecuación, al sentido y significado que le proporcionan a las letras, al signo igual, al
uso de paréntesis y a los símbolos de las operaciones.
REFERENTE TEÓRICO
Las ecuaciones lineales desempeñan un rol primordial en todo el proceso
de enseñanza y aprendizaje del álgebra no sólo porque en ella intervienen
conceptos fundamentales de la matemática, sino también por su aplicación en
otras ciencias. Son estudiadas prácticamente durante toda la vida de estudiantes
y sin embargo son muchas las dificultades y errores que comenten, los cuales,
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según diferentes investigaciones, se deben diversos orígenes. Algunos, como
Keiran, Filloy (1989) consideran que se deben a que continúan empleando
nociones y enfoques que usaban en aritmética con respecto a los símbolos y
letras, otros como Charnay (1990) que los alumnos no saben escuchar y observar
las explicaciones del maestro y sólo le interesa saber el algoritmo que permite
resolver un ejercicio sin interesarse en entender los conceptos o implicancias en
el tema. Debido a estudios previos, este equipo de esta investigación
(Olmedo,2011) considera que uno de los orígenes está en el uso de estrategias de
aprendizaje superficiales, de práctica y memorización con escaso nivel
metacognitivo. Panizza, Sadovsky y Sessa (1996) lo atribuyen, en parte, a las
dificultades que provienen del discurso escolar cuando el docente no fomenta una
concepción de ecuación que permita al estudiante comprender qué es y cómo se
relaciona este concepto con otras áreas, sino en una basada en la memorización
de reglas.
Brousseau, Davis y Werner (1986) expresan que los errores que cometen
los alumnos muestran, en algunos casos, un patrón consistente: los alumnos
tienen concepciones inadecuadas (“misconceptions”) sobre los objetos
matemáticos que, a veces, los conducen a usar procedimientos equivocados,
incluso llegan a utilizar, en algunos casos, métodos propios. En este sentido,
descubrir esas concepciones a partir del análisis de los errores, dificultades,
construcciones y explicaciones de los ingresantes a la UNCa resulta interesante y
guía esta investigación, porque como afirma Confrey (citado por Molina 2006), el
término Concepción hace referencia a “las creencias de los estudiantes, sus
teorías, explicaciones y significados sobre los conceptos”, es decir, atiende a
elementos que se refieren a la comprensión de conocimientos.
Son varios los significados que se le han dado al término concepción en la
didáctica de las matemáticas. Nos basaremos en los de Sfard (1987), quien afirma
que las nociones matemáticas, pueden concebirse por los estudiantes con dos
tipos de concepciones: la operacional: como procesos y la estructural: como
objetos abstractos. A su vez, este autor menciona que:
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“en el proceso de formación de un concepto, la concepción
operacional, con frecuencia, es la primera que se desarrolla. Fuera
de ella, la concepción estructural la iría envolviendo gradualmente.
… ciertas partes de la matemática las podemos observar con cierto
grado de jerarquización, lo que es concebido de una forma
puramente
operacional
en
un
nivel,
se
podría
concebir
estructuralmente en un nivel más alto”.
En este marco de referencia, en el que se habla de la formación de
conceptos, la postura de Sfard, permite observar las concepciones de los
estudiantes, no solo desde los procesos sino también desde los objetos
abstractos, proporcionando de esta manera, un reconocimiento general del
concepto.
La concepción operacional, a pesar de ser difícil de describir, se refiere a
concebir los conceptos como procesos, como algoritmos, secuencia de
operaciones, acciones a nivel físico o mental. En el caso de las ecuaciones no
enfatiza en la estructura algebraica, sino que recurre a otros métodos, propios de
la aritmética o de la geometría básica. La concepción operacional, implica una
interpretación de un proceso como una entidad potencial, es decir, una entidad
dinámica, secuencial y detallada.
La concepción estructural, hace referencia a la capacidad de “ver”
mentalmente a los objetos matemáticos, que son organizaciones mentales
abstractas, como objetos reales, con características y funciones definidas. Las
concepciones estructurales reciben el apoyo de las imágenes mentales para que
el estudiante pueda construir ideas abstractas tangibles y las considera casi como
entidades físicas a través de la visualización. Esta concepción es propia del álgebra
pues se define por medio de reglas, propiedades y procedimientos propios de ella
y trabaja con los entes abstractos como si fueran físicos.
Sin embargo, de acuerdo con Sfard, a pesar de que existe una brecha entre
las concepciones estructurales y operacionales, ellas son complementarias pues
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son dos visiones de un mismo concepto matemático y son inseparables debido a
que cada concepto alberga elementos operacionales y estructurales.
Esta naturaleza dual de los constructos matemáticos se puede ver desde
las descripciones verbales y representaciones simbólicas en toda representación
algebraica, en especial en las ecuaciones donde se evidencia mecanismos
operacionales y relaciones que se manifiestan a través de los símbolos (Godino,
2003). Es preciso señalar que el rol del enfoque estructural es más avanzado que
el operacional, ya que el primero genera comprensión y el segundo genera
resultados que se evidencia en la resolución de problemas; por lo tanto, es
evidente la importancia de estudiar los dos enfoques.
METODOLOGÍA
La metodología utilizada es cualitativa, se estudian las expresiones (orales
y escritas), acciones, pensamientos y comportamientos individuales de alumnos
que ingresaron al Profesorado en Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y
naturales de la Universidad Nacional de Catamarca en el año 2012.
Esta metodología permite hacerse una idea de la situación, identificar las
dimensiones intervinientes en el fenómeno, sus relaciones relevantes.
La
recolección de los datos está basada en el muestreo teórico construyendo las
categorías emergentes para caracterizar el aprendizaje de las ecuaciones y el
trabajo de campo. Éste consistió primero en el análisis de los errores, dificultades
y conflictos detectados en la resolución de trabajos prácticos y durante las clases
de Introducción a la Matemática, Álgebra y Geometría I, tratando de detectar
algunas concepciones que los provocan.
Luego, se recogieron los trabajos
prácticos de cinco alumnos y esa información se completó con entrevistas en las
cuales se tuvo en cuenta sus formas de aprender y de responder a las cuestiones
planteadas. Cada caso de la muestra se trató como empíricamente distinto y no se
presupone qué número de casos diferentes puedan formarse con el fin de
constituir una totalidad homogénea.
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Con el análisis cualitativo se pretende descubrir las concepciones que
tienen los alumnos acerca del álgebra cuando resuelven ejercicios y problemas,
para ellos nos planteamos las siguientes preguntas que guían esta investigación:

¿Qué saben los alumnos acerca del concepto de ecuación lineal, de sus formas
de resolución, del significado de los símbolos que incluye?

¿Por qué les cuesta tanto superar errores repetitivos como los que surgen de
la transposición de términos o factores?

¿Para ellos, los conceptos algebraicos aprendidos en la escuela no son los
mismos en la facultad?
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Conocer las concepciones que tienen los alumnos acerca de qué es una
ecuación lineal significa interpretar los significados que le atribuyen al concepto
mismo y a los elementos que la componen: las letras, el signo igual, los paréntesis,
la raíz, el conjunto solución, ecuaciones equivalentes y los métodos de resolución.
Los siguientes ejemplos, fueron extraídos de los trabajos prácticos
realizados por los alumnos en clase y, en función de los errores cometidos, se
intentó identificar el significado que le atribuyen a cada elemento de las
ecuaciones y también la concepción misma que tienen de ella.
Significado del signo igual
a) La siguiente expresión responde a la solución de un problema. El alumno va
resolviendo mientras lee el planteo: 75 +24 = 99 – 37 = 62. Realiza una
concatenación de operaciones separadas por el signo igual. Se observa que el
signo separa operaciones de resultado. Una actuación similar se observa
cuando el alumno opera con expresiones algebraicas y utiliza el signo igual
para separar operaciones del resultado. Por ejemplo:
𝑥(𝑥 − 2) + 3𝑥 2 = 4𝑥 2 − 2𝑥 = 2𝑥 3
El alumno necesita tener un resultado con un único término y ante ello suma
incorrectamente términos que no son semejantes.
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b) En los siguientes ejemplos, se observa la incapacidad de “ver” la simetría entre
los miembros de la igualdad, provocando errores cuya posible justificación es
la mecanización de las reglas

Si bien el ejemplo siguiente no es una ecuación lineal, podemos notar que los
alumnos no tienen en cuenta el significado de equivalencia del signo igual y
procede a “despejar la 𝑥” sin respetar la propiedad uniforme de las
operaciones
Solución del alumno A:
𝑥∙𝑦∙6= 6
𝑥 =6−𝑦∙6
Solución del Alumno B:
𝑥. 𝑦. 6 = 6
𝑥 = 6 ÷ 6𝑦
𝑥=𝑦

El error cometido al resolver la siguiente ecuación fue el común denominador
del práctico ecuaciones durante el curso de ingreso. La mecanización aplicada
para el “pasaje de términos o factores” sin conocer (u olvidar) la propiedad
uniforme, que es la justificación de las reglas, es la probable causa del error
2
 3  11
x
2  3  11x
5  11x
x

11
5
En la siguiente la multiplicación inventa sus propias reglas y las aplica según su
conveniencia
12 = 2𝑥
2: 12 = 2𝑥: 2
6=𝑥
1
5𝑥. (− 𝑥 4 ) = 1
2
5
− 10 𝑥 5 = 1
Se observa en los ejemplos a) que utilizan el signo igual como Operador;
como indicador de obtener un resultado, este significado hace referencia a
concebirlo como un símbolo que separa una cadena o secuencia de operaciones a
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realizar, que se sitúan a la izquierda del signo igual y su resultado, que se dispone
a la derecha.
En los ejemplos de b) no lo conciben como un símbolo de Equivalencia y
no respetan propiedades simétricas y transitivas de la ecuación.
El alumno resuelve con métodos propios de la aritmética adecuándolos a
“su manera de resolver en álgebra”
Jerarquía de las operaciones
Analizamos las dificultades ocurridas por no respetar la jerarquía
convencional de las operaciones que incluyen o no los paréntesis
a) En los siguientes ejemplos se observan errores repetitivos1, notables en la
mayoría de los alumnos de primer año cuando
operan con elementos
abstractos, descontextualizados, propios del algebra.
Ejemplos:

2𝑥 −10
10
= 125
2𝑥 −125
Simplifican en un cociente donde el numerador o el denominador es una
adición o una diferencia, simplifican con seguridad, “algo” del numerador de
igual notación o parecido con el denominador. No es posible aquí aplicar
ningún tipo de propiedad distributiva

𝑥−2
(𝑥−2).(𝑥+2)
=𝑥+2
En este caso simplifican bien, pero no se dan cuenta que es lo es numerador y
denominador.
x2  4 

x2 
4  x2
Uso inadecuado de la propiedad distributiva de la radicación combinado con la
falta de la concepción del signo igual como equivalencia.
b) No consideran que el o los paréntesis sean necesarios para respetar el orden
respectivo de las diferentes operaciones.
Ejemplos:
1
Entendemos por error cuando un alumno realiza una práctica, acción, argumentación, etc.,
que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar. Godino, Batanero
y Font (2003, p69)
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
En estos ejemplos como: 4 ∙ 𝑥 + 2 = 20 𝑦 4(𝑥 + 2) = 20 reconocen las
diferencias: “en la segunda ecuación tenemos que aplicar antes la propiedad
distributiva”. Sin embargo, en el siguiente se observa que no interpreta que la
línea de fracción “actúa” como paréntesis, por lo tanto cuando multiplica a
ambos miembros por 12 (o 4.3) no los incluyen y a partir de allí, los errores
𝑥−2
4

=
5−𝑥
𝑥−2∙3= 5−𝑥∙4
3

𝑥 − 6 = 5 − 4𝑥

5𝑥 = 11
𝑥 + 4𝑥 = 5 + 6
𝑥=
11
5
La supresión e intercalación de paréntesis son temas aprendidos en la escuela,
se reconstruyen esos conceptos con la suficiente aplicación en la cátedra
Introducción a la Matemática del profesorado, sin embargo cuando el alumno
debe aplicar propiedades para aprender los nuevos procedimientos en
Álgebra, le resulta casi imposible transferirlos. El siguiente ejemplo no
representa una ecuación, pero se puede observar no han superado los errores
que provoca la presencia de paréntesis.
1
1
1
(ℎ + 1)(4ℎ + 3) = ℎ + (4ℎ + 3)
3
3
3
1
4
= 3ℎ + 3ℎ + 1
O bien en:
𝑎𝑛 = 7(ℎ + 1) + 3
⇒
𝑎𝑛+1 = 7(ℎ + 1 + 1) + 3
= 7ℎ + 2 + 3
= 7ℎ + 5
Los ejemplos demuestran dificultad para acatar las exigencias de jerarquía
convencional de las operaciones, de los algoritmos y de las propiedades como la
distributividad de la potenciación y la radicación, inventando “procedimientos
imperfectos” (Pochulu, 2005)
El significado de las letras
a) Uno de los errores más comunes en el ingreso universitario, es la concepción
de que 𝑥𝑥 es igual a contar las 𝑥 que aparecen, esto es 2𝑥, sin tener en cuenta
la multiplicación que relaciona a las 𝑥. Esto también es una referencia a la
1
1
concatenación de números en la aritmética: 3 2 = 3 + 2. Son comunes
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encontrar expresiones como 2𝑎 = 2 + 𝑎 o 𝑎 + 𝑎 = 𝑎𝑎 = 𝑎2 a las cuales
considera equivalentes.
b) Es interesante analizar cómo los alumnos resuelven ejercicios utilizando las
letras, en especial la 𝑥, sin embargo cuando se les presenta una determinada
ecuación se les pregunta ¿Qué representa 𝑥? Los alumnos no pueden
explicarlo. A continuación transcribimos una clase de Introducción a la
Matemática:
P- En la expresión 3 − 5𝑥 = 2 ¿Qué representa la 𝑥 en la ecuación?
A1- “𝑥 es la incógnita”,
A2- Es una letra que representa una incógnita
P – Pero, ¿representa “algo”, “una cosa”, “cualquier cosa”, “un número”?
A1- Sí, es el valor que puede tomar la incógnita, que no conocemos todavía
P- ¿Existe ese número?
A2- Sí, hay que calcularlo… es 1/5
P- Si tenemos 5𝑥 − 3 = 5𝑥 − 2 ¿Existe un valor para 𝑥 ?
A2- y… si, lo tenemos que resolver
P- ¿De antemano no lo podemos saber? (No responden)
P- Entonces resuelvan y me contestan
A2 – Es 𝑥 = 1
A3- No, Se van las 𝑥 , está mal.
P- Pasa a resolver en la pizarra
A2 – No profe, no sé… bueno, yo hago lo que creo pero no sé…
El alumno escribe en la pizarra 5𝑥 − 3 = 5𝑥 − 2
5𝑥 − 5𝑥 = −2 + 3
𝑥=1
La clase siguió con la explicación de la docente para destacar que no es lo
mismo 0𝑥 que 𝑥, lo cual se detalla más adelante
c) Con la intención de que el alumno interprete textos matemáticos se les
pide; por ejemplo: “Expresa en símbolos la siguiente propiedad: Si un
número divide a la suma de dos números entonces divide a cada uno de
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los sumandos”. Lo primero que realizan es elaborar ejemplos, los alumnos
ejemplifican, no utilizan las letras, esto evidencia la escasa experiencia con
el lenguaje algebraico, que ante la insistencia de los docentes, trabajan las
letras pero este tipo de actividades acentúan la concepción de número fijo,
que existe, pero desconocido
d) Cuando se utilizan letras diferentes de las 𝑥 o 𝑦 les dificulta interpretar el
enunciado y mucho más deducir, inferir o transferir los resultados. El
siguiente ejemplo ocurrió en el aula durante el cálculo de lado recto en una
elipse. La profesora escribe en el pizarrón
pregunta:¿entonces cuánto es
𝑏2
𝑎
2
𝑏2
𝑎
9
= 25
y luego
? Las respuestas no fluyeron, fue un
silencio que la profesora interpretó como “distracción” y dio la respuesta:
“ bueno,
𝑏2
9
= 5 ” y siguió con la clase. Cuando terminó de resolver el
𝑎
ejercicio, un alumno dice: “Profesora me puede explicar cómo despejó
𝑏2
𝑎
? " Después de repetir la explicación e interpretar que los alumnos no
comprendían, la profesora recurre a utilizar al uso de estructura conocida:
9
P: “Si tenemos 2𝑥 = 2 5 , entonces cuánto vale x?”. Los alumnos
resolvieron así:
9
2𝑥 = 2 5
2𝑥 =
18
5
𝑥=
18
:2
5
18
𝑥 = 10
9
𝑥=5
Los alumnos no “interpretan las expresiones” en el sentido que lo dice
Arcavi (1995), no leen, antes de manipular los símbolos, en este caso, no interpreta
la relación de dobles de un número, necesitó operar para entender.
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El significado de raíz de la ecuación
Siguiendo la clase de ecuaciones citada anteriormente, el docente
interroga para saber qué diferencias encuentran entre incógnita, raíz, solución o
conjunto solución.
P- ¿Qué es la raíz de una ecuación?
A1- El valor de 𝑥
A2- si, el valor de la incógnita
P- ¿entonces incógnita y raíz es lo mismo?
A1- y… la raíz es el valor desconocido de la incógnita, de la letra
P- entonces, la ecuación 2𝑥 + 1 = 2𝑥 + 2 − 1¿Tiene solución?¿ Qué valor tiene
la incógnita?
A3- Se van las 𝑥 de nuevo, no tiene solución…
Luego, la clase continúa explicando que existen ecuaciones con infinitas
soluciones a las que llama identidades.
La mayoría de los alumnos ingresantes desconocían la existencia de
ecuaciones lineales con una incógnita sin solución o con infinitas soluciones. Un
alumno expresa: “recién ahora sé que hay ecuaciones que no tienen solución o
que tienen infinitas soluciones, por ejemplo, los ejercicios que a mí me daban en
el secundario cuando aparecía una ecuación así que se me anulaba la variable me
decían que estaba mal planteada o nos decían está mal y directamente la
cambiaban y nos daban otras. Decían: ah! Está mal, ya la corrijo y cambiaban un
número o nos daban otras…”
Esto provoca una concepción de ecuación limitada a la búsqueda de un
número que es el resultado del ejercicio.
Con respecto a la raíz podemos expresar que:
a) La Conciben como el número que se desconoce, dicen: “es el o los valores
de la incógnita que verifican la ecuación”. Con esta afirmación se detecta
que pueden ser uno o varios valores de la raíz, también conciben que “si la
ecuación es de primer grado tiene una sola raíz”. Esta concepción puede
ser una de las causas que provocan la dificultad para aceptar que una
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ecuación lineal con dos incógnitas (por ejemplo: 𝑦 = 2𝑥 + 1) tiene
infinitas soluciones, que existen infinitos valores que la verifican
b) Durante el estudio de funciones, el alumno apenas si comprende que al
igualar una función a cero se obtiene una ecuación y que la raíz es el cero
de la función. Pero le dificulta entender que si se iguala la función a otro
número cualquiera, distinto de cero, es también una ecuación; entonces la
raíz será el valor de la variable “y”. Esto permite inferir que no tiene
afianzado el concepto de raíz de una ecuación
c) Expresiones como 𝑦 = 2𝑥 + 1 son ecuaciones lineales que indican una
relación entre variables (concepto de función), o una relación
que
cumplen puntos del plano (es una recta), sin embargo y son concebidas
como objetos matemáticos distintos a las ecuaciones trabajadas en
álgebra.
d) Les cuesta comprender a las expresiones algebraicas como soluciones de
ecuaciones y problemas; por ejemplo:
“Un utilitario tiene que transportar dos tipos de insumos agropecuarios:
A, y B, los que se llevarán en cajas. Una caja del insumo A pesa 10 Kg y una
caja del insumo B pesa 15 Kg.
A) Exprese en símbolos lo que indica el problema
B) La capacidad del utilitario es 300 Kg. Determina la ecuación adecuada
para que el utilitario esté cargado en toda su capacidad. ¿Existe una única
solución?
La expresión solicitada en A) es 10𝑥 + 15𝑦, a los alumnos les costó armarla
pues les dificultaba concebir una respuesta sin colocar el signo “=”. La
respuesta a la opción B) surgió fácilmente hasta la ecuación 10𝑥 + 15𝑦 =
300 . Por ensayo y error consiguieron determinar algunas soluciones. Así
pudieron inducir el concepto de conjunto solución
Ecuaciones equivalentes
Los alumnos reconocen como iguales y no como equivalentes a ecuaciones
del tipo: 𝑥 + 4 = 7 y 𝑥 = 7 − 4 , esto es, la concepción de ecuaciones equivalentes
es que son las mismas escritas de otra manera. En los ejemplos donde interviene
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2
la combinación de operaciones, como en la ecuación 𝑥 + 3 = 11, se evidencia que
desconocen este concepto pues haciendo la verificación (en cualquiera de los
pasos) podrían confirmar si tienen o no la misma solución. Además, cuando se pide
que justifique los pasos realizados, el alumno expresa: “como la incógnita figura
en el denominador de la fracción pasa al otro miembro con la operación contraria,
o sea multiplicando al número que teníamos en el segundo miembro…” , lo cual
permite inferir que no tiene el fundamento teórico para justificar lo que hace.
2
 3  11
x
2  3  11x
5  11x
x
11
5
Otro alumno expresa “como sumamos a ambos miembros el mismo
número (-3) y la igualdad se mantiene y si…, la ecuación es la misma…”. Para él
decir que la igualdad se mantiene significa que la nueva ecuación es la misma y no
una equivalente. Diversas investigaciones afirman que estas expresiones son
aprendidas por los alumnos, del discurso del docente (Pouchulu), en realidad
debería decir que se mantiene el mismo conjunto solución.
Métodos de resolución de ecuaciones
a) La aplicación de la transposición de términos es lo que provoca la mayor
cantidad de errores pues descuidan la equivalencia, está oculta la simetría
de la igualdad. Sin embargo, muchos alumnos resuelven las ecuaciones
correctamente aún sin conocer los fundamentos teóricos que aplican,
dependerá de la complejidad en la resolución. Conciben este
procedimientos como un mecanismo a través del cual los términos y los
números “se pasan”, “se van”, según ciertas reglas cuyo fundamento
desconocen
b) Utilizar la propiedad uniforme, es decir, aplicar la misma operación a
ambos miembros del signo “=”, refuerza el significado de simetría, de
equivalencia, pero resulta “odioso” para los alumnos y para los docentes
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aplicar este método cuando hay otro más rápido, que aplicado
correctamente, es igualmente eficaz.
c) Dificultad comprender el método de resolución de ecuaciones por cambio
de variable, no concibe que expresiones con varios términos puedan ser
expresados como uno solo, no conciben que la estructura superficial es la
misma; por ejemplo:
4(2𝑥 + 1) + 2(2𝑥 + 1) − 5 = 4 es la misma estructura de 4𝑧 + 2𝑧 −
5=4
CONCLUSIONES
En función de lo analizado, podemos inferir que los alumnos, que
ingresaron al profesorado en Matemática en el año 2012 poseen algunas
concepciones equivocadas, otras inadecuadas o incompletas del significado de
una ecuación lineal y de los elementos que la componen. A saber:

Consideran a las ecuaciones lineales como “igualdades con una incógnita”,
como se enseña en aritmética (operación en la cual se desconoce un
término), cuya solución es un número que existe, es desconocido y cumple
con ciertas condiciones.

Interpretan las letras como incógnitas que representan ese número
desconocido, fijo con el que puede realizarse operaciones y cuyo valor se
“debe encontrar”. Algunos investigadores (Keiran, Filloy, 1989) expresan
que usan las letras como “etiquetas”, la “𝑥” es considerada como “algo”.
Desde la escuela 5𝑥 significa 5 manzanas o 5 litros, esta particularización es
propia de la aritmética. Al iniciar el profesorado se enfrentan con que una
letra en una ecuación puede representar un número generalizado, una
operación, una relación entre otras letras. Frente a esta concepción
(estructural), “lo que sabe” es insuficiente para lograr la generalización de
propiedades de las operaciones o para la formalización de procedimientos
que se justifican con el explicitación de las propiedades.

Conciben como resultado un único término, un número, que es una
exigencia presente en aritmética. Le dificulta comprender lo que Keiran
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llama la falta de cierre, cuando el resultado de una ecuación es, por ejemplo,
una suma de términos no semejantes.

No pueden expresar conceptualmente las diferencias entre incógnita y raíz.
Conciben a ambas como “el número desconocido” que existe y verifica la
ecuación dada. Ésta concepción combinada con la necesidad de encontrar
como resultado un único valor puede ser una de las causas que provocan la
dificultad para comprender la existencia de ecuaciones lineales con
infinitas soluciones o sin solución.

Poseen una concepción del signo igual como operador, como símbolo de
obtener “algo, un resultado”, lo cual favorece que los alumnos tengan una
concepción de ecuación limitada a la búsqueda de un número que es el
resultado del ejercicio y las resuelvan con métodos propios de la aritmética
adecuados a “su manera de resolver en álgebra”

Enfrentan la resolución de ecuaciones que requieren de la supresión e
intercalación de paréntesis, sin respetar la jerarquía de las operaciones, con
nociones y enfoques del trabajo aritmético que no se superaron en la
escuela secundaria que dificultan el aprendizaje de nuevos procedimientos
algebraicos.

Con respecto a los métodos de resolución de ecuaciones, en general no
aplican métodos intuitivos, por tanteo o sustitución, usan lo que se llama
“pasaje de términos o de factores”, se mantienen reticentes a utilizar las
propiedades, que es lo que se exige en la universidad. Combinar los
métodos intuitivos y formales sería lo más conveniente, en especial
realizando las verificaciones, para favorecer el autocontrol de sus
aprendizajes. Esto también ayudaría a sostener la concepción de equilibrio
entre los miembros de la ecuación, a la concepción de equivalencia del
signo igual.

Tampoco “interpretan lo que se lee en las expresiones”, para poder emitir
conjeturas y estimar su solución, pues en algunos casos no es necesario
resolverlas para conocer su solución.
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En síntesis, los alumnos al ingresar el profesorado tienen una concepción
“artimetizada” de las ecuaciones y de sus elementos que no ha sido superada en
la escuela secundaria y que hace que los conceptos previos que necesitan para
comprender y para cumplir con las exigencias del estudio algebraico en la
universidad sean insuficientes, puesto que el álgebra, en este nivel, se debe
concebir de manera “estructural”. Esto es, caracterizada por la justificación,
argumentación y demostración de propiedades que exigen mucho más que una
generalización de la aritmética. Aprender a resolver ecuaciones algebraicamente
manteniendo un enfoque aritmético enfrenta en los alumnos a las tareas como
“poner una ecuación a un problema” o “despejar una incógnita” sin considerar el
concepto que incluye.
Justificamos esta prevalencia de la concepción operacional de las
ecuaciones, por un lado por lo que
Keiran (2006) llama dilema proceso –
producto, que consiste en que el estudiante no acepta que proceso y producto
puedan ser lo mismo, lo cual, dificulta superar los errores que comete, pues de
manera inconsciente (o no) se resiste a la adquisición de un pensamiento
algebraico, a la concepción estructural ( o algebraica) de las ecuaciones. Por otro
lado, creemos que los profesores de matemática desconocemos esta realidad y
muchos significados de los elementos del álgebra implícitos en la enseñanza y
aprendizaje de las ecuaciones que provocan dificultades en la comprensión de las
mismas, como por ejemplo, los diferentes significados que tiene el signo igual, la
diferencia entre variable e incógnita, etc.
Realizada esta descripción, los profesores de primer año debemos
enfrentar esta situación y colaborar para que los alumnos logren un cambio en el
pensamiento para comprender a las ecuaciones lineales desde una concepción
estructural
y
puedan asignarle significado y sentido al álgebra. Para ello
deberemos brindarle al alumno la oportunidad de conocer las ecuaciones a través
de diferentes experiencias y así irá cambiando sus imágenes, creencias y
concepciones, esa es la tarea de los profesores que enseñamos álgebra.
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